Методы смешанные вариационные

Удачными оказываются и различные формы смешанного вариационного метода, особенно при расчете корпусных деталей машин [48]. [c.59]

Если выбрать аппроксимирующие функции, зависящие от всех трех переменных х, у, г а в температурной задаче зависящие и от температуры), а в качестве неизвестных принять постоянные коэффициенты, то для их нахождения получим систему алгебраических уравнений. Приведение задач теории упругости к системе алгебраических уравнений носит название собственно вариационного метода, приведение к системе дифференциальных уравнений — смешанного вариационного метода [18], [19], [50]. [c.74]

Методы, основанные на использовании условий стационарности так называемых смешанных функционалов 5ш и -Эту, называют, в свою очередь, смешанными вариационными методами. [c.53]

Для сложных уравнений состояния развиты вариационные методы, позволяющие учитывать параметры упрочнения, разупрочнения и смешанные вариационные методы [41]. [c.125]

Отметим некоторые преимущества смешанной вариационной формулировки задачи (1.82), (1.83) по сравнению с классическим методом перемещений. При решении задач прикладной теории упругости и строительной механики методом конечных элементов сходимость решений в ряде случаев определяется реакцией элемента на смещения как жесткого целого и геометрической изотропией (когда не отдается предпочтение какому-либо направлению) аппроксимации деформаций. Плохая сходимость решений, в первую очередь, характерна для криволинейных элементов оболочечного типа, поскольку аппроксимация перемещений полиномами низкой степени является грубой для описания смещений как жесткого целого. Такие элементы могут накапливать ложную деформацию и вносить существенные погрешности в решение задач. При учете деформаций поперечных сдвигов и обжатия в многослойных оболочечных элементах учет смещения как жесткого целого становится особенно важным, поскольку при уменьшении параметра тонкостенности (A/i ) указанные деформации стремятся к нулю, а коэффициенты их вклада в общую потенциальную энергию стремятся к бесконечности. Таким образом, погрешности в вычислении деформаций усиливаются и могут дать значительную ложную энергию, превосходящую энергию изгиба или энергию мембранных деформаций. Независимая аппроксимация полей деформаций в пределах конечного элемента при использовании смешанного метода позволяет обеспечить минимальную энергию ложных деформаций и требуемый ранг матрицы жесткости. [c.23]

При решении задачи статики многослойных панелей общего вида методом конечных элементов (МКЭ) на основе вариационных формулировок смешанного типа (4.41), (4.42) требования к выбору функций формы остаются такими же, как и в методе перемещений. В качестве функций формы конечного элемента наиболее часто используются алгебраические полиномы, порядок которых должен обеспечивать требуемую гладкость функций и их производных. В МКЭ важным требованием к функциям формы является требование воспроизводить в элементе однородное напряженно-деформированное состояние и, в частности, описывать смещение элемента как жесткого целого. Наиболее распространенный способ удовлетворения указанным требованиям состоит в повышении порядка аппроксимирующих полиномов. При этом используются полиномы более высокого порядка, чем это требуется, исходя из структуры вариационных уравнений, что приводит к увеличению обобщенных степеней свободы конечного элемента. Применение смешанных вариационных формулировок позволяет с помощью независимой аппроксимации деформаций и перемещений улучшить свойства конечных элементов. [c.190]

В [292] вариационная теорема использовалась для расчета критического времени сжатого стержня с начальным прогибом при задании линейного закона изменения напряжений по высоте стержня. В [34] для той же задачи распределение напряжений по высоте стержня задавалось по закону ломаной линии. Пиан [282] с помощью вариационного уравнения рассмотрел задачу о симметричном прощелкивании пологой арки под действием поперечной нагрузки в условиях ползучести. В случае стационарной ползучести смешанный вариационный метод в приложении к осесимметричной задаче ползучести оболочки был сформулирован Ю. Н. Работновым [137]. [c.274]

