Обобщение принципа стационарности

Обобщение принципа стационарного действия. Рассмотрим любую лагранжеву систему (31) с кинетическим потенциалом й, не зависящим от t. В динамическом случае (консервативном), как известно, имеем [c.431]

В этом заключении мы имеем обобщение принципа стационарного действия на лагранжевы системы с кинетическим потенциалом q), не зависящим от времени, но в остальном произвольного вида. [c.433]

Обобщение принципа стационарности потенциальной энергии [c.95]

Обобщение принципа стационарности потенциальной энергии также производится непосредственно. Ограничимся записью одного из его обобщений [c.117]

Этот принцип является обобщением принципа стационарности потенциальной энергии (3,68) на динамические задачи. Его можно обобщить и далее аналогично тому, как это делалось в 3.9. [c.142]

Теперь рассмотрим обобщение принципа стационарности потенциальной энергии [13]. С помощью обычной процедуры выпишем расширенный функционал (7.45) [c.191]

Обобщение принципа можно продолжить, считая, что не только при активном нагружении, но и при выдержках конструкция делится на те же две части — упругую и неупругую, находящуюся в состоянии стационарной ползучести. Выражения (8.75), (8.76) можно рассматривать как неявное, параметрическое выражение функции = == Q ( ф, й), дифференцирование которого позволяет найти при известных Q и и [c.201]

В теории конечных деформаций упругого тела принцип виртуальной работы приводит к установлению принципа стационарности потенциальной энергии при условии, что существуют функция энергии деформации материала тела и функции потенциалов внешних сил. Как только принцип стационарности потенциальной энергии установлен, он может быть обобщен с использованием множителей Лагранжа. [c.19]

Некоторые другие вариационные принципы можно вывести из обобщенного принципа [22]. Здесь будет выведен функционал для принципа стационарности дополнительной энергии. Показано, что исключение компонент деформаций с помощью (2.67) и использова-3 [c.67]

Очевидно, что принцип стационарности потенциальной энергии, выведенный в 3.8, можно обобщить с использованием принципа множителей Лагранжа. Применяя аналогичную методику, получаем обобщенный функционал в виде [c.95]

Принцип стационарности потенциальной энергии и его обобщения [c.116]

Принцип стационарности потенциальной энергии можно обобщить с помощью обычных процедур. Например, можно показать, что функционал для обобщенного принципа имеет вид [c.134]

Далее рассмотрим вариационные формулировки задачи. Следуя рассуждениям, аналогичным тем, которые проводились в теории малых перемещений, запишем принцип стационарности потенциальной энергии (см. задачу 9, а также 17.4), из которого получим обобщенное выражение Hi [c.232]

Будем считать, что д т имеет такую форму, как показано на рис. 17.1. Далее, используя условия стационарности, часть из которых дается формулами (17.66), исключим из Пох множители Лагранжа / , Ry, Pi, Р и Рз для вывода функционала второго обобщенного принципа ) [c.410]

Пользуясь этой формулой, можно свернуть левую часть уравнения (3.38). Прежде, чем это сделать, проведем такие же, как при выводе уравнения (3.30), преобразования в первом и третьем интегралах уравнения (3.38). Тогда получим искомое вариационное уравнение принципа возможных изменений напряженного и деформированного состояний, обобщенного на стационарные быстрые течения с неизвестной протяженностью очага деформации [c.95]

Далее, принцип виртуальных перемещений обычно применяют к стационарным системам. В общем случае приложенные к точкам системы силы зависят от Т, (р — 1, , Тогда, кроме существования равновесного решения, предполагается равенство нулю виртуальной работы на этом решении для каждого момента времени [10]. Приведенное в [13, 14] доказательство соответствующего обобщения принципа повторяет классическое [2, 7-9]. [c.36]

Принцип возможных перемещений позволяет дать обобщение принципа равновесия тяжелых тел, предложенного Торричелли, согласно которому центр тяжести системы тяжелых тел, находящихся в равновесии, занимает наинизшее из возможных положение. Из принципа возможных перемещений нетрудно получить, что при равновесии центр тяжести системы тел занимает стационарное положение. Этот принцип позволяет упростить исследование задачи о равновесии. [c.10]

