Ограничения математического анализа

Ограничения математического анализа. Идеальная научная теория состоит из минимального количества аксиом (основных принципов и понятий), из которых решение любой задачи может быть получено формальной логикой, т. е. математически. Сейчас такая всеобъемлющая теория движения жидкости воплощена в уравнении неразрывности и общих уравнениях движения. К сожалению, сложность большинства явлений течения и пределы аналитических способностей человека ограничивают строгое применение этой теории только несколькими простыми случаями. Например, можно найти распределение давления в жидком теле, которое целиком вращается или испытывает ускорение иным способом пределом в этом случае будет гидростатическое распределение. Могут быть точно рассчитаны сопротивление ламинарного потока в однородной трубе или установившаяся скорость падения малого шара. Точно выражается и частота волн малой амплитуды под действием силы тяжести, капиллярности или упругости. Более сложные состояния потока могут быть подвергнуты теоретическому анализу лишь при игнорировании некоторыми не поддающимися описанию сторонами движения. В ряде случаев результаты имеют достаточную для инженерной практики точность. Однако часто, особенно для случая турбулентного движения, математические трудности становятся настолько значительными, что решение может быть получено только после чрезвычайного упрощения. [c.6]

Второй путь разрабатывался математиками методами математического анализа непрерывной деформации сплошной жидкой среды. Этот путь — классическая гидродинамика — в силу ряда исходных ограничений и условностей, естественно, не мог дать ответа на ряд прикладных вопросов, возникающих в инженерном деле. [c.3]

Упомянутые процессы перемешивания лишь ограниченно поддаются расчету. Только в тех случаях, когда в системе протекают точно детерминированные ироцессы, например, когда процесс перемешивания имеет статистический характер, возможно аналитическое решение вопроса. Математический анализ обычно приводит к дифференциальным уравнениям в частных производных. Например, для случая неполного перемешивания вдоль потока связь между концентрацией с в сечении л , средней скоростью потока w и временем t выражается следующей зависимостью [c.76]

Математическая модель оптимизации параметров детали. Нахождение оптимума функции цели в общем виде с применением методов математического программирования и учета высоких требований к точности оптимизации во многих случаях оказывается очень сложным. Операция заметно упрощается, если уравнениями связи выразить функциональные параметры через показатели качества 5,. Это позволяет оптимизировать функции цели с критерием оптимальности F методом математического анализа, комбинируя его при необходимости с известными методами программирования. В решении задач оптимизации показатели качества S, задают фиксированными значениями и неравенствами ограничений, определяющими два варианта уточненного расчета функциональных параметров. [c.144]

При математическом анализе газовых потоков в двумерной и трехмерной постановках обычно ограничиваются изэнтропическим течением идеального газа. Принятое ограничение — постоянство энтропии — требует, чтобы процесс течения был адиабатическим (без теплообмена с внешней средой) и обратимым (без потерь на трение). Это эквивалентно предположению о безвихревом характере течения невязкой жидкости, если принять, что движение начинается из состояния покоя. Условия отсутствия завихренности (6-17) не включают плотности и применимы как к сжимаемой, так и к несжимаемой жидкости. Для двумерного течения в плоскости ху условие отсутствия завихренности имеет вид [c.351]

Общая схема компрессии, изображенная на рис. 4.4, включает в себя источник спектрально-ограниченных пикосекундных импульсов, волоконно-оптический модулятор и решеточный компрессор. Основой для математического анализа процесса дисперсионной фазовой само-модуляции является нелинейное уравнение Шредингера, описывающее изменение комплексной амплитуды поля. Приведем это уравнение для случая нормальной дисперсии групповой скорости (ср. с (2.8.17)) [c.177]

Зная выражения для у) и Q, из формулы (2.1) получим аналитическое выражение для теплопроводности Л. Заметим, что сложность математического анализа позволила рассмотреть весьма ограниченный класс структур с замкнутыми включениями формулы при этом получались очень громоздкими. [c.27]

