Общее решение уравнений неразрывности

Функция О (а , у), определяемая равенством (10) или (11), называется функцией тока плоского потока. Она имеет большое значение при изучении всех вопросов, связанных с плоским потоком. С математической точки зрения на функцию тока можно смотреть как на одно из общих решений уравнения неразрывности движения для плоского потока. Нетрудно убедиться, что если известна функция тока, то из нее простым дифференцированием могут быть получены компоненты скорости Vx И 1 у И подстановка этих выражений для и в уравнение неразрывности обращает его в тождество. В самом деле, равенство (10) эквивалентно двум равенствам, которые получаются, если сопоставить его с общей формулой для полного дифференциала [c.129]

Показано несоответствие некоторых общих решений уравнений равновесия вариационному принципу Кастильяно и выводимым из него определенным видам уравнений неразрывности. В этом плане следует подчеркнуть целесообразность проверки новых и известных старых дифференциальных формулировок на соответствие вариационным принципам. [c.10]

В гл. 3 и 4 будут использоваться, например, следующие общие решения решение а = вида (17) системы физических уравнений а" — a eki — 0 параметрические общие решения уравнений равновесия в функциях напряжений, уравнений неразрывности (параметры — перемещения), статических граничных условий в функциях напряжений и деформационных граничных условий для оболочек и др. [c.22]

Этот факт облегчил построение общего решения уравнений равновесия в форме (1.29) по аналогии с общим решением (1.6), (1.12) уравнений неразрывности. [c.133]

Система уравнений (1-79) дополняется уравнениями неразрывности, процесса, состояния. Неизвестные величины, входящие в систему уравнений Навье — Стокса, должны также удовлетворять кинематическим и физическим граничным условиям. Общее решение уравнений (1-79), являющихся нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка, не получено. Имеются частные решения некоторых важных инженерных задач. [c.58]

Для решения ряда задач о плоских течениях существенную роль играет функция тока. Естественно поэтому выяснить, нельзя ли и для пространственных течений ввести аналогичную функцию. В общем случае ответ на этот вопрос отрицателен. Однако существуют частные виды пространственных течений, для которых такая функция существует. В самом деле, допустим, что характер движения позволяет выбрать криволинейную систему координат ( 1. 7а. Яп) в которой одна из проекций скорости равна нулю. Пусть, например, Uj = 0. Тогда уравнение неразрывности (2.23) примет вид [c.271]

В общем случае тепловые н физико-химические процессы около дисперсных частиц не только зависят от поля скоростей около них, но II сами влияют на эти ноля скоростей. Особенно это обратное влияние сказывается в газовой фазе из-за сильного влияния температуры на ее плотность. В связи с этим общая задача определения движения и других процессов около капель, частиц и пузырьков сводится к совместному решению связанных между собой уравнений неразрывности, импульса, теплопроводности, диффузии и кинетики. В связи со сложностью этой задачи имеются лишь достаточно частные ее решения, которые можно разделить на два класса. [c.173]

Уравнения (XII.52) и (XII.53) по форме одинаковы одинаковы также их граничные условия, уравнение неразрывности является общим. Тогда для получения основных зависимостей для ламинарного диффузионного слоя достаточно в известных решениях для теплового слоя произвести замену тепловых величин на соответствующие диффузионные. Например, интегральное соотношение для диффузионного слоя запишется в виде [c.322]

В наиболее общем случае, когда нельзя ничего заранее сказать о симметрии задачи, ее решение весьма затруднено. Общая постановка задачи и ее математическое описание известны и даны, например, в [54]. Для составления основных уравнений используются известные законы газо- и термодинамики. Система уравнений включает уравнения неразрывности, движения частиц жидкости и газа, баланса энергии, диффузии, теплопроводности, а также условия на границе раздела двух сред. Эти уравнения громоздки, и мы их здесь не приводим. [c.18]

Основой современных методов расчета тепло- и массообмена являются дифференциальные уравнения движения, неразрывности, теплопроводности и диффузии [31, 32, 51, 52]. В совокупности с условиями однозначности они составляют систему уравнений, решения которой дают искомые поля скоростей, температур и концентраций среды. Названные уравнения выведены для бесконечно малого объема среды и отражают элементарный акт переноса субстанции массы, энергии и количества движения (импульса). Общее дифференциальное уравнение переноса субстанции записывается в следующем виде [32] [c.23]

