Метод Лагранжа составления уравнений движения

МЕТОД ЛАГРАНЖА СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ [c.397]

Преимущества метода. Изложим теперь метод Лагранжа составления уравнений движения. Этот метод имеет ряд преимуществ. Он приводит к уравнениям движения, не содержащим реакций, н поэтому особенно удобен для исследования движений нескольких тел, соединенных между собой. Он также дает нам большой выбор величин, которые можно принять в качестве координат. Кроме того, как только составлена функция Лагранжа, из этой одной функции можно вывести все уравнения движения вместо того, чтобы выводить каждое из них из отдельных общих теорем механики. С другой стороны, эта функция при исследовании малых колебаний должна быть вычислена с точностью до квадратов малых величин, ибо в этом случае в уравнениях движения удерживаются только первые степени малых величин. Поэтому, когда число уравнений движения невелико, часто более удобно получать их в результате разложения сил и вычисления моментов. [c.397]

Примеры получения уравнений Лагранжа. Из предыдущего видно, что если система такова, что д,ля нее можно составить лагранжиан, т. е. если система является голономной и обладает обычным или обобщенным потенциалом, то имеется весьма удобный способ получения уравнений ее движения. Составляя эти уравнения, мы преследовали цель исключить реакции связей, но при этом получили и другие полезные результаты. Для того чтобы получить уравнения движения в виде (1.18), нужно было иметь дело со многими векторами сил и ускорений. Применяя же метод Лагранжа, мы оперируем лишь с двумя скалярными функциями Т и V, что сильно упрощает поставленную задачу. Теперь мы можем указать метод составления уравнений движения, общий для всех задач механики, к которым приложим метод Лагранжа. Согласно этому методу нужно лишь написать функции Г и У в обобщенных координатах, образовать из них лагранжиан L и, подставив его в (1.53), получить уравнения движения. При этом переход от декартовых, координат к обобщенным получается для функций Г и У с помощью уравнений преобразования (1.36) и (1.43). Так, [c.34]

Аналогия между механической и электрической системами обычно проявляется в сходстве формы уравнений движения ). С этой точки зрения она имеет большое значение. Методы, разработанные для решения задач, относящихся специально к электрическим цепям, часто заимствуются и применяются к рещению механических задач. Обратный процесс реже встречается на практике благодаря большим усилиям, которые в прошлом были направлены на исследование электрических систем. Сходство этих проблем в трактовке Лагранжа только отражает соответствие между уравнениями движения и само по себе вряд ли может привести к дальнейшим результатам. Польза метода Лагранжа, вообще говоря, состоит в том, что он представляет собой удобный метод составления уравнений движения, а это составление редко оказывается трудным при исследовании электрических цепей. [c.55]

Составление уравнений движения ротора произведем с помощью метода Лагранжа. Предварительно определим значения механической энергии системы. Ограничимся исследованием только режима установившихся колебаний, угловую скорость ротора будем считать постоянной. Составим выражения кинетической и потенциальной энергии системы. [c.154]

Механическую систему называют несвободной у если входящие в нее материальные точки или тела при своем движении имеют ограничения, которые называют связями. Для составления уравнений движения несвободных механических систем часто пользуются методами Даламбера и Лагранжа. [c.29]

Наиболее простым и удобным методом составления уравнений движения механизмов является метод лагранжевых уравнений. При составлении уравнений Лагранжа второго рода предполагается, что движение механизма исследуется в системе обобщенных координат, в качестве которых должны быть приняты независимые параметры, определяющие положение механизма, например, углы по- [c.486]

Метод Лагранжа наиболее удобен для исследования колебаний систем, число степеней свободы которых превосходит единицу. По этой причине здесь сформулируем только общий способ составления уравнений движения так, чтобы иметь возможность применить рассматриваемый метод для решения задач. Однако анализ общего случая отложим до второй части настоящего трактата. [c.397]

Далее существенный этап развития расчетных математических методов в механике связан с именем Даламбера (1717—1783), предложившего простой и общий метод составления уравнения движения системы. Широкое обобщение аналитические методы получили в трудах Лагранжа (1736—1783), выдвинувшего принцип виртуальных перемещений. Расширение принципа виртуальных перемещений мы находим в трудах русского математика М. В. Остроградского (1801 —1861). Вклад в динамику твердого тела внес С. А. Чаплыгин (1869—1947), а в аэродинамику — Н. Е. Жуковский (1847—1921), который был также выдающимся педагогом, ратовавшим за ясное и четкое выделение физической сущности механических задач и их решение. [c.29]

