Линейная задача устойчивости

При исследовании линейных задач устойчивости пологих круговых цилиндрических оболочек можно использовать линейные уравнения В. 3. Власова [68], стр. 460 [c.258]

Но необходимо подчеркнуть, что теорема о выпуклости области устойчивости (как и остальные теоремы П. Ф. Папковича о границах областей устойчивости) доказывается только для линейной задачи устойчивости. Эта теорема верна, если докритическое напряженно-деформированное состояние упругой системы определено по линейной теории и при расчете на устойчивость докритические перемещения системы не учитываются. В противном случае граница области устойчивости может иметь участки, обращенные выпуклостью в сторону области устойчивости [23]. Более того, в общем случае, когда для описания докритического состояния упругой системы необходимо использовать нелинейную теорию, области устойчивости могут иметь самые причудливые очертания. [c.34]

Поскольку в зависимости (5.86) все функции Wx x, у), и . (х, у)у (х> у). Фг ( > у) считаем известными из решения линейной задачи устойчивости пластины, закритическое деформирование пластины в окрестностях критической точки бифуркации определяется только параметром с . Таким образом, с помош,ью приближенного решения задача исследования закритического поведения пластины сводится к элементарной нелинейной задаче для системы с одной степенью свободы (см. гл. 1). [c.217]

Из уравнения (5.91) при — О получим критическое значение параметра нагрузки Р р, поскольку для построения приближенного нелинейного решения использовано решение линейной задачи устойчивости пластины. При i О из уравнения (5.91) следует, что [c.218]

Исследование знака второй вариации на всевозможных перемещениях представляет собой трудную задачу. В линейных задачах устойчивости обычно используют условия безразличного равновесия [c.54]

Приступая к исследованию устойчивости конвективных течений, начнем с рассмотрения плоскопараллельного течения в плоском бесконечном вертикальном слое, границы которого поддерживаются при постоянных разных температурах. Задача устойчивости этого течения играет в определенном смысле базовую роль. На ее примере анализируются особенности спектра нормальных возмущений, обсуждаются основные механизмы неустойчивости, находятся критические параметры и форма возмущений. Кратко излагаются основные методы решения линейной задачи устойчивости, получившие широкое распространение. Представлены также результаты численного моделирования конечно-амплитудных режимов, развивающихся после потери устойчивости основного течения. [c.7]

Результаты исследования устойчивости приведены на рис. 126. С увеличением числа Франк-Каменецкого F (т.е. с ростом интенсивности тепловыделения) граница устойчивости понижается. При F > F стационарных режимов плоскопараллельного течения нет, и потому постановка линейной задачи устойчивости теряет смысл. С увеличением числа Прандтля устойчивость понижается в связи с вступлением в игру дестабилизирующих тепловых факторов (ср. 25). Как и в случае однородных источников тепла, неустойчивость развивается в виде дрейфующих вниз цепочек вихрей, расположенных в шахматном порядке на границах встречных потоков. [c.191]

Линейная задача устойчивости решалась в работе [19 [c.211]

Экспериментальная методика связана с наблюдением пространственного затухания или нарастания возмущений заданной частоты. Поэтому при формулировке линейной задачи устойчивости удобнее считать декремент чисто мнимым, = где ь " частота, а волновое число — комплексным, к = ку ik . Нейтральный режим тогда определяется условием k = О, а нейтральная кривая может быть представлена в координатах (u), Gr ) или ку, Gr ). Нейтральные кривые на рис. 143 соответствуют второму способу представления. [c.224]

Из свойств декремента линейной задачи устойчивости основного течения вытекает os > О, os > 0 требование ограниченности решений при t оо ( мягкая неустойчивость ) дает два условия os i// > О, os i// + + /7 os > О, которые предполагаются выполненными. [c.250]

Здесь куп, Ка) - декремент, определяемый линейной задачей устойчивости равновесия - симметричная матрица коэффициентов, зависящих только от угла между векторами А / и к (см. [48]). Диагональные элементы кц в силу изотропности задачи в плоскости (л , у) равны между собой мягкий характер возбуждения, устанавливаемый с помощью вариационного принципа (см. [4]),обусловливает неравенство кц = к > 0. [c.262]

