Правило множителя Лагранжа

Внося условие (4.232) в функционал с помощью правила множителей Лагранжа, получим следующую задачу без добавочных условий. [c.203]

Оказывается, поставленную задачу с помощью методики, изложенной в 4.7 (правила множителей Лагранжа с последующим применением необходимых условий стационарности), можно преобразовать к локальному виду. [c.302]

Таким образом, при некотором Я. точка Хд есть решение уравнения (4.11). Отсюда вытекает правило множителя Лагранжа. А именно, рассматривается функция Лагранжа Z,(x, Х) = /(х) + Яф(х) переменных X, X и ищутся стационарные точки этой функции в пространстве п + 1 переменного х, X, т.е. ищутся рещения уравнения (4.11) при условии Ф (х) = 0. Для выяснения вопроса, какие из полученных точек являются точками максимума и минимума условного экстремума, используются дополнительные соображения геометрического, физического и тому подобного характера. [c.97]

Метод множителей Лагранжа является обобщением правила множителей Лагранжа для функций нескольких переменных и состоит в том, что для отыскания точки условной стационарности функционала [c.23]

Развитые методы распространяются на динамические задачи теории упругости путем учета сил инерции. Таким образом, принцип виртуальной работы для динамических задач выводится с помощью понятия кинетической энергии. Принцип виртуальной работы преобразуется в новый вариационный принцип, если предположить, что существуют функция энергии деформации и функции потенциалов внешних сил. Полученный таким образом вариационный принцип можно рассматривать как принцип Гамильтона, распространенный на динамические задачи теории упругости. Он может быть далее обобщен с применением правила множителей Лагранжа. [c.19]

С применением правила множителей Лагранжа Хз. 4 i> и г )з принцип виртуальной работы можно записать в виде [c.285]

Если шкала сложности определяется с помощью функционала сложности N (К), а а — фиксированное (допустимое) значение функционала качества J (К), то при соответствующих условиях с помощью правила множителей Лагранжа приходим к задаче минимизации функционала [11] [c.70]

Теория краевых лагранжевых особенностей ведёт к интересной лагранжевой двойственности , меняющей местами функцию на объемлющем пространстве и её ограничение на край (эта версия правила множителей Лагранжа была получена И.Г.Щербак [157]). [c.175]

Несмотря на одинаковые индексы и пределы суммирования а правой и левой частях этого равенства, обе части содержат разные множители Лагранжа, так как компонент не может одновременно быть и подвижным и неподвижным и хотя бы один из коэффициентов аг/ для t-ro компонента в одной из сумм равен нулю. Из (16.34) видно, что при равновесии равняться друг другу должны не химические потенциалы составляющего, как в [c.146]

Общее решение. Необходимым условием экстремума одной из сумм (9.15), (9.16),.. . при данной формулировке задачи является удовлетворение требованиям теоремы правила множителей и, как следствия ее, соблюдение уравнений Эйлера — Лагранжа. Согласно теореме правила множителей и ее следствию [111] при наличии экстремума одной из сумм (9.15), (9.16),.. . необходимо, чтобы между узловыми точками соблюдались уравнения Эйлера — Лагранжа [c.179]

В решении задачи Лагранжа используется правило множителей, на которое мы уже ссылались в 26.1 и 26.2. Требуется составить условия стационарности функционала и [c.546]

Запись системы дифференциальных уравнений движения и исключение множителей Лагранжа Л,-. Используя полученные выше коэффициенты а, и , и имея в виду полное число координат Я + /г = 5 + 2 = 7, записываем левую часть дифференциальных уравнений в форме (2.16), как в предыдущем примере. В правой части этих уравнений в соответствии с (2.20) помимо обобщенных сил Q,- стоит, сумма А h ,- +. .. Ч Л /г у. [c.67]

