ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ ПРИ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ

Это и есть принцип виртуальной работы для задачи теории упругости при конечных деформациях ). Используя (3.16), (3.26), [c.91]

В предположении о малости перемещений принцип минимума дополнительной энергии может быть выражен через компоненты напряжений, как показано в 2.2. Однако сложная связь напряжений с перемещениями в теории упругости при конечных деформациях усложняет вывод принципа стационарности дополнительной энергии из Пд принцип более не выражается только через компоненты напряжений ). [c.96]

В дальнейшем под термином аналитические методы будем понимать методы, позволяющие получить решение краевой задачи в виде аналитической функции (скалярной или векторной), удовлетворяющей точно или приближенно уравнениям и граничным условиям этой задачи. Если метод позволяет получить решение, которое точно удовлетворяет как уравнениям краевой задачи во всей области, в которой она решается, так и граничным условиям на всей границе этой области (или на той части границы, на которой они заданы), за исключением, возможно, конечного числа точек, то метод является точным для данной задачи или класса задач. Например, метод Колосова-Мусхелишвили 65] является точным методом решения плоских статических задач линейной теории упругости для односвязных областей, которые могут быть конформно отображены на единичный круг с помощью дробно-рациональной функции. Для многих классов задач точные аналитические решения неизвестны. Это, например, плоские статические задачи линейной упругости для многосвязных областей или статические задачи нелинейной теории упругости при конечных деформациях. Только отдельные задачи этих классов имеют точное аналитическое решение. Существуют методы, позволяющие свести решение таких задач к последовательному решению более простых задач, для каждой из которых точное аналитическое решение может быть найдено. Например, при решении задач линейной упругости для много- [c.45]

В последнее время приобретает значение развитие теории конечных термоупругих деформаций. Термодинамические основы нелинейной теории упругости при конечных деформациях, учитывающей тепловые и другие физико-химические эффекты, разработаны Л. И. Седовым (1962). В нашей книге рассматривается теория термоупругости при малых деформациях. [c.7]

Приведенные выше семейства деформации важны потому, что на. примере полей напряжений, необходимых для того, чтобы их произвести, видно, как взаимодействуют различные типы деформаций. В теории упругости при бесконечно малых деформациях напряжения, соответствующие смещению, равному сумме двух смещении, представляют собой сумму напряжении, требуемых для того, чтобы произвести каждое смещение в отдельности. В теории упругости при конечных деформациях, конечно, принцип суперпозиции нарушается.. Рассмотренные семейства универсальных деформации как раз и позволяют понять, каким образом этот принцип нарушается в некоторых случаях мы увидим это в следующем параграфе. [c.285]

Теория упругости при конечных деформациях [c.235]

В этой главе исследуется приложение метода конечных элементов к задачам теории упругости при конечных деформациях ), т. е. к задачам об очень больших деформациях упругих тел, когда не накладывается никаких ограничений на порядок величин перемещений, градиентов перемещений и компонент тензора деформаций. При этом в качестве частных случаев получаются различные дискретные модели задач классической теории упругости при бесконечно малых деформациях. Однако прежде чем рассматривать свойства дискретной модели, надо охарактеризовать механические свойства материалов, которые считаются упругими. [c.235]

С изложением теории упругости при конечных деформациях и решениями некоторых задач можно ознакомиться по книгам Грина и Зерны [c.235]

Несжимаемые шела. Известно, что многие упругие при конечных деформациях материалы деформируются без заметного-изменения объема. Такие материалы относятся к несжимаемым упругим материалам. Практически все решения задач теории упругости при конечных деформациях получены именно для таких материалов. Кроме того что все движения несжимаемых материалов происходят без изменения объема, их характерной особенностью-является то, что тензор напряжений не полностью определяется деформацией. Действительно, ясно, что к напряжениям в деформированном несжимаемом материале можно добавить с любым множителем напряжения, которые обычно связаны с изменением объема, т. е. произвольное гидростатическое давление. При этом деформация тела не изменяется. Другими словами, дополнительное приложение гидростатического давления к несжимаемому упругому телу изменяет напряжения в нем, но не влияет на деформации или, для гиперупругих материалов, энергию деформации. Поскольку изохорическим движениям соответствует равенство единице третьего главного инварианта /д, уравнение состояния для несжимаемых материалов имеет вид [c.249]

