Дифференциальные уравнения на многообразии

В книгах [7], [47] излагаются основы теории дифференциальных уравнений на многообразиях. Теория Фробениуса изложена в [47] геометрическое изложение дано в [8]. [c.141]

В данном разделе затрагиваются вопросы существования замкнутых кривых из траекторий систем дифференциальных уравнений на двумерных поверхностях. Рассматриваемые фазовые кривые стягиваются в точку по фазовой поверхности. Таким образом, искомые замкнутые фазовые траектории являются подмножеством той части фундаментальной фуппы данной двумерной фазовой поверхности, представляющей тривиальную компоненту, которая существует для любого гладкого фазового двумерного многообразия. Замкнутые траектории всегда являются ключевыми (по крайней мере для систем на двумерных многообразиях), поскольку от их расположения зависит глобальное расположение многих остальных фазовых траекторий. Последний факт объясняется тем, что фазовые кривые, состоящие из траекторий динамических систем на двумерных многообразиях и стягиваемых по ним в точку, разделяют фазовое многообразие на две части (см. также [13, 176]). [c.81]

Данная система аналитических дифференциальных уравнений на замкнутом аналитическом многообразии М будет называться интегрируемой, если существует конечное множество периодических движений, такое, что соответствующие полные разложения в формальные ряды могут быть взяты сходящимися и дающими соответственное аналитическое представление для каждого возможного движения системы. [c.255]

Теорема. Пусть V—С> + -гладкое векторное поле с особой точкой О и линейной частью Ах, г<оо. Пусть Г, Г и Г — плоскости, соответствующие оператору А, как описано в пункте 4.1. Тогда дифференциальное уравнение x = v x) имеет инвариантные многообразия W и W , гладкие класса С и С, проходящие через О и касающиеся в нуле плоскостей Т , Г и Г соответственно. Фазовые кривые этого уравнения на многообразиях W , ведут себя так же, как в теореме Адамара—Перрона поведение фазовых кривых на многообразии определяется нелинейными членами. [c.62]

Остановимся кратко на определении условий, при выполнении которых многообразие К не будет содержать целых траекторий дифференциальных уравнений возмущенного движения (1.7). [c.43]

Уравнения (2.133)...(2.135) не отражают в явном виде влияние всего многообразия факторов на интенсивность теплоотдачи, которые должны учитываться коэффициентом теплоотдачи а. Из дифференциального уравнения теплоотдачи следует, что [c.197]

Сложность и многообразие процессов течения и теплообмена в трубах позволяет выделить громадное число конкретных задач, различающихся исходными дифференциальными уравнениями и условиями однозначности. Многие из этих задач решены. Решение наиболее полно поставленных задач из-за их сложности не может быть получено с достаточной точностью или неосуществимо. Применение электронных вычислительных машин позволяет довести решение задач до получения числовых з начений искомых переменных. Однако и в этом случае иногда остаются неопределенными области выполнения полуденных значений на практике. Например, машинный расчет вязкостно-гравитационного течения может не показать, при каких условиях это течение переходит в турбулентное (критическое число Рейнольдса при этом может несколько измениться). [c.207]

В свете этой интерпретации сразу видно, почему главная функция Гамильтона должна быть обусловлена каким-то дифференциальным уравнением. Трудно было бы ожидать, чтобы произвольной функции координат двух точек многообразия можно было бы приписать смысл расстояния между этими точками. Под расстоянием на самом деле подразумевается наименьшее расстояние , а слово наименьшее не могло бы относиться к произвольному определению расстояния. [c.322]

Условимся говорить, что любое частное решение уравнений равновесия в объеме и на поверхности определяет статически возможное состояние среды. Многообразие таких состояний — многообразие удовлетворяющих трем краевым условиям (1.5.15) частных решений системы трех дифференциальных уравнений в частных производных (1.5.6), содержаш,их шесть неизвестных. Задача статики сплошной среды состоит в определении в этом многообразии состояния, реализуемого в принятой физической модели. [c.25]