Линейная задача устойчивости равновесия формулируется следующим образом. Возмущения скорости обеих жидкостей удовлетворяют линеаризованному уравнению Навье-Стокса и уравнению непрерывности [c.20]

Линейная задача устойчивости. Рассмотрим линейную устойчивость основного состояния (1.3.15)-(1.3.17) по отношению к малым возмущениям. Линеаризуя (1.3.9) (1.3.14) около решения (1.3.15)- [c.47]

Перейти в решение линейной задачи устойчивости и получить соответствующие критические нагрузки и формы устойчивости. [c.50]

Перейдем к анализу квазистационарного рельефа. Если не обращать внимания на форму рельефа, эффект аналогичен тому, что обнаружено при поступательных вибрациях одного направления (разд. 1), где для теоретического описания использована двухжидкостная модель. Эти "жидкости" (чистая жидкость - сверху, ожиженный песок - снизу) совершают тангенциальные колебания друг относительно друга под действием осциллирующей внешней силы сила тяжести обеспечивает существование резкой границы раздела сред. Для описания осредненной динамики сьшучей среды при круговых вибрациях воспользуемся вибрационным параметром = hQ.)2 gh (здесь Ь - амплитуда круговых вибраций полости) и результатами экспериментального и теоретического исследования устойчивости границы раздела несмешивающихся жидкостей при таком же вибрационном воздействии [15, 18]. Линейная задача устойчивости границы в случае, когда слой совершает поляризованные по кругу вибрации, совпадает со случаем поступательных вибраций одного направления. [c.131]

Решение задачи о получении нормальной формы линейной системы (2.92) необходимо при исследовании устойчивости нелинейных уравнений возмущенного движения, при анализе нелинейных колебаний, при построении приближенных решений нелинейных гамильтоновых систе.м, где в качестве первого приближения берется обы шо решение линейной задачи. Поэтому целесообразно выбирать такие координаты, в которых решение линейной задачи записывалось бы наиболее просто. Простейшей вещественной формой уравнений (2.92) и будет нормальная форма. [c.125]

Поскольку проведение теоретического расчета и непосредственного контроля давления молекулярного водорода внутри расслоения является достаточно сложной задачей, прогнозирование развития изолированных расслоений или областей взаимодействующих расслоений осуществляют на основе результатов периодического УЗК изменения их размеров в процессе эксплуатации трубопроводов. Например, при неизменных условиях эксплуатации трубопроводов и оборудования ОНГКМ увеличение линейных размеров устойчиво развивающихся водородных расслоений достигает 3-5 мм в год [25]. [c.130]

Кроме ошибок аппроксимации, существует другой источник ошибок численного решения, связанный с погрешностью вычислений. В зависимости от вычислительного алгоритма могут уменьшаться и возрастать ошибки округления. В случае возрастания говорят, что вычислительный метод неустойчив, в случае убывания — устойчив. Для решения задач используют устойчивые методы. Один и тот же алгоритм может быть устойчив при выполнении некоторых условий и неустойчив при их нарушении. Условие неустойчивости является внутренним свойством разностной схемы и не связано с исходной дифференциальной задачей. Исследование устойчивости обычно проводится для линейных задач с постоянными коэффициентами, и результаты исследования, полученные для линейных систем, переносят на нелинейные уравнения газовой динамики, но при этом надо иметь в виду, что [c.271]

Теория разностных схем в основном развита для линейных задач и опирается, как отмечалось ранее, на три основных понятия аппроксимацию исходных дифференциальных уравнений, устойчивость вычислительного процесса, сходимость численного метода к решению. Для нелинейных задач теория, как правило, не развита исследование устойчивости в этих случаях сопряжено с большими трудностями и проводится обычно на линейных аналогах конкретной задачи. Например, при исследовании устойчивости задач газовой динамики часто рассматриваются уравнения в акустическом приближении. [c.232]

