Система уравнений типа эллиптического

Таким образом, система уравнений (39) и (41) при М>1, т. е. при сверхзвуковых скоростях, имеет два семейства (с+ и с ) действительных характеристик и относится к гиперболическому типу. При М = 1 имеем Р = О, что соответствует двум совпадающим семействам характеристик, и система имеет параболический тип. При М<1, т. е. при дозвуковых скоростях, система не имеет действительных характеристик и является эллиптической. [c.176]

V (х, у) нельзя однозначно определить Uy, Vy и, следовательно, J., Vx. В этом случае кривую Г называют характеристикой системы (7.13), соответствующей решению и (х, у), v (х, у). Уравнение Д = О назовем характеристическим. Это есть квадратное уравнение относительно величины у, которая определяет направление касательной к кривой Г. Если в фиксированной точке х, у при выбранном решении и (х, у), v х, у) характеристическое уравнение имеет два вещественных различных корня у = у = 2. то говорят, что в этой точке система (7.13) гиперболического типа. Если корни вещественны, но совпадают, то система относится к параболическому типу, если корни комплексные, система относится к эллиптическому типу. [c.234]

Решение такой системы уравнений (тем более нелинейных) весьма затруднительно и возможно только путем последовательных приближений с использованием значений неизвестных функций предыдущего приближения во всей области, что, конечно, соответствует эллиптическому типу исходных уравнений. [c.328]

Отметим, что линеаризованные уравнения (2.5.48) нри малых по сравнению с единицей компонентах градиента перемещений совпадают с уравнениями Ламе для классической теории упругости. Система уравнений (2.5.48) представляет собой систему эллиптического типа, если [c.82]

Формулы (2.16) задают начальные данные на линии фронта для уравнений (2.3) и (2.4) в плоскости i, 2, а формулы (2.17) — начальные данные для уравнения (2.2) в плоскости компонент скорости. Уравнение (2.2) и система уравнений (2.3), (2.4) для функций ui mu2 в окрестности линии и = F гиперболического типа в случае G = Gi и, вообще говоря, эллиптического типа в случае G = 02 Выбор знаков в формулах для щ и U2 фиксирует направление распространения фронта ударной волны. Форма фронта в начальный момент времени, определяемая видом функции /(ai), может быть задана произвольно. Отметим, что в случае конических течений (Ai = 1, А 2 = 2) форма фронта не произвольна, а может быть лишь или плоской, или цилиндрической. Это следует из уравнений (2,10)-(2.13). [c.52]

При Д > О система уравнений (1.1) гиперболического типа, при Д < О эллиптического. [c.74]

В подавляющем большинстве случаев в интегральные вариационные функционалы, формализующие критерии оптимальности, входят первые частные производные функций, осуществляющих отображение. Уравнения Э 0 для них — система уравнений в частных производных второго порядка, как правило, эллиптического типа. Они отражены в предлагаемой работе кратко, в порядке обзора. [c.513]

Уравнения (5.51) вместе с уравнениями равновесия и кинематическими соотношениями между деформациями и смещениями теории малых деформаций составляют замкнутую систему уравнений. Можно показать, что эта система принадлежит к Эллиптическому типу, если выполняется условие / (/) > 0. [c.244]

В работе Мозера [218] изучена родственная задача о неинтегрируемости гамильтоновых систем с одной степенью свободы и периодическим гамильтонианом в окрестности положения равновесия эллиптического типа. Точнее, рассматривается система уравнений Гамильтона [c.317]

Такое изучение стало возможным сравнительно недавно, хотя история термоупругости как научной дисциплины восходит к истокам классической теории упругости. Трудности задач динамической термоупругости в известной мере связаны с тем, что система уравнений (1.1) не принадлежит ни одному из основных типов уравнений математической физики (см. гл. I, 15, п. 1), и построению ее теории предшествовали обширные исследования по теории граничных задач эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных. [c.373]