Обращаем внимание на то, что для системы с одной степенью свободы составление дифференциального уравнения движения методом Лагранжа сводится по существу к тем же расчетам, что и при использовании теоремы об изменении кинетической энергии. [c.381]

Из общего уравнения динамики вытекают дифференциальные уравнения движения системы материальных точек, в которые не входят силы реакций идеальных связей. Возможно решение как прямых (определение сил по заданному движению), так и обратных задач (определение движения по заданным силам) динамики. При решении обратных задач приходится интегрировать составленную систему дифференциальных уравнений движения. Заметим, что использование общего уравнения динамики является формальным методом составления дифференциальных уравнений движения системы. Этот метод является менее удобным и менее эффективным по сравнению с применением уравнений Лагранжа второго рода (читатель сможет в этом убедиться, ознакомившись с содержанием следующего параграфа). [c.414]

Наиболее общим приемом составления дифференциальных уравнений движения системы материальных точек является применение уравнений Лагранжа или общего уравнения динамики. (Применение общего уравнения динамики является менее удобным и притом формальным методом в связи с использованием сил инерции.) [c.544]

Применение основного закона динамики ведет в данной задаче быстрее и проще к составлению дифференциальных уравнений движения, однако первый путь — использование уравнений Лагранжа в обобщенных координатах является более общим методом. [c.602]

Принцип Гаусса позволяет эффективно применить метод множителей Лагранжа к составлению дифференциальных уравнений движения систем с нелинейными неголономными связями. На основании принципа Даламбера — Лагранжа это выполнить нельзя. См. Г. К. Суслов, Теоретическая механика, Гостехиздат, 1946. [c.191]

Наряду с изложенным методом большое практическое значение при составлении уравнений относительного движения имеет также метод уравнений Лагранжа, идея применения которых в динамике относительного движения совершенно естественна. Поскольку движение относительной системы по отношению к абсолютной задано, абсолютные координаты (декартовы или обобщенные) движущейся системы точек могут быть выражены как функции от относительных координат и времени. Принимая последние за независимые обобщенные координаты системы, составим уравнения Лагранжа реп. ая их, найдем относительные координаты как функции от времени, т. е. уравнения относительного движения. [c.424]

Несмотря на естественность этого метода и весьма полную информацию о движении массы жидкости, которую он дает, метод Лагранжа не получил преимущественного применения в гидромеханике и употребляется только в ряде специальных задач. Это связано с тем, что уравнения движения, составленные на основе метода Лагранжа, сложны и трудноразрешимы. [c.29]

Составление дифференциальных уравнений движения сложных гироскопических систем по методу Эйлера — Д Аламбера и по методу Лагранжа полезно в целях сравнения и контроля результатов, полученных с помощью обоих методов для одной и той же системы. [c.126]

Автор сознает, что изложение можно было бы значительно сократить, если начать непосредственно с уравнений движения Лагранжа, а затем перейти к теории Гамильтона. Такая последовательность была бы оправданной, если бы целью книги было первое ознакомление студента с определенным формализмом и методом составления дифференциальных уравнений, отвечающих любой заданной динамической задаче, а также с определенными рецептами , которые могли бы помочь в решении этих уравнений. Но [c.12]

В начале шестого отдела (стр. 438) Лагранж подвергает углубленному исследованию малые колебания, выполняемые различными телами системы, когда их лишь немного выводят из положения равновесия. Только применение замечательных результатов, которыми аналитическая механика обязана Лагранжу, позволяет успешно разрешить этот вопрос, один из наиболее важных и общих, какие только встречаются в теории движения. Но некоторые из выводов, приведенных Лагранжем, недостаточно обоснованы. Решение этой проблемы зависит от разрешения алгебраического уравнения, метод составления которого был указан Лагранжем это уравнение никогда не имеет мнимых корней, но, в противоположность утверждению [c.574]

При составлении системы дифференциальных уравнений движения машины на третьем этапе запуска воспользуемся методом Лагранжа и за обобщенные координаты выберем угловые перемещения маховиков, имитирующих на эквивалентной схеме ротор электродвигателя и исполнительный орган. [c.66]

