Пуассона уравнение трехмерное

В большинстве работ по теплопередаче дается краткое изложение этого метода с точки зрения теории теплопроводности. Подробно он рассмотрен в работе [1]. Хорошее краткое введение в метод дано в [33]. В работе [34] рассматривается решение уравнения Пуассона для трехмерного случая. Совместное использование релаксационных методов и интегральных преобразований излагается в [35]. Применение релаксационных методов к задачам со скрытой теплотой рассмотрено в [36]. [c.465]

Полученные Пуассоном и Остроградским результаты содержат математическое обоснование положения, обобщающего схему и выводы Гюйгенса, изложенные в первой главе Трактата о свете (см. выше, стр. 256—260). Первоначальное возмущение (источник) может быть не точечным, оно может захватывать трехмерную область, но оно остается, условно говоря, импульсивным — оно относится к определенному моменту времени. Если поведение среды описывается дифференциальными уравнениями типа волнового (волновое уравнение, которое рассматривал Пуассон в работе 1819 г., соответствует одномерному — скалярному случаю, система уравнений теории упругости, изучавшаяся Остроградским и Пуассоном, соответствует трехмерному — векторному случаю), то при отсутствии границ существует решение этих уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям и описывающее процесс распространения начального возмущения в среде. Этот процесс происходит с определенной скоростью, и в каждый данный момент в возмущенном состоянии находится только вполне определенная область среды. Любая точка среды находится в таком состоянии в течение вполне определенного конечного промежутка времени At, и в течение этого времени она является [c.275]

Для того чтобы разобраться в рассуждениях и определениях, относящихся к задачам теории упругости в наиболее общей постановке, иллюстрируем основные идеи на примере более простых задач —для уравнения Лапласа и Пуассона в плоских и трехмерных областях. [c.86]

Данная модель аналогична модели Эвальда. Для нахождения энергии кристалла решают уравнение Пуассона (2.25), представляя предварительно плотность р в виде трехмерного ряда Фурье. Для повышения сходимости этого ряда в местах расположения точечных ионов добавляют гауссовы шапки отрицательных и положительных зарядов, имеющих вид (2.30).. [c.39]

Уравнение (6-31) является трехмерным дифференциальным уравнением электрических напряжений проводящей среды со стоками и источниками. Поскольку оно получено для произвольной узловой точки решетчатой области электрической схемы, то оно в одинаковой мере справедливо для всей рассматриваемой области. Частными выражениями уравнения (6-31) будут Уравнение Пуассона ( э = 0) [c.217]

Первый подход заключался в разложении искомых величин смещений и напряжений в ряды по степеням вырожденной координаты, т. е. вдоль направления наименьшего характерного размера тела, и подстановке этих разложений в трехмерные уравнения. Таким способом Пуассон (1829) вывел уравнения продольных, поперечных и крутильных колебаний круглого стержня, совпадающие с элементарными. Уравнения продольных и поперечных колебаний пластины получены Коши (1828) и Пуассоном (1828). [c.14]

Некоторое представление о физических условиях, которые определяют, насколько будет аккуратным это предположение в каком-либо частном случае, можно получить из следующего обсуждения. В общем случае в поперечном направлении будут возникать Деформации Ez, что обусловлено главным образом влиянием коэффициента Пуассона при возникновении напряжений а и а . Если деформации Кг равны нулю и постоянны по всему листу, так что как внешние, так и остальные поверхности, параллельные срединной поверхности, остаются плоскими, то нетрудно увидеть, что если удовлетворяются уравнения равновесия и условия сплошности в направлениях осей ж и у, то уравнения равновесия и условия сплошности можно удовлетворить и в направлении оси Z, если напряжения а и Oyz равны нулю, а напряжения а, Оу и Оху равномерно распределены по толщине, как и было предположено ранее ниже будет показано, что в подобном случае это предположение представляет собой точное решение трехмерной задачи. [c.140]

Множество инженерных задач, связанных, в частности, с медленным стационарным обтеканием корпуса корабля, стационарной фильтрацией подземных вод, возникновением поля вокруг электромагнита, а также стационарного электрического поля в окрестности фарфорового изолятора или заглубленного в землю электрического кабеля переменного поперечного сечения, сводится к решению трехмерных уравнений Лапласа или Пуассона. Соответствующее дифференциальное уравнение в системе координат Xi с осями, направленными вдоль главных осей тензора проводимости , в случае однородной среды принимает вид [c.143]