Вследствие суш ественно нелинейного характера уравнений теории упругости при конечных деформациях количественные решения почти всех задач, имеюш их практическое значение, получаются лишь численно. Метод конечных элементов благодаря его простоте и обш,ности является наиболее удобным способом формулировки нелинейных задач теории упругости для их численного решения ). В этом параграфе будут получены общие уравнения движения и равновесия для типичных конечных элементов упругих тел. [c.253]

Конечноэлементные постановки задач нелинейной теории упругости при конечных деформациях были даны Оденом [19676]. Приложения к задачам [c.253]

Хотя в некоторых точных решениях задач теории упругости при конечных деформациях предположение о несжимаемости приводит к ряду упрощений, при использовании метода конечных элементов этого не происходит. Напомним, что напряжения. [c.263]

В этом параграфе представлены приложения описанной теории к некоторым задачам теории упругости при конечных деформациях. Все приводимые ниже примеры относятся к изотропным телам. [c.332]

Предыдущие выводы и уравнение (9.4) справедливы как в рамках теории малых деформаций при наличии закона Гука, так и в рамках общей теории упругости с конечными деформациями и перемещениями из начального состояния. [c.390]

Метод последовательных приближений впервые был применен к задачам нелинейной упругости при конечных деформациях в работе Синьорини [130]. Дальнейшее его применение к этим задачам рассмотрено, например, в [17, 18, 32, 78, 103]. Решение задач теории наложения больших деформаций этим методом приведено в [29, 50, 51, 53, 57, 122]. Сущность метода применительно к задачам теории наложения больших деформаций может быть описана следующим образом. В качестве начального приближения выбирается решение линейной задачи, соответствующей исходной нелинейной задаче. Обозначим вектор перемещений, соответствующий этому решению, через Очевидно, [c.49]

Решить задачи теории упругости для конечных деформаций пока очень трудно. На основе некоторых допущений получены приближенные решения отдельных задач. Точные решения могут быть получены только при однородном напряженно-деформированном состоянии идеально упругого тела. [c.206]

Теория линейной вязко-упругости при конечных деформациях [c.388]

Классическая теория упругости при малых деформациях. В этом случае W определяется выражением (15.44а), и для конечного элемента имеем [c.255]

Для получения критериев статического подобия при конечных деформациях воспользуемся дифференциальными уравнениями нелинейной теории упругости [631. В случае отсутствия объемных сил уравнения равновесия модельного образца 1, отнесенные к системе координат, связанной с недеформированным телом, для материала, следующего закону Гука, имеют вид [c.96]

Реологические уравнения состояния, полученные и исследованные в предыдущих главах, являются, по-видимому, простейшими уравнениями, пригодными для описания напряжений, возникающих в упругих телах и жидкостях при конечных деформациях. Есть все основания полагать, что уравнения каучукоподобного тела, на самом деле, отражают свойства каучука и других полимеров в высокоэластическом состоянии (ср. главу 10). Однако до сих пор мы не располагаем достаточно проверенными данными для того, чтобы подтвердить или опровергнуть аналогичное утверждение относительно уравнений высокоэластической жидкости, приведенных в главах 6 и 7. Рассмотренные уравнения позволили проиллюстрировать большое разнообразие реологических эффектов и установить некоторые связи, существующие между ними. Важной особенностью изучаемого предмета является богатство и разнообразие мыслимых и возможных экспериментальных исследований, проведение которых может в свою очередь привести к строгой проверке и уточнению теорий. [c.202]

