Определение устойчивости движения

Возможны и другие определения устойчивости движения. В частности, во многих задачах современной техники важно обеспечить малые отклонения в решении дифференциальных уравнений возмущенного движения от решения невозмущенного движения на конечном интервале времени. [c.646]

Устойчивость движения по первому приближен и ю. Решение задач на определение устойчивости движения прямым методом интегрирования дис[ ференциальных уравнений возмущенного движения в большинстве случаев не может быть осуществлено ввиду невозможности получения решения в замкнутом виде. [c.651]

В связи с этим широкое распространение получил способ определения устойчивости движения по первому приближению. Этот способ был известен задолго до появления классического труда А. М. Ляпунова (Общая задача об устойчивости движения, 1892 г.). Однако именно А. М. Ляпунов впервые установил условия, при которых первое приближение позволяет судить об устойчивости движения исходной системы, движение которой описывается нелинейными дифференциальными уравнениями. [c.651]

Способ определения устойчивости движения по первому приближению заключается в следующем. [c.651]

Дадим определение устойчивости движения по Ляпунову [16, 17, [c.82]

Взгляды Раута (1877 г.) и Н. Е. Жуковского (1882 г.) отличаются в самом определении устойчивости движения, как об этом более подробно сказано ниже. Но в подходе к математическому решению вопроса об определении критериев устойчивости у этих ученых много общего, хотя Н. Е. Жуковский написал свою работу, не зная о существовании исследования Э. Раута. [c.323]

Все определения устойчивости движения можно разделить на две группы. [c.324]

К первой из них отнесем определения, в которых идет речь не об устойчивости состояния движения, а об устойчивости траекторий, описываемых точками материальной системы. К этой группе определений принадлежит определение устойчивости движения по Н. Е. Жуковскому. Чтобы дать определение устойчивости движения, Н. Е. Жуковский рассматривает основное движение системы и наряду с ним так называемое возмуш,енное движение. Координаты точек в основном движении Н. Е. Жуковский обозначает х, у, г, координаты точек системы в возмущенном движении через х, у т, г Л- 1,,.... [c.324]

Близким к определению устойчивости по Н. Е. Жуковскому является определение устойчивости движения, принадлежащее А. Пуанкаре. Приведем это определение. Мы скажем, что траектория подвижной точки устойчива, если, насколько бы малым не был радиус окружности (или сферы), описанной вокруг начальной точки, подвижная точка, выйдя из этой окружности (или сферы), вновь войдет в нее бесконечное множество раз. .. Траектория будет неустойчивой, если, выйдя из этой окруж- [c.324]

Перейдем к рассмотрению второй группы определений устойчивости движения. К этой группе принадлежит определение устойчивости движения, предложенное Раутом. [c.325]

Ясно, что определения устойчивости движения по Рауту и Н. Е, Жуковскому — различны. Движение может быть неустойчивым в смысле Раута и устойчивым по определению Н. Е. Жуковского. Одним из недостатков определений устойчивости движения, принадлежащих Рауту и Н. Е. Жуковскому, является нечеткость понятия о малости возмущений. Другой недочет этих определений отметим ниже. [c.325]

Переходим к определениям, принадлежащим А. М. Ляпунову. Необходимо отметить, что определения А. М. Ляпунова также подвергались некоторой эволюции ). Приведем в сокращенном изложении определение устойчивости движения, указанное А. М. Ляпуновым в его классической работе Общая задача об [c.325]

После этих предварительных замечаний приведем общее определение устойчивости движения, принадлежащее А. М. Ляпунову ). [c.327]

Нам представляется ошибочным утверждение, которое встречается в некоторых учебниках по механике, что определения устойчивости движения по А. М. Ляпунову и Н. Е. Жуковскому — несовместны, т. е. движение, устойчивое по определению Н. Е. Жуковского, неустойчиво в смысле А. М. Ляпунова. [c.327]

Это замечание позволяет упростить применение признаков устойчивости движения по А. М. Ляпунову к вопросу об устойчивости траекторий. Выбирая за независимую переменную одну из координат точек системы, монотонно возрастающую вместе с возрастанием времени t, и приравнивая остальные координаты функциям Qh Ляпунова, вновь заключаем, что определение устойчивости движения по Н. Е. Жуковскому вытекает из общего определения А. М. Ляпунова как частный случай. [c.330]