Если V>a, то характеристики (7.2.76) действительные, а система уравнений (7.2.2) — (7.2.3) гиперболического типа. На теле в окрестности плоскости симметрии V<.а, поэтому эти характеристики — комплексные, а система уравнений эллиптического типа. [c.194]

Основу принципа максимума для данных задач составляют функции zг Ь, х), играющие здесь роль вектора "ф и удовлетворяющие системе уравнений в частных производных, канонически сопряженной с исходной системой. Аналогичные результаты получены и для управляемых процессов, описываемых краевыми задачами для уравнений эллиптического типа, задачей Гурса для системы гиперболических уравнений, а также подобными задачами для уравнений первого порядка. Здесь минимизируемыми функционалами также являлись в большинстве случаев интегральные выражения. [c.238]

Характерной чертой безмоментной (или мембранной) теории оболочек является то, что она приводит к статически определимой задаче. Эта задача в конечном итоге сводится к системе уравнений с частными производными первого порядка с двумя независимыми переменными. Тип этой системы уравнений определяется знаком гауссовой кривизны К срединной поверхности оболочки. Если А > О, то имеем систему уравнений эллиптического типа, а если << О или К = О, то соответственно Систему гиперболического или параболического типа. [c.282]

В последующем сосредоточим внимание исключительно на выпуклых оболочках К > 0). Тогда задача приводится, как уже отмечалось выше, к интегрированию системы уравнений с частными производными первого порядка эллиптического типа. [c.283]

Исторический комментарий. Для уравнений динамики в форме (2.10), (2.11) Н. Г. Четаев [181] также развивал теорию интегрирования, аналогичную методу Гамильтона-Якоби. Однако, если в каноническом случае успех в разделении переменных связан с особо замечательными системами координат на конфигурационном пространстве (типа эллиптических или сфероконических), то для алгебраической формы записи (2.10), (2.11) таким путем удается исследовать только тривиальные симметрии (имеющиеся, например, в случае Лагранжа (см. гл. 2)). [c.36]

Простейшая система уравнении эллиптического типа, решения которой удовлетворяют принципу максимума, это система уравнений Лапласа [c.61]

Разнообразны методы решения уравнений в частных производных, описывающих течения газа в соплах. Сложность задачи состоит пе только в большом числе таких уравнений, необходимых для описания неравновесных процессов, но и в том, что тип их различен в различных областях сонла. В случае стационарного течения в дозвуковой области соответствующая система уравнений в частных производных является эллиптической, в трансзвуковой — параболической, в сверхзвуковой — гиперболической. Таким образом, нри изучении течений в соплах приходится иметь дело с различными областями современной физики, а при решении уравнений, описывающих течение,— с основными типами уравнений математической физики. Отмеченные обстоятельства привели к тому, что сформировалась по существу самостоятельная ветвь газовой динамики — физическая газовая динамика внутренних течений. [c.7]

Можно также исследовать аналогичные задачи для невыпуклых оболочек. В общем случае эти задачи приводят к системам уравнений смешанного типа — на части области мы имеем систему уравнений эллиптического типа, а в остальной части — гиперболического типа. Эти задачи в последнее время довольно интенсивно изучаются (см., например, [1], [8]), однако интересующие нас задачи теории оболочек пока вовсе не рассматривались. Следует заметить, что, как нам кажется, здесь открывается исключительно широкое поле для теоретических исследований, имеющих практический интерес. [c.200]

Основное различие свойств систем уравнений для сжимаемой и для несжимаемой жидкости состоит в том, что в первой системе не содержится эллиптических уравнений типа уравнения [c.358]

Рассмотренная основная система уравнений плоского напряженного состояния имеет много общего с уравнениями плоского течения газа. Продолжая эту аналогию [100], покажем другой путь преобразования указанной системы уравнения, справедливый как при я/6 < со < 5я/6, когда она принадлежит к гиперболическому типу, так и при О<(ОСя/6, или 5я/6<(о<я, когда она относится к эллиптическому типу. [c.363]