Возмущенные значения скорости и давления также пропорциональны множителю Q p ikx - /со О- Описание возмущенного движения осуществляется на основе полных уравнений Навье—Стокса при сохранении во всех соотношениях тех членов, в которые возмущенные величины входят лишь в первой степени (отсюда название линейная теория ). С точностью до линейных по возмущениям величин записываются и граничные условия на стенке и свободной поверхности пленки. Последние учитывают действие силы поверхностного натяжения (из-за искривления поверхности). Предполагается также, что трение на свободной поверхности пленки равно нулю. Линейная теория описывает полностью (с точностью до абсолютного значения амплитуд возмущенных величин) возникающее движение и позволяет установить значение частот со при известных волновых числах к и остальных параметрах задачи. Исследование этой зависимости и составляет центральную задачу линейной теории устойчивости. [c.166]

В гл. 4 была рассмотрена в элементарном изложении теория устойчивости упругих стержней. Особенность этих задач состояла в том, что уравнения равновесия составлялись для деформированного состояния стержня, т. е. по существу речь шла о геометрически нелинейных задачах. Вариационные уравнения, описанные в 8.7, эквивалентны геометрически линейным уравнениям теории упругости, для которых доказана теорема единственности. Поэтому никакие задачи устойчивости с помощью этих вариационных уравнений решать нельзя. Здесь мы постараемся распространить вариационные уравнения на геометрически нелинейные задачи. Существо дела состоит в том, что уравнения статики должны составляться не в исходной системе координат, например декартовой, а в той криволинейной системе координат, в которую превращается исходная вследствие деформации. Прямой путь получения таких уравнений довольно сложен, поэтому нам будет удобно вернуться к выводу 7.4, где напряжения определялись по существу как обобщенные силы, для которых компоненты тензора деформации служили обобщенными неремещениями. Пусть тело, ограниченное поверхностью [c.390]

Во-первых, всюду, где это специально не оговорено, материал считаем линейно упругим (изотропным или анизотропным). Конечно, многие практически важные задачи устойчивости деформируемых тел требуют учета более сложных реологических свойств (нелинейная упругость, пластичность, ползучесть и т. д.). Но для тонкостенных элементов силовых конструкций из современных высокопрочных материалов это ограничение вполне обосновано. Как правило, работоспособность таких конструкций определяется их устойчивостью в упругой области. Кроме того, для правильной постановки и решения задач устойчивости деформируемых тел с другими реологическими свойствами необходимо понимать формулировки и решения задач устойчивости для линейно-упругого тела. [c.35]

Предположим, что состояние равновесия нагруженного тела, соответствующее решению линейной задачи, известно. Это состояние в дальнейшем будем называть начальным невозмущенным состоянием равновесия. Устойчивость равновесия этого состояния исследуем при следующих допущениях. [c.47]

Одним из наиболее универсальных методов приближенного интегрирования дифференциальных уравнений является метод Галеркина (или Бубнова—Галеркина ). Рассмотрим схему решения этим методом задач устойчивости, сводящихся к линейным задачам на собственные значения (см. приложение I). [c.71]

Заметим, что задачу устойчивости пластин в рассматриваемой постановке, когда начальное напряженно-деформированное состояние описывается уравнениями линейной теории упругости, можно решать, не определяя этого состояния (см. 10). [c.137]

Остановимся на условии нерастяжимости срединной плоскости пластины. Это условие, естественное и законное для линейных задач изгиба пластин, иногда используют в нелинейных задачах, например при выводе энергетического условия устойчивости пластин [37 ]. Перемещения и и v часто выражают через поперечный прогиб W из условия равенства нулю значений s ., е , у, определяемых формулами (4.24), т. е. из условия [c.142]

Сравнивая полученную систему линеаризованных уравнений с системой уравнений (6.1) линейной задачи изгиба кольца, видим, что эти системы уравнений будут формально совпадать, если в (6.1) положить <7 = О, m = О, а в (6.8) ввести фиктивную поперечную нагрузку qt = 0). Поэтому, минуя промежуточные выкладки, по аналогии с уравнениями (6.5) и (6.6) можно записать линеаризованное уравнение задач устойчивости кольца [c.225]