Правильность теории может быть проверена лишь на опыте. При пользовании математическим анализом практически должна быть до некоторой степени упрощена любая задача о движении жидкости, но только опытным путем можно установить предельные теоретические допущения, которые обосновываются физически, а не только удобны математически. Для задач, не очень отличающихся от уже решенных, часто достаточно прежнего опыта. С другой стороны, совсем новые задачи требуют новых опытов, так как неоправданные упрощения могут привести к физически невозможным заключениям. Иными словами, математический анализ должен быть не только ограничен реальными гипотезами, но и обязательно подвергнут экспериментальной проверке. [c.7]

В ранних работах [147, 152] по исследованию обобщенной проводимости структур с замкнутыми включениями различной формы (сферы, цилиндры, эллипсоиды) применялся изложенный выше метод анализа температурного поля и расчета Л. Сложность математического анализа позволила рассмотреть весьма ограниченный класс структур с замкнутыми включениями. При этом рабочие формулы для обобщенной проводимости получались, как правило, весьма громоздкими. [c.21]

Для удобства читателя, желающего пропустить математический анализ, изложенный в гл. II и III, в конце гл. III дана сводка основных результатов теории упругих волн в неограниченном н ограниченном телах, [c.13]

Следует еще раз подчеркнуть, что очень немногие тела хотя бы приближенно ведут себя подобно модели Максвелла или Фохта и что только с помощью спектра времен релаксации может быть достаточно точно определено динамическое поведение тела. Единственным доводом для использования простейших моделей с одним временем релаксации является то, что в противном случае математический анализ становится чрезвычайно запутанным. Однако когда механическое поведение вязко-упругого тела надо знать только в ограниченной области частот, упругость и вязкость , [c.115]

Классический подход к решению указанных задач предполагает введение в рассмотрение бесконечно малых элементов, составляющих континуум исследуемой конструкции, и описание посредством дифференциальных уравнений некоторого состояния (равновесия, движения, теплового баланса и т. п.). Решение в замкнутой форме может быть получено для ограниченного числа наиболее простых задач. Если для получения конечных результатов используются численные методы (что обычно и имеет место), то на определенном этапе решения сплошная среда фактически аппроксимируется некоторой дискретной моделью. Связано это с тем, что ЭВМ лучше работает с элементами, имеющими конечную величину. При составлении этой дискретной модели зачастую утрачиваются те преимущества, которые дает описание задачи при помощи бесконечно малых и привлечение аппарата математического анализа. Отсюда, естественно, напрашивается такой подход к решению, при котором сплошная среда с самого начала представляется при помощи дискретной модели. Кусочные подобласти носят в этом случае название конечных элементов (элементов конечных размеров). Элементы взаимодействуют между собой через узловые точки (узлы), расположенные на их границах. Число узловых параметров дискретной модели образует число степеней свободы идеализированной сплошной среды, а совокупность значений узловых параметров характеризует ее состояние. [c.10]

Кроме того, все методы поиска характеризует одна и та же последовательность действий. Вначале формируется изображающая точка в пространстве параметров оптимизации, и для нее осуществляется проверка выполнения ограничений. Если хотя бы одно из ограничений оказалось невыполненным, то формируется следующая точка, что соответствует выбору нового варианта проекта, и действия по проверке ограничений повторяются. Если все ограничения выполнены, т. е. найден один из допустимых вариантов проекта, то для него определяется значение функции цели. Для вычисления значений функции цели и проверки ограничений используется математическая модель объекта оптимизации и соответствующие алгоритмы анализа. Проверка условий окончания поиска завершает очередной его шаг, на котором бьш получен и сопоставлен с предыдущим еще один вариант объекта оптимизации. Логическая схема поиска, соответствующая приведенному описанию, показана на рис. 5.17. Из описания и схемы видно, что процесс поиска характеризуется циклическими действиями по определению как допустимых, так и оптимальных проектных решений. При этом поиск проводится на некоторой конечной совокупности точек в пространстве параметров, которая задается заранее или определяется в процессе поиска в зависимости от результатов, полученных на предыдущих шагах. [c.150]