Важным обстоятельством является то, что после разложения упорядоченных экспонент в ряды по S все средние значения в правых частях уравнений (6.1.15) и (6.1.17) вычисляются с помощью теоремы Вика, поскольку невозмущенный оператор энтропии (6.1.10) есть билинейная форма от операторов рождения и уничтожения. Для слабо неидеальных квантовых газов множитель Лагранжа 52(/ /2 1 2) играет роль малого параметра. В этом случае уравнения (6.1.15) и (6.1.17) можно решить методом итераций (см. задачу 6.1). Если корреляции дают существенный вклад в неравновесные термодинамические величины, то метод итераций непригоден и требуется по крайней мере частичное суммирование формальных рядов теории возмущений. Как уже отмечалось, для равновесных систем суммирование такого рода наиболее удобно проводится в технике температурных функций Грина. Поэтому естественно построить аналогичную технику и для неравновесных состояний. [c.12]

Хвх в виде единичной скачкообразной функции X ( ) = 1 [ ] и нулевых начальных условиях. Если бы мы решали эту задачу классическим способом, то нам, очевидно, пришлось бы получить прежде всего для системы исходное дифференциальное уравнение (четвертого порядка и, следовательно, с правой частью), найти численные значения корней характеристического уравнения (для уравнения без правой части), выписать (судя по их виду) интеграл уравнения без правой части. Затем задаться видом частного решения уравнения с правой частью каким-либо из известных нам методов (например, методом вариации произвольных постоянных или методом неопределенных множителей Лагранжа), для чего придется многократно (3 раза) дифференцировать и, получив общий интеграл, искать постоянные интегрирования. Это потребует из-за наличия производных в правой части и скачкообразной формы возмущения пересчета начальных условий. Только после определения постоянных интегрирования в численном виде можно будет, задаваясь значениями аргумента t, вычислить ординаты функции или кривой переходного процесса. [c.145]

Сохраним положительные знаки в правых частях равенств (2.69) и перейдем к рассмотрению множителей Лагранжа (I = 1, 2, 3). Нетрудно убедиться, что существует альтернатива либо положить эти компоненты равными нулю, либо, удалив из уравнений движе- [c.35]

В общем случае функциональные производные, стоящие в правой части уравнения (2.1), нельзя выразить в замкнутой форме, так как связь между гиг ) I) выражается дифференциальными уравнениями. Как показано в 2.3, это затруднение можно преодолеть, используя множители Лагранжа. Однако если пренебречь силами аэродинамического сопротивления и предположить, что сообщаемое снаряду ускорение обусловлено [c.41]

Лагранж вывел уравнения равновесия несжимаемой жидкости из принципа возможных перемещений с помощью своего знаменитого метода неопределенных множителей. В механике несжимаемой жидкости в качестве условного уравнения он записал условие несжимаемости или неизменности объема каждого элементарного параллелепипеда dx dy dz. Умножив вариацию условного уравнения на неопределенный множитель К, сложив это с правой частью общей формулы статики и детально разработав вывод вариации б (dx dy dz), Лагранж получил уравнение равновесия несжимаемой жидкости в виде [c.177]

Неопределённые множители входят в уравнения движения линейно (первая форма уравнений Лагранжа). В уравнениях движения в форме (5.26) реакции связей с неопределёнными множителями включаются в правые части в число обобщённых непотенциальных сил. [c.70]

Указанный выше выбор переменных поля произволен. Изменяя этот выбор, можно получить иные формы уравнений движения— аналогов уравнений Лагранжа второго рода для систем с конечным числом степеней свободы в переменных Лагранжа. Например, опуская множитель р в правой части равенств (2.117), получаем [c.58]

Как только принцип стационарности потенциальной энергии получен, он может быть обобщен с применением правила множителей Лагранжа. Ниже приведено лишь выражение для Ilit [c.132]

Не останавливаясь подробно на теории краевых особенностей, етмечу двойственность Лагранжа , переставляющую функцию и ее ограничение на край (с точностью до стабильной эквивалентности) такова современная трактовка правила множителей Лагранжа (И. Г. Щербак, 1982). [c.463]

При решении практических задач этот подход, как правило, непригоден из-за отсутствия явных функциональных выражений ограничений-равенств. ГТоэтому обычно применяют второй подход, использующий классический метод множителей Лагранжа. Он требует построения функций Лагранжа [c.252]