Еще не разработаны теории пластичности, которые правдоподобно отражают термодинамическую сложность единства функций нагружения и разгрузки для кристаллических тел при конечной деформации. Требования технологии разработать способ исследования тел, в которых области малых упругих деформаций и области пластических деформаций существуют одновременно, привели к аналитическому решению, которое стало известно как теория идеальной пластичности . Вызывающие интерес проблемы были ограничены областями малой деформации. Развитие в этом направлении, которое было идеальным скорее для математического упрощения (пластичность при постоянном напряжении), чем для экспериментатора, пытающегося исследовать явление, уделяло особое внимание упругопластическому переходу на поддающейся построению поверхности текучести, на которой деформации предполагались малыми. С появлением понятия идеальной пластичности вместо осмысливания определяющих уравнений для конечной деформации стало мыслиться как ключ к проблеме чрезвычайно трудное в экспериментальном отношении исследование поверхности текучести. Эта и без того чрезвычайно трудная проблема ста- [c.157]

Отметим, что задачи теории многократного наложения больших упругих и вязкоупругих деформаций, вероятно, могут быть решены любыми методами, которые применимы к решению обычных задач нелинейной упругости или вязкоупругости при конечных деформациях, в том числе и методом конечных элементов (МКЭ), применение которого к решению задач нелинейной упругости при больших деформациях рассмотрено, например, в [67]. Однако при решении задач теории наложения больших деформаций с помощью МКЭ потребуется учесть особенности этих задач, которые упомянуты в конце предыдущей главы. [c.46]

Решения задач о действии сосредоточенных сил оказываются обычно неограниченными в месте приложения силы и на фронтах волн. Сами по себе эти решения, конечно, не годятся, так как при линеаризации уравнений теории упругости предполагается, что деформации и напряжения относительно малы. Однако такие фундаментальные решения в соответствии с принципом суперпозиции можно преобразовать для случая действия сглаженной нагрузки, отвечающей реальной задаче. При этом бесконечности исчезнут, а решение в тех областях, где оно было ограничено и не имело слишком больших градиентов, сохранится, если сглаженная нагрузка достаточно локальна. [c.13]

В отличие от теор 1и материалов дифференциального типа степени п теория Больцмана не может служить в качестве примера теории, пригодной при общих деформациях, поскольку она не является не зависящей от системы отсчета. Подобно линейной теории упругости бесконечно малых деформаций, теория Больцмана представляет собой лишь приближенную теорию. Линейная теория упругости служит общим первым приближением для бесконечного множества различных достаточно гладких теорий конечных упругих деформаций. В этом смысле теория Больцмана есть обобщение теории упругости, поскольку она представляет собой общее первое приближение для бесконечного множества различных достаточно гладких теорий материалов с памятью при бесконечно малых деформациях. [c.395]

Как и в любой другой задаче теории упругости при использовании метода конечных элементов в качестве векторов деформаций е и напряжений (а) принимаются векторы, связанные физическими соотношениями (закон Гука), произведение которых, проинтегрированное по объему, приводит к величине потенциальной энергии деформации [c.26]

Условия неустойчивого распространения небольших расслоений (L < 0,5 , где i — толщина стенки конструкции, а высота раскрытия расслоения 5 = 0,5-2,0 мм) в [25] анализировали на основе решения плоской задачи теории упругости (плоская деформация) для пластин с внешними границами, свободными от нагрузок. Расчеты проводили методом конечных элементов для пластин, имеющих изолированное расслоение в виде прямоугольной щели, а также несколько водородных расслоений, расположенных на разных уровнях по высоте п.та-стины. Изолированными считали не взаимодействующие друг с другом водородные расслоения, расстояние между которыми в плане составляло более 2-12 мм в зависимости от длины расслоения L (табл. 12) при высоте сечения более (0,8-1,0)1.. [c.127]

В данной главе излагается теория упругости, в которой напряжения и деформации связаны линейными соотношениями. Дается общее представление о вариационных принципах и методах, нашедших свое наиболее плодотворное применение при практическом решении инженерных задач кручения и изгиба стержней, пластин и оболочек. В современных инженерных расчетах наиболее распространен численный метод решения задач, называемый методом конечных элементов (МК.Э). Подробное изложение метода и его применение к решению задач теории упругости на ЭВМ дано в работах [3, 8, 17]. [c.112]

