Скобки Пуассона и уравнения движения

Скобки Пуассона и уравнения движения. Если в равенствах (8.51) и (8.52) положить F равным гамильтониану Я, то они примут вид [c.282]

СКОБКИ ПУАССОНА И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 283 [c.283]

Свойства интегралов системы канонических уравнений, выражаемые формулами (47), имеют большое значение в теории возмуш,енного движения, позволяя записывать уравнения для элементов возмущенной орбиты снова в канонической форме. С этим обстоятельством мы уже встретились выше, когда, следуя Гамильтону, составляли уравнения (27). Величины определяемые формулами (25), являются скобками Пуассона, и для них Гамильтон установил формулы (47), но с некоторыми ограничениями, о которых говорилось выше. [c.28]

Из равенства (8.79) и (8.80) можно получить ряд интересных выводов. Пусть, например, Lx(q, р) и Ly q, р) будут первыми интегралами уравнений движения. Тогда скобки [L, Н] и [Ly, Н] будут равны нулю, и согласно теореме Пуассона [L, бу- [c.292]

Это показывает, что если такая переменная не содержит явно времени, то, для того чтобы она была интегралом движения, достаточно обращения в нуль скобки Пуассона от этой переменной и от Н. Этот результат дает хороший способ определения интегралов движения вне зависимости от того, будет ли само Н интегралом уравнений движения или нет. [c.111]

Уравнения (1.10) имеют интеграл энергии Я и геометрический интеграл F = f r). В стандартной симплектической структуре dp Adr скобка Пуассона Я, F равна нулю. Пусть д г, г) — первый интеграл классических уравнений движения г = -dV/dr-j--t- Xdf /дг, f r) = О, а G — функция д, представленная с помощью [c.26]

Уравнения (2.3) являются частью гамильтоновой системы, описывающей движение по геодезическим левоинвариантной метрики 1у. Вычислим скобку Пуассона двух функций Г и С, заданных на дуальном пространстве д. Для этого надо рассмотреть гамильтонову систему с гамильтонианом Г и вычислить производную от функции С в силу этой системы. В переменных т,д эти уравнения Гамильтона имеют вид уравнений Четаева (2.2) д [c.28]

Последнее условие совпадает с условием (9.36), поскольку Мх явно от времени не зависит. Следовательно, Мх является интегралом движения канонических уравнений. Составляя скобку Пуассона [Му, Я], аналогично убедимся, что и Му = Муо, Что касается проекции Мг, то она, как нетрудно подсчитать, равна скобке [Мх, Му и согласно теореме Пуассона также сохраняется. [c.399]

Две механические системы с одной степенью свободы каждая имеют гамильтонианы Hi q,p) и H2 q,p) соответственно. Известны конечные уравнения движения q(qo Po t) и p qo Ро t) одной из этих систем. Найти конечные уравнения движения системы с гамильтонианом /(//i, //2), если скобки Пуассона от функций Hi q, р) и Я2(д, р) равны нулю. [c.209]

Соотношение (34.19) называют тождеством коби. Из него вытекает теорема Пуассона, утверждающая, что если функции [ и g являются первыми интегралами уравнений движения, то скобки (/, ) также являются сохраняющейся величиной. [c.197]

Здесь мы пропагандируем свой, достаточно универсальный, способ редукции [10], основанный на представлении уравнений движений в гамильтоновой форме со скобкой Ли-Пуассона [10]. Хотя общее число используемых при этом переменных превосходит размерность редуцированной системы, тем не менее, реальному движению соответствует инвариантное многообразие (определяемое интегралами и инвариантными соотношениями), размерность которого ровно на четыре единицы меньше размерности исходной системы (1.1). [c.31]

Рассмотрим вначале задачу о движении вихрей Кирхгофа, уравнения движения которых в абсолютных координатах уже не имеют канонической формы и представляют собой гамильтонову систему с нелинейными скобками Пуассона. [c.151]

Покажем, что уравнения движения несжимаемой жидкости, переформулированные в терминах завихренности гидродинамического импульса, являются гамильтоновыми, и на фазовом пространстве полей 7, р задаются локальными скобками Пуассона 7г,7 и р, 7 . [c.190]

Здесь К (к) и Е к) — полные эллиптические интегралы первого и второго рода. Тогда уравнения движения в переменных (za,Pa) записываются в гамильтоновой форме относительно введенной скобки Пуассона [c.369]

Канонические координаты для относительного движения в задаче трех вихрей. Представление уравнений относительного движения трех вихрей в гамильтоновой форме со скобкой Ли-Пуассона (3.4) и Ли-алгебраическая классификация позволяют естественным образом определить в этом случае наиболее подходящие канонические переменные. [c.50]

Пуассон (Poisson ) Симеон Дени (П81- ЪА0) — французский математик, механик и физик. Окончил Политехническую школу в Париже (1798 г.). Сформулировал частный случай закона больших чисел и одну из предельных теорем теории вероятностей предложил названное его именем распределение вероятностей случайных величин. Разработал математическую теорию электростатики, обобщил уравнения Навье — Стокса на случай сжимаемой ияэкой жидкости с учетом теплопередачи, обобщил уравнения теории упругости па анизотропные среды, решил ряд задач теории упругости, ввел скобки Пуассона и доказал ряд важных теорем динамики. В теории потенциала изучил носящее его имя уравнение. Доказал устойчивость планетных движений. Написал Курс механики (1811 г.), многократно переиздававшийся. [c.108]

