Многообразие гладкое

Координаты вектора 22 Многообразие гладкое 110 [c.474]

Теорема 18.1.6 (лемма о е-траекториях для потоков). Пусть М — риманово многообразие, —гладкий поток и А — гиперболическое множество для Тогда существует такая окрестность U(A) эЛ множества А, что для любого 5 > О найдется такое е > О, что каждая е-орбита 5-приближается орбитой [c.570]

Следствие 18.1.8. Пусть М риманово многообразие, — гладкий поток и А — компактное гиперболическое множество для. Тогда существуют такая окрестность U(Л) D Л множества А и такие числа во, Sg > О, что для всех 5 >0 найдется такое е > О, что каждая замкнутая е-орбита 5-приближается периодической орбитой. [c.571]

Первая лемма Тома об изотопии ([350], [347], [277]). Пусть М, Р — многообразия, — гладкое [c.192]

Особые лагранжевы многообразия появляются таким же образом. Экстремали, соединяющие точку многообразия с другими точками, образуют лагранжево подмногообразие пространства экстремалей. Эти лагранжевы многообразия гладки, если конфигурационное многообразие не имеет края, и могут быть особыми в противном случае. [c.195]

Мы рассмотрели фазовые траектории, расположенные вне выделенных окрестностей, и обнаружили, что их поведение описывается конечным числом гладких точечных отображений. Рассмотрим теперь фазовые траектории, расположенные внутри этих выделенных окрестностей. В окрестностях устойчивых состояний равновесия или периодических движений все фазовые траектории асимптотически приближаются к соответствующему состоянию равновесия или периодическому движению. Внутри окрестностей неустойчивых состояний равновесия или периодических движений все фазовые траектории выходят из этих окрестностей. В окрестностях седловых состояний равновесия или периодических движений все траектории, кроме траекторий, принадлежащих интегральным многообразиям, проходящим через состояние равновесия или периодическое [c.276]

Для простого синхронизма соответствующие фрагменты разбиения плоскости на инвариантные кривые изображены на рис. 7.113 и 7.114. Рис. 7.113 соответствует случаю, когда слияние седел и узлов происходит у обычного синхронизма с гладким тороидальным интегральным многообразием, а на рис. 7.114 — с негладким. [c.366]

Пример 8.12 4. Свободная материальная точка, вынужденная перемещаться только по связи, представляющей собой гладкое риманово многообразие, движется по геодезической линии. Действительно, для такой точки будем иметь [c.620]

Аналогично определяется многообразие Р М, N) fe-струй отображений гладкого многообразия М в гладкое многообразие N. [c.14]

Всюду в этом пункте Л и В — гладкие многообразия, С — гладкое подмногообразие В. [c.14]

Пусть М и N — гладкие многообразия (или области в векторных пространствах). С каждым отображением связано его k-струйное расширение f М- Р(М, N)-, точке х из М сопоставляется fe-струя отображения / в точке х. [c.15]

М Множество особых точек полей семейства имеет вид. (х, e) v x, е)=0 . По лемме Сарда множество критических значений отображения v имеет меру нуль. Следовательно, существует вектор б произвольно малой длины, для которого —6 — некритическое значение отображения v. Множество v x, е)=—6 —гладкое многообразие по теореме о неявной функции. Но это многообразие есть множество особых точек векторных полей семейства v х, е) +6. [c.15]

Проектирование построенного многообразия равновесий на пространство параметров является гладким отображением. Теория особенностей гладких отображений (в частности, проекций) доставляет классификацию критических точек типичных отображений (а следовательно, и бифуркаций положений равновесия в типичных семействах). [c.15]

Бифуркации распада инвариантных торов. Пусть в типичном двупараметрическом семействе С -гладких векторных полей, /г 4, при нулевом значении параметра е предельный цикл теряет устойчивость и рождается устойчивый инвариантный тор. Тогда, как было показано выше, на плоскости параметров существуют резонансные языки, отвечающие наличию у векторного поля невырожденных предельных циклов, лежащих на торе. При этом сам тор является объединением неустойчивых многообразий седловых циклов с устойчивыми циклами. [c.49]