Существование и единственность рещения написанной системы уравнений следует из существования и единственности решения поставленной задачи, по существу, в связи с единственностью конформного отображения z(Zq). Решение этих уравнений в общем виде удается только в отдельных простых случаях, например для решетки пластин, когда сразу можно указать функцию а = а(0). В общем случае решение возможно путем последовательных приближений. Пусть в исходном (нулевом) приближении, кроме данных в задаче, известны еще распределение скорости на профиле H° (s), углы потока и а °) в бесконечностях и скорость за решеткой. Указанные величины должны, конечно, удовлетворять уравнениям неразрывности и отсутствия вихрей. [c.157]

Общих оснований для утверждения сходимости описанного процесса последовательных приближений нет. В выполнявшихся расчетах определение всех параметров с необходимой точностью требовало не более трех приближений. Следует отметить положительное влияние сглаживающего характера интеграла уравнения неразрывности (45.4) или (45.8), который во всяком случае гарантирует отсутствие грубых ошибок в решении. Дополнительные соображения в пользу сходимости последовательных приближений приводятся в следующем разделе. [c.318]

Во многих практических ситуациях, в которых встречается обтекание частиц, жидкость ограничена снаружи стенками длинного кругового цилиндра. В этом разделе будет построено общее трехмерное решение уравнений Стокса и неразрывности, подходящее для удовлетворения произвольных граничных условий, задаваемых на поверхности кругового цилиндра бесконечной длины. [c.90]

Решение любой газодинамической задачи должно удовлетворять уравнениям неразрывности, количества движения и энергии. В случае нестационарного течения уравнения получаются нелинейными, и пока не имеется общего метода их решения. Хотя с помощью быстродействующих счетных машин можно решить полную систему уравнений для трехмерного течения, в настоящее время для течений, встречающихся в двигателе Стирлинга, в достаточной степени разработаны лишь методы расчета одномерного потока. Это ограничение означает, что все основные параметры считаются зависимыми только от одной пространственной переменной к времени. При использовании этого основного предположения подразумевается, что скорость потока параллельна единственной пространственной координате п что все поверхности, перпендикулярные этому направлению, являются поверхностями постоянной скорости и постоянных параметров состояния. Задача о нестационарном течении решена, если в любой момент времени в любой точке системы известны параметры состояния, определяемые двумя параметрами термодинамического состояния, и скорость потока [54], В принципе можно определить любые три независимых параметра, но предпочтительнее те, которые можно измерить экспериментально, чтобы получить возможность подтвердить математическую модель. [c.336]

Другие разновидности функционала Кастильяно могут быть получены из Зкз(я) с помощью общего решения (1.7) уравнения равновесия (1.6) и замены переменных е а) = е либо преобразованием Фридрихса из функционалов Лагранжа (табл. 3.1). Как видно из табл. 3.2, условия стационарности различных вариантов функционала Кастильяно — уравнения неразрывности в объеме и деформационные граничные условия на поверхности. В табл. 3.2 приведены условия стационарности лишь для простого случая, когда компоненты перемещений заданы на связной части поверхности 5. В гл. 5 показано, как из этих функционалов извлечь условия стационарности в некоторых более сложных случаях. [c.59]

При наложении в качестве дополнительных условий геометрических уравнений 5 2 (сг, о, е) переходит в функционал для физических и статических соотношений Эфс(а,е) (табл. 3.5). Этот функционал является промежуточным звеном преобразования 5 2 в 5лз(е) (см. 4.1в). Функционал Зфс преобразуется в 5 3 (а, а) (табл. 3.4), если для удовлетворения дополнительных условий к нему использовать общее решение (1.1) уравнений неразрывности. [c.77]

Однородные (общее решение [28] всегда сводится к решению однородного уравнения, если найдено одно частное решение) уравнения равновесия и неразрывности запишутся следующим образом [c.6]

