Принцип стационарного действия Лагранжа

Принцип стационарного действия Лагранжа [c.226]

Принцип стационарного действия Лагранжа для голономных консервативных систем [c.109]

Поэтому ИЗ (16) окончательно получаем принцип стационарного действия Лагранжа (15). [c.109]

ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ ЛАГРАНЖА 709 [c.709]

Задача об устойчивости заданного движения материальной системы может рассматриваться с различных точек зрения. Речь может идти, во-первых, о разыскании оценок отклонений обобщенных координат и обобщенных скоростей от их значений в опорном движении в любой момент времени, когда начальные возмущения достаточно малы. Об основывающемся на этом воззрении определении устойчивости движения по Ляпунову кратко говорилось в п. 11.10, а составлению уравнений возмущенного движения — уравнений в вариациях — были посвящены пп. 11.14—11.17. Во-вторых, может рассматриваться лишь орбитальная устойчивость, когда вопрос о протекании во времени возмущенного движения отодвигается на второй план, а изучаются лишь траектории возмущенного движения и устанавливаются критерии их близости к опорной траектории. При этом часто, ограничивая постановку задачи, рассматривают только консервативные возмущения — такие, при которых на возмущенных траекториях сохраняется то же самое значение постоянной энергии /г, что и на опорной траектории. Принцип стационарного действия Лагранжа оказывается при этой постановке задачи наиболее приспособленным методом исследования орбитальной устойчивости, поскольку траекториями как опорного, так и возмущенного движений являются геодезические линии многообразия / элемента действия, т. е. простейшие геометрические [c.721]

Важнейшими интегральными принципами классической механики являются принцип Гамильтона — Остроградского и принцип стационарного действия Мопертюи — Лагранжа, рассматриваемые в этой главе курса. [c.390]

Для установления принципа стационарного действия воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода. Для консервативной системы эти уравнения имеют вид (126.3) [c.408]

П. В чем сущность принципа стационарного действия Мопертюи—Лагранжа [c.413]

Принцип стационарного действия в форме Лагранжа. Движение консервативной системы без неинтегрируемых связей, как мы видели ( 193), геометрически вполне определяется интегралом энергии [c.364]

При совместном использовании синхронных и асинхронных вариаций получен расширенный аналог (обобщение) центрального уравнения Лагранжа. На основе этого уравнения составлено интегральное равенство (называемое здесь центральным интегральным равенством), связывающее действие по Лагранжу и действие по Гамильтону. Полученное интегральное равенство позволяет находить синхронные и асинхронные вариации действия при различных вариантах задания условий варьирования концевых точек траектории. Из центрального интегрального равенства как частные случаи следуют классические принципы стационарного действия и другие интегральные выражения изменения действия при варьировании. [c.106]

Равенство (5) выражает принцип стационарного действия действие по Лагранжу между двумя фиксированными положениями системы имеет стационарное значение на истинном пути, когда на привлекаемых к сравнению окольных путях сохраняется одно и то же постоянное значение полной механической энергии ). [c.710]

Дуга о, принятая за независимую переменную, представляет действие по Лагранжу от начальной до текущей точки траектории. В соответствии с принципом стационарного действия истинный путь, соединяющий точки (0) и (1) многообразия является экстремалью [c.714]

Исторически принцип Мопертюи (предложение 12) предшествовал более простому принципу стационарности действия Гамильтона. Фактическое содержание этого принципа не было совсем ясным Мопертюи. Юч-ная формулировка, приведенная в тексте, принадлежит Якоби и его предшественникам Эйлеру и Лагранжу ([42 ). [c.42]

Удивительно, что у Лагранжа это предложение приведено лишь между строк этим объясняется тот странный факт, что это соотношение в Германии, — главным образом благодаря трудам Якоби — а затем и во Франции обычно называется принципом Гамильтона, тогда как в Англии никто не понимает этого обозначения там это равенство известно под правильным, хотя и мало наглядным наименованием принципа стационарного действия (Ф. Клейн Лекции о развитии математики в XIX столетии ). [c.56]

Принцип стационарного действия Мопертюи—Лагранжа..................590 [c.14]

Для установления принципа стационарного действия использованы уравнения Лагранжа второго рода. Если же исходить из принципа стационарного действия, то на его основе можно установить все основные теоремы механики консервативных систем и получить дифференциальные уравнения движения в форме уравненнй Лагранжа второго рода. Установим зависимость между действием по Гамильтону 5 и действием по Лагранжу [c.592]

Вариационный принцип Лагранжа. В соответствии с гипотезой сплошности тело может рассматриваться как система материальных точек и к нему можно применить принцип возможных перемещений Лагранжа для равновесия системы материальных точек со стационарными неосвобождающими и идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на систему активных сил на любых возможных перемещениях системы была равна нулю. [c.122]

Введение. Принцип наименьшего действия и его обобщение, произведенное Гамильтоном, переводят задачу механики в область вариационного исчисления. Уравнения движения Лагранжа, вытекающие из стационарности некоторого определенного интеграла, являются основными дифференциальными уравнениями теоретической механики. И тем не менее мы еще не достигли конца пути. Функция Лагранжа квадратична по скоростям. Гамильтон обнаружил замечательное преобразование, делающее функцию Лагранжа линейной по скоростям при одновременном удвоении числа механических переменных. Это преобразование применимо не только к специальному виду функции Лагранжа, встречающемуся в механике. Преобразование Гамильтона сводит все лагранжевы задачи к особенно простой форме, названной Якоби канонической формой. Первоначальные п дифференциальных лагранжевых уравнений второго порядка заменяются при этом 2га дифференциальными уравнениями первого порядка, так называемыми каноническими уравнениями , которые замечательны своей простой и симметричной структурой. Открытие этих дифференциальных уравнений ознаменовало собой начало новой эры в развитии теоретической механики. [c.190]