При появлении нелинейных членов интегральные многообразия >5+, 5" п / деформируются и имеют соответственно с поверхностями у = 0, и = 0 и и = у = 0 соприкосновения порядка не меньше N— 1. Фазовые траектории на многообразии подчиняются, согласно последнему из уравнений (1.24) и уравнением (1.25) интегрального многообразия /, дифференциальному уравнению вида [c.98]

Дифференциальные уравнения второго порядка на многообразии. Для дифференцируемого многообразия ТМ можно в свою очередь построить касательное расслоение ТТМ, представляющее собой 4п-мерное многообразие. Его введение позволяет решать задачи дифференциальной геометрии и аналитической механики, в которые входят производные второго порядка, сводя их к задачам первого порядка. [c.53]

Сначала исследуем топологические свойства многообразия Е. На Е нет особых точек системы дифференциальных уравнений Эйлера-Пуассона. Действительно, особые точки отвечают стационарным вращениям (или относительным равновесиям) тела. Нетрудно проверить, однако, что на этих решениях интегралы энергии и момента зависимы. А такие случаи здесь условились не рассматривать. [c.153]

Гамильтонова система (8.1) представима в виде градиентной динамической системы. Пусть (, ) — риманова метрика на многообразии М, Ф — функция на М. Дифференциальные уравнения X = v(x) на М называются градиентными (или эволюционными), если [c.55]

В многомерном случае все обстоит значительно сложнее, и в отношении элементов, определяющих структуру фазового пространства, можно лишь придерживаться тех или иных гипотез. Ситуация здесь осложняется еще тем, что методы качественной теории на плоскости носят специфический характер и не допускают непосредственного обобщения на многомерные системы. В связи с этим необходимо подчеркнуть роль метода точечных отображений в изучении многомерных систем, поскольку именно этот метод позволил сколько-нибудь существенно продвинуться в трудной задаче исследования особенностей структуры фазового пространства многомерной системы ) (Ю. И. Неймарк, 1958, 1965—1967 Д. В. Аносов, 1962 1967 Ю. И. Неймарк и Л. П. Шильников, 1965 Л. П. Шильников, 1965—1967 В. А. Григоренко, 1967), в изучении интегральных многообразий дифференциальных уравнений (Д. В. Аносов, 1959 Ю. И. Неймарк, [c.155]

В соответствии с общей теорией уравнений в частных производных [55 в областях гиперболичности существуют действительные характеристики. Напомним, что характеристики представляют собой многообразия, на которых система дифференциальных уравнений не может быть приведена к нормальному виду, т. е. не может быть разрешена относительно производных, выводящих из такого многообразия. Это препятствует применению теоремы Коши-Ковалевской, следовательно, решения задачи Коши с начальными данными на характеристическом многообразии, вообще говоря, не существует. Для его существования (которое в данном случае уже оказывается не единственным) необходимо и достаточно выполнения условий согласования начальных данных, которые называются условиями совместности. Интересно, что эти условия совместности являются не чем иным как характеристиками системы уравнений газовой динамики, рассматриваемой в переменных годографа, а условиями совместности последней, наоборот, служат уравнения характеристик в физической плоскости. [c.21]

Глава 2 посвящена некоторым вопросам качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, как в применение к конкретным динамическим системам, возникающим в динамике твердого тела, так и в применение к произвольным динамическим системам на маломерных гладких многообразиях. Получены достаточные условия существования бифуркации рождения устойчивых и неустойчивых предельных циклов для систем (в частности (0.11), (0.12)), описывающих движение тела в сопротивляющейся среде, а также достаточные условия отсутствия таких траекторий [298]. [c.31]

