Нормальное семейство

Нормальные семейства. Введем предварительное определение. Семейство голоморфных отображений римановой поверхности S в компактную риманову поверхность Т называется нормальным семейством, если его замыкание С Но1(5, Т) — компактное множество или, что эквивалентно, если любая бесконечная последовательность функций содержит локально-равномерно сходящуюся к некото- [c.48]

Заметим, что для любого достаточно большого компактного множества К С S каждая компонента S K является гиперболической римановой поверхностью. Для достаточно больших j отображения fj принимают значения в S К и, следовательно, образуют нормальное семейство. Если все pj лежат в некотором компактном подмножестве S (например, если последовательность pj сходится к некоторой точке S ), то можно выбрать подпоследовательность такую, что fj локально-равномерно сходится к предельному голоморфному отображению / N° S K. (В самом деле, поскольку мы можем применить те же рассуждения для диска радиуса г +1, то эта подпоследовательность равномерно сходится в замкнутом диске N ). [c.50]

Остальные свойства / зависят от коэффициента а. Если а 1, то производные df° z)ldz = а равномерно ограничены, таким образом весь тор Т является областью нормальности семейства /° . Другими словами, множество Фату отображения / совпадает с тором Т. С другой стороны, если а > 1, то df° z)ldz = а -) оо при п -) оо, [c.86]

Если f локально линеаризуемо в окрестности го, то итерации f в подходящей окрестности го соответствуют итерациям вращения малого диска и, следовательно, образуют нормальное семейство. Значит го принадлежит множеству Фату. Обратно, если го принадлежит множеству Фату, то по теореме 5.2 целая компонента связности и множества Фату, в которой содержится точка го, должна быть конформно изоморфна единичному диску, и тогда f сопряжено умножению на Л на . [c.150]

Чтобы убедиться в том, что а полунепрерывна сверху, заметим, что a z) ао тогда и только тогда, когда существует однозначное отображение Рг, удовлетворяющее (11 4). По набор всех голоморфных отображений —> 2 образует нормальное семейство. Следовательно, любая последовательность таких отображений содержит локально равномерно сходящуюся на подпоследовательность. В частности, из данной последовательности однозначных отображений удовлетворяющей (11 4), можно выбрать сходящуюся подпоследовательность и нетрудно проверить, что предельная функция однозначна и удовлетворяет (11 4). Следовательно, множество мультипликаторов Ag G Ш), для которых о-(Л) сго замкнуто, что и требовалось. [c.162]

Задача 16-е. Итерации / . Пусть и С С — связное открытое множество, предположим, что существует гладкая ветвь gk V С отображения / для каждого f 1. Покажите, что gk образуют нормальное семейство. Покажите, что если и содержит точку множества Жюлиа, то нормы первых производных в сферической метрике равномерно стремятся к нулю. (В противном случае, некоторая подпоследовательность gk сходилась бы к некоторому непостоянному пределу % и образ (Е/) содержал бы отталкивающие периодические точки. ..). [c.203]

Чтобы показать, что тто - Е К С К является накрывающим отображением, рассмотрим любое односвязное открытое множество V С С К и любое 2, Е К такое, что го = тго(г) У. Поскольку каждое /° <С К С К является накрытием, существует единственная ветвь g . отображения / такая, что gk zo) = Выберем такое ко, что при к ко точки ги принадлежат линеаризующей окрестности или отталкивающему лепестку, и выберем меньшую окрестность V точки го так, чтобы образ g . y ) содержался в этой линеаризующей окрестности или в лепестке вместе со своим замыканием. Тогда отображения gk у, равномерно сходятся к нулю. В действительности, поскольку последовательность отображений gk у, очевидно, образует нормальное семейство, мы получаем более сильное утверждение о том, что последовательность g t у сходится к нулю локально равномерно. В противном случае, если бы ограничения g/. на некоторое компактное подмножество окрестности V имели бы ненулевую предельную точку, то можно было бы выбрать подпоследовательность, локально равномерно сходящуюся к ненулевому пределу. Это невозможно, так как предельная функция должна тождественно обращаться в нуль на V. Значит, с помощью соответствия [c.235]

