Коши—Ковалевской теорема

Коши—Ковалевской теорема 87 Краевая задача 72 [c.237]

Эти выражения позволяют найти производные от Ф вдоль кривой у = У х) и по нормали к ней. Производная вдоль этой кривой определяет на ней такую величину Ф, что Ф + С1Х /2 = ф, как это следует из (3.6), (3.7). Таким образом, условия (3.28) эквивалентны условиям Коши, а соответствующая задача в некоторой окрестности кривой у - х) на основании теоремы Коши—Ковалевской имеет единственное решение. [c.195]

Для общих квазилинейных гиперболических систем в [13, 14] было осуществлено формальное построение характеристических рядов в общей ситуации и доказан ряд теорем о локальной сходимости этих рядов в окрестности характеристической поверхности Ф = 0. Эти теоремы при аналитических входных условиях были доказаны методом мажорант, они являются своеобразными аналогами теоремы Коши-Ковалевской. [c.232]

Весьма существенно выяснение условий сходимости ряда (5) и рядов для производных функций и, так как к уравнению (1) не применима теорема Коши-Ковалевской и обычно ряды Тейлора для параболических уравнений (например, для линейного уравнения теплопроводности) расходятся. Оказывается, что вырождение при и, = О уравнения (1) в гиперболическое уравнение и сильная нелинейность (1) позволяют при некоторых условиях на аналитические в окрестности нуля функции (р ш f решить вопрос о сходимости ряда (5) положительно. [c.278]

Как уже отмечалось, при исследовании сходимости рядов (6), (20) в случае их применения для решения поставленной смешанной задачи Коши (2), (3) методы доказательства теорем типа теоремы Коши-Ковалевской (в частности, метод мажорант) непосредственно неприменимы. Однако, если рассматривать обратную задачу [12], когда вместо задания краевого условия (2) задается аналитический закон движения фронта фильтрации if, (функция ао( ) в (17)), то справедливы соответствующие аналоги теоремы Коши-Ковалевской, из которых следует сходимость рядов (6), (20) и аналитичность функции f t) в (5), порождаемой заданной функцией ao t). В [12] такие теоремы установлены в пространственном случае для уравнения [c.287]

Тогда теорема существования Коши — Ковалевской ) утверждает, что уравнение (40) имеет одно и только одно локальное аналитическое решение для данных аналитических начальных условий ф, (х 0) при / = 0. [c.180]

Таким образом, вектор-функции а и Ь решают одну и ту же задачу Коши для, уравнения (8 ). В силу теоремы Коши — Ковалевской эти вектор-функции тождественны, что и требовалось доказать. [c.622]

Эти наблюдения обобщаются на случай полиномиальных интегралов произвольной степени для любого п 1 существует семейство аналитических потенциалов У х,1), 2тг-периодических по X, зависящее от п - 1 произвольной аналитической 2тг-периодической функции, для которых уравнение (3.1) имеет полиномиальный интеграл степени п с однозначными аналитическими коэффициентами. Доказательство основано на применении теоремы Коши — Ковалевской. Однако эту теорему непосредственно нельзя применить к системе (3.4). Преобразуем (3.4), поль- [c.381]

Эта система состоит из п — 1 уравнения и содержит п—1 неизвестную функцию Оо,..., и V. К ней применима теорема Коши — Ковалевской при i = О надо задать значения п—1 функции аО)---,Лп-3) У в виде произвольных аналитических 2тг-периодиче-ских функций переменной х] тогда уравнения (3.6) при малых t будут иметь аналитические решения, 2тг-периодические по х. [c.382]

В монографиях [47], [13] приведен довольно полный анализ проблемы существования и единственности решения этой системы в частности, показано, что к системе применима теорема Коши — Ковалевской, устанавливающая единственность решения на конечном отрезке времени. [c.406]

В соответствии с общей теорией уравнений в частных производных [55 в областях гиперболичности существуют действительные характеристики. Напомним, что характеристики представляют собой многообразия, на которых система дифференциальных уравнений не может быть приведена к нормальному виду, т. е. не может быть разрешена относительно производных, выводящих из такого многообразия. Это препятствует применению теоремы Коши-Ковалевской, следовательно, решения задачи Коши с начальными данными на характеристическом многообразии, вообще говоря, не существует. Для его существования (которое в данном случае уже оказывается не единственным) необходимо и достаточно выполнения условий согласования начальных данных, которые называются условиями совместности. Интересно, что эти условия совместности являются не чем иным как характеристиками системы уравнений газовой динамики, рассматриваемой в переменных годографа, а условиями совместности последней, наоборот, служат уравнения характеристик в физической плоскости. [c.21]

Общепринятый способ конструирования крыла, состоящий в подборе подходящего решения прямой задачи, недостаточно точен для отыскания прецизионных докритических профилей. Из-за невозможности проводить вычисления в бесконечной области граничные условия переносят на конечное расстояние. Для функции тока там выставляют значения, определяемые асимптотикой на бесконечности. Это приводит к погрешности порядка (1/В, где с/ — хорда профиля, В — диаметр расчетной области. Если задача решается относительно вектора скорости, приходится видоизменять граничные условия из теоремы Коши-Ковалевской следует, что в дозвуковом потоке идеального газа нельзя задавать постоянный вектор скорости на границе конечной области, так как в этом случае единственным решением во всей области является равномерный дозвуковой поток. Это обстоятельство затрудняет как конструирование, так и вычислительную проверку докритических контуров. [c.164]