Составление дифференциальных уравнений движения на основании принципа Даламбера обладает большой наглядностью. Этот метод можно рекомендовать для достаточно простых систем, легко поддающихся непосредственному геометрическому анализу. В более сложных случаях, когда связь между координатами движения недостаточно проста и трудно составить наглядную схему взаимодействий частей системы, применяется метод Лагранжа. [c.14]

Для составления дифференциальных уравнений движения сосредоточенных масс рассматриваемых колебательных систем целесообразно применять энергетический метод с использованием уравнения Лагранжа [c.39]

Составим уравнения движения для промышленного робота с четырьмя степенями свободы рис. I. Для составления уравнений воспользуемся методом Лагранжа. [c.12]

Установив необходимый для эффективной работы машины закон ускорений механизма катящегося рычага, последовательно приближая заданную и получающуюся диаграммы ускорений, можно, пользуясь диаграммой углов поворота, построить подвижную центроиду, обеспечивающую предусмотренный режим работы машины. Учитывая динамический угол откоса материала, масса которого переменна, применяя интерполяционный полином Лагранжа при составлении дифференциального уравнения движения и метод Кельвина для решения этого уравнения, представляется возможным решить основные задачи динамики рассматриваемой системы, параметры которой непрерывно изменяются. [c.208]

Из общего уравнения динамики вытекают дифференциальные уравнения движения материальной системы, в которые не входят реакции идеальных связей. Возможно решение как первых (определение сил по заданному движению), так и вторых задач (определение движения по заданным силам) динамики. При решении вторых задач приходится интегрировать составленную систему дифференциальных уравнений движения. Заметим, что использование общего уравнения динамики является формальным методом составления дифференциальных уравнений движения системы. Этот метод является менее удобным и менее эффективным по сравнению с применением уравнений Лагранжа второго рода (читатель сможет в этом убедиться, ознакомившись с содержанием следующего параграфа). Однако общее уравнение динамики справедливо как для голономных, так и для неголономных систем. Уравнения Лагранжа второго рода применимы только к голономным системам. [c.451]

Если по условию требуется определить какую-либо реакцию связи, то надо с помощью уравнений Лагранжа определить обобщенные ускорения системы (т.е. вторые производные по времени обобщенных координат), затем, применив закон освобождаемости, составить дифференциальное уравнение движения соответствующей материальной точки или применить метод кинетостатики и из составленного уравнения, решая первую задачу динамики, найти искомую реакцию. [c.549]

В данном примере наиболее эффективным оказался третий метод, но читателю, не имеющему большого опыта в решении задач, трудно среди множества теорем и уравнений динамики остановить свой выбор на совокупности теорем о движении центра масс и уравнения динамики относительного движения. Решение подобных задач обычно сопровождается рядом неудачных попыток. Применение же уравнений Лагранжа обеспечивает эффективное составление дифференциальных уравнений движения системы. [c.564]

Обращаем внимание на то, что для системы с одной степенью свободы составление дифференциального уравнения движения методом Лагранжа [c.466]

Необходимо остановиться и на некоторых особенностях метода Лагранжа, создающих подчас дополнительные трудности. Уравнения Лагранжа получены для систем с идеальными, удерживающими и голономными связями. Это не означает, что уравнения Лагранжа нельзя использовать для систем с неудерживающими или неидеальными связями. Но если для системы с удерживающими и идеальными связями уравнения Лагранжа полностью решают задачу об определении закона движения, то для системы с неудерживающими или неидеальными связями одних уравнений Лагранжа, составленных для независимых обобщенных координат, может оказаться недостаточно. Поясним сказанное на задаче 19.2 19.3, рассмотрев три случая. [c.443]