В данной работе предлагается принципиально новый метод расчета цилиндрических складчатых систем, основанный на алгоритме МГЭ для стержневых систем. Теоретической основой метода является вариационный метод Канторовича-Власова. Решение задачи Коши изгиба прямоугольной пластины представлено в 6.2. Его можно использовать для расчета пластинчатых систем в случаях, когда плоским напряженно-деформированным состояниям элементов можно пренебречь. Алгоритм МГЭ устраняет практически все отмеченные выше недостатки существующих методов. Так, для формирования системы разрешающих уравнений типа (1.38) не используются матричные операции, не рассматривается основная система, снимаются ограничения на условия опирания пластин по торцам (граничные условия могут быть любыми, а каждая пластина может иметь смешанные граничные условия и включать как прямоугольные, так и круглые элементы), матрица коэффициентов А сильно разрежена, хорошо обусловлена и может приметаться в задачах статики, динамики и устойчивости, возможен учет ортотропии, ребер жесткости, упругого основания, переменной толщины и т.д. Таким образом, алгоритм МГЭ охватывает практически наиболее общий случай расчета. Перечисленные преимущества сопровождаются, как это бывает всегда, и недостатками. В частности, порядок матрицы А существенно больше порядка матрицы реакций метода перемещений. Однако этот недостаток [c.232]

Прежде чем продолжать далее, приведем сдвоенные дифференциальные уравнения смешанного метода к вариационной форме. Умножим первое уравнение в (8) на М, второе — на ш и проинтегрируем по частям [c.147]

В настоящей работе развивается смешанный вариационный метод теории упругости применительно к расчету корпусных деталей машин и других инженерных конструкций на прочность, жесткость, виброустойчивость и термопрочность. Автором при помощи смешанного вариационного метода выведены системы новых дифференциальных уравнений в частных производных по двум переменным (одной из координат и времени) в произвольной ортогональной криволинейной системе координат при учете факторов температуры и времени. Эти уравнения обобщают все существующие другие уравнения по данному вопросу, в том числе и уравнения, полученные в ранних работах автора [32, 33]. В книге показано, что все основные приближенные уравнения прикладной теории упругости, а также широко применяемые технические расчеты получаются из общих уравнений при соответствующем, выборе аппроксимирующих функций. Для многих технических расчетов аппроксимирующие функции выбирают в виде линейных зависимостей, при которых обеспечивается необходимая для практиче- [c.11]

В настоящее время имеется достаточно литературы, посвященной расчету на вибрационную нагрузку, например [50], с приведенной там обширной библиографией по данному вопросу. В предлагаемой работе дано применение мало изученного смешанного вариационного метода к расчету на виброустойчивость конструкций. Вначале рассмотрены некоторые примеры общего назначения, а затем примеры расчета корпусных деталей машин при колебаниях. [c.127]

Приведенные примеры составления дифференциальных уравнений продольных, крутильных и изгибных колебаний конструкций показывают, что для решения динамических задач можно вполне воспользоваться выбором аппроксимирующих функций, применяемых для рещения тех же статических задач. Сам вывод дифференциальных уравнений колебаний на основе смешанного вариационного метода отличается простотой и предполагает только лишь задание аппроксимирующих функций. При этом так же, как и для статических задач, данный вариационный метод не требует предварительного исследования деформированного и напряженного состояний конструкции, составления уравнений движения и т. д. Все эти вопросы решаются автоматически, как только выбраны аппроксимирующие функции. [c.134]

Монография посвящена разработке инженерных методов расчета различных сложных пространственных конструкций типа корпусных деталей машнн на прочность, жесткость, виброустойчивость и термопрочность. Решение поставленной задачи выполнено на основании единого смешанного вариационного метода теории упругости в перемещениях. — Библиогр. с. 224— [c.228]

В этой связи весьма привлекательным представляется использование промежуточных вариационных формулировок типа (4.233), (4.244), (4.246), когда на варьируемые функции (а стало быть, и на базисные функции в методе конечных элементов) не налагается никаких ограничений. Соответствующие варианты метода конечных элементов получили название смешанных. [c.206]

Результаты теоретических и экспериментальных исследований ползучести гибких, шарнирно опертых по краю сферических оболочек под действием постоянного внешнего давления приведены в работе [82]. Численные исследования проведены на основе вариационного уравнения смешанного типа, ползучесть материала описана теорией течения. Силы, моменты, перемещения аппроксимированы полиномами с двумя-тремя искомыми параметрами. Использование вариационного принципа [72] приводит к системе дифференциальных уравнений по времени, которые интегрируются методом Рунге — Кут-та. Время потери устойчивости оболочки определяется ло резкому осесимметричному выпучиванию. Описаны методика и результаты экспериментальных исследований ползучести нейлоновых оболочек. Отмечается большой разброс значений критического времени в дублирующих опытах, значительные расхождения в результатах теоретических и экспериментальных исследований. [c.10]