В свете всего сказанного о параметрических системах формулировка принципа наименьшего действия для консервативных систем, данная Эйлером и Лагранжем, получает новый смысл. Напомним, что этот принцип требует минимизации интеграла по времени от величины 2Т при условии, что для движущейся точки выполняется энергетическое уравнение Т + V = . При переходе от пространства конфигураций к фазовому пространству принцип Эйлера — Лагранжа принимает следующую форму. Требуется найти условия стационарности интеграла [c.221]

Вернемся к принципу наименьшего действия в формулировке Лагранжа, перейдя, однако, от л-мерного пространства конфигураций к 2/г-мерному фазовому пространству (см. гл. V, п. 6). Требуется найти стационарное значение действия [c.257]

Монография Н. Е. Жуковского О прочности движения (1882) содержит теорию устойчивости траекторий динамических систем, которую сейчас называют теорией орбитальной устойчивости. Этот труд систематизирует и пополняет результаты В. Томсона и П. Тэта, изложенные в их известном Трактате натуральной философии Для Томсона и Тэта отправным пунктом была теория кинетических фокусов К. Якоби, намеченная в его Лекциях по динамике . Якоби, исходя из наглядных геометрических соображений, показал, что на истинной траектории динамической системы действие , которое Входит в интегральные вариационные принципы механики (П. Мопертюи, Л. Эйлер, Ж. Лагранж), не обязательно минимально. Томсон и Тэт связали эти результаты с теорией устойчивости, показав, что минимальность действия на траектории влечет за собою устойчивость последней, тогда как стационарность действия на траектории,— а только к этому должен сводиться вариационный принцип механики,— оставляет вопрос об устойчивости траектории открытым, Жуковский справедливо оценил те несколько страниц из Трактата натуральной философии Томсона и Тэта, которые уделены авторами исследованию прочности (Жуковский пользуется этим термином вместо устойчивости), как только легкий набросок, в котором указываются пути для более обстоятельного исследования . [c.122]

Как известно, в динамике дискретных систем подобная вариационная задача, приводящая к уравнениям Лагранжа 2-го рода, составляет содержание принципа стационарного (или наименьшего) действия. Согласно этому принципу рассматривается совокупность траекторий движения изображающей точки в пространстве конфигураций системы, характеризуемой функцией Лагранжа между двумя положениями и (/1) при этом утверждается, что по сравнению с соседними траекториями вдоль траектории действительного движения [c.434]

Показано, что интегральное равенство обобщённого принципа Гёльдера справедливо также для кривых сравнения, полученных варьированием по Гельмгольцу. Принцип Гамильтона-Остроградского и принцип стационарного действия Лагранжа выводятся как частные случаи. Предложено новое обобщение принципа Гёльдера [17. [c.118]

Решение. В одиородном поле силы тяжести материальная точка движется в вертикальной плоскости, содержащей вектор начальной скорости va. Выберем за начало коордннат точку А, ось х направим горизонтально в сторону движения точки, а ось (/ — вертикально вверх. Полная механическая энергия материальной точки при ее движении в однородном поле силы тяжести остается постоянной. Для определения траектории точки воспользуемся принципом стационарного действия Мопертюи—Лагранжа. [c.411]

Принцип Гамильтона, рассматриваемый как вариационный принцип стационарного действия, справедлив только для голономных систем. Невозможность непосредственного распространения интегральных принципов, установленных для голономных систем, на неголоном-ные системы была отмечена ещё Герцем [27]. Он обратил внимание на то, что не всякие две точки конфигурационного пространства могут быть соединены траекторией системы с неинтегрируемой дифференциальной связью. Первым, кто предложил интегральный принцип, пригодный для неголономных систем, по-видимому, был Гёльдер его принцип имеет форму интегрального равенства, не являющегося условием стационарности функционала он был получен при предположении перестановочности операций d w 5 (см. заметку 16). При этом, во-первых, варьированные траектории не удовлетворяют уравнениям неголономных связей, и во-вторых, уравнения движения неголономной системы не совпадают с уравнениями Эйлера вариационной задачи Лагранжа. Обсуждению этих двух вопросов посвящена обширная литература с начала двадцатого века и до настоящего времени. Приведём некоторые результаты [101. [c.142]

Отметим, что условие (8.34) является условием стационарности величины А. Вопрос о том, будет ли при этом А иметь минимальное значение, требует дальнейшего исследования. Можно доказать, что для достаточно близких Л и 2 действие по Лагранжу А будет минимумом. В этом случае этот принцип можно назвать принципом наименьигего действия. [c.230]

Продолжая исследования М. В. Остроградского, Ф. А. Слудский ) и затем М. И. Талызин ) показали, что принцип наименьшего действия в форме Эйлера—Лагранжа и принцип Гамильтона—Остроградского существенно различны. Дело в том, что в принципе Гамильтона вариации координат 6 , изохронны и время не варьируется, так как каждой точке действительной траектории ставится в соответствие точка на другой бесконечно близкой кривой, причем обе точки проходятся в один и тот же момент времени. В случае же принципа Эйлера— Лагранжа связи стационарны и имеет место закон живых сил Т = U + h. При этом допущении время должно варьироваться. [c.834]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...