Предельный цикл неустойчивый

Пунктирные ломаные, соответствующие итерационному процессу, аналогичны интегральным кривым на фазовой плоскости. Предельные последовательности (на рис. 11.7 они изображены сплошными линиями) подобны предельным циклям. Неустойчивые предельные последовательности являются сепаратрисами, разде- [c.357]

Предельный цикл неустойчивый 203 [c.572]

Одно положение равновесия (устойчивый фокус). Два предельных цикла —неустойчивый и устойчивый. Жесткое возбуждение автоколебаний [c.27]

Рассмотрим теперь, как меняется динамика системы с ростом приспособленности хищника, т.е. с убыванием Ь от 1 до 0. Если приспособленность достаточно низкая, то предельные циклы отсутствуют, а равновесие является неустойчивым. С ростом приспособленности в окрестности этого равновесия возможно появление устойчивого цикла и далее внешнего неустойчивого. В зависимости от начальных условий (соотношения биомассы хищника и жертвы) система может либо терять устойчивость, т.е. уходить из окрестности равновесия, либо в ней будут со временем устанавливаться устойчивые колебания. Дальнейший рост приспособленности делает невозможным колебательный характер поведения системы. Однако при Ь < 1/2 равновесие становится устойчивым, и далее могут возникать сначала два предельных цикла (неустойчивый внутри устойчивого), а затем устойчивый цикл пропадает и с ростом Ь пропадает и неустойчивый цикл. [c.340]

Наряду с устойчивыми предельными циклами фазовый портрет автоколебательной системы может содержать также неустойчивые предельные циклы, для которых /г > 0. Двигаясь в окрестности неустойчивого предельного цикла, изображающая точка постепенно удаляется от него. Обычно такой цикл играет роль границы между областями с различным поведением фазовых траекторий. [c.47]

При а > 1 при обратном изменении к рождается неустойчивый предельный цикл. [c.370]

Рассмотрим потерю устойчивости периодическим движением при переходе мультипликатора через —1. Равенство л = —1 означает, что начальное возмущение через интер)зал времени То меняет знак, не меняясь по абсолютной величине еще через период То возмущение перейдет само в себя. Таким образом, при переходе ц через значение —1 в окрестности предельного цикла с периодом То возникает новый предельный цикл с периодом 2То — бифуркация удвоения периода ). На рис. 20 условно изображены две последовательные такие бифуркации на рисунках а, б сплошными линиями показаны устойчивые циклы периодов 2То, 47 о, а штриховыми — ставшие неустойчивыми предыдущие циклы. [c.170]

Начало координат (см. рис. 5.15) является неустойчивой особой точкой типа фокус, и все траектории, выходящие из начала координат, через большее или меньшее число периодов колебаний (в зависимости от добротности накопительного элемента системы) приходят на предельный цикл. [c.199]

При стремлении /г к нулю слева радиус неустойчивого предельного цикла уменьшается и стремится к нулю. Начало координат на фазовой плоскости при этом обращается из особой точки типа устойчивого фокуса в особую точку типа неустойчивого фокуса. Одновременно радиус устойчивого цикла увеличивается. [c.210]

При стремлении k к нулю справа радиус единственного устойчивого предельного цикла постепенно уменьшается, а неустойчивая особая точка типа фокус в начале координат приближается по характеру движения в ее окрестности к особой точке типа центр. [c.210]

Диаграммой точечного отображения называется зависимость ординат точек пересечения фазовых траекторий с полуосью yi от ординат уо исходного положения точки (рис. 57, в). По этой диаграмме можно судить о числе предельных циклов и их устойчивости, если дополнительно провести на ней прямую yi = j/q. Число предельных циклов равно числу точек пересечения прямой г/1 = г/о с кривой у = У уо). Точки пересечения позволяют также выделить из фазовых траекторий предельные циклы. Для устойчивых предельных циклов производная dyi/dyo меньше единицы, а для неустойчивых — больше единицы (рис. 57, г). [c.203]

В семействе (2 ) при переходе параметра слева направо через О происходит мягкая потеря устойчивости. А именно, при е 0 неподвижная точка О ростка fe устойчива. При е>0 она теряет устойчивость, но возникает устойчивый цикл периода 2 пара точек, близких к Уе, переставляемых диффеоморфизмом /е. Для диффеоморфизма каждая из этих точек неподвижна и устойчива. Этой перестройке соответствует мягкая потеря устойчивости предельным циклом (в предположении, что при 6 0 все остальные мультипликаторы по модулю меньше 1). При е>0 исходный цикл сохраняется, но становится неустойчивым, а рядом с ним на расстоянии порядка Уе появляется устойчивый предельный цикл примерно вдвое большего периода (рис. 18. ) [c.45]

