Задача о гидродинамической устойчивости

Метод конечномерной аппроксимации, приложения которого рассматриваются в этой главе, оказывается эффективным и при решении задачи о гидродинамической устойчивости плоского периодического течения вязкой несжимаемой жидкости, возникающего под действием пространственно-периодической силы (течение Колмогорова) ). Рассмотрим в безразмерных переменных двумерное движение, описываемое уравнениями (Re—число Рейнольдса) [c.104]

Задача о гидродинамической устойчивости [c.9]

Формулировка задачи о гидродинамической устойчивости, таким образом, относительно проста. Однако, как мы увидим, ее решение приводит к довольно серьезным трудностям. Основной источник этих трудностей лежит в том, что неустойчивость часто можно ожидать только при больших числах Рейнольдса R. [c.16]

Поскольку задачи о гидродинамической устойчивости интересны, по крайней мере отчасти, также с точки зрения выдвигаемых математических проблем и применяемых математических методов, некоторые из этих методов будут в данной главе рассмотрены подробнее. Прежде чем это сделать, мы вкратце напомним краевую задачу, поставленную в 1.3, и укажем на некоторое упрощение в случае, когда радиусы цилиндров мало отличаются друг от друга. Именно этот случай имеет место в большинстве поставленных до сих пор экспериментов. Затем мы вкратце изучим зависимость критического числа Рейнольдса от параметров движения и покажем, что даже без полного решения задачи можно сделать некоторые интересные выводы, допускающие экспериментальную проверку. [c.25]

Интерес к задачам с точкой возврата для ди( )ференциальных уравнений порядка выше двух обусловлен большей частью задачей о гидродинамической устойчивости параллельных течений. Линейная задача об устойчивости параллельного течения может быть сведена к решению так называемого уравнения Орра — Зоммерфельда (см., например. Линь [1955]) [c.385]

Итак, исследование спектра нормальных возмущений стационарного плоскопараллельного конвективного течения сводится к нахождению собственных чисел и собственных функций краевой задачи (1.24) —(1.26). Эта задача является обобщением классической задачи теории гидродинамической устойчивости. Обобщение связано с учетом двух весьма важных факторов дополнительной (конвективной) силы в уравнении движения и неизотермичности основного течения и возмущений. Если в (1.24) положить 0 = О, то получится известное уравнение Орра — Зоммерфельда, определяющее плоские возмущения в изотермическом плоскопараллельном потоке. [c.12]

Для всякой задачи о движении вязкой жидкости в заданных стационарных условиях должно, в принципе, существовать точное стационарное решение уравнений гидродинамики. Эти решения формально существуют при любых числах Рейнольдса. Но не всякое решение уравнений движения, даже если оно является точным, может реально осуществиться в природе. Осуществляющиеся в природе движения должны не только удовлетворять гидродинамическим уравнениям, но должны еще быть устойчивыми малые возмущения, раз возникнув, должны затухать со временем. Если же, напротив, неизбежно возникающие в потоке жидкости сколь угодно малые возмущения стремятся возрасти со временем, то движение неустойчиво и фактически существовать не может ). [c.137]

Задача о распаде струй решается посредством рассмотрения устойчивости данного течения жидкости. Математическое исследование устойчивости движения по отношению к малым возмуш,ениям может быть проведено с помощью уравнений движения. С этой целью на стационарное основное течение накладывается нестационарное малое возмущение так, чтобы результирующее движение удовлетворяло уравнениям движения. При скоростях истечения, имеющих практический интерес, влияния силы тяжести на движение жидкости можно не учитывать. В этом случае на жидкую струю действуют силы вязкости, поверхностного натяжения и гидродинамического давления. jit, [c.25]

Допустим, что линейная гидродинамическая задача устойчива. Тогда уравнение энергии (3.58) в линейном случае Я = О, = О имеет устойчивое решение, если 9/j°Pe + 22 , <25. Значит, при прочих равных условиях, тепловая устойчивость либо неустойчивость зависят не от монотонной функции а от ее производной dq ldT. Для источника массы при [c.110]