Как уже упоминалось, полученных уравнений неразрывности, количеств движения и полной энергии, а также теоремы моментов, приведшей к установлению симметрии тензора напряжений, недостаточно для решения конкретных задач динамики жидкости и газа. Дальнейшее продвижение в этом направлении требует дополнительных, оправдываемых практикой допущений, относящихся как к общим свойствам движущейся среды, так и к различным приближенным подходам к описанию общих механических и физических процессов, сопровождающих ее движение. [c.78]

Остается проверить, в какой степени построенное решение удовлетворяет уравнениям общей (моментной) теории. Прежде всего уравнения неразрывности выполнены точно, поскольку нами фактически найдены перемещения и = и, v —V, w = w. Проверим выполнение уравнений равновесия (9.9). Для этого подставим в них подсчитанные усилия и моменты. Уравнения равновесия при этом принимают следующий вид [c.329]

Ограничения математического анализа. Идеальная научная теория состоит из минимального количества аксиом (основных принципов и понятий), из которых решение любой задачи может быть получено формальной логикой, т. е. математически. Сейчас такая всеобъемлющая теория движения жидкости воплощена в уравнении неразрывности и общих уравнениях движения. К сожалению, сложность большинства явлений течения и пределы аналитических способностей человека ограничивают строгое применение этой теории только несколькими простыми случаями. Например, можно найти распределение давления в жидком теле, которое целиком вращается или испытывает ускорение иным способом пределом в этом случае будет гидростатическое распределение. Могут быть точно рассчитаны сопротивление ламинарного потока в однородной трубе или установившаяся скорость падения малого шара. Точно выражается и частота волн малой амплитуды под действием силы тяжести, капиллярности или упругости. Более сложные состояния потока могут быть подвергнуты теоретическому анализу лишь при игнорировании некоторыми не поддающимися описанию сторонами движения. В ряде случаев результаты имеют достаточную для инженерной практики точность. Однако часто, особенно для случая турбулентного движения, математические трудности становятся настолько значительными, что решение может быть получено только после чрезвычайного упрощения. [c.6]

Линейное установившееся движение. Хотя уравнения Навье — Стокса из-за наличия конвективных членов в общем случае не линейны, имеется особая группа потоков, при которых эти члены исчезают. Решение системы дифференциальных уравнений, состоящей из уравнения движения, уравнения неразрывности и граничных условий, для таких потоков обычно очень несложно, особенно при установившемся течении. [c.203]

Гидромеханические процессы в элементах струйной автоматики, как пра-ви.ю, развиваются под влиянием большого числа факторов. Эти процессы подчиняются общим физическим закономерностям, конкретным выражение.м которых для потока вязкой жидкости являются дифференциальные уравнения (уравнения Навье-Стокса) и уравнение неразрывности. Но эти уравнения справедливы для целого класса явлений н имеют бесконечное число решений. Следовательно, для выделения рассматриваемого явления из целого класса явлений необходимы дополнительные условия, называемые условиями однозначности. Они включают граничные и начальные условия, определяющие единственное решение системы дифференциальных уравнений. К условиям однозначности должны быть также отнесены физические константы (плотность, вязкость и др.), характеризующие существенные для исследуемого процесса физические свойства среды. Под граничными условиями понимают геометрические характеристики потока (его размеры и форму), а также значения кинематических и динамических параметров на границах исследуемого участка потока. Начальные условия потока характеризуют геометрические, кинематические, динамические параметры потока в начальный момент времени. [c.57]

Среды, в которых плотность не есть функция одного только давления, т. е. для которых нельзя подобрать никакой функции Ф(р), такой, что имеет место (ИЛ), носят название бароклинных. Здесь плотность р является пятой неизвестной функцией, подлежащей определению, равноправной с функциями V,, v , р, и потому четырех наших уравнений (уравнение неразрывности и три уравнения движения) недостаточно для решения задачи. Для исследования движения в общем случае бароклинной сжимаемой жидкости оказывается необходимым учет нового фактора — притока энергии. Это обстоятельство вводит в рассмотрение две новые величины температуру (абсолютную) жидкости Т и так называемую плотность тепловой мощности притока энергии е, т. е. количество энергии, получаемое единицей объема жидкости в единицу времени. [c.61]