При совместном использовании синхронных и асинхронных вариаций получен расширенный аналог (обобщение) центрального уравнения Лагранжа. На основе этого уравнения составлено интегральное равенство (называемое здесь центральным интегральным равенством), связывающее действие по Лагранжу и действие по Гамильтону. Полученное интегральное равенство позволяет находить синхронные и асинхронные вариации действия при различных вариантах задания условий варьирования концевых точек траектории. Из центрального интегрального равенства как частные случаи следуют классические принципы стационарного действия и другие интегральные выражения изменения действия при варьировании. [c.106]

Задача об устойчивости заданного движения материальной системы может рассматриваться с различных точек зрения. Речь может идти, во-первых, о разыскании оценок отклонений обобщенных координат и обобщенных скоростей от их значений в опорном движении в любой момент времени, когда начальные возмущения достаточно малы. Об основывающемся на этом воззрении определении устойчивости движения по Ляпунову кратко говорилось в п. 11.10, а составлению уравнений возмущенного движения — уравнений в вариациях — были посвящены пп. 11.14—11.17. Во-вторых, может рассматриваться лишь орбитальная устойчивость, когда вопрос о протекании во времени возмущенного движения отодвигается на второй план, а изучаются лишь траектории возмущенного движения и устанавливаются критерии их близости к опорной траектории. При этом часто, ограничивая постановку задачи, рассматривают только консервативные возмущения — такие, при которых на возмущенных траекториях сохраняется то же самое значение постоянной энергии /г, что и на опорной траектории. Принцип стационарного действия Лагранжа оказывается при этой постановке задачи наиболее приспособленным методом исследования орбитальной устойчивости, поскольку траекториями как опорного, так и возмущенного движений являются геодезические линии многообразия / элемента действия, т. е. простейшие геометрические [c.721]

С формальной точки зрения принцип стационарного действия в форме (10.2) совпадает с задачей вариационного исчисления. Однако, имея внешнее сходство, они различаются по существу, а именно в механике под символом б понимают виртуальную вариацию, т. е. не произвольное бесконечно малое изменение, а смещение, совместимое со связями, наложенными на систему. Отсюда следует, что лишь для голономной системы, число степеней свободы которой совпадает с числом обобщенных координат, виртуальные вариации являются произвольными и принцип стационарного действия (10.2) полностью совпадает] с соответствующей задачей вариационного исчисления. Существенное различие возникает для систем с неголономными связями, когда вариации обобщенных координат связаны дополнительными соотношениями [c.178]

Устойчивость стационарных состояний системы обеспечивается положительным приростом производства энтропии в системе по отношению к минимальному производству ее в стационарном состоянии. Следовательно, любое самопроизвольное отклонение системы от стационарного состояния будет подавляться внутренними потоками, возвращающими систему в начальное состояние. Этот вывод, по существу, выражает обобщение принципа Ле Шателье па случай стационарных состояний [9, 15]. [c.61]

Принцип ВОЗМОЖНЫХ перемещений в обобщенных координатах формулируется так для равновесия системы материальных точек, подчиненной идеальным и стационарным связям, необходимо и достаточно, чтобы сумма работ обобщенных сил на соответствующих обобщенных возможных перемещениях системы равнялась нулю [c.456]

Формулировка и рещение задачи в рамках линейной неравновесной термодинамики состоит в следующем. Необходимо написать уравнение (8.22) для плотности потока через измеряемые на опыте величины, решить его для условий стационарного или нестационарного течения процесса, проанализировать решение и получить вытекающие из него следствия. Для этого необходимо вычислить обобщенные термодинамические силы определить, используя принцип Кюри, число перекрестных феноменологических коэффициентов, найти значение прямых и перекрестных коэффициентов. Существенную помощь при этом могут оказать свойства функции диссипации, рассмотренные выше. [c.204]