Е лишь конечное число односторонних производных (оно равно [сб] —целой части а). Поэтому, выбрав функцию / так, чтобы в системе (12) развести сепаратрису седла и гладкое инвариантное многообразие узла, получим, что центральное многообразие системы (12) негладко. Гладкость его части, заключенной в полосе е <ео, не превосходит 1/2 / ео и стремится к бесконечности при ео- 0. [c.68]

Локальные и нелокальные бифуркации. Обозначим через Х (М) банахово пространство С -гладких векторных полей с -топологией, r l, на С -гладком многообразии М, через 2 (Af)—множество векторных полей, порождающих структурно устойчивые (или грубые ) динамические системы. [c.87]

Определение. Два гладких подмногообразия А и В rt-мерного многообразия имеют простое касание в точке Р, если сумма их размерностей не меньше п и, кроме того, [c.91]

Критические и некритические циклы. Пусть гладкое векторное поле имеет предельный цикл с мультипликатором единица типа устойчивый узел по гиперболическим переменным . Тогда некоторая окрестность цикла наделена гладким слоением со слоями коразмерности 1, инвариантным относительно потока и сильно устойчивым каждый слой экспоненциально сжимается при сдвиге вдоль траекторий поля за положительное время [162], [180]. Один из слоев совпадает с устойчивым многообразием цикла. Аналогично описывается сильно неустойчивое слоение в случае неустойчивого узла по гиперболическим переменным. [c.116]

М 1°. Заменой времени добиваемся равенства Я,= 1 докажем, что а — топологический инвариант. Рассмотрим преобразование монодромии Д гомоклинической траектории седла у. Для этого выберем произвольную точку Рву Q y) достаточно близко к седлу на его устойчивом двумерном многообразии (неустойчивом одномерном многообразии W "). Требования близости формулируются ниже. Многообразие W делит окрестность седла на две части. Ту часть, в которую траектория у входит при t- —оо, обозначим U. Возьмем две трансверсаль-ные гладкие двумерные площадки ГЭР и T 9Q (рис. 48а). Обозначим через Г+ пересечение [/+ПГ. Если площадка Г+. достаточно мала, то определено отображение соответствия Ai точка РбГ+ переходит в конец дуги фазовой кривой рассматри [c.133]

Хь Xi) а также—гладкое инвариантное многообразие (Uv)t [c.140]

Теорема. Пусть v — гладкое векторное поле, М — его отрицательно инвариантное многообразие с краем. Як и Ят — соответствующие показатели, и натуральное г удовлетворяет условию [c.154]

Тогда любое -близкое к v поле имеет -гладкое отрицательно инвариантное многообразие, близкое к М. [c.154]

Смена устойчивости устойчивого предельного цикла на торе — удвоение периода, либо рождение тора. В этом случае существует значение ei8i Те не является гладким, неустойчивое многообразие седлового цикла накручивается на устойчивый цикл, а не гладко примыкает к нему. [c.161]

А. Пусть имеется точка а на римановом многообразии ЗЯ с метрикой dl. Тогда для всех точек Ь, достаточно близких к а, существует геодезическая, идущая из а в 6, причем длина ее будет минимальной в классе всех кусочно-гладких кривых, соединяющих эти точки. [c.172]

Напомним некоторые сведения из курса дифференциальной геометрии. Пусть 2Я — гладкое многообразие с локальными координатами 2],. .., Zk (его можно представить себе в виде поверхности в пространстве). Если в 3 мы записывали касательный вектор в виде V—то теперь будем писать более условно [c.243]

Вооружённый фронт на V определяет коническое лагранжево подмногообразие в пространстве Т У кокасательного расслоения V. Это подмногообразие состоит иэ 1-форм, нулевых на касающихся фронта контактных элементах и положительных на вооружающих нормалях. Для типичного фронта это коническое многообразие гладко иммерси-ровано в Т У. Риманова метрика на V определяет иммерсию фронта в это коническое коническое многообразие (отправляет точку фронта в 1-форму, равную 1 на вооружающем нормальном единичном векторе). Индекс одномерного фронта, определённый выше как число точек перегиба (с учётом их знаков), равен индексу Маслова кривой, соответствующей этому фронту и лежащей на коническом лагранжевом подмногообразии в Т У (см. [107]). [c.123]

