Поле гиперплоскостей

Определение. Контактная структура на многообразии — это гладкое поле касательных гиперплоскостей ), удовлетворяющее некоторому условию невырожденности, которое будет сформулировано позже. Чтобы сформулировать это условие, посмотрим, как вообще может быть устроено поле гиперплоскостей в окрестности точки Л -мерного многообразия. [c.315]

Пример. Пусть N = 2. Тогда многообразие — это поверхность, а поле гиперплоскостей — поле прямых. Такое поле в окрестности точки устроено всегда одинаково и весьма просто, а именно так, как поле касательных к семейству параллельных прямых на плоскости. Точнее, одним из основных результатов локальной теории обыкновенных дифференциальных уравнений является возможность превратить любое гладкое поле касательных прямых па многообразии в поле касательных к семейству параллельных прямых евклидова пространства при помощи диффеоморфизма в достаточно малой окрестности любой точки многообразия. [c.315]

Условие невырожденности поля гиперплоскостей, которое входит в определение контактной структуры, состоит в том, что поле гиперплоскостей должно быть максимально удалено от поля касательных к семейству гиперповерхностей. Чтобы измерять эту удаленность, да и вообще чтобы убедиться в существовании полей без интегральных гиперповерхностей, нам придется проделать некоторые построения и вычисления ). [c.315]

Заметим прежде всего, что поле гиперплоскостей локально можно задавать дифференциальной 1-формой. Действительно, плоскость в касательном пространстве задает 1-форму, с точностью до умножения на отличную от нуля постоянную. Выберем эту постоянную так, чтобы значение формы на вертикальных координатных касательных векторах было равно 1. [c.316]

В. Невырожденные поля гиперплоскостей. [c.319]

Определение. Поле гиперплоскостей называется невырожденным в точке, если ранг 2-формы dw а=о плоскости поля, проходящей через эту точку, равен размерности плоскости. [c.319]

П р и м е р. Рассмотрим многообразие (размерности 2п — 1) всех контактных элементов и-мерного гладкого многообразия. На многообразии элементов есть поле гиперплоскостей (которые мы [c.322]

Итак, если йа — симплектическая структура, то исходное поле гиперплоскостей — контактная структура, и выделенное выше утверждение доказано. [c.325]

Определение. Диффеоморфизм контактного многообразия ва себя называется контактным, если он сохраняет контактную структуру, т. е. переводит каждую плоскость задающего структуру поля гиперплоскостей в плоскость того же поля. [c.325]

Теорема. Всякая дифференциальная 1-форма, задающая на многообразии размерности 2тг 4- 1 невырожденное поле гиперплоскостей, записывается в некоторой локальной системе координат в нормальном виде [c.328]

Это условие выражает максимальную неинтегрируемость, так как условие Фробениуса интегрируемости поля гиперплоскостей а — О состоит в том, что а Л а = 0. [c.60]

Функция F(xi..... Хт) в каждой точке пространства имеет определенное значение, следовательно, пространство является скалярным полем критерия оптимальности f (X) и функций ограничений 0<(Х). Функциям ограничений (6.6) соответствуют граничные гиперповерхности (в частном случае — гиперплоскости). Ограничениям (6.7) соответствуют гиперплоскости, выделяющие в пространстве определенную пространственную область. Если ограничения (6.6) и (6.7) представляют собой выпуклую область, то рещения задачи оптимизации будут со- [c.265]

Доказательство. Утверждение теоремы очевидно, ссли р — состояние равновесия. Поэтому в дальнейшем будем считать, что р не является состоянием равновесия системы (1.2). Проведем через точку р гиперплоскость ( — 1)-го измерения, нормальную к вектору поля направлений в точке р. Пусть и — столь малая окрестность точки р, что замыкание 5 ее пересечения с гиперплоскостью I не имеет контакта с полем направлений системы (1.2). [c.19]