Статистическая гидромеханика широко использует результаты и методы классической гидромеханики и теории вероятностей. Поэтому знание указанных двух дисциплин сильно облегчит знакомство с настоящей книгой. Тем не менее мы надеемся, что наша книга будет доступной и для лиц, имеющих лишь общую математическую и физическую подготовку. Имея з виду таких читателей, мы включили в первые два раздела основные сведения из классической гидромеханики (начиная с уравнений неразрывности и движения) и из теории вероятностей (начиная с самого понятия вероятности). Уже в этих главах, как и во всех дальнейших, мы старались уделять основное внимание принципиальным вопросам, не задерживаясь на технических деталях. С этим стремлением связано то, что мы нигде не излагаем методов решения встретившихся дифференциальных уравнений или других стандартных математических задач, а сразу приводим ответ (который иногда совсем нелегко найти). В то же время мы сравнительно подробно останавливаемся на некоторых недостаточно широко известных, но важных математических вопросах, традиционно опускаемых во всех книгах и статьях, предназначенных для механиков или физиков (типа, например, вопроса об эргодических теоремах или спектральных разложениях случайных полей) этим объясняется то, что целых два раздела книги посвящены математической теории случайных полей. [c.25]

Решение краевой задачи (4.89) позволяет получить распределение скорости отсоса газа У2ш в слой смешения из пристеночной области невязкого течения. Эта скорость меньше, чем скорость вдува, поэтому непоглощенная часть газа приобретает продольный импульс за счет возмущения давления Ар, индуцируемого в результате взаимодействия течения в пристеночной области с внешним сверхзвуковым потоком. В общем случае длина пористого участка поверхности клина от точки отсоединения до донного среза конечна. Поскольку в пристеночной области происходят нелинейные изменения продольной скорости и Аи (Ар) / , из уравнения неразрывности [c.169]

Уравнение (3.12) с учетом выражения (3.11) представляет собой основное уравнение движения в механике жидкости. При решении конкретных задач оно должно использоваться совместно с уравнением состояния (связывающим давление р с плотностью и температурой), уравнением переноса энергии и уравнением неразрывности. В общем виде эта задача будет рассмотрена в гл. 7 и 9. Пока же будем предполагать, что вязкость ц. и объемная вязкость д-ь равны нулю. В этом случае [c.60]

Эти условия позволяют линеаризовать уравнения движения и неразрывности и тем самым упростить решение задачи об обтекании тонкого крыла невязким установившимся потоком. В общем виде уравнения движения такого потока получаются из системы (3.1.17), в которой принято дУ д1=дУц д(—дУг д(=0 [c.291]

В этом случае необходимо решить систему уравнений (7.1) совместно с уравнением неразрывности и граничными условиями прилипания на стенке и симметрии в центре трубы. Кроме того, необходимо задать скорость на входе и, в общем случае, на выходе из трубы. Ряд авторов (Л. Шиллер, Ж. Буссинеск) получили приближенные аналитические решения этих уравнений, введя некоторые упрощающие допущения. Наиболее строго задача решена С.М. Таргом [9], хотя и ему пришлось использовать упрощения. [c.112]

Заключение. Раньше чем дать решение какой-нибудь частной проблемы движения жидкостей в пористой среде, следует разработать общую формулировку гидродинамики рассматриваемого течения. Любое такое исследование можно представить себе как формулировку в новой редакции хорошо известных основных определений и закономерностей механики, выраженных гидродинамическими значениями так, чтобы их можно было приложить к течению жидкостей. Это требует раньше всего, чтобы течение полностью подчинялось закону сохранения материи. Поэтому оно должно удовлетворять уравнению неразрывности [(1), гл. III, п. 1], которое является аналитическим утверждением закона сохранения материи. После этого необходимо определить термодинамическую природу интересующей нас жидкости и режим течения. Природа жидкости в общем виде может быть представлена зависимостью между давлением, плотностью и температурой его [уравнение (3), гл. Ill, п. 1], которое является уравнением состояния жидкости. Постоянство плотности в уравнении состояния характеризует собой несжимаемую жидкость. Так, закон Бойля может быть принят в. качестве уравнения состояния для течения идеального газа. Термодинамический режим течения может быть охарактеризован аналогичным путем зависимостью между давлением, плотностью и температурой. Так, температура потока постоянна при изотермическом режиме и изменяется от известного показателя степени плотности для адиабатического режима. Наконец, необходимо установить динамические связи жидкости с градиентом давления и внешними силами. В основном это дается гидродинамическим подтверждением первого закона движения Ньютона. Из всех характеристик течения, требуемых формулировками, эта характеристика является наиболее специфичней. В то время как все жидкости должны удовлетворять уравнению неразрывности, и большие группы их могут контролироваться единичным уравнением состояния, одна и та же жидкость может иметь различные динамические характеристики в зависимости от условий, при которых происходит движение, и среды, в которой поток движется. [c.125]