Ковалевская занималась также общими вопросами интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными (теорема Коши-Ковалевской), устойчивостью колец Сатурна, распространением света в кристаллах. [c.24]

При этих условиях к системе (3.14) применима теорема Коши-Ковалевской, гарантирующая корректность постановки задачи Коши в классе аналитических функций. [c.64]

Доказательство теоремы Коши-Ковалевской можно найти, например, в [9]. [c.64]

В аналитическом случае (когда гамильтониан Н является аналитической функцией на Р X Ж) теорема 16 есть простое следствие известной теоремы Коши—Ковалевской поскольку система дифференциальных уравнений (8.2) разрешена относительно производных дих/дЬ,, дпп/д1, то ее решения однозначно определяются значениями функций их,..., Пп при = о и существуют для достаточно малых величин . Их можно найти в виде сходящихся рядов по степеням [c.87]

Сходимость ряда (1.6) и рядов для соответствующих производных можно доказывать для фиксированных функций (f), которые определяются для конкретных задач аналитическим краевым условием, заданным на нехарактеристической поверхности уравнения (1.4). Доказательство сходимости сводится к специальным аналогам теоремы Коши—Ковалевской. Теоремы такого типа для случая линейных уравнений доказаны в [3 - 5. [c.330]

ПО Видимому, в случае, когда функции (2.1) аналитические, доказательство сходимо сти ряда (1.10) и рядов для производных можно свести к какому-то аналогу теоремы Коши—Ковалевской. Однако, поскольку мы имеем дело не с обычной задачей Коши для уравнения (1.4), а с задачей, когда начальные данные заданы на характеристичен ской поверхности - = О и дополнительные условия заданы на некоторой нехаракте ристической поверхности в пространстве (р. О, т = (3 t) (р = /3, t) [c.308]

Для случая линейных гиперболических систем разработан [3] метод решения задачи Коши при помощи сходящихся разложений на бегущие волны, когда члены рядов имеют в качестве множителей обобщенные функции, содержащие при увеличении номера члена ряда все более слабые особенности, а коэффициенты при обобщенных функциях определяются из обыкновен ных дифференциальных уравнений. Доказательство сходимости таких рядов сведено к теореме существования Коши-Ковалевской [4]. Однако не видно, как можно перенести эти результаты на случай нелинейных уравнений гиперболического типа. [c.317]

Одну из линий тока Ф = onst, можно принять за стенки сопла. Сходимость участвующих здесь рядов обеспечивается теоремой Коши — Ковалевской, благодаря аналитичности функции v ix, 0). Однако радиус сходимости по оси Оу заранее неизвестен, и это сразу же заставляет отбросить изложенный здесь метод построения сопла. Действительно, так как неизвестно, на каком расстоянии мы ещё можем пользоваться нашими рядами, то заранее мы не знаем, не встретимся ли мы с тем же затруднением, о котором говорили в предыдущем параграфе наше решение может оказаться не имеющим смысла за некоторым у. [c.176]

Принципиальное облегчение этой задачи возможно для глад ких тел, для которых ударную волну можно считать совпадающей с формой тела. Глубокий смысл этого условия заключается в том, что оно задает ударную волну, на которой все искомые параметры известны, что приводит к задаче Коши с начальными данными на нехарактеристической кривой. Ввиду аналитического характера этой кривой существование и единственность решения в ее малой окрестности гарантируется известной теоремой Коши — Ковалевской (изложенной, например, в [34] независимо от типа уравнений Эйлера, что позволяет построить решение, например, в виде рядов по степеням расстояния от начальной кривой [c.170]

При аналитических начальных данных единственность и существование решения в до-, транс- и сверхзвуковой областях течения обеспечивается теоремой Коши — Ковалевской, поскольку уравнения газовой динамики обладают аналитическими коэффициентами в эллиптической (дозвуковой), параболической (трансзвуковой) и гиперболической (сверхзвуковой) областях. С другой стороны, согласно теореме Веерштрасса любая непрерывная функция может быть со сколь угодно большой точностью аппроксимирована аналитическим полиномом, и в связи с этим в качестве данных Коши могут выбираться также и неаналитические данные. [c.34]

Естественно, что научные вопросы составляют если не наибольшую по объему, то, во всяком случае, наиболее существенную часть переписки. И здесь, прежде всего, необходимо отметить, что, несмотря на достаточное разнообразие затрагиваемой в переписке научной тематики, есть одна доминирующая тема, к которой чаще всего обращается Софья Васильевна — это вопрос об интегрировании уравнений при помощи аналитических функций, главным образом при помощи абелевых функций, и прежде всего вопрос об интегрировании уравнений движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки — это задача, прославившая С. В. Ковалевскую. Школа Вейерштрасса — это, конечно, школа теории функций комплексного переменного здесь разбираются и изучаются общие теоремы и общие методы теории, идет сравнение методов самого Вейерштрасса, алгебраизированных методов, основанных на систематическом применении степенных рядов, и методов, основанных на теоремах Коши это работы Миттаг-Леффлера , юного Рунге, начинающего Гурвица. А кстати изучаются вопросы об области существования аналитических функций, о разложении функций в ряд — это работы Бендиксона, Фрагмена. [c.17]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...