Если вспомнить определение устойчивости движения согласно А. М. Ляпунову, то станет ясной родственность представлений, положенных в основу теории устойчивости и теории интегральных инвариантов. [c.381]

Рис. 1.3. К определению устойчивости движения сферического гироскопа в сопротивляющейся среде

Для определения устойчивости движения системы необходимо установить, что знаки действительных частей всех решений характеристического уравнения отрицательны. При этом нет необходимости выполнять решение, так как можно установить условия, которые характеризуют устойчивость или неустойчивость движения лишь на основании изучения коэффициентов характеристического уравнения. Эти условия были даны Раусом в 1877 г. [c.237]

Гл. 5 посвящена исследованию на устойчивость неоднородно-стареющих вязкоупругих стержней при различных способах закрепления концов стержня и способах его нагружения. Устойчивость изучена в нескольких принципиально различных постановках. Принятое определение устойчивости на бесконечном интервале времени соответствует классическому определении устойчивости движения динамических систем по Ляпунову, а на конечном интервале времени — по Четаеву. Развиты общие методы исследования устойчивости. Установлены условия устойчивости армированных вязкоупругих стержней непосредственно в терминах характеристик рассматриваемых задач. Изучена зависимость критического времени потери устойчивости от параметров задачи (коэффициента армирования, упругих и реологических характеристик материалов стержня, величины нагрузки и т. д.). [c.10]

В настоящей главе изложены методы исследования на устойчивость неоднородно-стареющих вязко-упругих стержней при различных предположениях о способах закрепления концов стержня и способах его нагружения и установлены условия устойчивости. Устойчивость изучена в нескольких принципиально отличных постановках. Принятое ниже определение устойчивости на бесконечном интервале времени соответствует классическому определению устойчивости движения динамических систем по Ляпунову. Для ряда ситуаций получены выражения критической силы потери устойчивости, сформулированные непосредственно в терминах параметров рассматриваемых задач. Представляет интерес поведение стержня на конечном интервале времени. Приведены постановки задач устойчивости на конечном интервале времени, исходящие из определений устойчивости движения динамических систем по Четаеву [1, 513]. Одна из постановок задачи устойчивости на конечном интервале времени состоит в определении ограничений на начальную погибь, при выполнении которых определяемый ею прогиб не превосходит заданного критического значения. Другая постановка задачи может быть связана с определением функционала, представляющего собой первый момент времени, именуемый критическим, к гда максимальная величина прогиба впервые достигает заданного значения. [c.230]

Можно было бы дать такое формальное определение устойчивости движения. Движение называется устойчивым, если конечный интервал (О, tf, можно заменить бесконечным интервалом (О, оо). Если мы примем такое определение, то придем к следующей формулировке траектория ф (i а) является устойчивой, если для любого е > О можно указать такое положительное X = X (е), что если 6 < х, то ф (i а + 6) — ф (i а) < е для всех положительных t. Траекторию, удовлетворяющую этому условию, называют устойчивой по Ляпунову. [c.472]

Существует еще много других определений устойчивости движения. Можно, например, принять определение, аналогичное орбитальной устойчивости, но связанное не с фазовым пространством, а с траекторией в -нро-странстве. Согласно этому определению движение является устойчивым, если траектория в g -пространстве, соответствующая слегка измененным начальным условиям, располагается вблизи от невозмущенной траектории. Наглядный пример орбитальной устойчивости такого типа приведен в 17.5, п. 1 невозмущенное движение в этом примере представляет движение по замкнутой кривой х = а, причем ф (а) < 0. Некоторые другие определения устойчивости приводились нами в 17.5 и в 22.7. [c.479]

Так как при определении устойчивости движения исполнительного органа исследуются малые колебания относительно установившегося стационарного режима, то величина коэффициента вязкого сопротивления определяется как dF Q)ldQ для рассматриваемого значения постоянной составляющей скорости К = tga, рис. 1). [c.136]