Бифуркации распада инвариантных торов. Пусть в типичном двупараметрическом семействе С -гладких векторных полей, /г 4, при нулевом значении параметра е предельный цикл теряет устойчивость и рождается устойчивый инвариантный тор. Тогда, как было показано выше, на плоскости параметров существуют резонансные языки, отвечающие наличию у векторного поля невырожденных предельных циклов, лежащих на торе. При этом сам тор является объединением неустойчивых многообразий седловых циклов с устойчивыми циклами. [c.49]

Критические и некритические циклы. Пусть гладкое векторное поле имеет предельный цикл с мультипликатором единица типа устойчивый узел по гиперболическим переменным . Тогда некоторая окрестность цикла наделена гладким слоением со слоями коразмерности 1, инвариантным относительно потока и сильно устойчивым каждый слой экспоненциально сжимается при сдвиге вдоль траекторий поля за положительное время [162], [180]. Один из слоев совпадает с устойчивым многообразием цикла. Аналогично описывается сильно неустойчивое слоение в случае неустойчивого узла по гиперболическим переменным. [c.116]

Поля V++, V+" имеют седловой предельный цикл с двумерными устойчивым и неустойчивым многообразиями при <0, е>0 соответственно, причем для 1/++ устойчивое и неустойчивое многообразия гомеоморфны цилиндрам (листам Мёбиуса). Никаких неблуждающих траекторий, кроме О и цикла Z.+ (e) при е=5 0 и гомоклинической траектории Г при е—О, поля V++, V+" не имеют. [c.131]

Теорема. Пусть в теореме пункта 5.2 оба условия 1 и 2 нарушены, то есть при 0<О (о>0) ведущее неустойчивое (соответственно, устойчивое) направление комплексно (и двумерно). Тогда все векторные поля семейства достаточно близкие к критическому, имеют гиперболические инвариантные множества преобразование монодромии поля имеет при е=5 0 конечное число подков Смейла, неограниченно растущее при стремлении е к нулю и равное бесконечности для поля Vo. Каждое из полей при достаточно малом е имеет счетное множество гиперболических предельных циклов, устойчивые многообразия которых имеют такую же размерность, как устойчивое многообразие гиперболического седла. [c.137]

На рис. 8, б при бифуркационном значении параметра р — Pi появляется полуустойчивый предельный цикл, а при больших значениях параметра существуют два предельных цикла — неустойчивый и устойчивый. При другом бифуркационном значении параметра р = рз неустойчивый предельный цикл стягивается в особую точку, которая становится неустойчивой. Если р > Pi, то амплитуда, соответствующая устойчивому предельному циклу, тем больше, чем больше значение р. [c.32]

Если р соответствует устойчивому состоянию равновесия, то на плоскости qq — устойчивый предельный цикл все соседние интеЕральные кривые — спирали, накручивающиеся на этот предельный цикл. Если же р/, соответствует неустойчивому состоянию равновесия, то на плоскости qq — неустойчивый предельный цикл. [c.126]

Zo3 = y/ e (рис. 5.29). Начало координат на фазовой плоскости является особой точкой типа устойчивого фокуса. Все возмущения, меньшие амплитуды, соответствующей неустойчивому предельному циклу, осцил-ляторно затухают. Возмущения, большие амплитуды, отвечающей неустойчивому предельному циклу, осцилля-торно увеличиваются и амплитуды этих колебаний стремятся к предельному устойчивому циклу изнутри. Если амплитуда колебаний по какой-либо причине стала больше амплитуды, соответствующей устойчивому предельному циклу, то первая постепенно будет уменьшаться, стремясь в пределе снаружи навиться на предельный цикл. При изменении значения k происходит эволюция картины на фазовой плоскости. [c.210]

Бифуркации орбит диффеоморфизмов в главном семействе (1+) изобр1ажены на рис. 17. При отклонении е вправо от нуля неподвижная точка исчезает, а при отклонении влево распадается на две гиперболические притягивающую н отталкивающую. Этой перестройке в соответствующем семействе дифференциальных уравнений на плоскости отвечает столкновение двух предельных циклов — устойчивого и неустойчивого с образованием на мгновение полуустойчивого цикла и последующим его исчезновением при е>0. [c.44]

