Теорема Адамара — Перрона

II. Теперь мы установим связь между существованием инвариантной последовательности конусов и экспоненциального разложения для последовательности линейных отображений. Применяя леммы 6.2.10 и 6.2.11 вдоль каждой орбиты, мы сможем затем использовать результаты, установленные на этом шаге, в процессе доказательства теоремы Адамара — Перрона. [c.253]

Это рассуждение и совершенно аналогичные соображения для W )q доказывают (Ш) и, таким образом, единственность и W . Это завершает доказательство общей части теоремы Адамара — Перрона. [c.260]

Другое интересное замечание состоит в том, что мы фактически получаем непрерывную зависимость многообразий W и W от семейства отображений / . Так как главным ингредиентом доказательства теоремы Адамара — Перрона 6.2.8 было получение инвариантных многообразий и их касательных распределений как неподвижных точек сжимающего оператора, построенного по семейству f , мы можем с помощью предложения 1.1.5 показать, что инвариантные многообразия зависят непрерывно в С -топологии от семейства диффеоморфизмов. [c.262]

В 6.4 будет приведено следствие теоремы Адамара — Перрона 6.2.8 приспособленное к изучению отображений на многообразиях (теоре ма 6.4.9). [c.262]

По теореме Адамара — Перрона для отображений / К" —> К" существу ют многообразия и (р) при всех р К". Если начальная орбит [c.266]

Чтобы показать, что является С°°-векторным полем в окрестности начала координат, мы должны проверить, что эта сумма сходится в С°°-топологии, т. е. что суммы к-х производных сходятся для всех к 6NJ. Аналогичная ситуация впервые встретилась нам на пятом шаге доказательства теоремы Адамара — Перрона 6.2.8. Отметим, во-первых, что по цепному правилу и правилу дифференцирования произведения к-я производная т-кратной композиции растет со скоростью, не превышающей где константа [c.290]

В случае потоков устойчивое и неустойчивое многообразия гиперболических неподвижных точек и периодических орбит могут быть определены с помощью соответствующей модификации теоремы Адамара — Перрона 6.2.8, как предложено в упражнении 6.2.5. Соответственно можно говорить о трансверсальности относительно этих многообразий. Заметим, что такие многообразия состоят из орбит потока, так что трансверсальное пересечение может возникнуть только при условии, что сумма их размерностей строго больше размерности многообразия. [c.301]

Доказательство. Положим ф х) = tp - x), как в 2.2, и заметим, что а(0, ) = 0. Аналогично тому, как это делалось при выводе теоремы 6.4.9 из теоремы Адамара — Перрона 6.2.8, мы введем для каждого хбА локальные координаты х = (х , х , х ) с центрами в х, ассоциированные с разложением Т М = Е 0 Е 0 Е , так что в этих координатах [c.547]

Выведите тот факт, что устойчивое и неустойчивое многообразия из теоремы 17.4.3 являются С -гладкими, непосредственно из теоремы Адамара — Перрона 6.2.8, рассматривая гладкие трансверсали к орбитам и семейство отображений между трансверсалями. [c.549]

Таким образом, мы выяснили, в частности, что для таких К выполнены условия /"(С(6))сС(5)сС(5, Вд, К). На следующем шаге будет показано, что преобразование /, улучшает оценки для распределений в С(6). Для этого мы используем локальные координаты подобно тому, как это делалось на пятом шаге доказательства теоремы Адамара — Перрона 6,2.8, и очень похожие оценки. [c.604]

Превосходный исторический обзор, касающийся теоремы Адамара — Перрона и связанных с ней вопросов, а также множество ссылок содержатся в 4 книги [16]. Этой теме посвящена чрезвычайно обширная литература, вышедшая как до книги Аносова, так и после нее. [c.727]

Теорема Адамара—Перрона. [c.61]

Рассмотрим сначала случай, когда О — гиперболическая особая точка уравнения х=Ах, то есть Г = 0 . Следующая теорема обобщает результаты Ж. Адамара и О. Перрона и по традиции называется теоремой Адамара—Перрона. Приводимая ниже формулировка содержится в книге 1[44], гд имеются ссылки на оригинальные работы. В следующих двух теоремах г — натуральное число или бесконечность. [c.61]