Поверхность, огибающая (обертывающая) множество (семейство) сфер или окружностей, закономерно движущихся по направляющей оси, называется циклической. Закон движения сферы или круга в простом случае может быть задан графиком изменения радиуса по длине развернутой оси. В более сложных случаях задается закон поворота плоскости круга относительно выбранной координатной системы, к которой отнесена направляющая ось. Этот поворот может быть также задан относительно нормальной плоскости в данной точке направляющей оси. [c.206]

Рис. 175. Построение чертежа детали с трубчатой циклической поверхностью, образованной движением сферы ( с учетом заданного графика изменения площади нормальных круговых сечений по оси) а - чертеж детали с нанесенным семейством сфер, 6 — циклический график, определяющий эту поверхность F. I - график изменения площади нормальны сечений по оси, при условии прямолинейного закона изменения диаметра сферы по оси

Обертывающей поверхностью семейства нормальных плоскостей кривой линии является ее полярный торс. [c.338]

Плоскости, проходящие через образующие конуса и нормальные к его поверхности, параллельны соответствующим спрямляющим плоскостям кривой линии и проходят через верщину конуса. Для этого семейства плоскостей огибающей поверхностью является некоторая коническая поверхность с верщиной S. Она должна служить вспомогательным конусом спрямляющего торса кривой линии, а образующие этого конуса будут параллельны образующим спрямляющего торса. Как показано на рис. 466, вспомогательный конус спрямляющего торса пересекается плоскостью Q по некоторой кривой линии EF. [c.341]

Поверхности уровня — семейство параллельных плоскостей, нормальных к плоскости движения и наклоненных к горизонту под углом Р, для которого [c.75]

Для определения фронтальных проекций вершин искомого треугольника сечения откладываем величину этих катетов на прямых, перпендикулярных к нормальному сечению призматической поверхности, т. е. на соответствующих ребрах поверхности, от точек пересечения этих ребер с плоскостью нормального сечения, учитывая, разумеется, степень искажения этих ребер в проекциях. Получаем фронтальные проекции Ь 4 и Сг (точки В4 и Са, находясь в искомой плоскости, лежат по разные стороны от ее горизонтали MN). Точка А, как лежащая на горизонтали плоскости (совмещенное положение ее Яг находится на горизонтальной проекции тп горизонтали), положения своего не меняет. По фронтальным проекциям Ь и точек строим их горизонтальные проекции. Точки fli, а/ 4, 4 и Сг, С2 определяют одну из бесчисленного множества плоскостей, параллельных между собою, удовлетворяющих требованиям задачи. Эти плоскости составляют одно семейство искомых плоскостей. Отложив величину катетов 2 3 и сс на ребрах поверхности в противоположных направлениях, получим одну из параллельных между собой плоскостей, определяющую положение второго семейства плоскостей, также удовлетворяющих требованиям задачи. [c.119]

Семейством эквипотенциальных поверхностей в этом случае будет семейство плоскостей, нормальных к оси Oz [c.380]

Остановимся несколько подробнее на исследовании плоского напряженного состояния (исследование общего случая объемного напряженного состояния выходит за рамки краткого курса). При плоском напряженном состоянии всегда можно выделить элемент таким образом, чтобы одна из его граней была свободна от напряжений (рис. 3-4). Эта грань является одной из главных площадок (касательные напряжения на ней отсутствуют), ее можно назвать нулевой главной площадкой. Обычно ограничиваются определением напряжений, возникающих на площадках, принадлежащих серии (семейству) площадок, перпендикулярных свободной от напряжений грани элемента. Нормальное и касательное напряжения, возникающие на произвольной площадке, нормаль к которой составляет угол а с осью Ог, определяются по формулам [c.41]