Основное различие свойств систем уравнений для сжимаемой и для несжимаемой жидкости состоит в том, что в первой системе ие содержится эллиптических уравнений типа уравнения (5.27), и, таким образом, система уравнений для невязкой сжимаемой жидкости является чисто гиперболической. [c.358]

Для вязких течений через каналы и сопла с искривленными стенками, локальные радиусы продольной кривизны которых сравнимы с локальными поперечными размерами канала, получены упрощенные уравнения Навье - Стокса, которые имеют эллиптический тип в дозвуковых областях течения и гиперболический тип - в сверхзвуковых. Для полученной системы уравнений разработан новый численный метод эволюционного типа по продольной координате с глобальными итерациями поля направлений линий тока и поля продольного градиента давления. Эффективность метода иллюстрируется на примере решения прямой задачи сопла Лаваля для течения воздуха при числах Рейнольдса Ке и 10 в конических соплах с кривизной горла = 1,0 и 1,6 - кривизна, отнесенная к обратной величине радиуса критического сечения сопла). Для расчета расхода и тяги сопла с точностью 0,01% достаточно двух итераций. [c.61]

Тип системы уравнений определяет особенности постановкп задачи, методы и свойства решения. В случае эллиптической задачи на решение в некоторой точке области оказывают влияние краевые условия, заданные на всей границе области. Прп решении гиперболической задачи возмущения сносятся только вниз по потоку. [c.176]

Предназначен для решения тепловых задач. ТЕКОН представляет собой модульную систему программ со специализированным языком. Обеспечивает решение задач параболического и эллиптического типов. В общем случае ТЕКОН может быть одним из блоков некоторого более общего вычислительного процесса. Названные задачи решаются в произвольных пространственных областях ступенчатого типа,заданных в локально-ортогональных координатах, описываемых с помощью коэффицпентов Ламе. При переходе от исходной системы уравнений к конечно-разностной аппроксимации используется интегро-интерполяционный метод построения разностных схем [79]. Рассматривается класс неявных консервативных разностных представлений. Алгоритмы, реализующие процедуры вычислений по соответствующим схемам, содерл<ат итерационные процессы по нелинейности, сводящиеся к решению систем линейных алгебраических уравнений на каждом шаге. В рассматриваемом ТЕКОНом клас- [c.178]

В принципе численное решение для трехмерного течения газа можно получить путем совместного решения трех уравнений сохранения количества движения для газа, уравнения состояния, уравнений сохранения массы и состава смеси для шести неизвестных Uzy Ur, Uq, р, р, с. Даже с учетом того, что уравнение сохранения энергии не используется, решение такой системы сопряжено с определенными трудностями. Самая большая из них заключается в том, что дифференциальные уравнения в частных производных для газовой фазы — комбинированного параболическо-эллиптического типа, поэтому анализ затруднен из-за сложности решения начальной задачи Коши. Для решения такой системы уравнений, как задачи на отыскание собственных значений, необходимо полное описание неизвестных во всех точках (г, 0) границы с последующей зоной трубок тока. Но степень сгорания топлива на этой нижней границе зоны горения заранее не известна, поэтому неизвестны концентрации распыленной жидкости и скорости жидкости и газа, как и продольное распределение давления. [c.156]