Применение методов аналитической механики к решению нетривиальных задач требует уже при составлении уравнений подробных сведений по вопросам, на которых, как правило, останавливаются весьма кратко. В связи с этим в книге значительное внимание уделено способам введения обобщенных координат, теории конечных поворотов, методам вычисления кинетической энергии и энергии ускорений, потенциальной энергии сил различной природы, рассмотрению сил сопротивления. После этих вводных глав, имеющих в известной степени и самостоятельное значение, рассмотрены методы составления дифференциальных уравнений движения голономных и неголономных систем в различных формах, причем обсуждаются вопросы их взаимной связи подробно рассмотрены вопросы определения реакций связей и некоторые задачи аналитической статики. Мы считали полезным привести геометрическое рассмотрение движения материальной системы, как движение изображающей точки в римановом пространстве этот материал нашел, далее, применение в задачах теории возмущений. Специальная глава отведена динамике относительного движения, к которому приводятся многочисленные прикладные задачи. Далее рассмотрены канонические уравнения, канонические преобразования и вопросы интегрирования. Значительное место уделено теории возмущений и ее разнообразным применениям. Последняя глава посвящена принципу Гамильтона—Остроградского, принципу наименьшего действия Лагранжа и теории возмущений траекторий. [c.9]

В 1...2 доя составления уравнений движения использовалась система аналитических вычислений REDU E. Эта система позволяет не только получить уравнения движения, но и составить программу их интегрирования на одном из алгоритмических языков. В данном параграфе рассматривается иной подход к анализу уравнений движения, а именно их автоматическое получение и интегрирование численными методами. Приводится описание алгоритма, который позволяет в значительной мере сократить количество выкладок, связанных с получением уравнений движения, и затраты труда на программирование при численном интегрировании уравнений движения. В основе алгоритма лежит реализация второго метода Лагранжа получения уравнений движения с помощью численного определения частных производных. [c.68]

Динамика промышленных робртов. В отличие от копирующих манипуляторов с ручным приводом промышленные роботы представляют собой механическую сис[гему, в которой динамические нагрузки (нагрузки от сил инерции) могут быть значительными. Эти нагрузки определяются из решения системы уравнений движения. Для составления уравнений движения пространственного механизма с несколькими степенями свободы применяются два метода метод уравнений Лагранжа второго рода и кинетостатический метод. Поясним оба метода на примере простейшего промышленного робота с тремя степенями свободы при цилиндрической зоне обслуживания (рис. 149). [c.272]

Этот принцип в соединении с принципом живых сил может служить для составления уравнений движения системы в каждом отдельном случае но, как мне кажется, никто еще не подумал о том, чтобы уравнение, выражающее принцип живых сил, применять просто как условное уравнение и применить поэтому метод неопределенных множителей [ ]. Этим путем, вводя непосредственно независимые переменные системы, я прищел к тем общим уравнениям движения, которые даны в Аналитической механике (ч. П, отд. 4) и к которым Лагранж прищел или посредством прямого преобразования координат, или посредством применения общих уравнений вариационного исчисления к этим преобразованиям. [c.167]

Таким образом, метод приведения сил и масс позволяет свести задачу о движении многозвенного механизма, нагруженого многими силами и моментами сил, к движению одной точки В или звена АВ (см. рис. 6,2.4), При составлении уравнений движения механизма эти функции т к Jj, можно подставлять лишь в уравнения, содержащие кинетическую энергию. Обычно используют либо уравнение кинетической энергии, либо уравнение Лагранжа второго рода. [c.490]

Созданный Лагранжем аппарат аналитической механики и, в частности, второй метод составления уравнений движения материальной системы в дальнейшем с успехом использовались многими авторами при анализе сложных гироскопичесгах систем. Следует вместе с тем отметить, что Лагранж нигде не вводит в рассмотрение диссипативные силы, столь существенные в практических приложениях. [c.138]

Уравнения Лагранжа второго рода дают общий метод составления дифференциальных уравнений движения механической системы с голономными идеальными удерживающими связями в обобщенных координатах. Строгий вывод этих уравнений выходит за рамки данного курса, поэтому проиллюстрируем их справедливость на очень частном случае механической системы с одной степенью свободы, когда наложенхсые на нее связи являются не только голономными идеальными удерживающими, но и стационарными. [c.300]

В последнее время применение уравнений Лагранжа вытеснило использование общего уравнения динамики в качестве общего метода составления дифференциальных уравнений движения материальной системы, подчи- [c.549]