Возможность грубых систем со сложными движениями, каждое из которых само по себе экспоненциально неустойчиво, является одним из основных открытий в теории обыкновенных дифференциальных уравнений последнего времени (гипотеза грубости геодезических потоков на многообразиях отрицательной кривизны была высказана С. Смейлом в 1961 г., а доказательство дано Д. В. Аносовым и опубликовано в 1967 г., основные результаты о стохастичности этих потоков получены Я. Г. Синаем и Д. В. Аносовым также в шестидесятых годах). [c.280]

Пример. Пусть N = 2. Тогда многообразие — это поверхность, а поле гиперплоскостей — поле прямых. Такое поле в окрестности точки устроено всегда одинаково и весьма просто, а именно так, как поле касательных к семейству параллельных прямых на плоскости. Точнее, одним из основных результатов локальной теории обыкновенных дифференциальных уравнений является возможность превратить любое гладкое поле касательных прямых па многообразии в поле касательных к семейству параллельных прямых евклидова пространства при помощи диффеоморфизма в достаточно малой окрестности любой точки многообразия. [c.315]

Н. Интегрирование уравнений в частных производных первого порядка. Пусть — контактное многообразие, — гиперповерхность в Контактная структура М определяет на Е некоторую геометрическую структуру, в частности — поле так называемых характеристических направлений. Анализ этой геометрической структуры позволяет свести интегрирование общих нелинейных уравнений с частными производными первого порядка к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.335]

В заключение — о терминологии. В настоящее время в математической литературе становится также употребительной терминология, отличная от той классической, которая используется в настоящей книге. Так, например, вместо терминов система дифференциальных уравнений или динамическая система для многомерных динамических систем или систем на многообразиях часто используется термин поток (см., например, [111]). Однако, во-первых, в настоящей книге рассматриваются лишь системы на плоскости и, во-вторых, материал этой книги тесно связан с литературой прикладного направления (например, [3]), использующей классическую терминологию. Поэтому авторы не используют также термины диффеоморфизм , сечение и др., ставшие распространенными в современной математической литературе. [c.10]

Приведенное многообразие состояний движения. Перейдем теперь к рассмотрению той системы дифференциальных уравнений, которая получается в проблеме трех тел после применения десяти известных интегралов для понижения порядка системы с восемнадцатого до восьмого. Другими словами, мы считаем, что десяти соответствующим постоянным интегрирования даны некоторые определенные значения и внимание направлено на рассмотрение движений, соответствующих данной системе значений констант. В последующем мы будем предполагать, что не все постоянные площадей равны нулю и что постоянная энергии положительна, т.е. будем считать, что />0,К> 0. [c.280]

В динамике отображений встречаются особые точки, при про хождении через которые траектории по одним направлениям движутся от них, а по другим направлениям — к ним. Примером может служить седло. У этой особой точки существуют две кривые — многообразия, вдоль которых траектории приближаются к ней, и две кривые — многообразия, вдоль которых последовательность точек Пуанкаре удаляется от седла, как показано на рис. 3.15. Такая точка напоминает особую точку типа седло нелинейных дифференциальных уравнений. [c.180]

Интегрирование в квадратурах это отыскание решений с помощью алгебраических операций (включая обращение функций) и квадратур , т. е. вычисления интегралов известных функций. Это определение интегрируемости формально носиг локальный характер. Решение в квадратурах дифференциального уравнения на многообразии означает его интегрирование в любых локальных координатах. Мы считаем, что переход от одних локальных координат к другим является алгебраической операцией. [c.75]

Дифференциальные уравнения на многообразии. Все определения предыдущих разделов обобщаются на случай, когда -вместо-лбдасти-вещеетвеиног-о- или комплексного ли ЙногО пространства рассматривается вещественное или комплексное многообразие М. Например, автономное дифференциальное уравнение задается векторным полем на многообразии (сечением касательного расслоения). Подробности можно найти в кйигах [7], [24], [47]. [c.18]

