Возмущение траектории

Таким образом, возмущенная траектория точки В — спираль, проходящая через точку. 4. [c.650]

Если интенсивность воздействия случайных факторов невелика, то возмущенная траектория мало отличается от невозмущенной. Это позволяет использовать уравнения, линеаризованные относительно малых отклонений возмущенных параметров от невозмущенных (метод малых возмущений). Рассмотрим вид этих уравнений и их общие решения, с тем чтобы выявить роль и место аэродинамических характеристик (производных устойчивости) в обеспечении устойчивости движения летательного аппарата. [c.39]

Почти плоская возмущенная траектория центра G представляет эпициклоиду. Если с в уравнении (7) положительно, то и одного знака, и эпициклоида — прямая . В обратном случае X] и будут разных знаков и эпициклоида — обратная" ( Динамика", 23). [c.102]

Доказать также, что движение по внутренней экваториальной окружности неустойчиво и что при незначительном возмущении траектория точки пересечет внешнюю экваториальную окружность под углом, равным [c.109]

Устойчивость. Рассмотрим теперь влияние малых возмущений, обусловленных небольшими изменениями величин и а. Если траектория соответствует точке h, а, расположенной внутри области (т. е. не лежащей на критической кривой), то малое возмущение приводит к соседней траектории того же типа. Подобные траектории мы будем называть устойчивыми, употребляя этот термин в широком смысле, т. е. не считая, что это обязательно должно означать, что возмущенная траектория лежит в окрестности невозмущенной траектории. В этом смысле термин устойчивость означает лишь то, что траектория возмущенного движения относится к тому же типу кривых, что и исходная траектория. [c.309]

Рис. 50. Возмущение, наблюдаемое в QTP. Го — невозмущенные траектории, Г—возмущенная траектория.

На эту систему воздействует большое число регулярных и случайных возмущений возмущение траектории управляемого полета вследствие инструментальных погрешностей измерительных элементов, системы регулирования параметров движения объекта, динамических погрешностей регулирования и др. инструментальные погрешности исчисления дальности комплекса наведения и др. возмущение траектории свободного полета объекта из-за ветра и других отклонений состояния атмосферы от нормальных условий и т. д. [c.122]

После небольшого размышления можно видеть, что большая часть неясностей в этом вопросе обусловлена тем, что не существует достаточно строгого математического определения для понятия устойчивость . Возникает в еще большей степени та же трудность, если перейти к вопросу об устойчивости движения. Определения, предложенные различными авторами, были подвергнуты критическому разбору Клейном и Зоммерфельдом в их книге по теории волчка ). Отвергая прежние определения, они основывают свой критерий на виде изменений, вызываемых малыми произвольными возмущающими импульсами в траектории системы. Если невозмущенная траектория представляет предельное положение возмущенных траекторий при [c.447]

Рассмотрим сначала влияние регрессии узла орбиты, пренебрегая влиянием регрессии перигея. Тогда множество траекторий вектора кинетического момента дается формулой (8.3.4), из которой видно (учитывая предыдущие формулы зависимости р и х от 0 и X), что при добавлении влияния регрессии узла орбиты к гравитационным и аэродинамическим возмущениям траектории остаются замкнутыми, так как О будет периодической, периода 2я, функцией от X. Это значит, что возмущения от регрессии узла орбиты сказываются только в искажении формы траектории. Это искажение будет невелико в тех реальных случаях, когда скорость регрессии узла орбиты й мала по сравнению со скоростями аэродинамической и гравитационной прецессии. [c.280]

Устойчивость по Ляпунову и устойчивость множеств. Требование устойчивости по Ляпунову (по отношению ко всем переменным) невозмущенного движения означает, в том числе, близость невозмущенной и возмущенных траекторий, соответствующих невозмущенному и возмущенным движениям. [c.47]

Усредним функцию по не возмущенным траекториям. Для этого перейдем к новым угловым переменным г по формуле г = х и положим X = шЬ+х . Тогда г = где х . [c.239]

Момент пересечения траекторий частиц определяется условием Х( = dx/dQt = О, в котором новая независимая переменная С, постоянна на каждой возмущенной траектории. Взяв за координату частицы при = О, будем иметь [c.491]