Излагаются методы эффективного построения этих решений и много внимания уделяется обстоятельствам, при которых решения существуют и единственны. Эти вопросы в безмоментной теории решаются нетривиально. Общая линейная краевая задача моментной теории оболочек единообразна она заключается в интегрировании эллиптической системы уравнений с выполнением в каждой точке края (или краев, если область многосвязна) четырех граничных условий. Она всегда имеет единственное решение. Однако при переходе к описанной выше безмоментной краевой задаче картина становится весьма пестрой, так как тип уравнений, подлежащих интегрированию, может оказаться любым (эллиптическим, гиперболическим и параболическим). Различными по своему характеру оказываются и краевые задачи безмоментной теории это могут быть задачи типа Дирихле, задачи типа Коши, а также задачи, не предусмотренные существующей классификацией. К тому же может существовать несоответствие между типом краевой задачи безмоментной теории и типом уравнений, для которых ее надо решать. Например, задачу Дирихле иногда приходится решать для гиперболического уравнения, а задачу Коши — для эллиптического. Все это приводит к тому, что теоремы существования и единственности для краевых задач безмоментной теории формулируются далеко не единообразно и в них вопрос не всегда решается положительно. Однако такая ситуация не свидетельствует о принципиальной порочности самой идеи выделения в самостоятельное рассмотрение краевой задачи безмоментной теории. Каждая из описанных выше странностей краевых задач безмоментной теории свидетельствует об определенных особенностях искомого напряженно-деформированного состояния оболочки. Для широкого класса задач это будет показано в части IV. [c.174]

Рассмотрение итерационных процессов выполнения граничных условий позволяет сделать и некоторые чисто математические заключения. В теории оболочек можно говорить о возмущенной и невозмущенной краевых задачах. Под первой подразумевается интегрирование неупрощенных уравнений с учетом всех (тангенциальных и нетангенциальных) граничных условий, а вторая заключается в интегрировании предельных (при = 0) уравнений с учетом одних тангенциальных условий. Возмущенная краевая задача в теории оболочек всегда представляет собой корректно поставленную задачу типа Дирихле. Однако вырожденная задача теории оболочек может оказаться в том или ином смысле некорректной. В ней может иметь место несовпадение числа граничных условий с порядком уравнений, несоответствие типа уравнений типу краевой задачи (может получиться, например, задача Дирихле для гиперболической системы или задача Коши для эллиптической системы) и т. д. Очевидно, что все такие неправильности невозмущенной задачи оказывают существенное влияние на характер напряженного состояния оболочки, и их полезно иметь в виду при разработке любых подходов к фактическому решению задачи (в том числе и непосредственного счета на ЭЦВМ). Если стать на путь приближенных подходов к решению краевых задач теории оболочек, то здесь результаты настоящего раздела находят непосредственное применение. Исходное приближение каждого из рассмотренных итерационных процессов можно рассматривать как приближенный метод решения соответствующей краевой задачи. Получаемые таким образом результаты при желании можно уточнять, увеличивая количество итераций. [c.272]

Система уравнений (1.4) нелинейна, а теоремы существования и единственности решения задачи с начальными данными на линии параболичности, являющейся характеристикой, известны только для некоторых линейных систем как в гиперболическом, так и в эллиптическом случаях. Целью дальнейшего являются получение в рамках сделанных предположений приближенных представлений для функций Ф и г, получение упрощенного уравнения для X и исследование задач с начальными данными для этого уравнения. При помощи полученного уравнения прежде всего можно, решив его, найти приближенно функцию X. Кроме того, оно будет модельным при решении рассматриваемых задач для системы (1.4). В гиперболическом случае для него удается доказать существование решения. Тип системы (1.4) в окрестности г = О совпадает с типом уравнения для X, так как коэффициенты при вторых производных во всех уравнениях (1.4) одинаковы. [c.116]

Система уравнений равновесия упругого тела в смещениях имеет эллиптический тип [90, 98]. С этим связаны возможности представления ее общего решения в виде комбинаций гармонических или бигармоничес-ких потенциалов [90, 128]. Мы рассмотрим одно из таких представлений, принадлежащее Папковичу и Нейберу, поскольку им удобно пользоваться при анализе и построении оценок решений смешанных задач теории упругости (см. гл. 5-8). [c.81]

Еще раз подчеркнем, что, в отличие от одномерных неустано-вившихся движений газа, система дифференциальных уравнений, описывающая плоские или осесимметричные установившиеся движения, не является гиперболической для всех возможных движений. Эта система гиперболическая в области, где скорость газа сверхзвуковая, и эллиптическая—там, где газ движется с дозвуковой скоростью. Если при движении газа возникают дозвуковые и сверхзвуковые скорости (такие движения называются смешанными или трансзвуко-выми), то система уравнений приобретает смешанный тип эллиптический в одной части области движения и гиперболический — в другой. [c.249]

