Интегралы уравнений Гамильтона. Теорема Пуассона

Можно дать новое, весьма изящное доказательство теоремы Пуассона ( 22.3). Возьмем в качестве функции ф известный интеграл исходной системы Гамильтона, при этом семейство траекторий в фазовом пространстве преобразуется само в себя, т. е. каждая траектория преобразуется в другую, близкую траекторию системы. Если а з (д р t) есть другой интеграл уравнений Гамильтона, то приращение его при контактном преобразовании (т. е. разность г]) Q Р i) — г (д р t)) будет равно (г з, ф) эта последняя величина остается постоянной, поскольку преобразованная траектория является одновременно траекторией исходной системы. Таким образом, (г ), ф) является функцией от (д р г), которая сохраняет постоянное значение вдоль траекторий гамильтоновой системы, иными словами, если ф и г з — известные интегралы уравнений Гамильтона, то (t 5, ф) также будет интегралом этих уравнений, и теорема Пуассона, таким образом, доказана. [c.518]

Теорема Пуассона. Если /1(2, I) и Д(г, I) - два первых интеграла уравнений Гамильтона (5), то их скобка Пуассона тоже является первым интегралом. [c.363]

Таким образом, для всякого интеграла системы уравнений Гамильтона существует семейство таких добавочных интегралов, что теорема Пуассона не дает новых интегралов. [c.26]

Действительно, в силу лемм 1 и 2 набор интегралов (3.13) уравнений Гамильтона замкнут относительно скобки Пуассона. После этого замечания теорема 4 вытекает из неавтономного варианта теоремы А. В. Браилова об интегрируемости гамильтоновых систем с замкнутым набором интегралов, удовлетворяющих условию (2.3). Поскольку полный интеграл уравнения Гамильтона—Якоби порождает полный замкнутый интеграл уравнения Ламба, то классическая теорема Якоби содержится в теореме 4. [c.200]

В этой исключительно ясно и просто написанной работе дается законченное изложение всех вопросов, связанных с задачами канонических преобразований и с задачей интегрирования уравнений Гамильтона методом отыскания полного интеграла. Обпще положения развиваемой им теории Донкин прилагав к установлению уравнений теории возмущенного движения. В своем изложении предмета Донкин широко пользуется функциональными определителями и скобками Пуассона, устанавливая для них новые соотношения и формулируя получаемые теоремы с помощью этих скобок. [c.26]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...