Однако сам вывод редукционной формулы, согласно которому она совпадает с заведомо инвариантным выражением (И), заставляет думать, что хотя среднее значение в (28) и неинвариантно, все это выражение в целом уже не страдает этим недостатком. Прямое доказательство последнего утверждения содержится в работе Прохорова [14], указавшего, что если коммутаторы операторов поля достаточно быстро исчезают вне конуса, то пространственно подобные интервалы практически не дают вклада в (28). Точнее говоря, показано, что без изменения результата можно заменить интегрирование по всей гиперплоскости XQ = t в (28), (30) интегрированием по ее части, лежащей внутри конуса, близкого к световому, но имеющего раствор, больший, чем у светового конуса. [c.141]

Из каждого такого соотношения может быть получен инвариант поля, суще-ствуюш его в неограниченной среде, не изменяюш ий своего значения с течением времени. Действительно, рассмотрим четырехмерную область в форме цилиндра, основания которого Х = С2 суть гиперплоскости, перпендикулярные [c.670]

Если N 2, то гиперплоскость уже не является прямой, и дело обстоит значительно сложнее. Например, поле двумерных касательных плоскостей в обычном трехмерном пространстве не всегда можно диффеоморфно отобразить на поле параллельных плоскостей. Дело в том, что существуют такие поля касательных плоскостей, для которых невозможно провести интегральную поверхность , т. е. такую поверхность, которая имела бы предписанную касательную плоскость в каждой своей точке. [c.315]

Теперь мы, наконец, можем дать определение контактной структуры на многообразии контактной структурой на многообразии называется невырожденное поле касательных гиперплоскостей. [c.319]

Задача. Можно ли задать поле контактных гиперплоскостей дифференциальной 1-формой на многообразии всех контактных элементов [c.321]

Следствие. Поле контактных гиперплоскостей задает на многообразии всех контактных элементов любого гладкого многообразия контактную структуру. [c.325]

В теореме 4-17 невозможно доказать тем же методом равенство вакуумных средних в двух теориях для пяти и более операторов, поскольку четыре и более векторов нельзя перенести на гиперплоскость равных времен, если только они не входят в специальный набор, а этого слишком мало для обеспечения единственности аналитического продолжения определенных на ней функций. Однако теорема достаточно мощна если в двух теориях поля вакуумные средние произведений двух, трех или четырех операторов поля должны быть отличны друг от друга, то следует пользоваться неэквивалентными представлениями канонических перестановочных соотношений. [c.236]

Пусть Рх-— локальная функция полей. Это означает, что Рх может зависеть только от полей материи в точке х. Пусть, далее, сг/ = у, — Х для пары точек х, у, а г,, 6/ —отражения относительно гиперплоскости х/ = О (лежащей посредине между двумя плоскостями решетки) ) и Хху — трансляция из [c.23]

Определение. Контактной структурой на многообразии называется поле касательных гиперплоскостей [контактных гиперплоскостей), невырожденное в каждой точке (рис. 31). [c.59]

Рис. 31. Контактная структура максимально неинтегрируемое поле касательных гиперплоскостей

Замечание. Векторное поле трансверсально в нуле (и, следовательно, везде) гиперплоскости, касающейся дискриминанта, так как 5 = 1 согласно нашему выбору версальной деформации. [c.99]

ДЛЯ полного тензора энергии-импульса (52с) поля и зарядов 0 (для простоты мы опускаем указание т-(-1п1 + рЬ), для определенности его четвертую компоненту, и проинтегрируем это равенство по конечному 4-цилиндру, образованному двумя гиперплоскостями I = и t = t2 И боковой гиперповерхностью, параллельной оси t [c.226]

Ограничение этого выражения на положительные полы массовых гиперболоидов = т], р] > 0) никогда не будет отрицательным. Следовательно, гиперплоскость /(р1)=0 является опорной по отношению к пространству (G). С другой стороны, эта гипер- [c.55]