Гутман С. Г., Решение уравнений Пуассона и Гельмгольца для двухмерной области на трехмерных моделях электрического потенциала, Научные доклады Высшей школы, Энергетика , вып. 1, 1958. [c.380]

Переход от трехмерных задач к двумерным в указанных выше уравнениях может быть также осуществлен путем усреднения. Рассмотрим, например, частную задачу о течении в прямоугольном канале постоянного сечения, когда, как в п. 4, V = (г ,0,0), на стенках выполнено условие прилипания и магнитное поле имеет только компоненты Вх, В , зависящие от х, z. После усреднения вместо уравнения (5.4) получим двумерное уравнение Пуассона, а вместо двух условий (5.7) - одно [c.533]

Следовательно, на каждом шаге по времени необходимо решить три трехмерных уравнения Пуассона. [c.312]

В (V, Р)-системе необходимо решить одно трехмерное уравнение Пуассона У Р = Зр с граничными условиями Неймана на всех границах, тогда как в (я 5, )-системе необходимо решить три трехмерных уравнения Пуассона Однако в за- [c.312]

Существенные результаты получил Леонид Николаевич по теории волн конечной амплитуды путем разработанного им метода совместного применения переменных Эйлера и Лагранжа (1953, 1954, 1955 гг.). Он впервые указал алгоритм, позволяющий решать в любом приближении задачу о динамике трехмерных установившихся волн конечной амплитуды, и внес важное усовершенствование в известный второй метод Стокса, показав, что определение волн возможно путем решения бесконечной системы кубических уравнений ( Об одном методе определения волн конечной амплитуды , 1952 г.). Им рассмотрены задачи Коши — Пуассона для волн конечной амплитуды (1960, 1961 гг.) и образование волн конечной амплитуды источником жидкости (1965 г.). [c.12]

Для вычисления тока/ из (14.31) нужно знать плотность электронов п (г, в, о ) в трехмерном пространстве. Для определения можно было бы решить трехмерное уравнение Пуассона, однако требуемые для этого затраты памяти и времени счета будут недопустимо большими. Альтернативой указанному неэкономному подходу могло бы стать построение такого приближения к уравнению (14.31), которое позволило бы определять из решений двумерного уравнения Пуассона. Подобные решения эффективно вычисляются и при = О дают точные распределения электронов. Затем предполагаем, что для малых значений распределение электронов не зависит от Кис- Распределение электронов, полученное при = О, подставляем в (14.31) для вычисления при малых значениях [c.380]

Расчет слоистых пластин на основе уравнений трехмерной теории упругости связан с большими математическими трудностями, и число, работ, выполненных в этом направлении, сравнительно невелико. Среди,ранних работ такого рода следует отметить статью Шайла [126], который рассмотрел статическое нагружение круглой пластины из двух изотропных слоев. Он использовал метод двух функций напряжений и предполагал, что распределение модуля упругости и коэффициента Пуассона по толщине описывается произвольными (в том числе и разрывными) Фзшкциями нормальной координаты. Впоследствии Шайл [127] предложил другой метод решения этой задачи, основанный на [c.195]

Значит, если для решения уравнения Пуассона в трехмерном случае применяются прямые методы, то предпочтение следует отдать (V, Р)-системе. Преимущество (V, Р)-системы еще больше увеличилось бы, если бы для ее решения удалось разработать неявные методы. В то же время Азиз и Хеллумс [1967] продемонстрировали возможности (1)5, )-системы в случае пространственных течений, рассчитав довольно большую задачу (11X11X11) на вычислительной машине средней мощности. [c.313]

Существование и единственность решения задачи для нелинейных уравнений осесимметричного движения газа в турбомашине в общем виде не доказаны. Однако можно высказать некоторые соображения в пользу положительного решения этого вопроса. Прежде всего существование решения очевидно из физических соображений даже для самой обшей (трехмерной) постановки. Единственность решения линеаризованных (в отношении производных) уравнений очевидна, так как они сводятся к квазилинейному эллиптическому уравнению типа уравнения Пуассона. Нелинейность уравнений существенно связана с множителем р в уравнении неразрывности, а также с производными от р (т. е. с и 7 ) в уравнении вихрей. Для частного случая линейных уравнений с р = onst up — onst, который отвечает течению несжимаемой жидкости только через неподвижные решетки (ш = 0), существование и единственность решения следуют из тех же свойств, доказанных для более общей задачи трехмерного движения. Нелинейность, зависящая от производных от р, вообше очень слабая. Она связана со смещением линий тока (вдоль которых р постоянно или является известной функцией). В предположении непрерывной зависимости формы линий тока от значений р у задаваемых в виде гладкой функции поперек входного сечения, а также от величины угловой скорости ш (такая зависимость, безусловно, должна быть непрерывной в силу эллиптичности уравнений с гладкими коэффициентами) можно определенно утверждать единственность решения нелинейных уравнений, по крайней мере, для достаточно малых областей А или для достаточно малых [c.303]

