Пространство Лебега

Теорема 4.1.19 (теорема Пуанкаре о возвращении). Пусть Т — сохраняющее меру преобразование пространства Лебега (X, ), и пусть А сХ —измеримое множество. Тогда для любого N eN имеем [c.152]

Определение 4.3.2. Пусть = <7 а б/ и т = ) а 6 —два измеримых разбиения пространства Лебега (X, fi). Условной энтропией разбиения относительно г] называется величина [c.172]

Д 2 а. Коциклы над динамическими системами. Начнем с обзора теории показателей Ляпунова в контексте линейных коциклов над сохраняющими меру преобразованиями. Пусть/ X — сохраняющее меру преобразование пространства Лебега Х,В,ц). Мы всегда будем считать, что /л —вероятностная мера, т. е. ii(X)= 1. [c.658]

Пусть X — X — сохраняющее меру преобразование пространства Лебега X, ц). Если А — измеримый линейный коцикл для /, то для п 1 мы можем рассмотреть преобразование X X и линейный коцикл Л" с образующей [c.661]

Теорема Д2.9 (Мультипликативная эргодическая теорема Оселедца). Предположим, что / X X — сохраняющее меру преобразование пространства Лебега X, ц), а пусть А X Ш." — измеримый коцикл над /. Если [c.661]

Лемма Д 2.12 (лемма о сглаживающем ядре). Пусть X - X — сохраняющее меру преобразование пространства Лебега (X, ц). Если К X — Ш,— измеримая функция, удовлетворяющая условиям [c.664]

Определение П 6.4. Пространство (X,S,fi) с конечной мерой fi называется пространством Лебега, если оно изоморфно объединению отрезка [О, о] с мерой Лебега ие более чем со счетным числом точек положительной меры. [c.715]

Стандартные утверждения из теории меры Лебега (лемма Фату, теорема о монотонной сходимости, теорема Лебега об (ограниченной) сходимости и т. д.) по определению дословно применимы к любому пространству Лебега. [c.715]

В дальнейшем (М, //) — всегда пространство Лебега без атомов, т. е. изоморфно по модулю О отрезку [0,1], снабженному обычной мерой Лебега. В частности ц М) = 1. [c.16]

Очевидно, что (М, /х) образует пространство Лебега. [c.16]

Точные эндоморфизмы пространства Лебега, Изв. АН СССР, Сер. мат., 1961, 25, с. 499 530. [c.275]

Пространственное среднее 22, 128 Пространство Лебега 16 [c.279]

Общее определение действия локально компактных групп на пространствах Лебега...........79 [c.6]

Для произвольной, не обязательно эргодической, динамической системы Р на пространстве Лебега (М, Ж, л) введем, измеримую оболочку разбиения на отдельные траектории Р , т. е. самое мелкое из тех измеримых разбиений, элементы которых состоят из целых траекторий Р . Пусть цс Сб — каноническая система мер для . [c.25]

Дальше рассматриваются только автоморфизмы (циклические группы автоморфизмов) и потоки на пространстве Лебега (М, Ж, и), а также сопряженные с ними группы унитарных операторов. Напомним основные результаты из теории унитарной эквивалентности групп унитарных операторов. [c.37]

Теорема 2.1 (Нейман [98]). Для того, чтобы эргодические автоморфизмы Г,, Гг пространства Лебега (Мь Л"ь [гО, (ЛГг, <Ж2, м-г) с чисто точечным спектром были метрически изоморфны, необходимо и достаточно равенство Л г(Т 1) =Л г(Т 2), где Аа(Т)—счетная подгруппа окружности образованная собственными значениями оператора От, сопряженного с Т. [c.38]

Теорема 2.2. Для того чтобы эргодические потоки Т , Гг на пространствах Лебега (Мь 1,Ц1), (М2, Жг, цг) были метрически изоморфны, необходимо и достаточно равенство Л<г( 7 1 ) =Л г( 7 2 ), где Л<г( Г ) — счетная подгруппа аддитивной группы образованная собственными значениями однопараметрической группы и . [c.39]

Пусть Т — автоморфизм пространства Лебега (М, Ж, х), [c.40]

Теорема 2.3 (Л. М. Абрамов [1]). Пусть Г,, Гз — вполне эргодические автоморфизмы пространств Лебега (М , Ж , j,i), (М2, Ж2, [Аг) с квазидискретным спектром. Они метрически изоморфны тогда и только тогда, когда для соответствующих групп [c.40]