Позже бьши разработаны другие эффективные методы расчета складчатых систем. Отметим метод перемеш,ений, основанный на решениях М. Леви (изгиб) и Л. Файлона (плоская задача) для прямоугольных пластин [4] и различные модификации метода перемещений и смешанного метода [186, 344]. Метод перемещений устраняет многие недостатки метода В.З. Власова в части реализации алгоритма расчета на ЭВМ. Однако, он привносит в методику расчета недостатки, связанные с природой метода перемещений. В частности, формирование матрицы реакций требует привлечения матричных операций. Обязательное формирование основной системы привносит недостатки, связанные с ее использованием. Необходимы промежуточные вычисления для перехода от перемещений узлов к напряженно-деформированному состоянию во внутренних точках элементов системы. Метод разработан только для шарнирного опирания торцов конструкции. Сходные недостатки можно обнаружить и в смешанном методе. Следует отметить, что последний недостаток метода перемещений устраним, поскольку решения М. Леви и Л. Файлона являются частными случаями вариационного метода В.З. Власова. Поэтому можно разработать метод перемещений для произвольного опирания торцов складчатой системы. Если пренебречь влиянием побочных коэффициентов системы дифференциальных уравнений В.З. Власова, то алгоритм формирования матриц реакций и нагрузки останется прежним, а изменяется лишь фундаментальные функции. Можно дальше модифицировать метод перемещений. В I разделе отмечалось, что на базе соотношений МГЭ [c.479]

Рассмотрим вариационно-разностный метод решения некоторых интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, возникающих, в частности, при анализе смешанных задач теории упругости, предложенный в [62]. Опишем метод на примере ИУ (1.11) и (1.14). Пользуясь преобразованием Фурье по ж = х, Х2) с параметром I— ( ь 2), удобно для [c.199]

Сведение к ГИУ —один из путей понижения размерности краевой задачи другой путь заключается в преобразовании ее к задаче отыскания минимума функционала, запи санного по границе области (или ее части), и положен в основу прямого вариационного метода решения смешанных краевых задач для эллиптических уравнений, предложенного в 165]. [c.204]

Линеаризованные смешанные функционалы. Поскольку в соответствии с применяемым методом последовательных приближений в форме дополнительных напряжений величины нелинейных составляющих усилий и моментов (Т , М[ ) считаются известными из предыдущего приближения и не варьируются, то применяется линеаризованный функционал П , удовлетворяющий на каждой итерации вариационному уравнению <50 = П = 0. Тогда для первого варианта теории он имеет вид [c.532]

Приращения упругих деформаций йг ] вычисляются по закону Гука. Напряжения удовлетворяют условию пластичности Мизеса (3.3). В пластических зонах справедливы уравнения (3.23) в упругих зонах дХ = О и соотношения (3.23) переходят в закон Гука. На границе этих зон пластические деформации равны нулю и выполняются условия непрерывности напряжений, деформаций и смещений. Решение таких смешанных задач является чрезвычайно трудным и доступно в принципе лишь с помощью вычислительных машин. Обычный прием заключается в прослеживании развития ( шаг за шагом ) упруго-пластического состояния по мере роста параметра нагрузки для определения текущего состояния могут быть использованы различные варианты метода сеток или вариационных методов. [c.111]

Не останавливаясь подробно, отмстим, что при исследовании смешанных задач плоской теории упругости для областей, ограниченных Прямыми линиями, использовались также вариационные методы в работах [72, 104, 121, 122, 140, 165, 166, 176, 204—206, 217, 218, 219] и других, а также численные методы в работах [60, 70, 91, 122, 127, 128, 139, 158, 176, 177, 193, 220, 260, 287] и других. [c.150]

