Лагранжа определяющее уравнение

Заметим, что Ж. Лагранж рассматривал только связи, аналитически определяемые уравнениями, т. е. двусторонние связи. М. В. Остроградский рассматривал как голономные, так и неголономные связи. В некоторых случаях М. В. Остроградский применял особые системы локальных координат, известные теперь под названием квазикоординат . [c.37]

Рассмотрим одну из возможных процедур численного решения краевых задач для тел, поведение которых описывается определяющим уравнением (5.115), известную под названием метода шагового интегрирования по времени. Для этого используем постановку задачи в перемещениях в форме принципа возможных перемещений (Лагранжа) t [c.247]

Этим и исчерпывается содержание двух уравнений Лагранжа. Третье уравнение Лагранжа, определяющее закон изменения величины [c.264]

Во-вторых, в силу уравнений (41.9), временная зависимость между dq и Sp переносится также на SQ и SP. Поэтому пока нет оснований приравнивать нулю выражения в фигурных скобках, входящие в уравнение (41.7а). Метод, с помощью которого были выведены уравнения Гамильтона из уравнения (41.7) к уравнению (41.7а) непосредственно неприменим, поскольку теперь мы не можем рассматривать как частную производную по от функции Лагранжа , определяемой выражением [c.294]

На основании предыдущего упражнения уравнениями Лагранжа, определяющими движение голономной системы, находящейся под действием вязкого сопротивления, будут [c.351]

В настоящей работе представлено основанное на численном методе исследование распространения плоских продольных волн в одном классе нелинейных вязкоупругих материалов. Определяющие уравнения и уравнения сохранения в форме Лагранжа аппроксимируются системой уравнений в конечных разностях при помощи явной схемы первого порядка. В разд. 2 обсуждаются определяющие уравнения, используемые в данной работе. Поведение материала описывается при помощи переменных состояния и ориентации и соответствующих дифференциальных уравнений [4, 5]. Такой способ описания весьма удобен для применения численных методов, поскольку легко допускает переход к конечным разностям. [c.150]

Уравнение предельной гипер-поверхности получится, если исключить вектор и параметр р (который можно рассматривать как множитель Лагранжа) из уравнений (23.1) и (23.2). Легко видеть, что поверхность предельного состояния, определенная для всей системы, есть Ф 0) к и представляет собой не что иное, как огибающую поверхностей, определяемых уравнением Фx l—Q =k , когда они перемещаются таким образом, чтобы выполнялось второе из соотношений (23.1). [c.58]

Дозвуковой случай. В дозвуковом случае, М < 1, по крайней мере для достаточно малого числа Маха недавно было показано ), что краевая задача, определяемая уравнениями (11), (9) и (7 ) из 5, является корректно поставленной. Поскольку эта задача эллиптического типа, ее математическое решение С/(х) должно быть аналитическим. Отсюда мы заключаем, что уравнения Эйлера — Лагранжа дают ложную теорию для стационарного дозвукового потока. [c.26]

Пользуясь этими выражениями для кинетической и потенциальной энергий, составим дифференциальные уравнения Лагранжа, определяющие малые колебания двойного математического маятника для координаты ф1 [c.484]

Это совпадает с выражением для скорости конца проволоки, найденным по методу Лагранжа и определяемым уравнением (7.11), так как 5 = йз 1йе. [c.155]

В некоторых случаях, как показал С. А. Чаплыгин, уравнения движения неголономных систем можно привести к виду уравнений Лагранжа 2-го рода или к виду обычных канонических уравнений. Это приведение осуществляется путем введения новой независимой переменной т, определяемой уравнением [c.203]

При ряде допущений, связанных с исключением из энергетических показателей величин второго порядка малости, составляют и решают уравнения Лагранжа, определяющие движение груза и траверсы-водила при принудительном развороте ГУ. [c.52]