Применение методов аналитической механики к решению нетривиальных задач требует уже при составлении уравнений подробных сведений по вопросам, на которых, как правило, останавливаются весьма кратко. В связи с этим в книге значительное внимание уделено способам введения обобщенных координат, теории конечных поворотов, методам вычисления кинетической энергии и энергии ускорений, потенциальной энергии сил различной природы, рассмотрению сил сопротивления. После этих вводных глав, имеющих в известной степени и самостоятельное значение, рассмотрены методы составления дифференциальных уравнений движения голономных и неголономных систем в различных формах, причем обсуждаются вопросы их взаимной связи подробно рассмотрены вопросы определения реакций связей и некоторые задачи аналитической статики. Мы считали полезным привести геометрическое рассмотрение движения материальной системы, как движение изображающей точки в римановом пространстве этот материал нашел, далее, применение в задачах теории возмущений. Специальная глава отведена динамике относительного движения, к которому приводятся многочисленные прикладные задачи. Далее рассмотрены канонические уравнения, канонические преобразования и вопросы интегрирования. Значительное место уделено теории возмущений и ее разнообразным применениям. Последняя глава посвящена принципу Гамильтона—Остроградского, принципу наименьшего действия Лагранжа и теории возмущений траекторий. [c.9]

Задача об устойчивости заданного движения материальной системы может рассматриваться с различных точек зрения. Речь может идти, во-первых, о разыскании оценок отклонений обобщенных координат и обобщенных скоростей от их значений в опорном движении в любой момент времени, когда начальные возмущения достаточно малы. Об основывающемся на этом воззрении определении устойчивости движения по Ляпунову кратко говорилось в п. 11.10, а составлению уравнений возмущенного движения — уравнений в вариациях — были посвящены пп. 11.14—11.17. Во-вторых, может рассматриваться лишь орбитальная устойчивость, когда вопрос о протекании во времени возмущенного движения отодвигается на второй план, а изучаются лишь траектории возмущенного движения и устанавливаются критерии их близости к опорной траектории. При этом часто, ограничивая постановку задачи, рассматривают только консервативные возмущения — такие, при которых на возмущенных траекториях сохраняется то же самое значение постоянной энергии /г, что и на опорной траектории. Принцип стационарного действия Лагранжа оказывается при этой постановке задачи наиболее приспособленным методом исследования орбитальной устойчивости, поскольку траекториями как опорного, так и возмущенного движений являются геодезические линии многообразия / элемента действия, т. е. простейшие геометрические [c.721]

Вывод дифференциальных уравнений в вариациях возмущенных траекторий в значительной мере повторяет сказанное в пп. 11.14— 11.17, с той разницей, что независимым переменным теперь является не время а действие по опорной траектории — отсчитываемая по ней дуга а в метрике элемента действия конечно, все вычисление ведется в той же метрике, а не в метрике кинематического элемента. [c.722]

Томпсон и Тэт называют опорную орбиту устойчивой, если при сообщении достаточно малого консервативного возмущения нормальное отклонение V остается по всей траектории ограниченным. Это. же определение прочности движения принимает Н. Е. Жуковский. Надо добавить, что уравнение (3) может дать лишь необходимый критерий орбитальной устойчивости, а разыскание также и достаточных критериев требует сохранения в уравнениях возмущенных траекторий нелинейных относительно V слагаемых. Необходимым (но недостаточным) условием того, чтобы величина V, определяемая уравнением (3), оставалась ограниченной, является положительность К во всем интервале изменения а для установившихся движений, когда К постоянно вдоль траектории, оно будет и достаточным. [c.723]

Т, п = Ъ, В уравнениях (11.16.8)—(11.16.10) теперь, в соответствии с (12.14), надо принять Ш(1) = 0, а)(2) = - Тогда при консервативном возмущении (Ьк = 0) получим уравнения в вариациях возмущенных траекторий в виде [c.723]

Переходим к примерам, иллюстрирующим изложенный в п. 12.13 метод исследования возмущенных траекторий. Примеры взяты из упомянутого труда Н. Е. Жуковского, в котором к рассмотрению их привлечены другие приемы. [c.730]

Невозмущенное движение происходит по нижней (ОЛ) или верхней (ОБ) образующей, начинаясь из вершины конуса. Составить уравнения возмущенных траекторий. [c.731]

Использование представлений геометрии многообразия элемента действия для изучения возмущенных траекторий в применении к системам с числом степеней свободы /г З становится весьма трудным. Быстрее и надежнее к цели — составлению дифференциальных уравнений возмущенных траекторий — приводит применение уравнений Якоби (11.6), хотя при этом теряются геометрический язык и компактность и изящество записей тензорного анализа. [c.734]

