Симплектическое многообразие

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАНОНИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ. Канона-ческим, или симплектическим многообразием называется пара Q), где — 2п-мерное гладкое многообразие, а fi(a, Ь) — заданная на всем невырожденная — [c.246]

Примером симплектического многообразия является кокасательное расслоенное пространство. Пусть М — конфигурационное пространство механической системы. Кокасательное расслоенное пространство Т М — фазовое пространство с системой локальных координат [c.54]

Пусть (М, со)—симплектическое многообразие, а— форма Пфаффа на Тогда векторным полем X, соответствующим данной форме Пфаффа, называется поле на определяемое из условия [c.54]

Покажем, что уравнение (9.2) является уравнением Г амильтона на симплектическом многообразии (5 ,П) с гамильтонианом Я = = -(е, Действительно, П(г>, ) = (е, (е х ш) х ( )) = ( , е х (е х [c.60]

Теорема 3, Предположим, что гамильтонова система на симплектическом многообразии M имеет п + к интегралов Fl, F2,..., F +k, причем на поверхности Мс = х е F,(x) = = i, 1 i п + к эти функции независимы, а в ее окрестности постоянен ранг матрицы скобок Пуассона [c.88]

Для доказательства теоремы 1 воспользуемся следующим результатом симплектической топологии в некоторой окрестности и каждой точки лагранжева подмногообразия Л симплектического многообразия (М, Г2) найдутся канонические координаты р, д, в которых = (/р Л ( 5, и множество Л П 7 задается уравнением р = О [13]. Папример, пусть лагранжева поверхность Л задана ура в-нением у = дЗ/дх (см. 2 гл. II). Тогда координаты р, д вводятся каноническим преобразованием д = х, р = у - дЗ/дх. [c.256]

Симплектические координаты 20 Симплектическое многообразие 19 Система Аносова 223 [c.428]

Гамильтонова механика — это геометрия в фазовом пространстве. Фазовое пространство имеет структуру симплектического многообразия. На симплектическом многообразии действует группа симплектических диффеоморфизмов. Основные понятия и теоремы гамильтоновой механики (даже если они и формулируются в терминах локальных симплектических координат) инвариантны относительно этой группы (и относительно более широкой группы преобразований, затрагивающих также и время). [c.142]

На симплектическом многообразии, как и на римановом, имеется естественный изоморфизм между векторными полями и 1-формами. Векторное поле на симплектическом многообразии, соответствующее дифференциалу функции, называется гамильтоновым векторным полем. Векторное поле на многообразии задает фазовый поток однопараметрическую группу диффеоморфизмов. Фазовый поток гамильтонова векторного поля на симплектическом многообразии сохраняет симплектическую структуру фазового пространства. [c.175]

Векторные поля на многообразии образуют алгебру Ли. Гамильтоновы векторные поля на симплектическом многообразии также образуют алгебру Ли. Операции в этих алгебрах называются скобками Пуассона. [c.175]

Здесь определены симплектические многообразия, гамильтоновы векторные поля на них и стандартная симплектическая структура в кокасательном расслоении. [c.175]

Пара М , (0 ) называется симплектическим многообразием. [c.175]

Задача. Проверить, что ( р) — симплектическое многообразие. [c.175]

Следующий пример объясняет появление симплектических многообразий в динамике. Наряду с касательным расслоением дифференцируемого многообразия часто полезно рассматривать двойственное ему кокасательное. [c.175]

Определение. Сопоставим вектору касательному к симплектическому многообразию (М ", ш ) в точке ас, 1-форму а 1 на ТМж по формуле [c.177]

Пусть теперь Н — функция на симплектическом многообразии М . Тогда йН есть дифференциальная 1-форма на М, и ей. соответствует в каждой точке некоторый касательный к М вектор. Мы получаем таким образом на М векторное поле I йН. [c.177]

А. Гамильтоновы фазовые потоки сохраняют симплектическую структуру. Пусть (М , (О ) — симплектическое многообразие, Н М К — функция. Предположим, что соответствующее В гамильтоново векторное поле I д,Н задает однопараметрическую группу диффеоморфизмов Л/ ", [c.177]

Лемма. Пусть у — 1 цепь в симплектическом многообразии (ЛР", (1)2). Пусть — фазовый поток на М с функцией Гамильтона Н. Тогда [c.178]