Оказывается, что интеграл типа Лагранжа существует для почти всех задач динамики твердого тела, представляющих теоретический интерес, а его наличие приводит к интегрируемым случаям, как правило, имеющим важное прикладное значение. Например, аналог случая Лагранжа для уравнений Кирхгофа был указан самим Кирхгофом, который также проинтегрировал его и указал наиболее простые движения. Для уравнений Пуанкаре-Жуковского (на во(4)) аналог случая Лагранжа указал Пуанкаре для обоснования своих теоретических выводов относительно прецессии оси вращения Земли. В двух указанных случаях, как и в классической задаче Лагранжа, можно получить явную (эллиптическую) квадратуру для угла нутации в, определяемую гироскопической функцией, а также использовать все результаты качественного анализа движения, приведенные нами в 3 гл. 2. [c.232]

Тогда, как показал Лагранж ), дифференциальные уравнения Ньютона, определяющие изменения оскулирующих элементов, можно преобразовать таким образом, чтобы в эти уравнения вместо составляющих 5, Т, А возмущающего ускорения на подвижные оси входили частные производные от функции / по элементам оскулирующей орбиты. [c.611]

Поэтому сначала развивается лагранжева механика сплошной среды как несвободной системы при выборе переменных поля из совокупности известных функций, определяющих состояние системы. Затем из обобщенного принципа Даламбера — Лагранжа, с привлечением метода множителей Лагранжа, находятся уравнения движения элемента сплошной среды. Определяются реакции внутренних связей и дается их физическое истолкование. После этого указывается новый вариант выбора переменных поля. [c.13]

В лагранжевых переменных компоненты тензора множителей Лагранжа А, определяются формулой (2.77). Трехмерная часть тензора посредством определяющих уравнений, выражающих, например, обобщенный закон Гука, связывается производными по позиционным координатам с переменными поля первого рода. Четырехмерное окаймление матрицы (2.77) выражено через производные от переменных поля первого рода по лг и плотность р. Условия (2.57) относятся лишь к трехмерной части тензора Условия для остальных компонент тензора [c.102]

ОПРЕДЕЛЯЮЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ЛАГРАНЖА [c.62]

В итоге заключаем, что если определяющее уравнение Лагранжа имеет г равных корней, то любой из первых миноров имеет г — 1 равных корней. Точно так же отсюда следует, что каждый из вторых миноров имеет г — 2 равных корня и т. д. [c.65]

Рассмотрим в качестве примера детерминант Лагранжа, служащий для нахождения периодов малых колебаний системы около положения равновесия (п. 57). Предположим, что определяющее уравнение имеет два равных корня. Тогда на основе результатов п. 266 можно ожидать, что каждая нз координат системы будет содержать член вида А 60 Поэтому амплитуда колебания будет содержать время I. [c.242]

Эти уравнения можно написать в сокращенном виде путем введения скобок Лагранжа, определяемых формулой [c.241]

Уравнения (6.4.24) — (6.4.29) суть точные определяющие уравнения для термоупругих непроводящих материалов, намагниченных до насыщения. Здесь следует отметить, во-первых, то, что, как видно в результате преобразований, множитель Лагранжа не вошел в выражение для t, а его вклад в был отброшен, так как он дает равное нулю слагаемое при подстановке в уравнение прецессии спина (6.2.40). Далее необходимо отметить, что условие намагниченности материала до насыщения (6.2.43) удовлетворяется тождественно. Действительно, из симметрии М и определяющего уравнения (6.4.47) следует, что [c.354]

Уравнения Лагранжа, определяющие оскулирующие элементы, могут быть решены только приближенно, например методом последовательных приближений или методом численного интегрирования. [c.175]