Формула (15.10.3) и соответствующая конфигурация пластической области относятся только к случаю тупоугольного клина. Если угол б > л/2 и клин остроуголен, области 7 и III налагаются друг на друга. В этом случае строится решение с линией разрыва напряжений, как показано на рис. 15.11.1. Характеристики в областях АОС и ВОС прямолинейны, они отходят от сторон угла, составляя с ним углы п/4 (на рисунке показаны только характеристики одного семейства). На линии ОС должны быть непрерывны нормальное к этой линии напряжение о и касательное т , тогда как напряжение От, показанное на том же рисунке справа, может претерпевать разрыв. Составим поэтому те общие условия, которые должны выполняться на линии разрыва напряжений. Будем обозначать индексами плюс и минус величины, относящиеся к разным сторонам линии разрыва. Условия непрерывности а и Тп но формулам (15.10.1) могут быть записаны следующим образом [c.513]

На прочность деталей машин существенно влияют наибольшие касательные напряжения в семействах площадок, нормальных к главным. Расчеты показывают, что касательное напряжение достигает наибольшего значения в точке, лежащей на нормали, восстановленной в середине площадки контакта, на глубине у = 0,78 а, [c.231]

В обзоре систематически используется связь теории бифуркаций с теорией особенностей. Решение многих, в основном, локальных, проблем теории бифуркаций состоит в том, чтобы предъявить и исследовать так называемое главное семейство — своего рода топологическую нормальную форму для семейств исследуемого класса. Теория особенностей позволяет угадать и частично исследовать главные семейства. Она описывает также бифуркации положений равновесия, особенности медленной поверхности, медленные движения в теории релаксационных колебаний и т. д. [c.10]

Выписываются главные семейства, соответствующие Данному классу. Это — стандартные семейства, играющие роль топологических нормальных форм для деформаций. типичных ростков изучаемого класса. Росток, топологически эквивалентный деформируемому, соответствует в главном семействе нулевому значению параметров. [c.19]

Бифуркационные диаграммы главных семейств (3= ).. Множество особых точек полей любого из семейства (3= ) образует гладкое подмногообразие в произведении фазового-пространства на пространство параметров. Бифуркационная диаграмма для главного семейства (3 ) (множество значений параметра, при которых особые точки семейства сливаются) — это множество коэффициентов многочленов степени р+1, имеющих кратные корни. При р=1 это множество — одна точка, при j, = 2 — полукубическая парабола, при ц = 3 — ласточкин хвост (рис. 5). Деформации векторных полей на прямой с вырожденной особой точкой возникают в теории релаксационных колебаний, как уравнения медленных движений в окрестности точки на складке медленной поверхности ( 2, гл. 4). В п. З.Г указаны только топологические нормальные формы таких деформаций. Для приложений существенны также гладкие нормальные формы они исследуются в 5 главы 2 и оказываются очень похожими на главные семейства (3= ). [c.24]

Мы предполагаем у читателя предварительное знакомство с материалом на нескольких уровнях. Прежде всего, мы без оговорок используем, предполагая хорошую осведомленность, результаты линейной алгебры (включая жордановы нормальные формы), дифференциальное и интегральное исчисление для функций многих переменных, основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (включая системы), элементарный комплексный анализ, основы теории множеств, элементарную теорию интеграла Лебега, основы теории групп и рядов Фурье. Необходимые сведения следующего, более высокого уровня рассматриваются в приложении. Большая часть материала приложения включает материал такого типа, а именно, в приложении содержатся сведения из стандартной теории топологических, метрических и банаховых пространств, элементарная теория гомотопий, основы теории дифференцируемых многообразий, включая векторные поля, расслоения и дифференциальные формы, и определение и основные свойства римановых многообразий. Некоторые темы используются лишь в отдельных случаях. Последний уровень необходимых знаний включает основания топологии и геометрии поверхностей, общую теорию меры, ст-алгебры и пространства Лебега, теорию гомологий, теорию групп Ли и симметрических пространств, кривизну и связности на многообразиях, трансверсальность и нормальные семейства комплексных функций. Большая часть этого материала, хотя и не весь он, также рассматривается в приложении, обычно в менее подробном виде. Такой материал может быть принят на веру без ущерба для понимания содержания книги, или же соответствующая часть текста может быть без большого ущерба пропущена. [c.15]