Динамические погрешности механизмов. Исследование динамических погрешностей выполняют с использованием динамических моделей, в которых учитывают инерционные и упруго-диссипати"в-ные свойства элементов механизмов. Обычно используют модели с сосредоточенными параметрами и представляют механизмы колебательными системами с сосредоточенными массами (массовыми моментами инерции) и безмассовыми упругими элементами. Движение механизмов описывают дифференциальными уравнениями, составленными, например, методом Лагранжа [9, 791. При исследовании рассматривают упругую податливость звеньев и элементов кинематических пар механизмов. Например, в колебательной модели кулачкового механизма (рис. 11.5, а, б) учитывают массу толкателя и жесткость с толкателя или высшей кинематической пары кулачок-толкатель [791. В зубчатых механизмах (рис. 11.5,6—д) принимают во внимание инерционные свойства ротора двигателя 1 , зубчатых колес Ji (/1,2)1 нагрузки Js, жесткости валов (сц с ) и зацеплений зубчатых колес (сх, [c.638]

Наиболее существенные отличительные особенности рецензируемого пособия 1) полнее, чем в имеющейся учебной литературе, освещены мировоззренческие вопросы в теоретической механике 2) введен ряд новых разделов в соответствии с тенденциями развития научно-техни-ческого прогресса, например, однородные координаты, применяемые при описании роботов-манипуляторов. что потребовало существенно перестроить раздел кинематики твердого тела основные теоремы динамики изложены не только в неподвижных, но и в подвижных (неинерциальных) системах координат в разделе Синтез движения рассмотрены вопросы сложения не только скоростей, но и ускорений. При этом получен ряд новых результатов сравнение механических измерителей углов поворота и угловых скоростей твердых тел основы виброзащиты и виброизоляции, динамические поглотители колебаний основы теории нелинейных колебаний, включающей изложение основ методов фазовой плоскости, метода малого параметра, асимптотических методов, метода ускорения 3) в методических находках, позволивших углубить содержание курса и уменьшить его объем впервые обращено внимание на то, что условия динамической уравновешенности ротора и условия отсутствия динамических реакций в опорах твердого тела при ударе — это условия осуществления свободного плоского движения твердого тела полнее и глубже развиты аналогии между статикой, кинематикой и динамикой полнее изложены электромеханические аналогии и показана эффективность применения уравнений Лагранжа-Максвелла, для составления уравнений контурных токов сложных электрических цепей получение теоремы об изменении кинетической энергии для твердого тела из соотношения между основными динамическими величинами и многие другие. [c.121]

Введение. Твердое тело представляет собой частный случай механической системы точек, когда расстояния между любыми двумя точками системы остаются постоянными во все время движения. Одним из наиболее эффективных методов изу-чершя движения твердого тела под действием приложенных к нему сил является метод, основанный на применении основных теорем динамики системы. Для изучения поступательного движения тела мы будем исходить из теоремы о движении центра масс при изучении вращения твердого тела около неподвижной оси наиболее рационально пользоваться теоремой об изменении кинетического момента. На примерах изучения простейших движений твердого тела под действием приложенных сил весьма отчетливо выявляется значение основных теорем динамики системы, позволяющих исследовать свойства движений систем ма-териальных точек, подчиненных некоторым дополнительным условиям (связям). Основные теоремы динамики системы были исторически первым, наиболее простым и естественным методом изучения движения несвободных механических систем точек, и в частности изучения динамики твердого тела В последующем развитии механики Лагранжем был создан метод обобщенных координат, позволяющий свести составление дифференциальных уравнений движения системы с 5 степенями свободы к ясной, логически безупречной последовательности алгебраических преобразований, однако физическая наглядность рассуждений была в значительной мере утрачена [c.400]

Трудности составления динамических уравнений движения механических систем точек методом уравнений Лагранжа Ьго рода, вызываемые большим числом налагаемых связей, нельзя преодолеть, оставаясь в рамках метода неопроделенных множителей. По существу метод неопределенных множителей имеет в виду дать сразу ответ на очень большое число вопросов. Ведь, решая динамическую задачу методом уравнений Лагранжа Ьго рода, мы получаем и закон движения каждой точки системы, и реакции всех наложенных на систему связей. Применяя метод обобщенных координат, мы, пользуясь большим числом ограничений, налагаемых связями, принципиально упрощаем рассмотрение, изучая некоторые интегральные характеристики движения системы. Детали движения отдельных точек познаются в новом методе после исследования интегральных характеристик. Реакции связей при изучении движения методом обобщенных координат полностью исключены. Таким образом, трудности, вносимые большим числом связей в методе неопределенных множителей, становятся источником преимуществ в методе обобщенных координат. [c.490]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...