Обобщенные координаты. ... предполагаются выбранными так, чтобы опорному движению соответствовали их нулевые значения. На возмущенных траекториях как эти координаты, так и их производные 2 я п Поэтому в дифференциальных уравнениях возмущенных траекторий—в уравнениях в вариациях, должны быть сохранены лишь первые степени величин д .....д , [c.735]

СТОЛЬКО условий, СКОЛЬКО необходимо для однозначного определения движения разрыва. Величина возмущения траектории разрыва при этом стремится к нулю, т. е. разрыв устойчив к малым возмущениям. Условие 1) называется условием эволюционности. Оно обеспечивает однозначную разрешимость линеаризованной задачи о взаимодействии разрыва с малым возмущением. [c.320]

Решение. При вычислении траектории космического аппарата необходимо учитывать силы, действующие со стороны Солнца и планет. Однако в небесной механике известно точное решение только одной задачи — задачи о движении двух тел. Поэтому в астродинамике получили развитие приближенные методы расчета траекторий. Один из методов основан на анализе гравитационного возмущения траектории КА в окрестности планеты. [c.155]

Возмущенное движение спутников. Вследствие возмущений траектория ИСЗ существенно изменяется за конечный промежуток времени. В этом случае для расчета траектории используют приближенный метод, предполагая, что в течение периода обращения спутник движется по эллипсу, а параметры, определяющие его размеры и ориентацию в пространстве, изменяются адиабатически медленно МТ <С М [c.47]

КОЙ функции. Так как мы имеем дело только с малыми возмущениями (теория возмущений первого порядка), то предположим, что воздействия разных возмущений могут линейно накладываться друг на друга. Но тогда возмущение характеристической функции может быть записано в виде суммы двух компонент возмущение траектории в невозмущенном поле и возмущение поля при невозмущенной траектории. Первая компонента определяется вариацией характеристической функции (5.34), куда следует подставить 8Х=Х< > и 6У=У( так как вариацией координаты является именно разность между ее значениями в рамках теории третьего порядка и в параксиальной теории. Вторая компонента — это характеристическая функция, т. е. интеграл от возмущения вдоль невозмущенной параксиальной траектории. Следовательно, можно написать [c.256]

Рассмотрим произвольный момент времени, отличный от начального. Этому моменту времени соответствуют определенные числовые значения элементов орбиты, отличные, вообще говоря, от их начальных значений (12.15). Вообразим, что начиная с этого момента t элементы перестали изменяться, или, лучше сказать, представим некоторое невозмущенное движение, которому в момент t соответствуют элементы, найденные по формулам (12.14). Так как, принципиально говоря, текущий момент времени t ничем не отличается от начального момента ta, то сказанное выше можно повторить почти без изменения. Именно, в момент t можно опять рассмотреть два движения — невозмущенное и возмущенное, траектории которых выходят из одной и той же точки пространства, обладая в этой точке одной и той же касательной, т. е. одной и той же скоростью по величине и направлению (см. рис. 65). [c.574]

Нелинейная волна представляет собой довольно сложную динамическую систему. Ее можно представить себе как пакет плоских волн, между которыми существует сильная связь. Поэтому задача о влиянии внешних возмущений на нелинейную волну содержит ряд особенностей по сравнению с задачами о возмущении траекторий частиц. [c.142]

На основании (4) это будет условием установившегося движения по горизонтальному кругу с угловым радиусом а. Согласно предположению это условие выполняется на возмущенной траектории с очень большим приближением, и при незначительном и-зменении значения а условие тложет быть выполнено точно (см. . 87). Если мы положим [c.276]

Рассмотрим теперь возмущенную траекторию Г. В точке В ее направление отличается от направления Го, и в то время, как изображающая точка В пробегает Г, проекция этой точки В движется по поверхности Sajv-Поэтому метод, изложенный здесь, называется методом вариации произвольных постоянных, так как Са постоянны для Го, но не для Г. Проблема возмущений сводится к изучению закона, по которому са изменяются с t, когда изображающая точка пробегает Г. Если бы мы знали этот закон, то могли бы найти Г ее уравнения в форме [c.389]