В 1851 г. Сильвестр впервые ввел понятие об инвариантах алгебраических форм. В так называемой Эрлангенской программе Ф. Клейн, сформулировал принцип, что каждое многообразие (в том числе различные геометрии) задается системой инвариантов относительно некоторой группы преобразований. С другой стороны, в 70-х годах XIX в. Софус Ли установил связь между интегралами дифференциальных уравнений и инвариантами непрерывных групп. Отсюда вытекает возможность интерпретации механики в терминах непрерывной группы и ее инвариантов. Основываясь на объединении вариационного исчисления и методов теории групп Ли, Э. Нетер в 1918 г. дала алгоритм, позволяющий найти систему инвариантов любой физической теории, формулируемой при помощи лагранжева или гамильтонова формализма. [c.863]

На основе разработанной дифференциальной геометрии неголономньсх многообразий можно получить уравнения движения механической системы. Эти уравнения были выведены советским ученым В. В. Вагнером в локальных координатах. Следующим этапом было решение двух воп- [c.287]

Получить аналитические решения для двухслойных покрытий при всем многообразии граничных условий и способов загружения не представляется возможным. Это обстоятельство обусловливает необходимость применения численных методов. Однако получение численных решений даже большого количества задач с конкретными граничными условиями и коэффициентами дифференциальных уравнений не всегда дает возможность установить степень влияния изменений совокупности исходных параметров на напряженно-деформированное состояние рассматриваемых конструкций. Поэтому в теоретических исследованиях зачастую применяется смешанный метод, заключаюш,ийся в поиске аналитических решений задач о нанряженно-деформированном состоянии конструкций для простых областей или упро-ш,енных схем, типа балочных, которые уточняются для более сложных условий численными методами. Такой подход требует строгой математической формулировки для упрош енных моделей. Построить математическую модель, учитываюш ую все особенности работы покрытия, в настояш,ий момент не представляется возможным, так как крайне затруднительно достаточно точно сформулировать модельные предпосылки для описания всего спектра природных и физических процессов, происходяш их в покрытиях при воздействии эксплуатационных нагрузок в различные периоды года. В связи с изложенным выше весь комплекс задач, связанных с определением параметров напряженно-деформированного состояния аэродромного покрытия, условно объединим в ряд независимых групп. [c.187]

Интегральные двумерные тороидальные многообразия естественно возникают при бифуркации периодического движения с переходом через поверхность Как следует из предыдущего параграфа (теорема 5.5), при определенных условиях переход через бифуркационную поверхность сопровождается отделением от периодического движения тороидального двумерного многообразия. Тороидальное двумерное интегральное многообразие на своей поверхности может нести самые разнообразные фазовые портреты, которые могут претерпевать бифуркации, не сопровождающиеся разрушением несущего тора. Помимо этого, возможны бифуркации, при которых тор как гладкая интегральная поверхность исчезает. Пути разрушения тора достаточно многообразны. Среди них особый интерес представляют случаи, когда тор разрушается как целое. Бифуркации тора как целого аналогичны бифуркациям периодического движения типов Л +1, N-1 и Л ф. Однако их исследование по образцу исследования бифуркаций периодических движений наталкивается на новую трудность, поскольку приведение к нормальной форме уравнений в окрестности тора предполагает приводимость линеаризованных уравнении в окрестности тора к лилейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Возможен другой подход к рассмотрению бифуркай,ий тора как целого. В основе его лежит сведение задачи о бифуркациях двумерного тора к задаче о бифуркациях инвариантной замкнутой кривой точечного отображения. Для этого разрежем тор секущей поверхностью так, чтобы в сечении получилась замкнутая кривая Г. Фазовые траектории [c.119]