Далее подробно исследуется метод, основанный на принципе минимума потенциальной энергии, и рассматривается метод, базирующийся на принципе минимума дополнительной работы. Смешанные методы не рассматриваются, так как для них процедуры построения глобальных уравнений аналогичны процедурам, основанным на обычных вариационных принципах. Для этих методов не установлены свойства сходимости, которые позволили бы определить верхнюю или нижнюю границы для точного решения. [c.205]

Любой из приведенных в гл.1.4 функционалов может быть использован для построения конечно-элементных соотношений, т.е. для решения задач механики деформируемого тела с помощью метода конечных элементов. Используя принцип возможных перемещений (1.4.14), придем к построению МКЭ в варианте метода перемещений. Принцип возможных напряжений (1.4.50) приведет к МКЭ в варианте метода сил. При использовании смешанных вариационных принцицов (1.4.58), (1.4.61) получим смешанные формулировки МКЭ. Модифицированный принцип возможных перемещений (1.4.62), допускающий независимую аппроксимацию компонентов перемещений на границе и по объему каждого из конечных элементов, приводит к так назы,-ваемым гибридным формулировкам МКЭ. [c.63]

Особое внимание уделено смешанным вариационным формулировкам двух типов. Первая соответствует смешанному вариационному принципу Рейссиера, вторая — задачам на экстремум полной потенциальной энергии системы при наличии дополнительных условий в виде дифференциальных уравнений связи между перемещениями и их производными. Для одномерных задач предлагается вариационно-матричный способ вывода канонических систем разрешающих дифференциальных уравнений. Для двумерных задач рассматриваются вопросы реализации решений с использованием проекционных методов типа Рэлея—Ритца и конечных элементов с учетом специфики смешанной вариационной формулировки. [c.5]

Принципы Ху — Васидзу и Рейснера — Хелингера являются смешанными принципами и утверждают стационарность, а не экстремальность значений функционала для реальных состояний. Несмотря на это, в приближенных методах (например, в методе конечных элементов), основанных на смешанных вариационных принципах, достигается примерно одинаковая точность таких величин, как перемещения и напряжения, тогда как при использовании принципа минимума энергии хорошая точность может быть получена либо для перемещений, либо для напряжений, но не для обоих одновременно. [c.42]

В некоторых задачах (кручение и изгиб авиационных профилей и др.) эффективен своеобразный смешанный метод, разработанный Л. С. Лейбензоном, М. Канторовичем и др Он состоит в том, что искомые функции представляют в виде произведения двух функций, из которых одна известная, причем подбираемая так, чтобы частично удовлетворить граничные условия другая же функция неизвестная, зависящая от меньшего числа переменных, и ее следует определять при помощи вариационного уравнения. [c.66]

Метод численного решения. При численном решении контактной задачи область, занимаемая контактирующими телами, расчленяется по поверхности контакта на подобласти, и для них последовательно решаются краевые задачи с известными граничными условиями на Г и Г (4.1), (4.2) и смешанными граничными условиями на Г , уточняемыми в процессе итераций. Процесс решения, в свою очередь, расчленяется на два чередующихся этапа а - поиск границы площадки контакта к б - уточнение ее конфигурации в пространстве. На каждом из этих этапов используется двойственная вариационная постановка контактной задачи (см. табл. 4.4). При решении вариационной задачи считаются выполненными предварительные условия экстремальности соответствующего функционала, однако в процессе итерации могут нарушаться естественные условия экстремальности. Так как истинное решение задачи (й, ст) принадлежит произведению множеств VXKk имеет место равенство [c.144]

В последние годы численные исследования ползучести оболочек проводятся также методом конечных элементов [89, 94]. Однако для задач осесимметричногс деформирования оболочек рациональнее использовать метод Ритца, применяемый на основе вариационных уравнений смешанного типа, так как напряженно-деформированное состояние оболочек может быть описано достаточно точно относительно небольшим числом координатных функций. [c.12]

Анализируя различные подходы к решению геометрически и физически нелинейных задач теории оболочек, выбираем вариационный подход. При построении вариационного уравнения термоползучести используем допущения технической теории гибких оболочек, успещ-но применяемой в расчетах упругих пологих оболочек, и физические соотношения в форме связи тензоров скоростей изменения деформаций и напряжений с учетом ползучести материала. Вариационное уравнение смешанного типа, в котором независимому варьированию подвергаются скорости изменения прогиба и функции усилий в срединной поверхности, позволяет использовать для описания реологических свойств материала хорошо обоснованные теории ползучести типа течения и упрочнения. Задачи мгновенного деформирования решаем методом последовательных нагружений, а задачи ползучести — методом шагов по времени. [c.13]