Общие замечания. Распространится иди погаснет малое возмущение, которое накладывается на известное первоначальное течение, зависит от свойств жидкости, характера первоначального течения и природы возмущения. Если все такие возмущения затухают, то первоначальному течению свойственна устойчивость в противном случае ему присуща неустойчивость, даже если некоторые возмущения исчезают со временем. Задачи гидродинамической устойчивости представляют большой практический и теоретический интерес, о чем свидетельствует большое число посвященных этому вопросу публикаций с начала нашего столетия. [c.232]

Устойчивость течений вязкой жидкости. С проблемой единственности тесно связаны более сложные вопросы гидродинамической устойчивости. Рассмотрим движение жидкости, заполняющей объем S8, с заданным распределением скорости на границе этого объема. В большинстве задач указанного типа область 23 ограничена твердыми стенками и граничные условия определяются движением этих стенок (например, течение Куэтта). Предположим теперь, что рассматриваемое поле скоростей получает в начальный момент I = О малые возмущения. Естественно поставить вопрос [c.233]

К задаче о взаимодействии ансамбля осцилляторов с волной сводятся многие проблемы нелинейной теории гидродинамической устойчивости, в частности при нелинейном анализе возбуждения волн на поверхности воды ветром [14], в теории пограничного слоя [16] и др. Роль неравновесных частиц здесь играют частицы среды, движущиеся с различными скоростями. В отличие от приведенного выше примера с электронным пучком в плазме гидродинамическая задача об эволюции распределения частиц жидкости по скоростям в принципе не может быть одномерной — скорость в данной точке в классической гидродинамике определяется однозначно. Следовательно, если в поле одномерной волны (распространяющейся вдоль оси х) частицы среды [c.282]

Предыдущие примеры служат иллюстрацией того, как легко можно сформулировать задачи гидродинамической устойчивости в виде вполне определенных задач о собственных значениях. Простота окончательного уравнения заставляет даже полагать, что и решение таких задач, возможно, не будет трудным. Поэтому естественно попытаться получить без подробных вычислений простые общие выводы, [c.20]

Полная теория этой задачи была дана Вазовым (1948). Мы здесь не будем непосредственно излагать эту теорию. Вместо этого мы опишем вкратце некоторые из его выводов, представляющих интерес для задачи гидродинамической устойчивости. Чтобы выявить более отчетливо значение его результатов, мы разделим наше изложение на две части. В первой части наше внимание будет направлено на получение решений, пригодных для задачи о собственных значениях. Во второй части мы обратимся к изучению полного поведения решений, особенно того из них, которое асимптотически представляется решением срг (у) в (8.1.8). [c.161]

Большое место в научном творчестве А.Г. Куликовского занимают задачи, связанные с анализом устойчивости гидродинамических течений. Он пришел в теорию устойчивости, когда казалось, что эта теория уже полна и дело только за решением конкретных задач. Тем не менее, на практике часто возникали задачи, в которых существенно влияние граничных условий на устойчивость, например важные для приложений задачи о течении в каналах. [c.5]

В качестве первого приближения была высказана гипотеза о возможности интерпретации двухфазного пристенного слоя в виде системы струек жидкости неправильной формы, обтекаемых паром. При такой схеме кризис кипения рассматривается как чисто гидродинамический эффект, являющийся следствием нарушения устойчивого существования жидких образований в потоке пара, образующемся в пристенном слое. В аналитическом плане задача об устойчивости поверхности раздела жидкость — газ рассматривалась в ряде работ [8—11]. Приложение и развитие этого анализа применительно к кризису кипения, сделанное в [5], привело к функциональной связи, дающей возможность учесть влияние вязкости жидкости на критические нагрузки, В результате сопоставления с опытом были получены следующие критериальные формулы [c.80]

Поскольку решение сформулированной задачи -связано со значительными математическими трудностями, имеет смысл вначале развить упрощенный подход к проблеме. Это можно сделать, если рассмотреть задачу об устойчивости конвективного течения с кубическим профилем в чисто гидродинамической постановке, полностью пренебрегая влиянием тепловых факторов на развитие возмущений. Такой подход оправдан, во всяком случае, при малых значениях числа Прандтля (высокая теплопроводность жидкости). В этом случае возникающие температурные возмущения быстро рассасываются со временем на фоне сравнительно медленно изменяющихся возмущений скорости. Поэтому развитие возмущений можно приближенно трактовать как изотермический процесс. При таком подходе следует пренебречь членом 0 в (43.11) и не рассматривать вовсе уравнение. теплопроводности (43.12). Тогда задача сводится к решению уравнения Орра — Зоммерфельда с заданным конвективным профилем скорости о(л ) [c.305]