Рассмотрим теперь решение этой задачи в более общей постановке, учитывая неоднородность строения потока по вертикали, а также перетекание в подошве потока с интенсивностью Шн. В этом случае из дифференциального уравнения неразрывности потока в плане получим соотношение для скорости у/ в направлении линии тока I [c.254]

В этом разделе кратко описаны оба метода расчета. Общий анализ стержневых систем предусматривает удовлетворение уравнений равновесия и условий неразрывности (совместности) перемещений в узлах. Если ферма статически неопределимая, то решение мояшо получить методом вырезания узлов, методом сечений или графическим методом с использованием схемы Боу. Эти элементарные методы изложены во всех руководствах, посвященных строительной механике стержневых систем (например, в работах [11, 73, 76]), и здесь не рассматриваются. [c.114]

Турбулентные течения в трубах наиболее часто встречаются в технике,. имеют большое практическое значение и им посвящены многочисленные исследования. Опыты показывают, что влияние стенки на характеристики турбулентных течений настолько велико, что пристеночные турбулентные течения в каналах и в турбулентных пограничных слоях обтекаемых тел имеют много общих фундаментальных закономерностей. Пр.и ламинарном течении в трубе поле течения однородно — определяется только молекулярным трениехМ. Форхмулы поля скоростей t /wmax= (l—и закона сопротивления тр = 64/Re получены чисто теоретическим путем из решения уравнений неразрывности и Навье— Стокса (см. п. 7.1). При турбулентном режиме течения также существует однозначная связь между полем скоростей и законом сопротивления. Однако эти зависимости получить теоретически пока невозможно либо поле. скоростей, либо закон сопротивления должны быть получены из эксперимента. [c.145]

Как известно (гл. V), при осреднении неравномерного потока в общем случае могут быть сохранены неизменными только три его суммарные характеристики. Однако для сверхзвукового потока с постоянной но сечению температурой торможения, каким является начальный участок нерасчетной струи идеального газа при отсутствии смешения, можно найти такие средние значения параметров в поперечном сечении, при переходе к которым од-еовременно с высокой степенью точности сохраняются значения расхода, полной энергии, импульса и энтропии при неизменной площади сечения. Эти средние значения параметров газа в поперечных сечениях начального участка струи и будем вводить в уравнения неразрывности, энергии, импульсов. Совместные решения этих уравнений поэтому будут также относиться к средним значениям параметров, а определяемая отсюда площадь сечения будет равна действительной площади соответствующих сечений струи. Почти все основные свойства потока при таком одномерном рассмотрении не изменяются и оцениваются правильно. Утрачивается лишь одно существенное свойство течения, а именно равенство статического давления на границах струи и во внешней среде поэтому приходится условно полагать, что в каждом поперечном сечении потока существует некоторое по- [c.409]

Необходимо подчеркнуть значимость уравнения Лапласа (31-8) для рассматриваемого случая. Как известно, для уяснения особенностей потока жидкости необходимо знать скорости и давление во всех точках пространства, занятого потоком. В общем случае, следовательно, искомыми являются четыре величины Ux, Uy, г и р) и прищлось бы рСШЯТЬ четыре уравнения три уравнения (31-2) и уравнение неразрывности (31-7). Между тем уравнение (31-8), как это видно из его выво-,да, включает в себе как уравнения (31-2), так и (31-7). Поэтому решение одного уравнения Лапласа заменяет собой решение системы указанных четырех уравнений. [c.314]

Решение задачи Блязиуса В общем случае из уравнения неразрывности [c.260]