Нередко из-за ограниченности наших знаний об окружающем мире математическая формулировка задачи оказывается незамкнутой. В результате численного исследования таких явлений, выполненного с привлечением различных гипотез для замыкания недостающих связей и последующего сопоставления результатов расчета с данными физического эксперимента, появляется возможность анализа достоверности той или иной гипотезы, а значит, и познания механизма протекающих процессов. [c.53]

Различные виды анализа, выполняемые в программных системах первой, второй и третьей групп, основаны на классических инженерных подходах к разработке математических моделей поведения изделия при различных воздействиях. В конечно-элементной постановке задачи моделирования исследуемая область предварительно разбивается на ограниченное множество конечных элементов, связанных между собой конечным числом узлов. Искомыми переменными уравнений математических моделей являются перемещения, повороты, температура, давление, скорость, потенциалы электрических или магнитных полей. Эти переменные определяют степени свободы узлов. Их конкретное содержание зависит от типа (физической природы) элемента, который связан с данным узлом. Например в задачах прочностного анализа для каждого элемента с учетом степеней свободы его узлов могут быть сформированы матрицы масс, жесткости (или теплопроводности) и сопротивления (или удельной теплоемкости). Множество степеней свободы, определяющих состояние всей системы в данный мо- [c.58]

Математические формулировки основных законов, описывающих упругопластическое поведение, были приведены в разд. II, практические их приложения к точному анализу будут обсуждаться ниже. Уравнения, описывающие физические ограничения, т. е. формулировки соответствующих краевых задач, будут представлены в разд. IV, В. [c.216]

Невозможность выполнения операции интегрирования по любой переменной, ограниченная точность и диапазон изменений переменных в АВМ обусловили развитие нового направления в области вычислительной техники — построение комбинированных вычислительных систем. Это направление реализуется как путем сочетания решающих элементов с различным представлением величин (аналоговым и цифровым) в одной вычислительной машине, так и путем объединения моделирующих устройств и цифровых моделей при решении одной задачи. Разработанная для этих целей цифровая модель ЦМ-1 представляет собой специализированную вычислительную машину, состоящую из совокупности параллельно работающих решающих блоков, выполняющих одну или несколько математических операций в соответствии с заранее выбранными фиксированными алгоритмами. Наряду с разработкой электронных вычислительных машин проводились работы по созданию аппаратуры для статистического анализа, для отыскания корней алгебраических уравнений и построения корневых годографов, для решения интегральных уравнений и др. [c.264]

Чтобы свести задачу предельного анализа к рассмотренному типу задач математической теории оптимальных процессов, необходимо исключить связь допустимых областей изменения гпг и Шф, определяемую условием (2.56). Перепишем соответствующие ограничения в виде [c.75]

Используя полученные данные, на ЭВМ математическими методами нелинейного или динамического программирования ПДМ оптимизируется по заданным критериям качества. Как показал анализ, при решении поставленной задачи не исключено успешное использование комбинации методов Монте-Карло и градиентного. При этом вводятся ограничения на все входящие в частные критерии элементы (переменные) и отыскиваются такие значения последних, которые доставляют экстремум-максимум сумме упомянутых критериев. [c.398]

В отдельную группу можно выделить методы анализа динамики гидросистем с распределенными параметрами (упругостью, массой, а иногда и сопротивлением). Эти методы развиваются в первую очередь для систем гидропрессов, в которых стремятся получить большие ускорения движущихся масс и не боятся ударов, и для гидропередач раздельного исполнения с длинными трубопроводами. Математический аппарат, используемый при этих исследованиях, весьма сложен, так как приходится решать дифференциальные уравнения в частных производных. Но они позволяют учесть распространенные волны давления по трубопроводу и выявить реакцию системы на высокочастотное возбуждение. Из-за математических трудностей решают пока частные задачи с ограниченным (один, два) количеством участков магистралей, в которых учитывается распределение жидкости по длине магистрали, для линейной модели гидросистемы [12, 27, 42, 45, 54, 58, 59, 64, 67]. [c.262]