Введение. Принцип наименьшего действия и его обобщение, произведенное Гамильтоном, переводят задачу механики в область вариационного исчисления. Уравнения движения Лагранжа, вытекающие из стационарности некоторого определенного интеграла, являются основными дифференциальными уравнениями теоретической механики. И тем не менее мы еще не достигли конца пути. Функция Лагранжа квадратична по скоростям. Гамильтон обнаружил замечательное преобразование, делающее функцию Лагранжа линейной по скоростям при одновременном удвоении числа механических переменных. Это преобразование применимо не только к специальному виду функции Лагранжа, встречающемуся в механике. Преобразование Гамильтона сводит все лагранжевы задачи к особенно простой форме, названной Якоби канонической формой. Первоначальные п дифференциальных лагранжевых уравнений второго порядка заменяются при этом 2га дифференциальными уравнениями первого порядка, так называемыми каноническими уравнениями , которые замечательны своей простой и симметричной структурой. Открытие этих дифференциальных уравнений ознаменовало собой начало новой эры в развитии теоретической механики. [c.190]

Применяя принцип, сформулированный им в 1834—1835 гг., Гамильтон исходил из допущения, что система может быть и несвободна, но кинетическая энергия является однородной функцией второго порядка от обобщенных скоростей. Таким образом, он неявно предполагал стационарность связей. М. В. Остроградский получил тот же принцип в 1848 г., не налагая этих ограничений, а рассмотрев связанную с ним вариационную проблему в более общем виде ). Поэтому рассматриваемый принцип получил название принципа Гамильтона—Остроградского. [c.829]

Принцип возможных перемещений Обобщенные силы. Принцип возможных перемещений ) формулируется так механическая система, на точки которой наложены стационарные, удерживающие и идеальные связи, находится в равновесии тогда и только тогда, когда сумма возможных работ всех активных сил, приложенных к точкам системы, при любом возможном перемещении системы равна нулю. Аналитически этот принцип записывается так [c.19]

ИЛИ элемента конструкции в широком диапазоне чисел циклов (в области мало- и многоцикловой усталости) анализ и обобщение статистических закономерностей усталости" при стационарном, программном и случайном нагружениях развитие основных принципов механики разрушения иа случай циклического деформирования в упругой и упругопластической областях разработку моделей циклически деформируемой среды и построение на их основе кривых деформирования и разрушения углубление анализа взаимодействия циклических, статических и длительных статических повреждений переход к систематическим циклическим испытаниям моделей и реальных конструкций. [c.24]

Широко распространенным и достаточно эффективным методом теоретического исследования теплопроводности капиллярно-пористых тел и дисперсных сред является использование для этой цели принципа обобщенной проводимости [Л. 5-35, 5-36), базирующегося на аналогии между дифференциальными уравнениями стационарного потока теплоты, электрического тока, электрической и магнитной индукции, потока массы. Такая аналогия дает возможность использовать для расчета тепловой проводимости системы основные соотношения электростатики и электродинамики. [c.345]

Теперь рассмотрим обобщение принципа стационарности по тенциальной энергии [18]. С помощью обычной процедуры функ ционал (7.87) обобщается следующим образом [c.197]

Из-за авторского предпочтения приближенные уравнения задачи теории упругости будут часто выводиться из принципа виртуальной работы, поскольку он остается справедливым независимо от соотношений напряжения — деформации и суш,ество-вания потенциальных функций. Приближенный метод решения, использующий принцип виртуальной работы, будет называться обобш.енным методом Галеркина ). Для консервативных задач теории упругости результаты, получаемые с помощью сочетания принципа виртуальной работы и обобщенного метода Галеркина, эквивалентны результатам, получаемым с помощью сочетания принципа стационарности потенциальной энергии и метода Ре-лея—Ритца. [c.21]

Как только принцип стационарности потенциальной энергии получен, он может быть обобщен с применением правила множителей Лагранжа. Ниже приведено лишь выражение для Ilit [c.132]

Mi4, Л 2, Qjj, Mia, i. i> 01. i. i и 0f без дополнительных условий. Физический смысл величин Uj, Uj, 0 и Ug, i 2, 02 состоит в том, что они являются компонентами перемещений в направлениях осей X и у и узлами поворота по часовой стрелке узлов 1 и 2 соответственно. Выражение (10.66) можно рассматривать как обобщение принципа Хеллингера—Рейсснера на рамные конструкции. Если механические величины N-i ,. .. и Mj, исключить из (10.66) с помощью условий стационарности [c.304]