Движение тяжелой точки по параболе, вращающейся вокруг вертикальной оси. В качестве второго примера рассмотрим следующую задачу. Положим, что тяжелая точка массы т может свободно двигаться по параболе, определяемой уравнением х = 2рг и вращающейся с постоянной угловой скоростью й вокруг оси г (рис. 81). Моделью для этой задачи может служить известная демонстрационная модель — тяжелый шарик в чашке, имеющей форму параболоида вращения. Для составления уравнений движения точки мы могли бы поступить так же, как в предыдущей задаче, именно ввести силы инерции (т. е. снова центробежную силу) и написать уравнения, выражающие второй закон Ньютона для движений в плоскости дг, г. Мы поступим, однако, несколько иначе, чтобы на частном примере напомнить читателям уравнения Лагранжа второго рода, которые нам понадобятся в скором времени. [c.133]

Из условий, определяемых уравнениями (77) и (78), можно сделать вывод, что уравнение (51) остается справедливым для всех суб-ракет и, если величины гп известны, то параметры ап могут быть определены независимо от величины множителя Лагранжа. Уравнения, которые могут быть получены путем исключения ап, к сожалению, оказываются кубическими относительно гп, и оптимальные условия лучше всего находить опять-таки полуобратным методом. Например, мы можем уравнения, аналогичные уравнению (51), записать в такой форме [c.722]

Решение. Система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат выберем координату х, определяющую относительное движение шарика, и угол поворота ф трубки. Тогда уравнения Лагранжа будут иметь вид [c.381]

При исследовании больших деформаций среды используются два подхода — Эйлера и Лагранжа. Определяющее уравнение теории пластичности содержит тензоры напряжений и приращений деформаций и описывает жесткоидеальнопластическое поведение тела. Если необходимо учесть влияние упругости, это уравнение предполагают применимым к пластической области скоростей деформации, к которой для вычисления общей скорости деформации добавляют упругую область. Скорость упругой деформации рассматривают как функцию скорости изменения напряжений. [c.153]

Если движение идеальной жидкости, определяемое уравнением (5.1а), было в некоторый начальный момент времени безвихревым, то согласно теореме Лагранжа вихрь скорости rot и будет равен нулю в любой последующий момент времени. Условие rot и =0 означает, что существует такая скалярная функция ф, градиет которой в любой точке области течения равен вектору скорости и, т.е. и = = grad ф. При этом в общем случае [c.184]

Имея разложения (38) — (39), вычисляем энергию деформации и кинетическую энергию для каждой отдельной ячейки. Последующее осреднение по ячейке дает среднюю энергию, полностью определяемую своим значением в центре волокна. После этого осуществляется завершающий этап перехода от системы дискретных ячеек к однородной континуальной модели, который состоит во введении полей кинематических и динамических переменных, непрерывных по всем координатам. Значения этих переменных на средних линиях волокон совпадают со значениями соответствующих параметров, вычисленными для системы дискретных ячеек. Следовательно, кинетическую энергию и энергию деформации, подсчитываемые так, как это описано выше, можно интерпретировать как плотности энергий для вновь введенной непрерывной и однородной среды. Плотность энергии деформации содержит не только члены, зависящие от эффективных модулей, но и члены, зависящие от некоторых констант, включающих характеристики как физических, так и геометрических свойств компонентов композита (т. е. от эффективных жесткостей ). Этим и объясняется название теории — теория эффективных жесткостей . Определяющие уравнения этой теории были получены при помощи принципа Гамильтона в совокупности с условиями непрерывности и с использованием множителей Лагранжа. Аналогичная теория для композитов, армированных упорядоченной системой прямоугольных волокон, была разработана Бартоломью и Торвиком [11]. [c.377]

Таким образом, напряжения в конце распространяющейся трещины изменяются во времени осциллирующим образом, и для их точного расчета необходимо учитывать распространение волн. Каннинен [14], Шмуэли и Перец [15], а также Уилкинс (частное сообщение) применяли одно-, двух- и трехмерные модели распространения волн соответственно для геометрии образца ДКБ. В данной работе распределение напряжений в образце во все моменты времени вычислялось с использованием T00DY3 [16], использующей двумерное описание распространения волн в переменных Лагранжа. Принимались условия плоской деформации. Эта программа дает решение уравнений сохранения массы, количества движения и энергии в случае двух пространственных переменных при последовательных малых шагах времени (t),5 мкс) и позволяет рассчитывать таким образом двумерное напряженно-деформированное состояние. Простейшая форма определяющего уравнения материала была построена на основе данных, полученных на нестандартном круглом образце, испытывавшемся в условиях растяжения и изготовленном из разрушенных половинок образца ДКБ. [c.128]