Теория устойчивости и колебаний таких систем весьма сложна, и в ней имеется ряд не до конца разрешенных вопросов. В данной главе приведены постановка задачи, различные формы уравнений движения, их первые интегралы, рассмотрены простейшие случаи движения. Указаны вошедшие в инженерную практику алгоритмы расчета малых колебаний системы. Даны основные определения устойчивости движения систем твердых тел с полостями, частично или целиком заполненными жидкостью, соответствующие теоремы прямого метода Ляпунова, рассмотрены примеры. [c.280]

Поскольку квазистатический процесс деформирования является следствием движения материальных частиц, то устойчивость понимается в данном случае, естественно, как устойчивость бесконечно медленного движения [123]. Будем основываться на определении устойчивости движения Ляпунова [140, 167] с учетом особенностей его использования в механике деформируемого твердого тела [63, 123, 218]. [c.205]

Движение называют устойчивым, если произвольным бесконечно малым изменениям начальных условий соответствуют бесконечно малые изменения самого движения. Движение называют неустойчивым, если некоторое бесконечно малое изменение начальных условий влечет за собой конечное изменение движения (такое определение устойчивости движения является частным случаем определения устойчивости по А. М. Ляпунову, которое будет дано позднее). [c.419]

Определению устойчивости движения можно теперь дать иную формулировку. [c.572]

Это определение устойчивости движения, данное знаменитым русским ученым А. М. Ляпуновым, было положено в основу разработанной им общей теории устойчивости движения, ставшей ныне Классической после его смерти уже в советское время создалась мощная советская школа идейных учеников Ляпунова, продолжавших его исследования и применивших его теорию к решению ряда конкретных задач небесной механики [c.427]

Задача об устойчивости заданного движения материальной системы может рассматриваться с различных точек зрения. Речь может идти, во-первых, о разыскании оценок отклонений обобщенных координат и обобщенных скоростей от их значений в опорном движении в любой момент времени, когда начальные возмущения достаточно малы. Об основывающемся на этом воззрении определении устойчивости движения по Ляпунову кратко говорилось в п. 11.10, а составлению уравнений возмущенного движения — уравнений в вариациях — были посвящены пп. 11.14—11.17. Во-вторых, может рассматриваться лишь орбитальная устойчивость, когда вопрос о протекании во времени возмущенного движения отодвигается на второй план, а изучаются лишь траектории возмущенного движения и устанавливаются критерии их близости к опорной траектории. При этом часто, ограничивая постановку задачи, рассматривают только консервативные возмущения — такие, при которых на возмущенных траекториях сохраняется то же самое значение постоянной энергии /г, что и на опорной траектории. Принцип стационарного действия Лагранжа оказывается при этой постановке задачи наиболее приспособленным методом исследования орбитальной устойчивости, поскольку траекториями как опорного, так и возмущенного движений являются геодезические линии многообразия / элемента действия, т. е. простейшие геометрические [c.721]

Математически строгое определение устойчивости движения упругих систем берет начало от классического определения устойчивости по [c.329]

Рис. 106. Расчетная схема для определения устойчивости движения стола тяжелого станка а — схема привода стола б — усилия, действующие на Приводную шестерню

Помимо самого факта существования периодических движений нас всегда должен интересовать вопрос, устойчивы ли эти движения. Поэтому при рассмотрении периодических движений мы должны строго сформулировать понятие устойчивости движения, подобно тому как мы сформулировали понятие об устойчивости положений равновесия. Мы примем определение устойчивости движения, данное Ляпуновым и вполне соответствующее обычному определению устойчивости состояний равновесия, приведенному в гл. I, 3. [c.149]

Рассмотренное в 2 определение устойчивости равновесия является частным случаем приведенного определения устойчивости движения, когда невозмущенное состояние есть состояние покоя. [c.18]

Определение устойчивости движения дано в следующей главе. [c.395]

Определение устойчивости движения 403 [c.403]

Определение устойчивости движения можно привести к определению устойчивости некоторого относительного равновесного состояния рассматриваемой системы. Обозначим разности между одновременными значениями соответствующих координат возмущенного и невозмущенного движений через j (i), положив [c.403]

В дальнейшем, однако, это относительное равновесное состояние будем называть невозмущенным движением нашей системы. Мы приходим, таким образом, к следующему изложению определения устойчивости движения. [c.404]