Теорема. Пусть V—С> + -гладкое векторное поле с особой точкой О и линейной частью Ах, г<оо. Пусть Г, Г и Г — плоскости, соответствующие оператору А, как описано в пункте 4.1. Тогда дифференциальное уравнение x = v x) имеет инвариантные многообразия W и W , гладкие класса С и С, проходящие через О и касающиеся в нуле плоскостей Т , Г и Г соответственно. Фазовые кривые этого уравнения на многообразиях W , ведут себя так же, как в теореме Адамара—Перрона поведение фазовых кривых на многообразии определяется нелинейными членами. [c.62]

Доказательство. Как было отмечено перед формулировкой теоремы 6.4.9, мы можем перейти к локальным координатам и использовать теорему Адамара — Перрона 6.2.8. Обозначим отображение сдвига за время tg через (р ". Заметим, что, хотя отображение (р не гиперболическое [c.546]

В этой главе мы осуществляем часть программы, сформулированной в 4 введения. Главный принцип нашего анализа состоит в использовании своего рода гиперболичности линеаризованной динамической системы вдоль определенных орбит. Мы покажем, что она порождает аналогичное поведение нелинейной системы вблизи некоторой заданной орбиты (теорема Адамара — Перрона 6.2.8). Комбинация локальной гиперболичности, возникаю-ш,ей в линеаризованной системе, с нетривиальным возвращением, явлением по существу нелинейным, приводит к изобилию периодических орбит (теорема Аносова о замыканни 6.4.15) и порождает богатую и устойчивую во многих отношениях структуру орбит, которая будет далее исследоваться в части 4. [c.243]

Теорема 6.2.8 (теорема Адамара — Перрона). Пусть < ц, г 1, и для каждого тп eZ пусть f R" — R" — такой сюръективный С-диффеоморфизм, что при (ж, i/) R R"" для некоторых линейных отображений А R ->R и R"" ->R"" , ЦА- Ц < 5 < Л и а ,(0) = 0, /3 (0)=0. выполнено равенство [c.249]

Предложение 6.2.21. Инвариантные многообразия (с С -mono логией), существование которых устанавливает теорема Адамара — Перрона 6.2.8, непрерывно зависят от семейства / , в С -топологии, определенной следующим образом семейства /, е и считаются С -близк [c.262]

По теореме Адамара — Перрона 17.4.3 существуют устойчивое и неустойчивое многообразия, проход ицие через каждую точку V ЗМ. В заключение этого параграфа мы приведем их геометрическое описание. В процессе нашего рассуждения очень полезно постоянно иметь в виду соображения, использованные для поверхностей постоянной отрицательной кривизны в конце п. 5.4 г и в предыдущем параграфе. Перейдем к рассмотрению универсального накрывающего М многообразия М, которое диффеоморфно К (упра ение 17.6.3). Начнем с неустойчивых многообразии. Зафиксируем [c.554]

Тем самым доказано, что каждый вектор, касательный к содержится в конусе из инвариантного семейства. Как было отмечено при доказательстве теоремы Адамара — Перрона, это означает, что при Т оо многообразия WJ. сходятся к мнoгooбpaзиJЮ W v), которое являете гладшм (п — 1)-мерным подмногообразием 3М. Так как проекция тг ЗМ М является гладкой, сферы В сходятся к гладкому подмногообразию В , называемому орисферой (что означает предельная сфера ). [c.554]

Инвариантные многообразия ростков диффеоморфизмов, Для отображений справедливы теорема Адамара—Перрона, теорема о центральном многообразии и принцип сведения Шошитайшвили (см. 4, гл. 3). [c.106]

Замечание 1.5. Конечно, если траектория 5 (л ) удовлетворяет условиям равномерной гиперболичности (полной или частичной), то для нее справедлива теорема о локальном многообразии (поскольку эта гиперболичность является частным случаем неравномерной). Соответствующее утверждение известно, как теорема Адамара (J. Наёатагс )—Перрона (см. [4], [31]). Она -справедлива для 5< бС а если 5 бС , г 1, то У (а )6 еС . Кроме того, в этом случае можно показать, что г(8 х)) сопз1 и С(5 (лг), 8) сопз1 (см. 7.6)) равномерно по t. [c.127]

Гиперболический случай соответствует знаку - в теореме. В этом случае характеристики на поверхности конуса очень похожи на вертикальные сечения z = onst. Две из них являются гладкими кривыми (аналитическими в аналитическом случае), содержащими вершину. Эти сепаратрисы на поверхности конуса соответствуют координатным осям U = О и и = О на плоскости. Их существование следует из теоремы Адамара-Перрона (см., например, [17]). [c.287]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...