Перейдем к обсуждению особенностей связи человек-машина при исследовании системы в целом. Здесь, как правило, круг лиц, использующих машину, ограничен, хорошо владеет современным математическим аппаратом, знает вычислительную технику и умеет ею пользоваться при решении сложных задач, с которыми приходится встречаться при анализе системы. [c.166]

Если в функции F непрерывных параметров не осталось, то получаем полностью дискретную задачу. Если непрерывные параметры остались, то получаем смешанную задачу. Для решения обеих задач можно комбинировать методы математического анализа с перебором, с методами дискретного или динамического программирования. Пусть оптимум / достигается при значениях w = iv и т. д., тогда значения остальных параметров находим через их выражения (х у). Если найденные значения х, >>, ... удовлетворяют ограничениям на х, >>,..., то задача параметров решена полностью. В противном случае при некоторых условиях вьшуклости, если х >Хт , во всех условиях х можно заменить на Хт и решить новую задачу с меньшим числом параметров. Часто помогает следующий прием последовательного программирования. Пусть в функции цели F среди параметров имеется хотя бы один непрерывный параметр z. Предположим, что удается при любом значении Z найти оптимум Р по остальным переменным, т. е. Fopt как функцию z [c.312]

В отличие от дискретной системы материальных точек, под сплошной средой понимают непрерывное, безграничное или ограниченное множество (континуум) материальных точек с непрерывным распределением по их множеству вещественных, кинематичхских, динамических и других физических характеристик, обусловленных разнообразными как внешними , так и внутренними движениями материи, включая сюда и взаимодействие среды с внешними и внутренними полями. Функции, задающие эти распределения, предполагаются не только непрерывными, но и имеющими непрерывные производные, порядок которых отвечает требованиям производимого математического анализа. В специальных случаях, относящихся только-к идеальным, лишенным внутреннего трения средам, допускаются нарушения непрерывности в форме изолированных точек, линий или поверхностей разрыва. [c.9]

Ограничения ненаправленного эксперимента. Если слепая вера в математический анализ приводит к таким ошибочным заключениям, тогда возникает вопрос, высказанный инженерами прошлых столетий зачем тратить время на теорию, раз неизбежно требуется экспериментальное подтверлсдение Эти инженеры невольно сами ответили на свой вопрос, накапливая натурные и лабораторные данные, но не осмысливая их научно. До тех пор, пока задачей является определение одной независимой величины, одно точное измерение дает ее неизменное постоянное значение но если имеются две взаимозависимые величины, то для установления их функционального соотношения требуется уже по крайней мере четыре или пять хорошо обдуманных измерений при трех величинах для получения функции недостаточно двадцати и даже более измерений из-за свойственной человеку неспособности систематизировать измерения без теоретического руководства. С увеличением числа переменных трудность экспериментального определения растет очень резко и лишь немногие задачи движения жидкости могут быть сведены к трем, четырем или даже пяти подходящим переменным без чрезмерного упрощения. [c.7]

В математическом анализе [39] известна формула первой вариации кратного интеграла по ограниченной области У, граница которой зависит от варьирумых параметров [c.94]

Математическая теория упругости изучает вопросы поведения деформируемых тел в более точной постановке. Поэтому при решении задач приходится во многих случаях обращаться к сложному математическому аппарату и производить зачастую громоздкие вычислительные операции. Вследствие эгого возможности практического использования методов теории упругости являются ограниченными, зато достигается большая полнота анализа изучаемых явлений. [c.9]