Монотонная гидродинамическая мода неустойчивости. Перейдем теперь к результатам решения задачи устойчивости в полной постановке (спектральная задача (1.24)-(1.26)). Монотонная неустойчивость, имеющая место в пределе Рг О, естественно, продолжается в область конечных значений Рг, причем ее характеристики, вообще говоря, зависят от числа Прандтля. Численный расчет этой моды неустойчивости проведен в работах Р.Н. Рудакова [15, 32] с помощью метода Галеркина. Использовались [c.27]

В общей конвективной постановке задача (28.5) решалась в работах Е.А. Еремина [22, 23] методом дифференциальной прогонки. Как оказалось, высокотемпературный режим теряет устойчивость относительно гидродинамической моды при некотором критическом числе Грасгофа, однако эта граница не представляет особого интереса, поскольку уже при Gr = О этот режим неустойчив относительно температурных возмущений. По этой причине далее будет идти речь о наиболее интересном -низкотемпературном режиме. [c.191]

При проверке устойчивости расчета эволюционной задачи может быть полезен способ, предложенный Миллером [1967]. Он предлагает проводить параллельно два расчета при начальных условиях, отличающихся на величину, в некотором смысле малую, но значительно большую, чем ошибки округления. О возникновении неустойчивости можно судить по величине некоторого функционала (разности квадратов зависимых переменных) для двух таких параллельных расчетов. Заметим, однако, что этот прием пе дает возможности отличить гидродинамическую неустойчивость от численной. [c.482]

Существование двух типов движения вязкой жидкости—-ламинарного и турбулентного—немедленно ставит вопрос какой тип движения встречается с большей вероятностью Теперь уже общепризнано, что турбулентность является ботее естественным состоянием движения жидкости, а ламинарное движение встречается только тогда, когда число Рейнольдса так мало, что отклонение от этого движения имеет тенденцию к затуханию. Было найдено, что для некоторых типов течений возможно сохранить поток ламинарным для все больших и больших чисел Рейнольдса, если брать возмущение все меньшим и меньшим. Если же течение задано, то тогда может быть поставлен вопрос устойчиво ли оно относительно бесконечно малых возмущений Это и есть задача о гидродинамической устойчивости. [c.9]

Чтобы решить задачу о гидродинамической устойчивости, нужнд поэтому исследовать решение нелинейной (квазили- [c.9]

Обсужденную выше задачу ранее решал Харт [9], Данные о гидродинамической моде неустойчивости при малых числах Прандтля в общем согласуются с кривой 1 на рис. 133. Что касается границ устойчивости, связанных с рэлеевскими модами, то здесь имеются качественные различия. По-видимому, в работе [9] содержатся ошибки. Так, в частности, совершенно неправдоподобен вьшод о том, что при всех Рг наиболее опасны плоские возмущения, — этот вьшод представляется удивительным и самому автору [9]. В работе [83], появившейся значительно позже, чем [4, 5], обсуждаемая в этом пункте задача вновь подверглась пересмотру. Результаты, относящиеся к гидродинамической и рэлеевским модам, полностью подтверждают данные [4, 5], представленные на рис. 133. Кроме того, в [83] обнаружена еще одна — спиральная колебательная мода неустойчивости с волновым числом куп 1. По своей физической природе она связана с возбуаде-нием (за счет энергии основного потока) внутренних волн в слое устойчивой стратификации волны распространяются в направлениях, перпендикулярных осям спиральных возмущений (т.е. вдоль направлений ijn). Эта мода наиболее опасна в сравнительно узкой области чисел Прандтля — от 0,14 до 0,45 (см. рис. 133). [c.207]