При решении некоторых задач теории упругости, как например, задач устойчивости, необходимо принимать во внимание компоненты тензора конечной деформации, определяемые формулами (3.17). Здесь мы ограничимся выводом условий равновесия и граничных условий для этого случая. [c.221]

Пряжения оказываются бесконечно велики. Этот результат нельзя воспринимать буквально. Он получен в предположении, что материал бруса идеально.упруг и следует закону Гука. Реальные же материалы, как известно, при некоторых конечных напряжениях уже не следуют закону Гука и в случае пластичных материалов при достижении ме-дела текучести испытывают заметные пластические деформации. Поэтому действительные повышенные местные напряжения в таких особых точках, как вершины входящих углов, не могут быть определены только методами теории упругости. [c.177]

После этого раздела следуют гл. 8—11, относящиеся к классической теории упругости. После некоторых колебаний автор решил все же включить сюда раздел, относящийся к теории конечных деформаций, область применения этой теории слишком ограничена и имеющиеся решения крайне немногочисленны. Подобранный материал в основном соответствует университетской программе. Преподаватель всегда сможет выбрать отсюда те разделы, которые покажутся ему более интересными. В практике преподавания теории упругости на механико-математическом факультете МГУ автор отказался от изложения теории изгиба Сен-Венана, считая, что вопрос о распределении касательных напряжений при изгибе ие очень важен. Однако появление композитных материалов с полимерной матрицей, которые слабо сопротивляются сдвигу, заставило ввести опять теорию касательных напряжений при изгибе для балок прямоугольного сечения — что нужно для практики. Вообще, применение в технике композитных материалов заставило включить в курс элементы теории упругости анизотропных тел. [c.13]

Учитывая многообразие видов композиционных материалов, невозможно разработать единую для всех них теорию. Настоящая глава ограничивается описанием лишь линейно упругого поведения композитов при статическом нагружении. (Упругопластическое поведение, вязкоупругое поведение, динамические процессы и конечные деформации рассматриваются в гл. 5, 4. 8 и 7 соответственно.) Предполагается, что такое макроскопическое состояние материала сохраняется вплоть до разрушения. Кроме того, считается, что компоненты материала тоже являются линейно упругими таким образом, композит рассматривается как неоднородное линейно упругое тело. [c.64]

Провели тщательное исследование статических задач теории упругости при конечных деформациях эта работа в дальнейшем была продолжена Флетчером [40] и распространена на задачи динамики линейной теории упругости, хотя к его утверждениям что уравнения (3.1)—(3.4) и (3.6) из [40] легко распространяются на случай упругих материалов при конечных деформациях, следует относиться с некоторой осторожностью. Сравнительно недавно Голебевская-Херрманн [42,43] опубликовала исследования законов сохранения в динамических задачах теории упругости при конечных деформациях, представленных как в лагранжевой, так и в эйлеровой системах отсчета. [c.151]

Охвачен широкий круг вопросов механики разрушения, начиная с микромеханизмов деформации и разрушения кристаллической решетки, инженерных подходов к задачам механики разрушения и заканчивая математическим анализом образования, слияния и развития дефектов материала. Рассмотрены физика и механика микроразрушения, включая образование и рост микротреш ин разных видов. Даны основные положения и методы линейной и нелинейной механики разрушения вместе с соответствуюш и-ми критериями разрушения. Уделено внимание избранным специальным проблемам механики разрушения, включая механизмы деформирования и разрушения полимеров. Подробно представлены математические методы решения плоских задач теории упругости при конечных деформациях в условиях физической и геометрической нелинейности. Даны многочисленные примеры расчета перераспределения полей напряжений и деформаций при разных вариантах поэтапного многоступенчатого нагружения многосвязных областей. [c.2]