Для установления дифференциальных уравнений равновесия воспользуемся принципом возможных перемещений [207]. Вариационные принципы открывают естественный путь для сведения трехмерных задач механики сплошных сред к двумерным задачам теории пластин и оболочек. Их использование позволяет установить систему обобщенных внутренних усилий, соответствующую независимым обобщенным кинематическим параметрам конечносдвиговой слоистой оболочечной системы и получить корректные уравнения ее равновесия. Вместе с ними устанавливаются кинематические и естественные граничные условия задачи. Дифференциальные уравнения и краевые условия получаются из вариационного принципа путем применения формальной математической процедуры, что важно, поскольку корректное использование формального аналитического метода позволяет избежать ошибочных формулировок, которые могли бы возникнуть при составлении уравнений равновесия и краевых условий методами элементарной статики. Анализ публикаций, посвященных неклассическим моделям деформирования многослойных оболочек, выявляет многочистенные примеры таких формулировок [8, 9, 215, 250, 253 и др.]. Укажем также и на известный [301 ] классический пример такого рода — условие Пуассона на свободном крае. [c.47]

Этот результат Пуассона (обобщенный им в той же работе на другие виды линейных уравнений в частных производных второго порядка гиперболического типа с постоянными коэффициентами) был наиболее крупным достижением теории колебаний и волн, полученным после XVIII в. ведь даже Лагранж должен был признать (например, в Аналитической механике ), что у него нет подхода к интегрированию волнового уравнения в дву- и трехмерном случаях. Но в 1819 г. Пуассон не располагал еще общими уравнениями теории упругости и не искал применений своих математических результатов в этом направлении. [c.274]

Если в пластической зоне деформации г" становятся преобладающими, то в этой области V приближается к /г Упругая зона должна быть окружена слоем материала, в котором коэффициент Пуассона меняется в интервале значений от v = Vз (для стали), соответствующих чисто упругим деформациям, до значения =72- Хотя предшествующие замечания можно отнести в первую очередь к более простым случаям частичной текучести, как, например, к изгибу балок и др., здесь все же вновь следует указать на то, что если составляющие напряжений, вызывающие течение элементов материала, изменяются в процессе пластического деформирования, то упруго-пластические зависимости (28.38) между напряжениями и деформациями в конечной форме следует заменить соответствующими зависимостями для бесконечно малых приращений деформации. Это имеет место, когда пластическая зона продвигается через тело, неся с собой собственное поле напряжений (хотя в некоторых более простых приложениях главные направления напряжений и не претерпевают поворота в элементах материала). В таких задачах следует рассматривать приращения полной деформации, которые равны суммам приращений их уирз той и пластической частей, для чего необходимо шаг за шагом интегрировать все зависимости между напряжениями и деформациями (помимо интегрирования других уравнений). Ход соответствующих выкладок указан в статье Р. Хилла, Е. Ли, С. Таппера ). К. Свейнгер распространил интегрирование бесконечно малых приращений полной деформации на случай металла, обладающего упрочнением. Он имел дело в одном случае с малыми ), в другом —с конечными ) деформациями и предполагал, что можно упростить вычисления для трехмерного однородного напряженного состояния, заменив кривую [c.481]

Физик о-т опологические модели транзистора наиболее точные и универсальные. В зависимости от того, по скольким координатам рассматриваются физические процессы, модели делятся на одно-, двух- и трехмерные. Физические процессы в полупроводнике описываются системой дифференциальных уравнений в частных производных, включающей уравнения непрерывности для электронов и дырок и уравнение Пуассона [8] [c.131]