Эта глава, которая является вводной, содержит изложение основных понятий и положений, необходимых для изучения нелинейных колебаний. Прежде всего следует сказать несколько слов о колебательных явлениях вообще и о нелинейных колебаниях в частности. Общие закономерности, которыми обладают колебательные процессы в системах различной физической природы, составляют предмет науки, получившей название теории колебаний. Под колебательным явлением принято понимать либо то, что связано с фактом установившегося движения в рассматриваемой системе, либо то, что связано с процессом перехода от одного установившегося движения к другому. Установившееся движение характеризуется повторяемостью и определенной устойчивостью (смысл последнего понятия будет уточнен ниже). Переходные процессы характеризуются тем установившимся движением, к которому они приближаются. Множество переходных процессов данного установившегося движения образует его область притяжения. Смена установившихся движений, которая происходит в результате изменения какого-нибудь физического параметра рассматривае.мой системы при его переходе через некоторое значение, называется бифуркацией. Если при этом смена установившихся движений происходит достаточно быстро, т. е. скачкообразно, то говорят о жестком возникновении нового режима. В противном случае возникновение нового режима называют мягким . Колебательные явления, возникающие в так называемых нелинейных системах, называются нелинейными колебаниями. Однако, прежде чем определить, что такое нелинейная система, рассмотрим более общий класс систем, называемых динамическими системами. [c.7]

Понятие устойчивости движения является в теории нелинейных колебаний одним из основных понятий, поэтому остановимся на нем подробнее. Среди многих определений устойчивости наиболее известны устойчивость по Ляпунову и орбитная устойчивость. В отношении состояния равновесия эти определения совпадают и состоят в следующем. Состояние равновесия х = х называется устойчивым, если для любого числа е > О можно указать настолько малое число б (е), что для любого другого движения х = = X (i) с начальными условиями, отличающимися от х менее чем на б, при всех последующих значениях i выполняется неравенство [c.13]

Как независимую перменную Н. Е. Жуковский принимает не время, а координату х одной из точек системы ). Время является функцией л и в возмущенном движении получает приращение Ы. Определение устойчивости движения по Н. Е. Жуковскому формулируется так [c.324]

Остановимся на особенностях определения устойчивости движения по Ляпунову. Во-первых, преднола- [c.17]

Дадим теперь определение устойчивости движения движение является устойчивым, если, получив малое возмущение, оно остается близким, в известном смысле, к невозмущенному движению. Понятие об устойчивом движении сложнее, чем понятие об устойчивом равновесии общую теорию устойчивости движения мы рассмотрим в гл. XXIII. Однако имеется класс задач, теория которых достаточно проста. Для них можно указать простой способ проверки устойчивости движения, аналогичный способу проверки устойчивости равновесия но минимуму потенциальной энергии. [c.160]

ТО рассматриваемое положение равновесия называется асимпто-тически устойчивым. (Эти определения устойчивости равновесия представляют следствия из общих определений устойчивости движения, принадлежащих А. М. Ляпунову.) [c.457]

А. М. Ляпунов дал математически строгое общее определение устойчивости движения по отношению к некоторым данным непрерывным функциям Qs времени t, координат и скоростей системы, обобщившее многочисленные определения устойчивости, существовавшие ранее. В частности, выбирая надлежащим образом функции Qs, в ляпуновское определение устойчивости можно включить определение орбитальной устойчивости, исследовавшейся в первом приближении Н. Е. Жуковским. Для невозмущенного движения функции Qs обращаются в некоторые известные функции Рд времени t. Решение вопроса об устойчивости Ляпунов приводит к исследованию дифференциальных уравнений возмущенного движения [c.8]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ. Рассмотрим маад. риальную систему с к степенями свободы, уравнения движения которой приведены к виду [c.402]

В 3 изложен критерий Рауса — Гурвица, позволяющий решить задачу об устойчивости движения но первому приближению путем определения знаков вещественных частей корней характеристического уравнения (2.11). Затем приведены тексты программ, написанных на языках BASI и REDU E, в которых реализован критерий Рауса - Гурвица, дан ряд примеров, показьшающих возможности программ и порядок работы с ними. [c.85]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...