В каждом из главных Zg-эквнвариантных семейств при некоторых значениях параметров, образующих линии на плоскости е, возникают сепаратрисные многоугольники. Сдвиг по фазовым кривым поля семейства за единицу времени приближает -ю степень преобразования монодромии предельного цикла, теряющего устойчивость с прохождением пары мультипликаторов через сильный резонанс. Особым точкам полей семейства соответствуют неподвижные точки -й степени преобразования монодромии и 2я9-периодические циклы периодического уравнения входящим и выходящим сепаратрисам седел — устойчивые и неустойчивые многообразия неподвижных точек. Две сепаратрисы особых точек, раз пересекшись, должны совпадать на всем своем протяжении. Не так обстоит дело с инвариантными кривыми неподвижных точек диффеоморфизмов. Эти кривые пересекаются, вообше говоря, трансверсально, а для диффеомор- [c.60]

Рассмотрим одЬопараметрическое семейство, в котором происходит потеря устойчивости предельным циклом при переходе пары мультипликаторов через единичную окружность вблизи точки —1. При изменении параметра семейства возможна такая последовательность событий устойчивый цикл мягко теряет устойчивость с образованием тора, на котором быстро образуется перетяжка, так что форма меридиана тора приближается к восьмерке при подходе к центру восьмерки (где находится неустойчивый цикл) притягивающее множество, оставаясь близким к тору с почти стянувшимся в восьмерку меридианом, разрушается вблизи гомоклинической сепаратрисы (Ю. И. Ней-марк). [c.62]

Пример. Изображенная на рис. 32 система имеет npw е = бо полуустойчивый предельный цикл, на который наматывается неустойчивая сепаратриса седла и с которого сматывается устойчивая сепаратриса другого седла. После исчезновения цикла, скажем, при е>8о, сепаратрисы этих седел замыкаются, когда параметр е пробегает последовательность значений ei>6o, Ei- eo. Локальная бифуркация здесь — слияние устойчивого и неустойчивого циклов в полуустойчивый при е=Ео и его исчезновение при е>ео. Она сопровождается счетным множеством полулокальных бифуркаций — замыкания сепаратрис при e=Ei. [c.88]

Бифуркационные поверхности. Рассмотрим множество всех векторных полей на М, имеющих либо негиперболическую особую точку, либо негнперболический предельный цикл, либо траекторию, принадлежащую нетрансверсальному пересечению устойчивого и неустойчивого многообразия двух гиперболических особых точек или циклов, или точки и цикла. [c.94]

О. Тогда все некритические поля семейства, достаточно близкие к критическому, либо имеют две особые точки, близкие к О (когда параметр лежит по одну сторону от нуля), либо имеют устойчивый (или вполне неустойчивый) > предельный цикл, когда параметр лежит по другую сторону от нуля. Этот цику1 стремится к ГиО при стремлении параметра к нулю. [c.111]

Определение ([180]). Предельный цикл векторного поля с мультипликатором единица называется s-критическим, если либо существует гиперболическое положение равновесия или гиперболический цикл, чье устойчивое или неустойчивое многообразие касается одного из слоев на 5", либо неустойчивое множество цикла касается одного из этих слоев.- В последнем случае объединение гомоклинических траекторий цикла называется s-критическим. Аналогично определяются и-хритические цикл и объединение его гомоклинических траекторий нужно. только заменить S , на 5 и S . Цикл и объединение его гомоклинических траекторий называются критическими, если они S- или ы-критические, и некритическими в противном случае (рис. 42). [c.116]

Векторные поля в с гомоклинической траекторией цикла. Пусть векторное поле ПовС , г>3, в трехмерном пространстве имеет предельный цикл L седлового типа и траекторию T iWlr Wl, принадлежащую простому касанию его устойчивого и неустойчивого многообразий. Тогда у LUT су ще- [c.142]

Смотреть страницы где упоминается термин Предельный цикл неустойчивый : [c.220] [c.474] [c.13] [c.49] [c.50] [c.50] [c.58] [c.59] [c.60] [c.114] [c.114] [c.130] [c.131] [c.70] [c.157] [c.157] [c.160] [c.171] [c.325] [c.208] [c.203] [c.22] [c.112] [c.115]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...