Существование и единственность решения задачи для нелинейных уравнений осесимметричного движения газа в турбомашине в общем виде не доказаны. Однако можно высказать некоторые соображения в пользу положительного решения этого вопроса. Прежде всего существование решения очевидно из физических соображений даже для самой обшей (трехмерной) постановки. Единственность решения линеаризованных (в отношении производных) уравнений очевидна, так как они сводятся к квазилинейному эллиптическому уравнению типа уравнения Пуассона. Нелинейность уравнений существенно связана с множителем р в уравнении неразрывности, а также с производными от р (т. е. с и 7 ) в уравнении вихрей. Для частного случая линейных уравнений с р = onst up — onst, который отвечает течению несжимаемой жидкости только через неподвижные решетки (ш = 0), существование и единственность решения следуют из тех же свойств, доказанных для более общей задачи трехмерного движения. Нелинейность, зависящая от производных от р, вообше очень слабая. Она связана со смещением линий тока (вдоль которых р постоянно или является известной функцией). В предположении непрерывной зависимости формы линий тока от значений р у задаваемых в виде гладкой функции поперек входного сечения, а также от величины угловой скорости ш (такая зависимость, безусловно, должна быть непрерывной в силу эллиптичности уравнений с гладкими коэффициентами) можно определенно утверждать единственность решения нелинейных уравнений, по крайней мере, для достаточно малых областей А или для достаточно малых [c.303]

Точные решения урависггий Навье — Стокса в общем виде получить в Настоящее время не удается. Однако для некоторых частных случаев такие решения найдены. Эти решения главным образом относятся к задачам, где все инерционные члены в левой части уравиепий 2.47) исчезают. В частности, указанным свойством обладают так называемые слоистые течения, признаком которых является наличие только одной составляющей скорости. Если этой со- Ставляющей является скорость и, а составляющие и и w равны нулю, то из уравнения неразрывности следует, что <ди дх—0 и, следовательно, и от координаты д не зависит. Таким образом, для слоистых течений имеем и=и у, z) зу=0, 1и=0 др/ду=0, dpjdz—O и вместо полной нелинейной t H xewbi (2.47) получим для стационарного течения линейное дифференциальное уравнение относительно скорости Щ у, г) [c.146]

Используя общее решение (1.7), легко доказать, что условиями стационарности функционала Кас-тильяно являются уравнения неразрывности (1.8) (в отличие от длинного доказательства Саусвелла, приведенного в [3.6]). [c.61]

Саусвелл первоначально дал вывод уравнений неразрывности, основанный на применении общих решений Максвелла и Морера, т. е. фактически использовал тензор функций напряжений ф. По-видимому, появление нового длинного и запутанного доказательства объясняется тем, что этот вывод его не удовлетворил по следующей причине. [c.61]

Равенства (16) и (17) показывают, что при использовании каждого из общих решений Максвелла или Морера условиями стационарности функционала Кастильяно являются различные системы из трех уравнений неразрывности и соответствующих деформационных граничных условий. Из функционала 5к1(ф) (табл. 3.2), в котором используется общее решение (1.7) с шестью функциями напряжений (оно имеет вид Максвелл + Морера ), следует шесть уравнений неразрывности с соо1ветствующими граничными условиями [5.3]. Использование других общих решений приводит к несоответствию между вариационной и дифференциальной формулировками задачи [5.3] этот вопрос нуждается в дальнейшем исследовании. [c.62]

Задача сводится к решению уравнения энергии (20.74), записанного применительно к пограничному слою, совместно с уравнениями движения и неразрывности при соответствующих граничных услшшях. Решение такой сложной системы в общем виде практически невозможно. В связи с этим широкое развитие получили приближенные методы решений. [c.643]

Значительный вклад в теорию оболочек внес А. Л. Гольденвейзер. Им были введены уравнения неразрывности деформаций [34], которые являются аналогом известных уравнений Сен-Венана в общей теории упругости. Тем самым открылась возможность решения задач теории оболочек непосредственно в усилиях и моментах, не прибегая к предварительному определению смещений. При этом обнаружилось примечательное подобие вновь выведенных уравнений неразрывности и более полувека используемых уравнений равновесия оболочки, получившее название статико-геометрической аналогии. Указанная аналогия позволяет тождественно удовлетворить уравнениям равновесия путем введения четырех функций напряжения (что было подмечено почти одновременно А. Л. Гольденвейзером [35] и А. И. Лурье [78]). [c.8]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...