Более детально оценка характера решения уравнений динамики дана в [2] на основе анализа так называемых условий реализуемости. Последние представляют собой ограничения, накладываемые на решения уравнений, и различаются как математические, физические и технические. Математические условия реализуемости определяются функциональными классами решений, которые устанавливаются с помощью теории дифференциальных уравнений, и найдены выше для уравнений динамики обобщенной модели. Технические условия реализуемости следуют из возможных конструктивных схем исполнения и для обобщенной модели они имеют вид выражений (3.1) — (3.3), определяющих характер индуктивностей в зависимости от конструктивной модификации. Физические условия реализуемости получают исходя из конкретного содержания и назначения физических процессов. Так, например, процесс электромеханического преобразования энергии, как правило, протекает непрерывно и односторонне на заданном интервале времени. При этом значение преобразуемой энергии является конечным и отличным от нуля. Математически это условие выражается так [c.64]

Несмотря на явные преимущества ЭВМ перед человеком в решении задач анализа, очевидна ограниченность такого подхода к решению проектных задач, когда проектировщику самому приходится просматривать множество вариантов проекта, отличающихся перечнем и значениями входных данных, и выбирать вариант, лучнзий в некотором отношении. Если выполнение расчетов требует небольших затрат времени, то на подготовку данных и анализ результатов времени тратится во много раз больше. Поэтому проектировщики и программисты направили свои усилия на такую автоматизацию проектных оптимизационных расчетов ЭМУ. когда ЭВМ не только проводит необходимые расчетные работы, но и по определенному алгоритму готовит для них данные, анализирует результаты раечетов и выбирает лучший вариант проекта. Для этих целей применяются методы и алгоритмы математического программирования, реализующие целенаправленные эксперименты с математической моделью проектируемого объекта. В результате появляется возможность повысить качество принимаемых проектных решений с одновременным повышением эффективности применения ЭВМ, [c.10]

Рассмотренные в гл. 3 математические модели ОЭП построены в линейном приближении. Такой подход к модетьному представлению подсистем ОЭП и прибора в целом позволяет с единых методических позиций описывать подсистемы разной физической природы разработать и реализовать на ЭВМ конечное и ограниченное чиспо алгоритмов для моделирования ОЭП эффективно использовать ресурсы ЭВМ и возможности проектантов при анализе, синтезе и параметрической оптимизации объекта проектирования. [c.89]

Особенно плодотворным он оказывается в тех случаях, когда нахождение искомой закономерности прямым путем либо встречает значительные математические трудности, либо требует знания таких деталей процесса, которые заранее но известны. По сути дела, анализ размерностей основывается на требовании независимости связи между физическими вели шнами от выбора единиц, что равносильно требованию совпадения размерностей в обеих частях уравнений. Позволяя в ряде случаев быстро установить характер искомой закономерности, анализ размерностей отнюдь не является всемогущим методом, и подчас его возможности оказываются весьма ограниченными. [c.98]

Различные вопросы, относящиеся к построению оценок для систем дифференциальных уравнений, в специальной математической литературе рассматриваются, как правило, в связи с доказательствами ограниченности в теории устойчивости решений [8 39 80]. Что касается анализа точности оценок, а также разработки вычислительных методов осуществления оценок, то эти вопросы практически не освещены. Некоторые положения, относящиеся к проблеме разработки эффективных оценок для систем линейных ди( еренциаль-ных уравнений вынужденных колебаний, рассмотрены в работе [23]. [c.191]

В результате решения сформулированных задач и соответствующего уточнения методологии автоматизированного эксперимента возможно дальнейшее развитие работ в области разработки тре бований к измерительным и преобразующим устройствам, рационального планирования эксперимента, разработки новых методов и средств экспериментального исследования и диагностики станков. Очевидно, что исследование современных металлорежущих станков как сложных систем должно базироваться на системном анализе, который состоит из определения объекта исследования очерчивания границ изучаемой системы и ее структуры установления целей, выбора критериев и ограничений построения математической модели, прогноза развития системы анализа результата в соответствии с заданными целями и критериями. В то же время результативность исследований будет полностью определяться степенью конкретизации и целенаправленностью проводимых исследований. [c.41]