Из предыдущего ясно, что в окрестности неподвижных точек Ои Ог,. .., Ор и их инвариантных кривых в случае точечного отображения могут существовать сложные седловые инвариантные множества. В случае дифференциальных уравнепий аналогом такого множества могут быть только совпадающие попарно кривые 5+ и 8 . При разрушении этого слияния могут возникнуть либо внутри петель, либо вне их устойчивые периодические движения. Такой же фазовый портрет для точечного отображения на секущей поверхности отвечал бы появлению тороидальных интегральных многообразий у исходной системы, в которой взята эта секущая. Вносит ли что-нибудь новое в эту картину возможность возникновения сложного седлового инвариантного множества Оказывается, вносит. Чтобы придать конкретный смысд этому различию, будем рассматривать переменные на секущей плоскости как разность фаз с неким внешним периодическим воздействием и результирующую амплитуду колебаний, возникающих в результате зтого внешнего воздействия. При этом переход к дифференциальному уравнению можно трактовать, например, как результат использования метода усреднения. Если речь идет о фазовом портрете дифференциального уравнения, то возможные общие случаи — это либо синхронизм фаз и постоянство амплитуды (устойчивые состояпия равновесия), либо периодическое изменение разности фаз и величины амплитуды. [c.157]

Скобка Ли — Пуассона для алгебры е(3), порожденная соотношениями (3.13) при соответствии т,- <-+ г>, и pj <-+ вырождена функции (т,р) и коммутируют со всеми функциями на (е(3)) они же являются первыми интегралами уравнений Кирхгофа для всех гамильтонианов Н, поэтому к уравнениям Кирхгофа можно применить соображения, изложенные в п. 4 2. Рассмотрим четырехмерные интегральные поверхности Мс = т,р т,р) = = Сь (р,р) = Сг (с2 > 0), диффеоморфные, как легко видеть, касательному расслоению двумерной сферы. Ограничение скобки Ли — Пуассона на Мс является невырожденной скобкой Пуассона, которая превращает Мс в симплектическое многообразие. Поэтому уравнения Кирхгофа на Мс являются гамильтоновой системой дифференциальных уравнений с гамильтонианом Н, ограниченным на Мс, этот факт отмечен в работе [140] и одновременно в работе [84] для случая сх = 0. Особенно наглядно эта конструкция выглядит при С1 = 0. Положим т = ехр. Екли (т,р) = О и (р,р) > [c.40]

Если дифференциальные уравнения, представленные в некоторых локальных координатах на гладком многообразии не имеют канонического вида уравнений Г амильтона, то это еще не означает, что они не гамильтоновы локальные координаты могут не быть симплектическими. Приведем примеры динамических систем, гамильтоновость которых априори не очевидна. [c.59]

Причина этого явления может быть объяснена с двух различных точек зрения. Во-первых, подобные неэкспоненциальные асимптотические решения лежат на центральных многообразиях, которые в большинстве случаев не аналитичны. Во-вторых, вводя некоторый малый параметр (соответствующий квазиоднородной шкале, ассоциированной с первыми нетривиальными членами построенных рядов) в рассматриваемую систему, мы можем получить сингулярно возмущенную систему, теряющую некоторые производные при обнулении малого параметра. В любом случае явление подобного рода связано с взаимодействием переменных, отвечающих 13 нулевым и ненулевым корням характеристического уравнения. Получаемые ряды являются асимптотическими рядами для требуемых частных решений, но прямое использование техники абстрактной теоремы о неявной функции в данной ситуации невозможно. Для доказательства факта асимптотичности построенных рядов необходимо применять теорию, принадлежащую А.П. Кузнецову [14, 15]. Грубо говоря, эта теория утверждает, что если гладкая система дифференциальных уравнений обладает формальным решением в виде рядов (10), то она обладает настоящим гладким решением для которого (10) дает асимптотическое разложение. [c.102]

Разработка многих вопросов аналитической механики неголономных систем тесно переплеталась с аналогичными вопросами механики голономных систем, теории дифференциальных уравнений, тензорного исчисления и дифференциальной геометрии. Общая геометрическая трактовка проблем механики и ее распространение на неголономные системы привели к созданию нового раздела дифференциальной геометрии — геометрии неголономных многообразий (И. Схоутен, Г. Вранчану, В. В. Вагнер и др.). [c.7]