Общий метод решения задачи о движении твердого тела. Уравнения Эйлера. Весь аппарат, необходимый для решения задачи о движении твердого тела, нами практически уже получен. В некоторых случаях, когда на это тело наложены не-голономные связи, нам потребуется применить специальные приемы, чтобы учесть их. Так обстоит дело, например, в том случае, когда на тело наложена связь качения , которая может быть учтена с помощью введения неопределенных множителей Лагранжа, как это делается в 2.4. Если, однако, исключить эти специальные случаи, то, как правило, нам придется иметь дело только с голономными и консервативными системами, а движение таких систем вполне определяется их лагранжианом. Если рассматриваемое тело является свободным, то нам потребуется полная система из щести обобщенных координат TpeJ< [c.177]

Резюме. Метод множителей Лагранжа остается справедливым и в случае неголономных дополнитель ных условий. Силы, возникающие в связи с этими уело ВИЯМИ по-прежнему могут быть найдены. Эти силь имеют полигенную природу. Неголономные допол нительные условия и полигенные силы одинако во влияют на уравнения движения Лагранжа они при водят к появлению в этих уравнениях правых частей [c.175]

В результате исследований, посвященных принципу максимума и аналогичным ему критериям классического вариационного исчисления, были разработаны общие приемы построения необходимых признаков оптимальности, по-видимому, вполне достаточные для большинства типичных экстремальных задач о программном управлении. Как правило, в настоящее время решение этого вопроса не вызывает принципиальных затруднений, во всяком случае, если речь идет о минимизации (максимизации) функционалов вида (8.2) и подобных им. При встрече с новым кругом задач этого типа обычно удается учесть дополнительные обстоятельства и составить соответствующие необходимые условия экстремума по широко известным теперь общим рецептам. Однако составление дифференциальных уравнений, выражающих необходимые условия оптимальности, является лишь первым, хотя и чрезвычайно важным этапом в решении конкретных проблем. Следующий этап состоит в интегрировании этих уравнений с учетом краевых условий, которым должно удовлетворять искомое оптимальное движение. Эта краевая задача, связанная с необходимостью привести управляемый объект в заданное состояние, остается до сих пор трудной проблемой. Дело заключается в следующем. Необходимые признаки оптимальности, выражаемые дифференциальными уравнениями Эйлера — Лагранжа для координат Х1 1) и множителей Лагранжа Я-г ( ) (или для имеющих тот л е смысл координат г) г 1) вектора -ф ( ) в случае принципа максимума), определяют внутренние свойства оптимальных движений, описывая их локальное поведение в окрестности каждой точки на данной траектории. В силу этих свойств каждое оптимальное движение развертывается во времени совершенно определенным образом, отталкиваясь от начальных условий х ( о) и ( о)-Начальные данные ( о) обычно задаются по условиям задачи. Величины ( о) ("Фг ( о)) определяют по условиям принципа максимума направление в пространстве х , в котором уходит оптимальное движение х (t) из точки X to). Трудность состоит в выборе величин (Ьо), которые обеспечивают прицеливание оптимального движения как раз в заданное конечное состояние X 1х) (или на заданное многообразие М конечных состояний и т. п.). Эффективное преодоление этой трудности, как правило, тормозится невозможностью получения явной зависимости между величинами х ( 1) и А, ( о) вследствие неинтегрирз емости в замкнутой форме дифференциальных уравнений задачи. Каждая новая серия соответствующих краевых задач, особенно, если речь идет о нелинейных объектах, требует обычно для своего разрешения подбора специальных вычислительных алгоритмов. Лишь для отдельных классов задач выведены некоторые закономерности, облегчающие их конкретное решение. [c.192]

Чтобы сложить аберрации третьего порядка по всем поверхностям анаморфота, нужно умножить обе части уравнений (IX.125) на и —множитель, пропорциональный апертурному углу О). В левой части появляются тогда инварианты Лагранжа— Гельмгольца. В правой части произведения з на соответствующие дают высоты А пересечения апертурного луча с поверх иостью, выраженные в соответствующих единицах [c.587]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...