Малая изученность брызгальных бассейнов предопределила и ограниченность методов математического моделирования, каждый из которых имеет эмпирическую основу. В связи с этим многие исследователи промышленных охладителей использовали известные методы оценки работы башенных градирен для брызгальных бассейнов. Один из наиболее распространенных подходов к решению задачи об оценке эффективности охлаждения воды в градирнях был сформулирован в 1925 г. Ф. Меркелем. Анализ уравнений, определяющих количество теплоты, переданной конвекцией и испарением, позволил Ф. Меркелю прийти к соотношению Gw wdtw = o(i —i)dF. Это уравнение может быть решено, и следовательно, может иметь практическое значение при четко выраженной зависимости между тепло- и массообменом, а также при известных температуре воды на входе в охладитель и выходе из него, температуре и влажности воздуха до и после охладителя при заданной производительности по воде и измеренном расходе [c.21]

Существенной чертой математических моделей процесса упругопластического деформирования является сравнительная простота, которая необходима для проведения расчетов и качественного анализа этого процесса на макроуровне. Этот подход является формализацией известных экспериментальных данных и отправляется в основном от предположений феноменологического характера, когда данные об исследованиях на микроскопическом уровне учитываются приблизительно и по существу заменяются гипотезами, основанными на данных наблюдений и измерений в макроскопических опытах. Вледствие этого указанные теории не могут претендовать на общность и пригодны лишь для получения разумного приближения для ограниченного класса явлений. Их применение должно сопровождаться анализом полученных результатов с уче-то.м степени приближенности решения и его соответствия классу явлений, описываемых применяемой моделью упругопластической среды. Решение вопроса о выборе исходной физической модели зависит от многих факторов, наиболее существенных в связи как с существом явления, так и с задачами исследования эффектов, [c.129]

Рассмотрим условия, при которых проектировщики широко используют машину для математического эксперимента на примере проектирования радиотехнических устройств. Небольшой группой математиков, инженеров-математиков и программистов разработан метод анализа радиотехнических цепей, простой входной язык для описания этих цепей и комплекс программ, реализующий предложенный метод и обеспечивающий транляцию с входного языка. Время для описания различных схем на входном языке колеблется от нескольких часов до нескольких дней в зависимости от сложности схемы. Так, например, описание приемного устройства занимает 2—4 дня. В зависимости от исследуемого вопроса информация обрабатывается определенной. последовательностью программ. Изменяя параметры схемы или применяя другую схему, проектировщик добивается желательных результатов и лищь после этого приступает к макетированию. Проведенные эксперименты на ЦВМ Урал-2 дали вполне удовлетворительные результаты. Однако, несоверщенство современных цифровых вычислительных машин (ограничения по скорости и оперативной памяти) не позволяет дать в распоряжение проектировщика производительный и удобный инструмент для постановки математического эксперимента (полный статистический анализ схемы ШАРУ занимает на Урал-2 250—300 часов машинного времени). [c.165]

Выбор ХМЧ длА целей приближенного моделирования процесса определялся, в первую очередь, простотой получающегося математического выражения. Действительно, если аппроксимацию проводить в наиболее наглядной временной области, то требуется выполнить переход от изображения к оригиналу (импульсной переходной функции). Такой переход возможен лишь в ограниченном числе случаев, и к тому же аналитическое выражение переходной функции, как правило, оказывается весьма сложным, трудно поддающимся анализу. Этим обстоятельством объясняется развитие методов, основанных на анализе поведения передаточной функции в комплексной области, в частности, на исследовании частотных характеристик. Частотные характеристики нашли широкое применение в самых различных задачах динамики систем. К их недостатку следует отнести существенное усложнение их математического выражения по сравнению с исходной передаточной функцией Яfpf в связи с зшеной p = i(k> и разделением действительной и мнимой частей Р(и>j. [c.20]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...