В результате исследований, посвященных принципу максимума и аналогичным ему критериям классического вариационного исчисления, были разработаны общие приемы построения необходимых признаков оптимальности, по-видимому, вполне достаточные для большинства типичных экстремальных задач о программном управлении. Как правило, в настоящее время решение этого вопроса не вызывает принципиальных затруднений, во всяком случае, если речь идет о минимизации (максимизации) функционалов вида (8.2) и подобных им. При встрече с новым кругом задач этого типа обычно удается учесть дополнительные обстоятельства и составить соответствующие необходимые условия экстремума по широко известным теперь общим рецептам. Однако составление дифференциальных уравнений, выражающих необходимые условия оптимальности, является лишь первым, хотя и чрезвычайно важным этапом в решении конкретных проблем. Следующий этап состоит в интегрировании этих уравнений с учетом краевых условий, которым должно удовлетворять искомое оптимальное движение. Эта краевая задача, связанная с необходимостью привести управляемый объект в заданное состояние, остается до сих пор трудной проблемой. Дело заключается в следующем. Необходимые признаки оптимальности, выражаемые дифференциальными уравнениями Эйлера — Лагранжа для координат Х1 1) и множителей Лагранжа Я-г ( ) (или для имеющих тот л е смысл координат г) г 1) вектора -ф ( ) в случае принципа максимума), определяют внутренние свойства оптимальных движений, описывая их локальное поведение в окрестности каждой точки на данной траектории. В силу этих свойств каждое оптимальное движение развертывается во времени совершенно определенным образом, отталкиваясь от начальных условий х ( о) и ( о)-Начальные данные ( о) обычно задаются по условиям задачи. Величины ( о) ("Фг ( о)) определяют по условиям принципа максимума направление в пространстве х , в котором уходит оптимальное движение х (t) из точки X to). Трудность состоит в выборе величин (Ьо), которые обеспечивают прицеливание оптимального движения как раз в заданное конечное состояние X 1х) (или на заданное многообразие М конечных состояний и т. п.). Эффективное преодоление этой трудности, как правило, тормозится невозможностью получения явной зависимости между величинами х ( 1) и А, ( о) вследствие неинтегрирз емости в замкнутой форме дифференциальных уравнений задачи. Каждая новая серия соответствующих краевых задач, особенно, если речь идет о нелинейных объектах, требует обычно для своего разрешения подбора специальных вычислительных алгоритмов. Лишь для отдельных классов задач выведены некоторые закономерности, облегчающие их конкретное решение. [c.192]

С1ЛГ- (где постоянная > О не зависит от Щ. Используя теорему диф- еренцируемости решений дифференциальных уравнений по начальным данным, отсюда нетрудно вывести оценку расстояния между концами а, р путей жбурр и хЬ аа на многообразии Мг Р Р ) < где постоянная О снова не зависит [c.186]

Тут возникает очень интересный вопрос, а именно заполняют ли движения, для которых ИтД = оо в одном или в обоих направлениях, многообразие Му всюду плотно или нет Весьма существенно понять, в чем состоит трудность, присущая этому вопросу. Прямым вычислением, без сомнения, можно всегда установить, принадлежит ли данное движение к одному из этих связных множеств или нет. Разумеется, для К малых почти все должно быть заполнено этими множествами, вследствие результатов, полученных нами для случая К 0. Тем не менее, если в Му имеется хотя бы одно периодическое движение устойчивого типа, невозможно определить, будут ли соседние движения принадлежать к этим множествам, не решая для этого частного случая основной проблемы устойчивости. Мы уже указывали (глава VIII) на чрезвычайную трудность проблемы устойчивости, возникающую как раз вследствие того, что в динамической проблеме, подобной проблеме трех тел, формальная устойчивость первого порядка обеспечивает удовлетворение бесконечного множества других, более тонких условий полной формальной устойчивости. Предыдущий вопрос, однако, может быть поставлен в другой, более наглядной форме, которая, по моему мнению делает весьма вероятным, что движения, для которых lim/ , = сю при limi = -Ьос, всюду плотны в Му. То же будет в таком случае справедливо и относительно движений, для которых lim Ti = 00 при lim t = -ос, так как, вследствие обратимости системы дифференциальных уравнений, оба предположения должны быть одновременно справедливы или одновременно ложны. [c.286]