Итак, пусть сплошное тело мысленно разбито на конечные элементы, как указано в 13.3, и при формулировке метода конечных элементов рассматривается как совокупность этих элементов. В этом параграфе рассмотрим вариационные принципы, которые обычно используются в МКЭ. Для этого проследим в табл. 14.1 вывод вариационных принципов, начиная с принципа стационарности потенциальной энергии, последовательно выводя модифицированный принцип потенциальной энергии, модифицированный обобщенный принцип и кончая модифицированным принципом Хеллингера — Рейсснера. [c.363]

Первый подход предложил Л. М. Зубов [71. В этом подходе принцип стационарности потенциальной энергии был обобщен с использованием тензоров напряжений Пиолы ) и тензоров градиентов перемещений. Второй подход предложил Фрайш де Вебеке 181. Его формулировка основана на теореме о полярном разложении матрицы Якоби. В подходе использованы технические тензоры деформаций и сопряженные с ними тензоры напряжений, которые рассматриваются как функции тензоров напряжений Пиолы и материальных вращений. Таким образом, функционал [c.368]

Здесь мы проследим по табл. 15.1 только путь вывода вариационных принципов из принципа виртуальной работы, выводя принцип Гамильтона, обобщенный принцип, принцип Хеллин-гера — Рейсснера н заканчивая принципом стационарности дополнительной энергии. Другие способы преобразований, при которых получаются модифицированные принципы со смягченными условиями непрерывности, читатели могут найтн в работах [4—61. [c.372]

Можно доказать эквивалентность Наы из (17.37) и Наы из (17.44), заметив, что использование условий стационарности Наы по И) и с целью исключения w и ф т (17.44) сводит Яаь к Наы- Итак, заменяя Наы на Ядьг- получаем другой модифицированный обобщенный принцип, выражая в следующем виде [c.406]

Показано, что интегральное равенство обобщённого принципа Гёльдера справедливо также для кривых сравнения, полученных варьированием по Гельмгольцу. Принцип Гамильтона-Остроградского и принцип стационарного действия Лагранжа выводятся как частные случаи. Предложено новое обобщение принципа Гёльдера [17. [c.118]

Как и в случае конечномерных динамических систем, в области задач об оптимальном управлении системами с распределенными параметрами сохраняют полную работоспособность усовершенствованные методы классического вариационного исчисления. При этом и здесь основное внимание было уделено составлению необходимых условий минимума для экстремальных задач со связями, трактуемыми как проблема Майера — Больца. Главным образом это было сделано для задач, связанных с уравнениями эллиптического типа. Было показано, что в таких типичных задачах, возникающих из проблем оптимального управления, необходимые условия стационарности (уравнение Эйлера и естественные граничные условия, а также условия Вейерштрасса Эрдманна) составляются при помощи обычных приемов. Критерии опираются снова на множители Лагранжа которые здесь зависят уже обычно от пространственных координат, а соответствующие дифференциальные уравнения снова конструируются исходя из подходящих форм функции Гамильтона. Условия стационарности дополняются необходимым условием Вейерштрасса сильного относительного минимума. Разумеется, это условие, которое записывается через условие экстремальности функции Гамильтона на оптимальных решениях, имеет смысл, аналогичный соответствующему условию принципа максимума. Важно, однако, заметить, что при работе с модификациями классических методов вариационного исчисления в случае уравнений с частными производными проявляются некоторые новые черты. В результате получаются условия оптимальности, более сильные, нежели известные в настоящее время обобщения принципа максимума на системы, описываемые уравнениями в частных производных. Упомянутые черты проявляются, в частности, в связи с тем обстоятельством, что приращение минимизируемого функционала при изменении объемного управления (за счет варьирования от оптимального управления) в пределах области достаточно малой меры зависит не только от вариации управления и меры области, но также существенно определяется и предельной формой области варьирования. Таким образом, получается, что при изменении формы области, определяющей вариацию, могут, получаться более или менее широкие необходимые условия экстремальности. Как отмечено выше, эффект анизотропии варьирования пока был получен только классическими методами. Причины этого, по-видимому, различны некоторые работы, посвященные принципу максимума, относятся к таким задачам, где этот эффект вообще не проявляется, в других случаях эффект анизотропии исключался вследствие ограничения при исследованиях лишь вариациями специального вида. Полезно также заметить, что описываемый эффект анизотропии расширяет возможность управления и оптимизации в обширном классе случаев независимо от типа исходных уравнений. Эффективность классических методов вариационного исчисления была проверена на конкретных типах задач. В частности, таким путем была исследована задача об оптимальном распределении проводимости электропроводной жидкости (газа) в канале магнитодинамического генератора электрической энергии. Эта задача как раз доставляет пример вариационной проблемы, где эффект анизотропии варьирования играет существенную роль. Развитию классических методов исследования посвящены работы К. А. Лурье. [c.239]