Пусть т] — измеримое разбиение. Почти каждый элемент разбиения т) представляет собой пространство Лебега с мерой [л(- / ч). Произвольное измеримое разбиение индуцирует измеримое разбиение на почти каждом Энтропия этого разбиения обозначается и называется условной энтропией I при условии Drt. [c.46]

В этом параграфе мы определим чисто формально энтропию динамической системы и для ряда простейших примеров приведем ее значение. Смысл понятия энтропии постепенна раскрывается в следующих параграфах и в части П. Начнем со> случая дискретного времени. Пусть Т — эндоморфизм пространства Лебега (Л1, Ji, ц), — измеримое разбиение. Положим [c.47]

Следующее определение является центральным для всей теории. Пусть 7" есть циклическая полугруппа эндоморфизмов или циклическая группа автоморфизмов пространства Лебега (М, JT, ц.) с образующим элементом Т—ТК [c.47]

Мы предполагаем у читателя предварительное знакомство с материалом на нескольких уровнях. Прежде всего, мы без оговорок используем, предполагая хорошую осведомленность, результаты линейной алгебры (включая жордановы нормальные формы), дифференциальное и интегральное исчисление для функций многих переменных, основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (включая системы), элементарный комплексный анализ, основы теории множеств, элементарную теорию интеграла Лебега, основы теории групп и рядов Фурье. Необходимые сведения следующего, более высокого уровня рассматриваются в приложении. Большая часть материала приложения включает материал такого типа, а именно, в приложении содержатся сведения из стандартной теории топологических, метрических и банаховых пространств, элементарная теория гомотопий, основы теории дифференцируемых многообразий, включая векторные поля, расслоения и дифференциальные формы, и определение и основные свойства римановых многообразий. Некоторые темы используются лишь в отдельных случаях. Последний уровень необходимых знаний включает основания топологии и геометрии поверхностей, общую теорию меры, ст-алгебры и пространства Лебега, теорию гомологий, теорию групп Ли и симметрических пространств, кривизну и связности на многообразиях, трансверсальность и нормальные семейства комплексных функций. Большая часть этого материала, хотя и не весь он, также рассматривается в приложении, обычно в менее подробном виде. Такой материал может быть принят на веру без ущерба для понимания содержания книги, или же соответствующая часть текста может быть без большого ущерба пропущена. [c.15]

Эргодическая теория. Фазовое пространство X является хорошим пространством с мерой, т. е. пространством Лебега (см. 6 приложения) с конечной или сг-конечной мерой д. Мы можем рассматривать в качестве структ уы на X либо меру д саму по себе, либо класс эквивалентности, который определяется совокупностью всех множеств меры нуль. Соответственно эргодическая теория изучает группы или полугруппы измеримых преобразований пространства X, которые либо сохраняют меру д, либо преобразуют ее в эквивалентную меру. В последнем случае мера д называется квазшнваршнтной мерой. В этой книге эргодическая теория играет важную, но вспомогательную роль. Она задает концептуальные и технические средства для исследования асимптотических распределений и статистического поведения орбит гладкой динамической системы. Некоторые основные понятия и результаты эргодической теории обсуждаются в гл. 4. [c.20]

Боголюбова означает, что каждое непрерывное отображение метризуемо го компактного пространства может рассматриваться как сохраняющее ме ру преобразование пространства Лебега, порожденное борелевской меро на X. [c.146]

Теорема 4.1.12. Каждая инвариантная борелевская вероятност ная мера для непрерывного отображения / метризуемого компактного пространства X может быть разложена в интеграл эргодических инвариантных борелевских вероятностных мер в следующем смысле существует разбиение по модулю множеств меры нуль) пространства X на инвариантные подмножества Х , а е А, где А — пространстве Лебега, и каждое множество Х может быть снабжено такой / -инвариантной эргодической мерой, что для любой функции <р выполненс равенство [c.150]

IV. Пусть / . X X —сохран5пощее меру преобразование пространства Лебега X, д). По теореме Пуанкаре о возвращении 4.. 19 для любого измеримого подмножества УаХ, 11 )>0, существует преобразование /у.У- то(10, определенное следующим образом пусть для хеУ [c.661]

Д 2 в. Мультипликативная эргодическая теорема. В этом пункте мы сформулируем мультипликативную эргодическую теорему Оселедца [238] для измеримых коциклов над сохраняющими меру преобразованиями пространств Лебега. Эта теорема многократно была передоказана и обобщена см., например, [281], [187]. В случае диффеоморфизмов поверхности для наших целей будет достаточно использования субаддитивной эргодической теоремы Кингмана. Однако широкая область применимости результата Оселедца делает естественным включение этого результата в наши заметки. [c.661]