Теорема. Если поле гиперплоскостей интегрируемо, то построенная выше 2-форма в плоскости поля равня нулю. Обратно, если построенная в каждой плоскости поля 2-форма равна нулю пю тле интегрируемо. [c.318]

Мы предположим, что многообразие Е трансверсально контактным плоскостям во всех своих точках. В таком случае пересечение касательной плоскости к Е в каждой точке с контактной плоскостью имеет размерность 2п — 1, так что на возникает поле гиперплоскостей. Более того, контактная структура ЛГ2п+1 определяет на Е поле прямых, лежащих в указанных 2п — 1 -мерных плоскостях. [c.335]

Г. Контактная геометрия систем лучей и волновых фронтов. Напомню, что контактной структурой на нечетномерном гладком многообразии называется невырожденное поле гиперплоскостей в касательных пространствах. В чем именно состоит условие невырожденности, несущественно, так как вблизи точки общего положения все поля гиперплоскостей общего положения на многообразии фиксированной нечетной размерности диффеоморфны (контактная теорема Дарбу, Добавление 4). [c.450]

Косортогональные дополнения к радиус-векторам образуют ОЬ -инвариантное поле гиперплоскостей в пространстве ненулевых бинарных форм. Это поле определяет поле гиперплоскостей в проективном пространстве 0-мерных подмногообразий фиксированной степени на проективной прямой. Это поле гиперплоскостей и есть контактная структура. Эта контактная структура естественна (инвариантна под действием группы проективных преобразований прямой на пространстве 0-мерных подмногообразий фиксированной степени). [c.244]

Следовательно, векторы ехт,..., а определяют гиперплоскость (q) пфаффовой системы. В данной точке пространства пфаффову систему можно задавать либо т линейными дифференциальными формами и/о,..., либо п 4- 1 — га векторными полями а, ,..., осц. [c.327]

Согласно математической Teopini многомерной геометрии две плоскости в четырехмерном пространстве, не принадлежащие одной гиперплоскости, пересекаются в точке. Рассмотрим не процесс пересечения плоскостей, а изменение двугранного угла между двумя пересекающимися плоскостями. Результат111 анализа сведены в табл. И. Проиллюстрируем псфесечение в точке плоскостей, находящихся в трехмерном пространстве. В первой и четвертой четвертях трехмерного пространства (рис. 328) расположим плоскости а и (3 со следами на поле XOY. Введем [c.63]

Предложение. Силовое поле на единичной сфере б" евклидова пространства Е определяет на любой аффинной гиперплоскости Е С Е силовое поле такое, что центральнсш проекция подвешенной точки д 3 на Е с точностью до временной репараметризации следует по траектории, определенной силовым полем на Е. С другой стороны, линии поля на сфере и на соответствуют друг другу при центральной проекци. [c.27]

Обозначим через = 1йрг гамильтоново поле, соответствующее функции Рг (рис. 179). Заметим, что (зс) Ф 0. Поэтому через точку зс можно провести гиперплоскость дг2п-1 не содержащую вектор (ас) (вместо можно было бы взять любую поверхно-М сть, трансверсальную (эс)). [c.202]

Полученное п — 1-мерное подьшогообразие 2п — 1-мерного многообразия всех контактных элементов в каждой своей точке касается поля контактных гиперплоскостей (по определению контактной гиперплоскости). Таким образом, поле контактных 2п — 2-мерных гиперплоскостей имеет п — 1-мерные интегральные многообразия. [c.321]

Ниже мы докажем, что поле контактных гиперплоскостей на 2п — . -мерном многообразии всех контактных элементов п-мерного многообразия невырождено. [c.321]

Д. Симплектизацвя контактного многообразия. Рассмотрим произвольное контактное многообразие, т. е. многообразие нечетной размерности N с невырожденным полем касательных гиперплоскостей (четной размерности N — 1). Эти плоскости мы будем называть контактными плоскостями. Каждая контактная плоскость касается контактного многообразия в одной точке. Эту точку мы будем называть точкой контактл. [c.322]