Многие области техники используют достижения механики жидкости к газа. Авиация и кораблестроение, основными проблемами которых являются скорость, устойчивость и управляемость самолета, ходкость, устойчивость и управляемость судна, неразрывно связаны с аэродинамикой и гидродинамикой. Такая смежная с авиацией отрасль техники, как реактивная техника, не только использовала достижения предыдущей эпохи, но и поставила, главным образом, перед газовой динамикой, ряд новых задач, послуживших дальнейшему значительному развитию этой сравнительно молодой отрасли механики жидкости и газа. Так, например, конкретная задача о возвращении космического корабля или баллистической ракеты на землю через плотные слои атмосферы вызвала к жизни многочисленные исследования по борьбе с разогревом поверхности твердого тела за счет тепла, возникающего при диссипации механичес ой энергии потока вблизи поверхности тела (в пограничном слое), с плавлением или сублимацией (непосредственным испарением твердой поверхности без прохождения процесса предварительного оплавления) поверхности корпуса ракеты. Совокупность этих и многих других близких задач привела к образованию нового раздела механики жидкости и газа — аэротермодинамики. Отметим еще важное значение гидроаэродинамики и газодинамики в турбостроении и двигателестрое-НИИ, особенно в создании реактивных и ракетных двигателей. Проточные части гидротурбины, паровой и газовой турбин, реактивного двигателя, компрессора или насоса представляют собой сложные конструкции, состоящие из ряда неподвижных (направляющие аппараты) и подвижных (рабочие колеса) лопастных систем. При вращении рабочих колес составляющие их лопатки обтекаются с большими относительными скоростями водой, газом или паром. От правильного гидродинамического расчета формы профилей и конструкции лопаток рабочих колес зависит достижение требуемой мощности машины, ее высокого коэффициента полезного действия. Надо также уметь рассчитывать и лопастные направляющие аппараты водяной, воздушной или газовой 1урбины, улучшать и другие элементы проточной асти, от гидроаэродинамического совершенства которых зависит качество турбины в целом. [c.16]

Условия гидродинамической устойчивости для жестких систем обязательно те же что и для нежестких. Таким образом, при рассмотрении гидродинамической устойчивости реальных систем следует считать их нежесткими, что существенно усложняет задачу. Кроме " го, при рассмотрении течений реальной жидкости необходимо принимать во внимание инерционные эффекты, которые отсутствуют при Ч ечении" тепла". (В новой теории теплопередачи подход и анализ Нованы на представлениях о "течении" "тепла", причем это в боль- [c.189]

Несмотря на очевидную сложность, данная схема обладает некоторыми пренмуществами. У нее формальная ошибка аппроксимации составляет = О (А 2, Ах , Ау ). Это одношаговая схема, и поэтому здесь не возникает проблем, связанных с граничными условиями. Для этой схемы тождественно выполняется равенство 0 = 1 и тождественно сохраняются величины и кинетическая энергия v , эти свойства схемы делают ее особенно удобной для решения задач гидродинамической устойчивости. Поскольку схема сохраняет величину , она не подвержена нелинейной неустойчивости Филлипса [1959], возникающей из-за обусловленных неразличимостью ошибок (такие ошибки имеют место, но остаются ограниченными, так как остается ограниченным). Хорошие свойства этой схемы, относящиеся к фазовой ошибке и обобщающие ее на случай метеорологических уравнений в приближении р-плоскости , рассмотрены Граммельтведтом [1969]. Используя подход Дюфорта— Франкела (разд. 3,1.7), Феста [1970] включил в данную схему диффузионные члены. [c.160]