Алгоритмы, в которых используются принципы стационарности ополнительной работы и обобщенного функционала, обладают теми же недостатками. Вместе с тем в большинстве расчетных случаев существенное возрастание относительной ошибки расчета для сжимаемого материала, возникающее вследствие плохой обусловленности системы, наблюдается лишь при значениях коэффициента Пуассона 0,495. Это позволяет во многих задачах использовать более простой алгоритм расчета. Необходимо также отметить, что решение тестовых задач не всегда может позволить сделать правильный вывод о диапазоне использования того или иного алгоритма, поэтому бывает целесообразно сравнивать результаты, полученные по двум описанным выше схемам. [c.14]

Определение идеальных удерживающих связей представляет собой обобщение известных физических фактов. Такие связи не рассеивают энергии на возможных перемещениях. Основной принцип статики для систем с идеальными удерживающими стационарными связями отсюда устанавливается легко. Действительно, дополним заданные силы Zv, Fv, всеми силами реакции i vi, R y, Rvz, тогда нашу механическую систему согласно аксиоме связей мы можем мыслить как систему сощершенно свободных точек, находящихся под действием сил X, + R,x, Yv + Rw, Zv + i v2. Для совершенно свободных точек имеем следующие уравнения равновесия [c.73]

На рис, 18 приведена обобщенная структурная схема комплекса имитации случайной вибрации с автоматическим управлением. Стационарные случайные сигналы от генераторов шума, находящихся в блоке 1 генераторов шума, поступают в блок 9. формирования, состоящий из устройств формирования и управления параметрами характеристик и сумматоров канальных сигналов. Сформированный сигнал поступает на вход вибростенда 3, в котором воспроизводится вибрация. После преобразования в электрический сигнал воспроизведенные вибропродессы подаются на вход блока 4 анализатора, в котором осуществляется анализ и измеряются требуемые параметры статистических характеристик имитируемой вибрации, значения которых сравниваются в блоке 5 сравнения с задаваемыми блоком 6 программ. Сигналы рассогласования, снимаемые с блока 5, управляют с помощью блока 7 управления параметрами формирователя. На этом принципе построен отечественный автоматический комплекс имитации вибрации СПАВ-1. [c.319]

Основной методический принцип при проведении районирования территорий расположения АЭС состоит в том, чтобы при переходе от более высокой к более низкой таксономической единице районирования добиться все большей однородности ландшафтногеохимических характеристик и потенциала загрязнения территории. При среднемасштабном районировании в основу выделения территориальных ландшафтно-геохимических единиц по признаку максимальной однородности условий миграции вещества положены факторы местного значения. Для проведения среднемасштабного районирования необходимо сочетание среднемасштабных экспедиционных работ, детальных стационарных наблюдений и широкого ландшафтно-геохимического анализа природной среды с обобщением имеющихся отраслевых и картографических материалов. [c.171]

Обобщение У, о. к. В неравновесной термодинамике имеет место принцип минимума производства энтропии в стационарном состоянии Прнгожта теоре.ма), согласно к-рому а(г)>сг ац, где астац —производство энтропии в стационарном состоянии, а а (г) — производство энтропии Б неустановившемся (текущем) состоянии. Этот результат доказан для линейных термодинамич, систем общее доказательство для нелинейных систем отсутствует. На основе неравенства (6) предлагается сформулировать общий принцип минимума производства энтропии в процессах самоорганизации следующим образом. [c.230]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...