Симплектическое слоепие. Обобщение теоремы Дарбу. Если скобка Пуассона является вырожденной, то пуассоново многообразие (фазовое пространство) расслаивается на симплектические слои листы), ограничение пуассоновой структуры на которые уже невырождено. Эти слои, как правило, представляют собой общий уровень всех функций Казимира. На слое справедлива теорема Дарбу и каноническая форма уравнений движения. Однако для приложений сведение к такой системе не всегда бывает необходимым, поскольку как правило, ведет к потере алгебраичности дифференциальных уравнений и ограничениям в использовании геометрических и топологических методов исследования. [c.31]

Когда же говорят о методах символической динамики, то имеют в виду изучение произвольных динамических систем при помощи символических моделей, в которых последовательности (1.1) соответствуют траекториям изучаемой системы, а отображение а —некоторому сдвигу вдоль этих траекторий. В частности, методы символической динамики оказываются применимыми в качественной теории дифференциальных уравнений, где рассматриваются гладкие системы на гладких многообразиях, хотя сама по себе символическая динамика большей частью имеет дело со вполне несвязными нульмерными пространствами, гомеоморфными канторову множеству. [c.196]

Пространства Соболева с дробным индексом, в частности, описывают свойства функций принадлежащих границе области или любому другому многообразию меньшей размерности, содержащемся в области. Остановимся более подробнее на этом вопросе. При изучении краевых задач для дифференциальных уравнений с частньши производными приходится говорить о качениях функций, принадлежащих пространствам Соболева (например Н (V)), принимаемых на границе дУ. Если функция / (ж) б Н (У) непрерывна вплоть до границы, то [c.87]

Мы предполагаем у читателя предварительное знакомство с материалом на нескольких уровнях. Прежде всего, мы без оговорок используем, предполагая хорошую осведомленность, результаты линейной алгебры (включая жордановы нормальные формы), дифференциальное и интегральное исчисление для функций многих переменных, основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (включая системы), элементарный комплексный анализ, основы теории множеств, элементарную теорию интеграла Лебега, основы теории групп и рядов Фурье. Необходимые сведения следующего, более высокого уровня рассматриваются в приложении. Большая часть материала приложения включает материал такого типа, а именно, в приложении содержатся сведения из стандартной теории топологических, метрических и банаховых пространств, элементарная теория гомотопий, основы теории дифференцируемых многообразий, включая векторные поля, расслоения и дифференциальные формы, и определение и основные свойства римановых многообразий. Некоторые темы используются лишь в отдельных случаях. Последний уровень необходимых знаний включает основания топологии и геометрии поверхностей, общую теорию меры, ст-алгебры и пространства Лебега, теорию гомологий, теорию групп Ли и симметрических пространств, кривизну и связности на многообразиях, трансверсальность и нормальные семейства комплексных функций. Большая часть этого материала, хотя и не весь он, также рассматривается в приложении, обычно в менее подробном виде. Такой материал может быть принят на веру без ущерба для понимания содержания книги, или же соответствующая часть текста может быть без большого ущерба пропущена. [c.15]

В этом состоит одна из причин того, что мы будем в основном рассматривать динамические системы на компактных многообразиях. Однако иногда мы будем отказываться от этого предположения, поскольку в ряде приложений, например для локальных и полулокальных задач (см. 4 и гл. 6) или систем дифференциальных уравнений, описывающих ряд конкретных механических и других проблем, это условие было бы слишком ограничительным. [c.25]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...