Из (2) следует, что при малых дефектах Аа возмущение движения Аф = ф t, /о- о + — Ф Уо7 о) = С (t) Аа, т. е. линейно связано с появлением дефекта. Из последнего можно заключить, что при малых дефектах можно также прогнозировать дефектное состояние. Действительно, если в этом случае nepBOMj дефекту соответствует Аа , а второму дефекту — Aaj, то возмущение траектории движения при наличии двух дефектов будет определяться как Дф = С (t) (Да -f Aa2)i так как С (t) не зависит от Да. [c.61]

Ещё одним важным аспектом В. т. в классич. механике являются возмущения траекторий, вызванные малым изменением нач. условий. Здесь следует отметить выяснение проблемы устойчивости движения по первому приближению В. т. При нек-рых, довольно слабых ограничениях имеются след, утверждения (А, А. Ляпунов, 1892). Пусть изменение нач. условий характеризуется малым параметром е. Если поправки к репюнию, иолученные в нервом приближении по s, не содержат экспоненциально нарастающих по времени членов, то движение в целом будет устойчивым. Если такие члены содержатся в первом приближении, то движение окажется неустойчивым. Т. о., отброшенные члены, соответствующие высшим приближениям по е, не влияют на устойчивость движения. [c.303]

Под локальной неустойчивостью понимается разбегание очень близких вначале фазовых траекторий такое, что в любой сколь угодно малой близости от невозмущенной траектории У есть возмущенные траектории, которые со временем будут отходить от нее на расстояние, большее некоторого е > 0. После того как такая близкая фазовая траектория у выйдет из е-окрестпости 7, она может снова в нее войти, но затем в общем случае обязательно снова выйдет и т. д. [c.45]

Так как в случае действия только аэродинамических возмущений траектории являются окружностями с центром в аэрополюсах, то заключаем, что влияние регрессии узла орбиты на эти траектории приводит к их смещению в целом вдоль меридиана Я = Я и к некоторому изменению радиуса окружности (при равных начальных данных) согласно (8.5.5) и (8.5.6). [c.283]

Теперь осталось рассмотреть, как искажаются траектории (8.5.1) или, что то же, (8.5.6) под действием регрессии перигея орбиты. Из соображений непрерывной зависимости траекторий от параметров следует, что при малых аэродинамических возмущениях траектории должны быть близки к траектории уходящего типа, подобной изображенной на рис. 57. Наоборот, если аэродинамические возмущения велики, то регрессия орбиты должна мало сказаться на форме траектории и траектория должна быть близкой к окружности малого круга на единичной сфере с центром в аэрополюсе. [c.283]

Вопрос о характере экстремума действия по Лагранжу на избранной траектории q пучка связывается с рассмотрением устойчивоеги этой траектории. Ограничимся случаем п = 2 и рассмотрим семейство интегралов дифференциального уравнения возмущенных траекторий (12.13.3) 2 [c.750]

Заметим, что в системах с одной степенью свободы наличие у периодического движения участка скольжения гарантирует его асимптотическую устойчивость. Действительно, возмущенная траектория может отличаться от невозмущенной лигиь до первого участка скольжения, а затем они сливаются. В системах с несколькими степенями свободы из наличия участка скольжения следует, что характеристическое уравнение (13) имеет два нулевых корня. Поэтому проверка условий теоремы 2 связана с вычислением остальных 2п — 2 корней. [c.252]

Если при Re—Re2 r один из мультипликаторов переходит через единичную окружность в точке р=—1, то i/(ti)(o ( ) =—о) ( ), т. е. малое возмущение за один оборот по траектории Uo(x)-f -f-Ui(x, t) просто меняет знак. Тогда через следующий оборот получится 0) (/-f-2Ti) =—i/(ti)(o (/) =(о (/), т. е. возмущенная траектория замкнется. Таким образом, в этом случае при Re = Re2 r происходит бифуркация удвоения периода — из периодического движения с периодом ti рождается устойчивое периодическое движение с удвоенным периодом 2ti, а исходное движение становится неустойчивым (рис. 2.10в). Таким же образом затем может произойти следующая бифуркация удвоения периода и т. д. [c.99]

Н. Г. Четаев (1951) обосновал возможность применения функций Ляпунова для вычисления оценок качества переходного процесса в системе. Первоначально им была выведена оценка сверху для времени перехода любой возмущенной траектории линейной системы, йачинающейся на сфере заданного радиуса А, внутрь наперед заданной малой сферы радиуса е. Эта оценка получена путем рассмотрения наибольшего и [c.49]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...