Доказательство. Сиьшлектизация 2п — 1-мерного многообразия всех контактных элементов на и-мерном гладком многообразии, построенная по полю 2п — 2-мерных контактных плоскостей, есть по построению пространство кокасательного расслоения исходного и-мерного многообразия без нулевых кокасательных векторов. Каноническая 1-форма а на симплектизации есть, согласно ее определению, та самая 1-форма на кокасательном расслоении, которую мы назвали р д и которая лежит в основе гаьшльтоновой механики (см. 37). Ее производная йа. есть, следовательно, форма айр Д йд , задающая обычную симплектическую структуру фазового пространства. Стало быть, форма йа не вырождена. Значит, по предыдущему замечанию, поле контактных гиперплоскостей не вырождено. Следствие доказано. [c.325]

В этом случае поверхность Ф и) является конусом следовательно, любая опорная гиперплоскость соприкЙ сается с этим конусом, но меньшей мере, по образующей Это обстоятельство иллюстрирует хорошо известное в те рии движения жесткопластических сред свойство дейсг вительных полей скоростей допускать умножение на про извольное неотрицательное число. [c.30]

Приведенные при исследовании предыдущего примера формулы для изменения кривизны гладкой кривой в М под действием динамической системы позволяют сразу написать дифференциальное уравнение для векторных полей, задающих искомые локальные многообразия. Пусть 0< 1< 2< — моменты последовательных отражений траектории точки хбМ от края дМ, t n- oo при п- оо Т1г== г— 0=0 qiGдQ.— точки, в которых происходят соответствующие отражения от границы дQ , и v i —скорости непосредственно перед и после -го отражения со5фг=—( г , Кг — Оператор второй квадратичной формы границы дQ в точке qi — изометрический оператор, отображающий гиперплоскость Аг в (содержащую точку qi и перпендикулярную вектору Дг ) параллельно векто-ру n qц) на гиперплоскость (содержащую точку и перпендикулярную 1),,+) 1 4 — оператор, отображающий Ач параллельно V- на гиперплоскость касательную к границе дQ в точке q,i, а У, — сопряженный к нему оператор. Рассмотрим. [c.181]

Косоортогональное дополнение к гиперплоскости лежит в этой гиперплоскости, следовательно характеристическое направление касается гиперповерхности. Таким образом гиперповерхность снабжена полем характеристических направлений. [c.7]

Локально такое поле определено как поле нулей некоторой 1-фор-мы а, называемой контактной формой. Условия невырожденности заключаются в следующем а невырождена на гиперплоскостях, на которых а равна нулю эквивалентно, в (2тг 1)-пространстве [c.59]

Действительно, в типичных точках этой кривой векторное поле трансверсально гиперплоскости, касающейся Е. В некоторой окрестности такой точки векторное поле приводится к виду д/да сохраняющим I диффеоморфизмом (теорема 1). В некоторых изолированных точках зтой самой особой кривой векторное поле принадлежит касательной гиперплоскости, и вектор поля типичен в зтой гиперплоскости (при условии, что исходное векторное поле типично). В некоторой окрестности этой иэолированной точки поле приводится к виду д/дйп-х (теорема 10). [c.193]

Рассмотрим две типичные гладкие гиперповерхности в симплектическом многообразии. Одну из них будем называть поверхностью ортов , другую — поверхностью краевых векторов . Предположим, что они трансверсально пересекаются вдоль подмногообразия единичных краевых векторов (коразмерности 2 в исходном симплектическом многообразии). Любая гиперповерхность в симплектическом многообразии локально расслаивается на характеристики (интегральные кривые поля косоортогональных дополнений касательных гиперплоскостей). Характеристики поверхности ортов будем называть лучами (если зта поверхность трансверсально ориентирована, то лучи имеют естественную ориентацию). [c.198]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...