В случае ядерного вещества [3.18] трехмерные уравнения (3,83), (3.84) также имеют мультисолитонное решение, что соответствует ядру, состоящему из нескольких нуклонов. При этом систему уравнений следует дополнить соответствующим числу нуклонов условием нормировки и принципом Паули. При больших энергиях рЕ >1) первым членом в (3.84) можно пренебречь, и тогда вместе с условиями нормировки получаем уравнение, описывающее кулоновское самовоздействие волновой функции. В этом случае уравнение (3.84) есть уравнение Пуассона. [c.68]

На разностной сетке в методе маркеров и ячеек составляющая скорости W определяется в точке (i,j,k /2) и т. д. Для трехмерного уравненпя Пуассона также ставятся граничные условия Неймана введение дополнительной пространственной переменной существенно снижает скорость сходимости, и в связи с этим желательно рассчитывать решение при помощи прямых методов. Даже в этом случае время, необходимое для решения задачи, очень велико. Здесь большое значение приобретают контрольные и пробные расчеты на грубой сетке. Например, Уильямс [1969] для конвективных членов применял схему Аракавы (разд. 3.1.21) и прямой метод для решения уравнения Пуассона, что позволило сократить время решения этого уравнения до 25% от общего времени решения всей задачи. На машине UNIVA 1108 для расчета одного слоя по времени потребовалось 2 секунды на сетке ИХ 14X 14 и 96 секунд на сетке [c.310]

Сравнительно простое условие равенства градиента нулю. Если уравнение Пуассона решается при помоши итерационных методов (как в работе Азиза и Хеллумса [1967]), то, как показывает опыт расчетов в плоском случае, для решения трех уравнений = — с некоторыми условиями Дирихле потребуется меньше времени, чем для решения одного уравнения У Р = 8р с условиями Неймана на всех границах. Если же применяются прямые методы (что более вероятно), то для написания программы для (г1з, 5)-системы потребуется меньше времени, поскольку граничные условия в этом случае проше, но время решения уравнений Пуассона в случае (V, Р) системы будет по-видимому, меньше. Кроме того, в памяти ЭВМ необходимо хранить только, четыре трехмерных массива в случае (V, Р)-системы и шесть таких массивов в случае (г з, 5)-системы. [c.313]

В каждом случае рассматривается двумерное уравнение второго порядка, скажем уравнение Пуассона —Аы = /. Большей частью оно берется для удобства и простоты описания для нескольких неизвестных и трехмерного пространства изменения незначительны. Для чистой задачи Дирихле или Неймана высокого порядка, например для пластины с закрепленными или [c.226]

Для вычисления с помошью (14.35) и (14.36) нужно знать функцию к г, в, и>), описывающую распределение потенциала (г, 0, с ) в трехмерном пространстве. Если рассматривается область низких напряжений в канале, то относительно уравнения (14.36) можно сделать предположение, позволяющее определять из двумерных, решений уравнения Пуассона. Это предположение заключается в том, что Ф полагается не зависящим от и>, а к получается из решения уравнения Пуассона в двумерной плоскости г - при со = О, Тогда из (14.36) для 2 // получаем [c.381]

Указанные трудности можно свести к минимуму, выбрав такую схему с весами , которая не зависит от способа соединения узлов. Для этого любой бесконечно малый участок внутри треугольника соотносится с ближайшим из узлов данного треугольника. Таким образом, порции площади элемента, соотносимые с каждым узлом, образуются перпендикулярами, проведенными через середины сторон треугольника (рис. 16.2). Метод не зависит от расположения треугольников, а погрешность, возникающая из-за редко встречающихся тупоугольных треугольников, мала. На рис. 16.1, б показано применение метода на границе раздела окисел—полупроводник. Веса узлов 1 и 2 (т. е. отнесенные к ним площади) равны А, и теперь решение уравнения Пуассона будет отражать присущую задаче планарную симметрию. Для трехмерного призматического элемента объем, соотносимый с каждым узлом, раврн произведению соответствующей этому узлу части треугольного основания и половины высоты элемента. [c.466]

В (V, Р) -системе необходимо решить одно трехмерное уравнение Пуассона У Р = с граничными условиями Неймана на всех границах, тогда как в (1 ), )-системе необходимо решить три трехмерных уравнения Пуассона == —Однако в задаче о естественной конвекции, которую рассматривали Азиз и Хеллумс [1967], для каждого из этих трех уравнений Пуассона вдоль двух границ ставятся условия Дирихле, а вдоль третьей — [c.312]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...