В постановке и решении ряда задач аэродинамики, в частности для схематизации движения воздуха и его действия на тела, немаловажную роль ыграли различные гидродинамические модели [26] При этом большую роль сыграли ударная теория сопротивления И. Ньютона (1686 г.), теория идеальной несжимаемой жидкости, разработанная Д. Бернулли (1738 г.) л Л. Эйлером (1769 г.), теория вязкой несжимаемой жидкости, созданная А. Навье (1822 г.) и Дж. Г. Стоксом (1845 г.), теория струйного обтекания тел, развитая Г. Гельмгольцем (1868 г.), Г. Кирхгофом (1869 г.), а в дальнейшем Рэлеем (1876 г.), Д. К. Бобылевым (1881 г.), Н. Е. Жуковским (1890 г.), Дж. Мичеллом (1890 г.), А. Лявом (1891 г.). Особое значение для становления аэродинамики имели работы Г. Гельмгольца, заложившего основы теории вихревого движения жидкости (1858 г.). В начале XIX в. появились понятия подъемной силы (Дж. Кейли) и центра давления. Дж. Кейли впервые попытался сформулировать основную задачу расчета полета аппарата тяжелее воздуха как определение размеров несуш,ей поверхности для заданной подъемной силы [27, с. 8]. В его статье О воздушном плавании (1809 г.) предложена схема работы плоского крыла в потоке воздуха, установлена связь между углом атаки, подъемной силой и сопротивлением, отмечена роль профиля крыла и хвостового оперения в обеспечении продольной устойчивости летательного аппарата я т. п. [28]. Кейли также занимался экспериментами на ротативной маши-де. Однако его исследования не были замечены современниками и не получили практического использования. [c.283]

Заканчивая обсуждение влияшя осложняющих факторов на устойчивость конвективного течения жидкости с внутренними источниками тепла, укажем на работы [20, 21]. В [20] рассматривалась задача устойчивости течения в слое с однородными источниками тепла при наличии разности температур границ и с учетом температурной зависимости вязкости. Рассмотрение ограничено гидродинамическим пределом (Рг = 0). Для определения границ устойчивости применен вариационный метод локального потенциала с простейшими аппроксимациями амплитуд. Как и в случае течения, создаваемого только поперечной разностью температур ( 9), учет температурной зависимости вязкости приводит к понижению устойчивости. В работе [21] та же методика применена для расчета устойчивости течения проводящей жидкости с внутренним тепловыделением при наличии разности температур границ и внешнего магнитного поля. Сделанный в работе вывод о стабилизирующем действии поля сомнений не вызывает. Что касается количественных результатов, то они представляются грубыми, поскольку с ростом поля формируются гартмановские пограничные слои, не учтенные в использованных аппроксимациях (см. по этому поводу 17). [c.187]

Обобщение задачи линейной устойчивости течения с учетом излучения на случай наюгонного слоя произведено в работе [40]. Если слой наклонен к вертикали на угол а < О (нагретая граница расположена снизу, см. 7), имеет место, как и в отсутствие эффектов излучения, взаимодействие двух механизмов неустойчивости - гидродинамического и рэлеевского. При 0 < а < О, где а зависит от числа Прандтля и всех параметров излучения, как и в случае вертикальной ориентации слоя, более опасны плоские возмущения. Если же угол наклона превосходит 1 1, то наиболее опасными становятся спиральные возмущения. [c.201]

Конечно-амплитудные движения. С ростом числа Грасгофа в замкнутых полостях происходят последовательные перестройки движения с усложнением пространственно-временной структуры. Расчеты развитых конвективных движений требуют применения численных методов. Наиболее употребительными являются методы сеток и Галеркина — Канторовича. При использовании метода Галеркина — Канторовича исходная система уравнений в частных производных заменяется системой обыкновенных дифференциальных уравнений, иногда сравнительно невысокого порядка, моделирующей наиболее существенные свойства исходной системы. Данный подход развит для решения нелинейных задач гидродинамики в работах А.М. Обухова с сотрудниками, построивших общую теорию нелинейных систем гидродинамического типа [108, 109]. В области применимости маломодовых моделей использование аппарата качественной теории дифференциальных уравнений позволяет получить обширную информацию о типах движений, их устойчивости и взаимных переходах. Следует подчеркнуть, однако, что маломодовые модели могут оказаться недостаточными для описания реальных явлений (см. [63, 64]). [c.282]