Если мы распишем это уравнение и приравняем нулю коэффициенты при 3i, 5i3i, 5i3...... 5ii3 i, то получим опять 12 условий, да теперь еще тензор В должен удовлетворять условию det В = 1. Разумеется, В = onst является решением, однако существует и много других, и их открытие (первым такое открытие сделал Ривлин в конце 1940-х годов) привело к большому оживлению в теории упругости при конечных деформациях. Эти решения в несколько обобщенном и расширенном виде мы теперь и опишем. [c.284]

Сохраняя только конечное число членов в представлении (15.42)., можно получпть различные приближенные теории гиперупругости. Например, кладя в основу предположение, что деформации у1 малы , можно получить функцию энергии деформации для классической теории упругости при малых деформациях, если сохранить [c.246]

Эксперименты Ривлина по изучению упругости резины при конечных деформациях, проведенные в 50-х гг. нашего века, представляют собой классическ 1Й образец исследования они убедительно показывают, какого успеха может добиться механика твердого тела, если исключительная проницательность исследователя одновременно фокусируется и на теории, и на эксперименте. [c.32]

Выше на рис. 3.128 я дал несколько сравнений. Наиболее интересным здесь фактом, если не касаться завершения исследования квантованной структуры значений в нулевой точке модулей изотропных элементов, было то, что из экспериментов при конечных деформациях этих тел (которые будут описаны в следующей главе см. часть И), я нашел, что температурная зависимость модулей при очень больших деформациях линейная, коэффициентом в которой является выражение вида (1—Т/Тт)- Модуль упругости при сдвиге при бесконечно малых деформациях также линейно зависит от температуры в этой линейной зависимости имеет место другое выражение коэффициента, а именно, (1—Т12Тп)- Это различие имеет интересный и, может быть, серьезный смысл для атомных теорий, от параметров которых при отыскании конечных деформаций на основе дислокационных моделей зависит модуль упругости при сдвиге. [c.522]

Серия экспериментов, которую я здесь рассматриваю, была посвящена измерению продолжительностей прохождения начальных волновых фронтов, получаемых посредством усреднения многих профилей волн деформации, отыскиваемых при помощи дифракционных решеток, расположенных от плоскости соударения двух одинаковых цилиндров из полностью отожженного алюминия на расстояниях, равных длине / и Vz диаметра. Эти результаты (Bell [1962, 1]) сравнивались со скоростями волн, указанными Трусдел-лом в 1961 г. (Truesdell [1961, 1]) в его работе Общая и точная теория волн при конечных упругих деформациях . [c.336]

Общая постановка задач о трещинах продольного сдвига, где распределению смещений соответствует случай так называемой антиплоской деформации (напряженное состояние в бесконечном цилиндрическом теле, возникающее под действием постоянных нагрузок, направленных вдоль образующих цилиндра), рассмотрена в работе Г. И. Баренблатта и Г. П. Черепанова (1961). В отличие от трещин нормального разрыва и трепщн поперечного сдвига, в этом случае возможно получить эффективные точные решения многих задач, так как единственное отличное от нуля смещение w удовлетворяет в этом случае уравнению Лапласа. Здесь возможно непосредственное применение широко развитых методов и результатов гидродинамики благодаря очевидной аналогии задач теории упругости для антиплоской деформации и задач плоской гидродинамики. В указанной работе были получены точные решения задач для бесконечного тела, содержащего круговое отверстие с одной или двумя трещинами, нагруженного на бесконечности постоянным касательным напряжением (аналог задач О. Л. Бови для трещин нормального разрыва),и смешанной задачи для изолированной прямолинейной трещины, на части которой задано постоянное смещение (аналог задачи о расклинивании клином конечной длины, рассмотренной И. А. Маркузоном. в 1961 г.). Здесь же исследованы задачи взаимодействия бесконечной системы одинаковых трещин, расположенных вдоль действительной оси, и случай, когда равные трещины расположены в виде вертикальной однорядной решетки. При рассмотрении задачи о развитии криволинейных трещин продольного сдвига, а также трепщн, форма которых мало отличается от прямолинейной или круговой, авторы использовали гипотезу о том, что развитие криволинейной трещины продольного сдвига происходит по направлению максималь- [c.386]