С этой точки зрения идея использования гамильтоновского подхода для создания эффективных асимптотических методов представляется весьма привлекательной. Эта идея исходит из того, что любая гамильтоновская формулировка уравнений движения предполагает задание двух непременных атрибутов скобки Пуассона и гамильтониана системы. Причем, если гамильтониан системы фиксирует в фазовом пространстве гиперповерхность, на которой лежит динамическая траектория системы, то скобка Пуассона определяет в качестве своих аннуляторов все остальные инварианты движения. По существу, это означает, что в скобках Пуассона содержится вся информация относительно внутренних свойств симметрии, ответственных за динамическую индивидуальность системы. Поэтому, если мы хотим избежать потери этих свойств, мы должны использовать только такие приближения, которые не затрагивают скобки Пуассона. Таким образом, объектом приближений может быть только одна величина — гамильтониан системы. [c.180]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

В этой исключительно ясно и просто написанной работе дается законченное изложение всех вопросов, связанных с задачами канонических преобразований и с задачей интегрирования уравнений Гамильтона методом отыскания полного интеграла. Обпще положения развиваемой им теории Донкин прилагав к установлению уравнений теории возмущенного движения. В своем изложении предмета Донкин широко пользуется функциональными определителями и скобками Пуассона, устанавливая для них новые соотношения и формулируя получаемые теоремы с помощью этих скобок. [c.26]

Замечание 2. Закон сохранения вектора момента относительно пространства можно выразить, сказав, что каждая компонента этого вектора в какой-либо системе координат на пространстве 9 сохраняется. Мы получаем, таким образом, множество первых интегралов уравнений движения твердого тела. В частности, каждому элементу алгебры Ли g соответствует линейная функция на пространстве g и, следовательно, первый интеграл. Скобки Пуассона первых интегралов, заданных функциями на д, как легко сосчитать, сами будут функциями на д. Мы получаем, таким образом, (бесконечномерное) расширение алгебры Ли д, состояп].ее из всевозможных функций на д. Сама алгебра Ли д вложена в это расширение как алгебра Ли линейных функций на д. Конечно, функционально независимы из всех этих первых интегралов фазового потока в 2п-мерном пространстве только п штук. В качестве п независимых интегралов можно взять, например, п линейных функций на д, образующих базис в д. [c.292]

Симплектическое слоепие. Обобщение теоремы Дарбу. Если скобка Пуассона является вырожденной, то пуассоново многообразие (фазовое пространство) расслаивается на симплектические слои листы), ограничение пуассоновой структуры на которые уже невырождено. Эти слои, как правило, представляют собой общий уровень всех функций Казимира. На слое справедлива теорема Дарбу и каноническая форма уравнений движения. Однако для приложений сведение к такой системе не всегда бывает необходимым, поскольку как правило, ведет к потере алгебраичности дифференциальных уравнений и ограничениям в использовании геометрических и топологических методов исследования. [c.31]

Если гамильтониан Н зависит от координат, но удается выбрать избыточные координаты так, что все компоненты левоинвариантных полей v ( ) линейны по q, то скобка (2.13) становится обычной скобкой Ли-Пуассона, а все геометрические зависимости для избыточных переменных будут ее функциями Казимира или инвариантными соотношениями. Этого можно добиться, если воспользоваться матричной реализацией группы Ли, а в качестве избыточных кооординат выбрать компоненты ее матриц. Полученная в этом случае структура Ли-Пуассона соответствует полупрямой сумме g К , где К — пространство матриц п х п, g — алгебра Ли данной группы, и называется естественной канонической структурой кокасателъ-ного расслоения к группе Ли. Таким способом могут быть получены, например, уравнения движения твердого тела в направляющих косинусах и моментах (см. 4). Матричная реализация групп Ли используется также в динамике многомерного твердого тела [24, 31]. [c.37]

Кватернионные уравнения динамики твердого тела ( 4 гл. 1) могут быть записаны на скобке Пуассона, определяемой алгеброй е(4). Точнее, речь идет об одной сингулярной орбите е(4), имеющей также важное значение в многомерной динамике твердого тела. В последнем случае необходимо рассматривать сингулярные орбиты е(п). В частности, большинство результатов об аналогии между динамикой материальной точки на п-мер-ных сферах б" или эллипсоидах (п 2) в потенциальных полях и движении твердого тела (вообще говоря, п-мерного тела в потенциальном поле) получаются именно при ограничении динамики твердого тела на эту орбиту. Отметим, что к классу задач, связанных с движением материальных точек на б" , относится небесная механика в пространствах постоянной кривизны [31]. [c.281]

Н, P -ZTsXs, Ру = ЪТ,у М = 2Г.(х5 + //)/2 здесь Г, —интенсивность s-ro вихря. Легко сосчитать их скобки Пуассона Р. Я, =—2Г Рх, М)=—Ру, Ру, М =Рх. Следовательно, задача п вихрей вполне интегрируема при п З. Случай тривиален, при п = 2 независимыми коммутирующими интегралами являются, например, функции Н к М, при п=3 —функции Н, М и Рх +Ру - В задаче четырех вихрей независимых интегралов равно столько, сколько степеней свободы, однако они не все коммутируют. Можно, однако, показать, что если сумма интенсивностей вихрей равна нулю, то решения уравнений движения с нулевыми постоянными интегралов Я, и Я, можно найти в квадратурах. [c.138]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...