В 1944—1950 гг. акад. А. А. Андронов разработал общий метод полного решения кусочно-линейных задач. Первые публикации по устойчивости нелинейных систем начали появляться в 1946—1947 гг. Начиная с этих лет и до самого последнего времени основные усилия были направлены, на расширение возможностей первого и второго методов Ляпунова. [c.249]

Исследованию устойчивости жестко защемленных по краю пологих сферических оболочек под действием равномерного внешнего давления, выполненных из материала, ползучесть которого описывается соотношениями линейной вязкоупругости, посвящены работы [11, 55, 56, 80, 81, 85, 89, 92]. Поскольку материал обладает ограниченной ползучестью, задача устойчивости может ставиться на бесконечном интервале времени. В ряде указанных работ определяется значение длительной критической нагрузки. Разрешающие уравнения строятся с учетом нелинейности геометрических соотношений. Время, при котором оболочка теряет устойчивость под действием давлений, превышающих длительное критическое, определяется моментом резкого возрастания скорости осесимметричного прогиба (хлопка). [c.9]

Рассматривая системы регулирования, включающие чувствительный элемент, сервомотор, трубопровод и др., А. Стодола свел задачу устойчивости системы регулирования к одному линейному дифференциальному уравнению высокого порядка (до шестого включительно). [c.13]

Другими словами, в линейных задачах теории упругости вторая вариация полной потенциальной энергии выражается той же положительно определенной квадратичной формой (3.17), что и удельная потенциальная энергия деформации. Следовательно, б"5 > О, и всякое положение равновесия упругой линейной системы устойчиво, поскольку полная потенциальная энергия имеет минимальное значение. [c.78]

Величина X находится как наибольшее собственное число матриць/ А, которая имеет двухленточное строение. При этом необходимо производить минимизацию по параметру Я. Результаты вычислений по ЭВМ, выполненные методом степенной итерации [14.2], показаны на рис. 12.3 кривой линейная теория . При этом = AqIT — отношение амплитуды усилия к критическому усилию однородного сжатия. Эта величина отличается от единицы только при малых значениях R/h, т. е. в случае относительно толстых оболочек. Таким образом, можно считать, что амплитуда осевого критического усилия при изгибе моментом близка к критическому однородному усилию. Физически это можно объяснить локальностью формы потери устойчивости — изменение усилий в пределах вмятины незначительно. Форма потери устойчивости на половине развертки оболочки показана на рис. 12.2. Изложенная постановка линейной задачи устойчивости при изгибе моментом принадлежит Флюгге [5.4]. [c.194]

Интерес к длинноволновой асимптотике уравнения Орра-Зоммер-фельда возникает, в частности, потому, что собственные решения линеаризованных уравнений свободного взаимодействия [78, 79, 81] являются предельной формой волн Толлмина-Шлихтинга в несжимаемой жидкости с прилегающими к стенке критическими слоями [52, 53]. При этом дисперсионное соотношение, которое в точности совпадает с вековым уравнением задачи Орра-Зоммерфельда, содержит целый спектр решений, не рассмотренный в [51, 174, 175]. Первая мода колебаний из указанного спектра может быть как устойчивой, так и неустойчивой. Ниже строятся решения для каждой из подобластей (включая критический слой), на которые при больших числах Рейнольдса разделяется возмущенное поле скоростей в линейной задаче устойчивости. Выводятся дисперсионные соотношения, описывающие окрестности верхней и нижней ветвей нейтральной кривой для пограничного слоя. Данные соотношения, содержащие нейтральные решения как частный случай, асимптотически переходят друг в друга в неустойчивой области между обеими из этих ветвей. [c.55]

Полностью вопрос об устойчивости в этом случае не может быть решен рассмотрением линейной задачи. Согласно теореме Ляпунова об устойчивости по первому приближению строюе решение возможно лишь при учете нелинейных членов в уравнениях возмущенного движения. [c.84]