Теперь рассмотрим оставшиеся возможности для изменения периодического движения Г, т. е. те, при которых наруилается существование гладкого взаимно однозначного отображения секущей. Для таких изменений есть следующие возможности замкнутая кривая Г стягивается в точку, на ней появляется состояние равновесия, она уходит в бесконечность ). Замкнутая кривая может стянуться только к особой точке — состоянию равновесия — и поэтому этот случай уже был изучен при рассмотрении бифуркаций состояний равновесия. Он соответствует переходу через бифуркационную поверхность Л/, . Второй случай новый, хотя он тоже связан с бифуркацией состояния равновесия, но не был замечен, поскольку раньше рассмотрение относилось только к окрестности состояния равновесия и не выходило за ее пределы. Перейдем к его рассмотрению. Третий случай оставим без внимания ввиду очевидности связанных с ним изменений. В рассматриваемом случае при бифуркационном значении параметра имеется состояние равновесия О и фазовая кривая Г, выходящая и вновь входящая в него. Пусть это состояние равновесия простое, типа О ". Так как фазовая кривая Г выходит из О" , то она лежит на инвариантном многообразии S,,, а так как она в него еще и входит, то она принадлежит еще и многообразию S l,. Отсюда следует, что многообразия Sp и 5 пересекаются по кривой Г. Соответствующая картинка представлена на рис. 7.14. Как нетрудно понять, пересечение поверхностей S,, и не является общим случаем и при общих сколь угодно малых изменениях параметров динамической системы должйо исчезнуть. Это означае т, что в пространстве параметров этому случаю вообще не отвечают области, а, как можно обнаружить, в общем случае только некоторые поверхности на едирплцу меньшей размерности. Таким образом, исследование этой бифуркации периодического движения свелось к следующему вопросу когда фазовая кривая, идущая из простого седлового дви- [c.262]

Слабая теорема трансверсальности для многообразий. Пусть А — компактное многообразие и С — компактное подмногообразие в многообразии В. Тогда отображения f А- В, трансверсальные к С, образуют открытое всюду плотное множество в пространстве всех г-гладких отображений Ав В (r>max(dimfi—dim Л—dim С, 0)). [c.15]

Ч Рассмотрим 1-струйное расширение отображения v фазового пространства U в R". Пространство / (f/, R") состоит из точек вида х, у. А), где xW, 6R", ЛеНот(К", R"). Образ фазового пространства V под действием 1-струйного расширения отображения v состоит из точек (х, v x), dv/dx x)). Обозначим через С алгебраическое подмногообразие в P U, R"), состоящее из точек вида ((х, О, Л) оператор А имеет хотя бы одно собственное значение на мнимой оси). Это алгебраическое многообразие имеет коразмерность п-Ь1 оно не является гладким многообразием, но является объединением гладких, вообще говоря, не компактных многообразий коразмерности не меньше tt+1. Размерность U равна п. По теореме трансверсальности образ v(U) для векторного поля v общего положения не пересекает С. > [c.16]

Замечание. Конечногладкая версальная деформация является сколь угодно гладкой , но не бесконечногладкой . Дело в том, что чем выше гладкость диффеоморфизма, сопрягающего произвольную деформацию и индуцированную из версальной, тем меньше, вообще говоря, область изменения параметров. Аналогично обстоит дело с гладкостью центрального многообразия для гладкого векторного поля оно сколь угодно гладко, но не бесконечногладко чем выше требования гладкости, тем меньшая окрестность особой точки на центральном многообразии этой гладкостью обладает. [c.67]

Центральное многообразие этой системы двумерно исследуем его пересечения с плоскостями е = onst. Система (12) получается добавлением уравнения е = 0 к семейству из последних двух уравнений. При е > О уравнение этого семейства имеет две особые точки седло 5g(]/E,0) и узел Ne — OJ, отношение а собственных значений которого равно 1/2]/ е. Пересечение центрального многообразия системы (12) с плоскостью E = onst содержит (гладкую) сепаратрису седла Sg и фазовую кривую, входящую в узел Ne- Через узел Ne проходят (при нецелом а) ровно две гладкие инвариантные кривые соответствующего уравнения остальные фазсвые кривые входят в узел, имея в точке [c.68]