О некоторых методах моделирования турбулентности. Помимо статистического подхода к моделированию турбулентности в настоящее время все более широкое применение находит феноменологический (полуэмпириче-ский) подход и методы прямого численного моделирования турбулентности на основе решения специальных кинетических уравнений или нестационарной системы трехмерных уравнений Навье-Стокса, хотя в силу стохастичности данного явления в реальности удается получать лишь осредненные характеристики движения. Это позволяет, тем не менее, иногда проследить не только эволюцию образований различных пространственных структур с течением времени, но также изучать общую динамику и природу развития турбулентности. Например, результаты численного моделирования явления перебросов в гидродинамической системе (сконструированной в виде многоярусной модели зацепления простейших элементов - триплетов) иллюстрируют каскадный процесс передачи энергии в развитом турбулентном потоке, соответствующий известному закону Колмогорова-Обухова Гледзер и др., 1961) и подкрепляют представления об общих свойствах в поведении динамических систем. Интересно также отметить, что исследование процесса стохастизации динамических систем и сценариев перехода к хаосу при численном моделировании турбулентности служит аналогом решения некорректных задач с использованием оператора осреднения и параметрического расширения Тихонов и Арсенин, 1986). При таком подходе упорядоченная структура турбулентного течения, которая определяется как аттрактор асимптотически устойчивого решения для осредненных величин, представляет собой его регуляризованное описание Белоцерковский, 1997). Следует однако заметить, что использование методов прямого численного моделирования турбулентности для решения практически важных задач (особенно задач, связанных с расчетами турбулентного тепло-и массопереноса в многокомпонентных химически активных смесях) часто затруднительно или является слишком громоздким. Поэтому подобные задачи целесообразнее решать с помощью более простых, полуэмпирических теорий. [c.16]

Зависимость всех возмущений от х, у и t задается в виде ехр i к х + + к у — o)i), а зависимость их от z определяется из решения возникающей при этом краевой задачи. Система уравнений в случае произвольного магнитного поля и конечных значений числа Рейнольдса Re, магнитного числа Рейнольдса Re i и числа Гартмана На сводится к системе шестого порядка, состоящей из двух уравнений. Собственная частота находится как собственное значение рассматриваемой краевой задачи, причем ш зависит от / j, /сд, Re, Remt На. Как обычно, целью работ по гидродинамической теории устойчивости является нахождение границы устойчивости, т. е. поверхности Im со = О в пространстве переменных к , / j, Re, Re На. Результаты представляются часто в виде семейства нейтральных кривых Imto kl, Re) = О на плоскости к , Re, причем остальные переменные к , Rem и На) рассматриваются в качестве параметров семейства. В ряде случаев можно уменьшить число параметров, от которых зависят [c.455]

Седьмая глава посвягцепа численному моделированию методом частиц известного гидродинамического эффекта удержания шара тонкой вертикальной струей жидкости. В нервом параграфе приведено решение соответствуюгцей плоской задачи. Устойчивые колебания цилиндра в струе получаются здесь только при использовании условия М.А. Лаврентьева о положении точки отзыва. Во втором параграфе описан способ построения соленоидальных базисных функций на прямоугольной сетке, удовлетво-эяюгцих условию пепротекапия на сфере. В третьем параграфе приведены расчеты трехмерной задачи, где исследуемый эффект был численно смоделирован без всяких дополнительных условий на положение точки отрыва. Приводится сравнение с экспериментом, а также обсуждается физический механизм этого феномена. [c.16]

Гидродинамическая турбулентность, описываемая уравнениями Навье-Стокса, имеет много общего с движением динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, о которых шла речь в предыдущей главе. Связь эта определяется действием вязкости, которая лишает моды с высокими номерами самосто-ятельности . Хопфом даже была высказана гипотеза о том, что все множество траектории уравнения Навье-Стокса (его фазовое пространство бесконечномерно) притягивается к конечномерному множеству. Отсюда сразу следует, что при i оо движение жидкости можно описывать конечномерными уравнениями. Эта гипотеза, правда, до сих пор не доказана, но она кажется совершенно естественной, если учесть, что вязкость препятствует существованию мелкомасштабных возмущений. Добавим, что уже обнаруженные для уравнения Навье-Стокса основные бифуркации носят конечномерный характер [5]. Это, например, переход стационарного устойчивого течения в периодическое (рождение из состояния равновесия предельного цикла), установление двухпериодического течения (рождение двумерного тора) и др. Поэтому есть все основания считать, что и очередная бифуркация — переход к неупорядоченному течению — для многих гидродинамических задач также окажется конечномерной. [c.496]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...