Такая постановка задачи совершенно аналогична постановке задачи Эйлера об устойчивости сжатого стержня. Требуется найти критическое значение параметра нагрузки, т. е. множителя при Tafi, при котором линейное однородное уравнение (12.11.1) при однородных граничных условиях имеет нетривиальное решение, т. е. решение, отличное от тождественного нуля. Ограниченность и неполнота анализа подобного рода были разъяснены в гл. 4 и мы не возвращаемся к сделанным там разъяснениям. Здесь в качестве примера мы рассмотрим одну только задачу устойчивости прямоугольная пластина длиной а в направлении оси х , шириной Ъ в направлении оси Хг равномерно сжимается вдоль оси Xi усилием Тц = —Т. Уравнение (12.11.1) примет вид [c.416]

Аштон и Ваддоупс [17 ] решили методом Релея — Ритца задачу устойчивости прямоугольной пластины с произвольной схемой расположения слоев при одноосном и двухосном сжатии, а также сдвиге в плоскости пластины. Полученные ими решения достаточно хорошо совпали с результатами эксперимента при одноосном сжатии пластин, защемленных по всем сторонам, пластин, защемленных по двум сторонам и шарнирно опертых по двум другим сторонам [15 [, сдвиге пластин, защемленных по всем сторонам [16], а также при одноосном сжатии пластин с линейно изменяющейся толщиной. [c.184]

Марч, и Куензи [180] представили линейный анализ устойчивости цилиндрической оболочки с ортотропными несущими слоями при кручении. Риз [229] сформулировал задачу устойчивости таких оболочек при осевом сжатии, изгибе, кручении, а также при воздействии любой комбинации этих нагрузок. Однако численные результаты им были получены для случаев раздельного или совместного осевого сжатия и изгиба при свободно опертых и защемленных кромках. Эти задачи рассмотрены также в работе Риза и Берта [231]. [c.248]

В линейной теории упругости компонент ы удлинений выра жаются через перемещения точек тела с помо щью линейных соот ношений (2.9). Для решения задач устойчивости этих соотноше- [c.46]

Принципиальное отличие силовых граничных условий задач устойчивости от силовых граничных условий линейных задач поперечного изгиба выявляется тогда, когда на торец стержня передаются сосредоточенные внешние усилия. Оно обусловлено тем, что в задачах устойчивости рассматриваются условия равновесия в отклоненном, искривленном положении системы. Поэтому, если, например, к незакрепленному торцу стержня приложена мертвая осевая сила Р, то условие равновесия примыкающего к торцу элемента (рис. 3.2), составленное для его отклоненного положения (в проекции на ось у), приводит к куравнению i.Q — Nqv =0. В данном случае, когда 0 = —Р, получим граничное условие EJv ) Pv = О при [c.81]

Перейдем к построению приближенного решения" методом Рзлея—Ритца, Полагаем, что решение линейной задачи (точное или приближенное) получено и, в частности, известна критическая нагрузка и соответствующая ему первая собственная функция задачи i(s). Заметим, что при решении задач устойчивости в линейной постановке различие между координатами х я s исчезает и собственные функции (jt) и б д (х) можно заменить на (s) и (s). [c.119]

Отличия результатов расчетов от данных экспериментов по значению критического времени (приемлемые для задач устойчивости оболочек при ползучести) кроме отмеченных обстоятельств (разброс характеристик ползучести материала, существенное влияние начальных несовершенств) объясняются также некоторым несоответствием постановки исследуемой численно задачи условиям проведения испытаний в расчетах не учитывалось термическое деформирование оболочек, происходящее при нагреве до заданной температуры за счет различия температурных коэффициентов линейного расширения дуралюминовой оболочки и стального приспособления, в котором она защемлена. [c.96]

Устойчивость для линейной задачи (2) наз. линеаризованной устойчивостью или устойчивостью в первом приближении, а для полного ур-ния (1) — нелинейной устойчивостью. Ясно, что из нелинейной устойчивости вытекает устойчивость в первом приблн-жении, но, вообще говоря, в более слабой метрике. Обратное же верно, если только Re> <0, >.ба(/4), где о (Л) —спектр оператора А. При этом говорят оспектраль-ной устойчивости, если Re O, и о нейтральной, если Re>.==0. [c.257]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...