ДЛЯ системы уравнений (1.35) — (1.37) в переменных Мизеса х, ф и состоит в онределепии параметров течения и линий тока в окрестности оси симметрии т]) = О но заданному распределению ско-рости п = па х) (или давления, или плотности) на оси в общем случае в дозвуковой, трансзвуковой и сверхзвуковой областях сопла. Уравнения газовой динамики имеют в этих областях эллиптический, параболический и гиперболический тип соответственно. Известно, что для эллиптических уравнений задача Коши в общем случае некорректна, т. е. небольшое изменение начальных данных может привести к значительному изменению решения. Представленная нинге разностная схема оказалась пригодной для решения некорректно задачи Коши в силу специальной аппроксимации производных и выбора шагов разностной схемы [149, 150]. [c.84]

Очевидно, все полученные ранее решения урруго-пластнческой задачи будут справедливыми лишь при условии, что контур раздела упругой и пластической зон целиком охватывает круг радиуса R ехр (—р/а,). Для этого везде в решениях достаточно формально заменить р на нуль, а Д —на Rехр (—р/а,). Интересно отметить, что в рассматриваемом случае упруго-пластическая задача обладает всей гаммой типов уравнений в области R г R ехр ( р/о,) определяющая система уравнений гиперболического типа >(два семейства характеристик являются логарифмическими спиралями) в области, заключенной между кругом радиуса R ехр (— р/а,) игра-ниЦей упругой и пластической зон, определяющие уравнения параболического типа (единственное семейство характеристик образовано радиальными прямыми) в упругой области определяющие уравнения эллиптического типа. [c.185]

В ЭТОЙ главе рассматривается задача об обтекании затупленных тел равномерным сверхзвуковым потоком газа. В случае стационарного течения можно выделить три различные области однородный поток до отошедшей ударной волны, дозвуковое течение после ударной волны и сверхзвуковую область между телом и ударной волной. Возникаюндее течение математически описывается нелинейной системой уравнений в частных производных. В этом течении возможно появление неизвестных заранее границ, таких, как ударные волны, волны разрежения и сжатия, локальные дозвуковые зоны, контактные поверхности разрыва. Течение имеет различные физические и математические свойства. В разных областях уравнения движения меняют свои свойства. В дозвуковой области уравнения являются уравнениями эллиптического типа (Aid), а в сверхзвуковой — гиперболического (М>1). Переходная область является трансзвуковой (М 1). [c.196]

В данной работе для вязких смешанных внутренних и внешних течений предлагается новая газодинамическая модель - гиперболическое приближение уравнений Навье-Стокса. Оно основано на системе уравнений гиперболического типа и применимо в широком диапазоне чисел Маха при умеренных и больших числах Рейнольдса. Моделт, построена с использованием специального расщепления продольного градиента давления на гиперболическую и эллиптическую составляющие. Возможности модели демонстрируются на решении тестовых и прикладных задач аэрогидродинамики. [c.32]

Заключение. Для описания вязких внутренних и внешних стационарных смешанных двумерных течений предложена новая система упрощенных уравнений Навье-Стокса гиперболического типа, решения которой близки к решениям систем уравнений эллиптико-гиперболического типа [32, 33]. Она получена на основе более детального по сравнению с [24] расщепления продольного градиента давления на эллиптическую и гиперболическую составляющие. На примере расчета смешанных течений в сопле Лаваля и ударном слое около обтекаемого сверхзвуковым потоком затупленного тела показано, что вклад эллиптической части уравнений полного вязкого ударного слоя [33] и эллиптико-гиперболических уравнений гладкого канала [32] в искомые функции невелик. Определяющий вклад в решение вносит гиперболическая часть системы уравнений. [c.45]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...