Теорема Д2.10 (теорема Оселедца — Песина о е-редукции). Предположим, что А X GL(n, R) —измеримый коцикл для сохраняющего меру преобразования f X—fX пространства Лебега (X, р.). Если log " = (1)11 G L (X, ц), то существует такая f -инвариантная измеримая функция к. X и такие числа Х1(ж),. ..,Хад(г)бК, [c.662]

Теорема П 6.7. Любая борелевская вероятностная мера ц на сепарабельном локально компактном хаусдорфовом пространстве X определяет пространство Лебега. [c.716]

Замечание о пространствах Лебега (Н. L. Lebesgue). Многие из приводимых ниже результатов справедливы в предположении, что фазовое пространство (М, Ж, (i) динамической си-системы является пространством Лебега. Мы не будем здесь приводить полное определение пространств Лебега (см. [36]), [c.15]

Теорема 3.1 (Кригер (W. Krieger) [89], Джуитт (R. Jewett) [76]). Для любого эргодического автоморфизма Т пространства Лебега М существует строго эргодический гомеоморфизм Ti некоторого компактного метрического пространства Ml, который, как автоморфизм Mi со своей инвариантной мерой, метрически изоморфен Т. [c.25]

Теорема 3.3 (Фюрстенберг, см. [71]). Пусть Т — слабо перемешивающий автоморфизм пространства Лебега (М, -Ж, [х) и г>1 —целое. Для любых /о,/1,. ..,/ .б (.М, л,) справедливо соотношение [c.28]

Теорема 3.4 (Фюрстенберг, см. [71]). Пусть Г—автоморфизм пространства Лебега Для любого множества А Ж, [а(Л)>0, и любого натурального г найдется такое натуральное к, что [c.28]

В силу эргодичности Т, для почти всех С пространства Лебега (С, 1с) изоморфны между собой и представляют из себя либо пространство Мг с непрерывной мерой, либо пространство Мг из N Zoo точек. Автоморфизм Т индуцирует автоморфизмы пространств (С, (Ас). Семейство этих автоморфизмов естествен- [c.31]

Теорема 2.1 в сочетании с этим утверждением означает, что всякий эргодический автоморфизм пространства Лебега с чисто точечным спектром метрически изоморфен групповому сдвигу на группе характеров спектра. В случае непрерывного времени (для потоков) имеет место аналогичное зтверждение. [c.38]

В основе всей теории лежат сравнительно элементарные понятия энтропии и условной энтропии конечного или счетного разбиения. Пусть — конечное или счетное разбиение пространства Лебега с элементамй С,-, =1, 2,.... [c.45]

Теорема 3.1 (теорема Шеннона — Макмиллана (В. M Millan)— Бреймана (L. Breiman), см. [45]). Пусть Т—эргодический автоморфизм пространства Лебега (М, Ж, i), —конечное разбиение, С (х ) — элемент разбиения содержащий ХвМ. Для почти всех х [c.50]

Теорема 4.2 (Я. Г. Синай [43]). Если Тх — эргодический автоморфизм пространства Лебега, Гг—автоморфизм Бернулли с Л(Гг)<оо, h Tz) h Ti), то Гг метрически изоморфен некоторому факторавтоморфизму автоморфизма Тх. [c.53]

Определение 4.2. Измеримое разбиение пространства Лебега (М, Ж, (х) называется бернуллиевским относительно автоморфизма Г М- М, если все его сдвиги Г" , —оо<п<оо, независимы. Автоморфизм Г называется В-автоморфизмом, если он имеет бернуллиевское образующее разбиение. [c.54]

Ниже часто будут встречаться пары (Г, ), где Г — эргодический автоморфизм пространства (М, Ж, х), Е — разбиение М. Не оговаривая особо, мы будем считать, что = (С1,.. ., Сг) — конечное измеримое разбиение, и порядок его элементов фиксирован (т. е. Е — упорядоченное разбиение), М — пространство Лебега с непрерывной мерой. Каждой паре (Г, ) естественно сопоставляется случайный процесс с г состояниями или, иными словами, инвариантная относительно сдвига мера в пространстве ЛГ двусторонних последовательностей из г символов. Две пары (ГьЕО. ( 2, Ег) считаются эквивалентными (Гь 10 (Гг, 1а), если им отвечает одна и та же мера на М . Иногда пару (Г, ) называют процессом, отождествляя ее с отвечающим ей случайным процессом. [c.54]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...