В предлагаемом подходе при любых положительных весовых коэффициентах тип системы уравнений Э-0 не меняется. Однако, так как при Ар = О, Ао 7 О система становится смешанного эллиптико-гиперболического типа, то и для устойчивости вы-числений при решении уравнений Э-0 весовые коэффициенты выбирались таким образом, чтобы вклад слагаемых, соответсвующих /о, /а, не превосходил /р. В противном случае в дискретной ситуации задача может оказаться неустойчивой. Подробные рекомендации для выбора весовых коэффициентов в вариационных методах, основанных на решении уравнений Э О, на примере уравнений Брекбилла-Зальцмана приведены в [10, 21]. Отметим, что численное решение уравнений Э-0 не единственный путь для реализации вариационных принципов. Более эффективными при построении сеток могут оказаться прямые методы минимизации дискретных функционалов [16, 23]. [c.521]

Обобщенный смешанный метод, предложенный И. Г. Тере-гуловым [161, 160], позволяет независимо варьировать не только скорости напряжений и смещений, но и их интенсивности, что может упростить технику приближенного решения задач. На основе вариационного уравнения, полученного методом, изложенным в [292], выпучивание продольно сжатой цилиндрической панели с начальным прогибом исследовалось в работе [60]. Сравнение результатов расчета деформаций ползучести цилиндрической оболочки, рассчитанных на основе уравнений [292] при задании линейного закона распределения напряжений по толщине, с деформациями ползучести, рассчитанными на основе линеаризованных уравнений [87], проводились для оболочки с симметричным начальным прогибом в [c.274]

При постановке новых проблем исходным пунктом в большинстве случаев является начало возможных перемеш ений, приводяш ее к вариационной формуле Лагранжа для данного объекта. Если задачу целесообразно формулировать в перемещениях, то на этом функции вариационного исчисления при решении рассматриваемой задачи и кончаются. В нелинейной же теории оболочек самым распространенным вариантом являются уравнения типа Кармана, сформулированные в смешанной форме (через прогиб и функцию напряжения). Ясно, что различным формулировкам соответствуют разные вариационные формулы. Получение таких формул нередко представляет достаточный интерес (хотя бы для нестрогого обоснования процедуры метода Бубнова — Галеркина). Например, большое внимание было уделено обобщению вариационного принципа Кастильяно на нелинейную теорию равновесия пластинок и оболочек (Н. А. Алумяэ, 1950 К. 3. Галимов, 1951, 1958). [c.235]

При решении задачи статики многослойных оболочек общего вид.т методом конечных элементов (МКЭ) на основе вариационных формулировок смешанного вида (4.113) и (4.114) требования к выбору функций формы остаются такими же, как и в методе перемещений. В качестве функций формы конечного элемента наиболее часто иеиользуютея алгебраические по- [c.400]

Для оценки возможностей рассматриваемого метода следует отме- тить, что в нем имеется единый прием определения концентрации напряжений и формы свободной поверхности у линии раздела граничных условий. Определение коэффициентов Л и В прн любых условиях на торцах полубесконечных и конечных областей сводится к решению нормальных систем Пуанкаре—Коха, элементы матриц которых убывают экспоненциально и по номерам строк и по номерам столбцов, причем для конечных областей детерминанат системы двусторонний. Способ вычисления свободных членов в алгебраических системах существенно зависит от типа условий, заданных на торце и па участках боковых поверхностей, непосредственно граничащих с торцом. Этот способ устанавливается по следующему простому правилу нужно заменить смешанные условия на боковой поверхности данной области однородными основными условиями того типа, который поставлен около торца, и посмотреть, как может быть решена эта новая задача для полубесконеч-иой области методом однородных решений. Если она решается точно (методом Фурье или методом обобщенной ортогональности), то и свободные члены вычисляются точно, в противном случае их можно вычислить вариационными методами. [c.242]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...