Второе условие теоремы 17.8.1 было введено лишь из соображений удобства. В общем случае можно исследовать динамику комплексных отображений начиная с классической дихотомии для поведения орбит. Орбиты с простым поведением образуют множество Фату отображения. В случае голоморфного отображения естественным выражением этой простоты является понятие нормального семейства функций, т. е. равностепенно непрерывного семейства. Множество Фату — это множество точек, обладающих окрестностью, для которой итерации отображения / образуют нормальное семейство. Таким образом, оно открыто. Это понятие весьма естественно, так как нормальное семейство не только компактно в С -топологии (по теореме Арцела — Асколи П 1.24), но к тому же компактно в голоморфной топологии. Множество Жулиа определяется как дополнение этого множества и, следовательно, оно по определению замкнуто. Покажем, что в интересных случаях это множество непусто. [c.562]

Теорема (Монтель). Пусть 8 — риманова поверхность и пусть З — семейство голоморфных отображений / 8 С, не принимающих трех различных значений. То есть предположим, что существуют три различные точки а, Ь, с С такие, что /(5) С С С а, Ь, с для любого Тогда З — нормальное семейство [c.52]

Определение. Пусть 8 — компактная риманова поверхность, 8 8 — непостоянное голоморфное отображение, а /°" 8 8 — его п-кратпая итерация. Область нормальности семейства итераций / " называется областью Фату Га1ои(/), а его дополнение [c.55]

Строя ироекдии искомого треугольника, отрезки и С2С3 мы откладывали на проецирующих лучах в одном направлении по отноще-пию к плоскости нормального сечения, но их можно было отложить и в противоположном направлении. Тогда мы получили бы другую плоскость, удовлетворяющую требованиям задачи. Отсюда следует требованию задачи удовлетворяют два семейства параллельных между собой плоскостей. [c.113]

Доказательство состоит в следующем. Пусть 6s(х ), где д — бз <д з + 8х,— семейство плоских, нормальных к оси X сечений объема 6F, удовлетворяющих условию устойчивости средних (1.2.14). Учитывая, что интеграл по объему 6F,-, определяющий среднеобъемную величину <фг(л )>У1, можно представить через интегралы по 8Si x ), которые определяют среднеповерхностные величины <ф x ) si, имеем в соответствии с [c.48]

На верхней и нижней граничных плоскостях балки = О, т. е. tg 2а = О или = ==0, аа = л/2. На оси балки Ог = 0 следовательно, а = я/4. Между этими крайними положениями в балках сплошного поперечного сечения происходит плавный переход в ориентации главных площадок, как показано на рис. i2.4. Для железобетонных балок характерно разрушение по наклонным сечениям (рис. 12.5), перпендикулярным направлениям растягивающих главных нормальных напряжений. Например, в ок- Шности опоры, где роль касательных напряжений достаточно велика, линии главных напряжений схематично можно изобразить, как показано на рис. 12.6. Очевидно, что растягивающие напряжения ориентированы по линиям, идущим справа налево вверх, а разрушение происходит с образованием трещин, ориентированных ортогонально этому семейству линий. Поэтому в окрестности [c.247]

Наиболее удобным для расчета на усталость является нормальное распределение величины =lg(amax—и), достаточно хорошо соответствующее экспериментальным данным и упрощающее расчет на прочность. При этом семейство функций распределения атах для круглых элементов с различным отношением djG при изгибе с вращением может быть описано с помощью следующего уравнения, имеющего структуру уравнения (7.10) [c.137]

Отметим также, что для нелокальной теории бифуркаций оказываются особенно полезными конечногладкие нормальные формы локальных семейств дифференциальных уравнений. Эти нормальные формы значительно упрощают отыскание и исследование бифуркаций, а также обоснование и исследование полученных результатов. С другой стороны, нелокальная теория бифуркаций позволяет выделить задачи теории нормальных форм, важные для приложений. На наш взгляд, связь между теорией нормальных форм и нелокальной теорией бифуркаций в настоящее время используется недостаточно. [c.10]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...