Следствие. Пусть v — росток гладкого векторного поля в особой точке с собственным значением О и одномерным центральным многообразием. Пусть кратность этой особой точки равна j,+ l, и вещественные части ее ненулевых собственных значений образует нерезонансный набор. Росток с такими свойствами встречается в типичном семействе, зависящем не менее чем от р, параметров. Деформация такого ростка в типичном гладком ( j,+1)-параметрическом семействе конечногладко эквивалентна главной [c.75]

Функциональные инварианты семейств векторных полей. С -гладкая классификация деформаций ростков векторных полей в особой точке с парой чисто мнимых собственных значений также имеет функциональные инварианты. Ограничим семейство на его центральное многообразие. Получим (конечно гладкую) деформацию ростка векторного поля с линейной частью типа центр на плоскости. Преобразование монодромии, соответствующее продеформированному ростку, имеет две гиперболические неподвижные точки (для тех значений параметра, которым соответствует цикл продефор миров а иного уравнения) одна точка — особая, другая принадлежит циклу. Функциональный инвариант С -классификации таких преобразований построен выше. [c.77]

Рассмотрим окрестность автоквадратного отображения G в подходящем функциональном пространстве отображений области Dr в себя. Эта окрестность расслоена на орбиты действия группы аффинных замен переменных (точнее, разбита на классы аффинно эквивалентных отображений допуская вольность речи, будем называть эти классы орбитами , хотя они представляют лишь куски орбит). Орбита отображения G, как и близких к G отображений, — гладкое многообразие, размерность которого совпадает с размерностью аффинной группы пространства С". Поэтому окрестность отображения G факторизуется по действию аффинной группы пусть п — проектирование этой окрестности на соответствующее факторпространство. Оператор удвоения переставляет орбиты действия аффинной группы поэтому он опускается до оператора, действующего на факторпро-странстве. Точка яС является неподвижной для этого нового [c.84]

Определение. Два гладких подмногообразия А к В rt-мерного многообразия М - имеют квазитрансвереальное пере-еечение в точке Р, если dimЛ-f-dim —1, и существуют окрестность U точки Р и п—1)-мерное гладкое подмногообразие многообразия такие, что многообразия A U и B U принадлежат М и как подмногообразия трансверсально [c.92]

Лемма ([180]). Два гладких подмногообразия А к В й-мер ного многообразия Л1 имеют простое касание в точке Р, если и только если существует система координат (j j, в некоторой окрестности U точки Р такая, что пересечения A U и B U задаются уравнениями [c.92]

Пусть М — компактное С -гладкое многообразие без края, Diff (М) — множество С -диффеоморфизмов, MS — множество диффеоморфизмов Морса—Смейла, 9 (М) — множество С дуг диффеоморфизмов М. То есть если / — единичный интервал, то состоит из С -отображений Ф Мх/- Мх/ таких, что [c.125]

Склеим пары точек PfiK и f(P) Ku а также Q6/ i и / (Q)6/ 2 (рис. 45). На множестве внутренних точек из каждого из полученных пространств можно задать структуру гладкого многообразия так, что полученные поля будут гладкими. Обозначим эти многообразия и М (М получено с по мощью / ). [c.130]

Теорема. В пространстве гладких векторных полей на области евклидова пространства R" (и на любом п-мерном многообразии) для любого mсистемы Морса—Смейла, а при-закритических — принадлежат Я. [c.152]

Определение (Ю. С. Ильяшенко, 1985). Пусть динамическая система на компактном гладком многообразии с краем диссипативна и m — гладкая мера на этом многообразии с положительной плотностью. Открытое множество и называется существенным, если положительна мера множества тех точек, положительные полутраектории которых проводят в среднем положительное время в области U. Статистическим предельным множеством называется дополнение к максимальному несущественному открытому подмножеству фазового пространства. [c.158]

Для системы Ван дер Поля — это кубическая парабола Г. Для вертикального поля общего положения медленная поверхность— гладкое многообразие. Размерность этого многообразия равна размерности базы расслоения (числу медленных переменных). В точках общего положения медленная поверхность локально является сечением расслоения, т. е. диффео-морфно проектируется на базу. [c.168]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...