Гамильтоновы векторные поля на симплектическом многообразии образуют подалгебру алгебры Ли всех полей. Функции Гамильтона также образуют алгебру Ли операция в этой алгебре называется скобкой Пуассона функций. Первые интегралы гамильтонова фазового потока образуют подалгебру алгебры Ли функций Гамильтона. [c.187]

А. Скобка Пуассона двух функций. Пусть (Л/ ", (о ) — симплектическое многообразие. Функции Н К, заданной на симплектическом многообразии, соответствует однопараметрическая группа я Л/ " канонических преобразований [c.187]

Определение. Скобкой Пуассона Р, Н) функций Р ж заданных на симплектическом многообразии (М ", со ), называется производная функции Р по направлению фазового потока с функцией Гамильтона Н [c.187]

Мы можем дать определению скобки Пуассона несколько иную форму, если воспользуемся изоморфизмом I между 1-формами и векторными полями на симплектическом многообразии (М , (о ). Этот изоморфизм определен соотношением (см. 37) [c.187]

Теорема. Если функция Гамильтона Н, заданная на симплектическом многообразии (М , ), выдерживает однопараметрическую группу канонических преобразований, заданную гамильтонианом F, то F есть первый интеграл системы с функцией Гамильтона Н. [c.188]

Следствие 6. Гамильтоновы векторные поля на симплектическом многообразии образуют подалгебру алгебры Ли всех полей. [c.190]

Определение. Локально гамильтоновым векторным полем на симплектическом многообразии (М ", [c.191]

Симплектические многообразия. Пусть — многообразие четной размерности 2 п. Симплектическая структура на определяется заданием невырожденной замкнутой дифференциальной формы (оеЛ (Л1) степени 2 и класса 2 п. Пара со) называется симплектн- [c.54]

Скобка Ли — Пуассона для алгебры е(3), порожденная соотношениями (3.13) при соответствии т,- <-+ г>, и pj <-+ вырождена функции (т,р) и коммутируют со всеми функциями на (е(3)) они же являются первыми интегралами уравнений Кирхгофа для всех гамильтонианов Н, поэтому к уравнениям Кирхгофа можно применить соображения, изложенные в п. 4 2. Рассмотрим четырехмерные интегральные поверхности Мс = т,р т,р) = = Сь (р,р) = Сг (с2 > 0), диффеоморфные, как легко видеть, касательному расслоению двумерной сферы. Ограничение скобки Ли — Пуассона на Мс является невырожденной скобкой Пуассона, которая превращает Мс в симплектическое многообразие. Поэтому уравнения Кирхгофа на Мс являются гамильтоновой системой дифференциальных уравнений с гамильтонианом Н, ограниченным на Мс, этот факт отмечен в работе [140] и одновременно в работе [84] для случая сх = 0. Особенно наглядно эта конструкция выглядит при С1 = 0. Положим т = ехр. Екли (т,р) = О и (р,р) > [c.40]

Пусть М — симплектическое многообразие, и Fi,...,F — независимые функции на М, порождающие конечномерную подалгебру алгебры Ли С М), т. е. F,F, = Y jFk j = onst). В каждой точке ж е М векторы образуют п-мерное линейное [c.84]

Замечание. Рассмотрим лагранжеву механическую систему с конфигурационным многообразием V и функцией Лагранжа Ь. Легко сообразить, что лагранжева обобщенная скорость д — касательный к конфигурационному многообразию V вектор, а обобщенный импульс р = дидд — кока-сательный. Позтому фазовое р, -пространство лагранжевой задачи — зто кокасательное расслоение конфигурационного многообразия. Итак, предыдущая теорема показывает, что фазовое пространство механической задачи имеет естественную структуру симплектического многообразия. [c.176]

Г. Локально гамильтоновы векторные поля. Пусть (ЛЯ", ш ) — симплектическое многообразие, g . Л/ — Ж - — однопараметрическая группа диф- феоморфизмов, сохраняющих симплектическую структуру. Будет ли g гамильтоновым потоком [c.190]

Задача 6. Докажите, что однопараметрическая группа диффеоморфизмов симплектического многообразия тогда и только тогда сохраняет симплектическую структуру, когда она яеляется локально гамильтоновым фазовым потоком. [c.191]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...