Решение задач теории упругости может быть проведено одним из двух методов С помощью первого метода решают дифференциальные уравнения с заданными граничными условиями. Второй метод заключается в минимизации интегральной величины, связанной с работой напряжений и внешней приложенной нагрузки. Для решения задач теории упругости методом конечных элементов используется последний подход. Если задача решается в перемещениях и на границе заданы их значения, то нужно минимизировать потенциальную энергию оистемы. Если задача решается в напряжениях с заданными на границе усилиями, то нужно минимизировать дополнительную работу оистемы. Общепринятая формулИ(ровка метода конечных элементов предполагает отыскание поля пб1ремещбний и тем самым связана с минимизацией по-тенциальной энергии системы при отыскании узловых значений вектора перемещений. После того как перемещения будут определены, можно вычислить компоненты тензоров деформаций и напряжений. [c.79]

Взаимосвязь деформаций крыла и аэродинамической нагрузки привела к необходимости совместного решения задач аэродинамики и упругости. Было получено интегро-дифференциальное уравнение прямого упругого крыла и разработаны основы теории упругого крыла конечного размаха (Я. М. Серебрийский, 1937 г.). Теория упругого крыла дала возможность рассчитать реверс элеронов (1938 г.), т.е. определить условие обращения в нуль момента крена за счет кручения крыла от дополнительных аэродинамических сил при отклонении элерона. При рассмотрении несимметричного нагружения крыла от элеронов было введено понятие дивергенции второго рода, соответствующей антисимметричному нарушению условий равновесия. В случае стреловидного упругого крыла существенное влияние на аэродинамику оказывают также деформации изгиба. [c.285]

Так называемая линейная механика разрушения приписывает физически невозможной сингулярности реальный смысл. Подобная ситуация для механики сплошной среды не столь уж необычна, достаточно вспомнить, например, вихревые нити с нулевым поперечным сечением п конечной циркуляцией. Как оказывается, работа продвижения трещины, которая совершается либо в результате увеличения внешних сил, либо за счет уменьшения упругой энергип тела при увеличении размера трещины, непосредственно выражается через коэффициент при сингулярном члене в формуле для напряжений. Этот коэффициент называется коэффициентом интенсивности и играет для всей теории фундаментальную роль. Работа продвижения трещины может быть связана с преодолением сил поверхностного натяжения (концепция Гриффитса), с работой пластической деформации в малой области, примыкающей к концу трещины, либо с чем-нибудь еще. Важно при этом одно размеры той области, где соотношения линейной теории упругости так или иначе нарушаются, должна быть весьма малой. Тогда способность трещины к дальнейшему продвижению определяется единственной характеристикой — ра-бс.той на единицу длины пути, илп критическим коэффициентом интенсивности. [c.9]

Для исследования напряженного состояния на поверхности раздела были разработаны аналитические методы. К ним относятся методы механики материалов, классической теории упругости и метод конечных элементов. Метод конечных элементов является наиболее универсальным и охватывает разнообразные граничные условия. Предполагаемая величина концентрации напряжений определяется условиями на поверхности раздела. Теоретические данные показывают, что концентрация касательных напряжений на концах волокон зависит от объемной доли волокна и геометрии его конца. Из этих данных также следует, что радиальное напряжение на поверхности раздела изменяется по окружности волокна и может быть растягивающим или сжимающим в зависимости от характера термических напряжений, а также от вида и направления приложенной механической нагрузки. Следовательно, в обеспечении требуемой адгезионной прочности, соответствующей конкретным конструкциям, существует определенная степень свободы. Наличие пор и влаги на поверхности раздела, так же как и повышение температуры, ослабляют адгезионную прочность, в результате чего снижаются жесткость и прочность композитов. Циклическое нагружение почти не сказывается на онижении адгезионной прочности. Показатель расслоения является критерием увеличения локальных сдвиговых деформаций в матрице и модуля сдвига композита. Этот параметр может быть использован при выборе компонентов материалов с заданной адгезионной прочностью на поверхности раздела, И наконец, следует отметить, что состояние данной области материаловедения [c.83]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...