Для этой цели употребляются обычнйе уравнения Ньютона или Лагранжа, определяющие возмущения элементов оскулирующей кепле-ровой орбиты спутника под действием возмущающей силы, заданной своими проекциями на три взаимно перпендикулярные направления. [c.360]

Согласно методу Лагранжа решение уравнений (4.3.01) отыскивается в том же виде (4.3.04), что и решение невозмущенной системы, лииль с той разницей, что Q, i, со, р, е, т рассматриваются в формулах (4.3.04) не как гюстоянные, а как функции времени, определяемые таким образом, чтобы удовлетворялись уравнения возмущенного движения (4.3.01). [c.333]

Задаем вид обобщенной функции Лагранжа (Гамильтона), зависящей от искомых функций, предполагая, что уравнения движения, определяемые обобщенной функцией Лагранжа, являются уравнениями Лагранжа второго рода с нулевой правой частью (канонические уравнения имеют гамильтонову форму). Отождествляя полученные уравнения и уравнения движения непотенциальиой системы, находим систему дифференциальных уравнений для определения неизвестных функций. Решая эту систему, находим искомые функции, а затем определяем явный вид обобщенных функций Лагранжа и Гамильтона и преобразования переменных. [c.160]

Первая из двух форм для и определяемых уравнением (4), должна быть использована в том случае, когда мы хотим упростить первоначальный внд функции Лагранжа Ь подходящим выбором произвольного множителя Р. Так, в примере, решаемом в п. 431а, мы переносим множитель М из выражения для Т в выражение для и. [c.376]

Анализируя метод Лагранжа нахождения колебаний системы, видим, что весь процесс зависит от решения некоторого определяющего уравнения. Даже устойчивость или неустойчивость равновесия зависят от характера его корней. Еслн это уравненне можно решить, то сразу же становятся очевидными характер движения н периоды колебаний (если движение имеет колебательный характер). Если это уравнение нельзя решить, то можно разложить входящий в него детерминант и исследовать его корни методами, даваемыми в теории алгебраических уравнений. Однако иногда можно достичь тон же самой цели без разложения детерминанта в его наиболее простой форме, которая была указана в т. I, гл. IX затем мы рассмотримте изменения, которые следует внести при окаймлении детерминанта какими-либо величинами. [c.62]

Случай равных корней. Поскольку корни любого из главных миноров 1ц, 22,. .. отделяют один от другого корни определяющего уравнення Лагранжа, что отсюда следует, что когда последнее имеет г корней, равных р , то каждый из главных миноров должен иметь г — 1 корней, равных pi. По той же самой причине каждый из главных вторых миноров такой, как Да, должен иметь г — 2 корней, равных pi- [c.65]

Эта теорема часто будет давать нам возможность установить наличие равных корней определяющего уравнения Лагранжа. Приравнивая нулю какой-либо нз миноров, получаем для определения уравненне, которое в ряде случаев имеет очень простой вид. [c.65]

Указанный процесс в точности совпадает с методом Лагранжа нахождения главных колебаний, а уравнение (р) = О есть просто определяющее уравненне Лагранжа в расширенной форме. Таким образом, оно представляет собой уравнение /г-й степени для определения п значений р . [c.331]

Движение, определяемое с помощыо вариационного исчисления Приравнивая нулю первую вариацию функций V или 5 (при заданных условиях), полученную согласно правилам вариационного исчисления, можно найти координаты qi, q ,. .. как функции t. Среди этих функций времени, конечно, находятся движения, определяемые уравнениями Лагранжа, так как по только что доказанному онн обращают первые вариации в нуль. Но возможно, что могут существовать другие пути (хотя они будут противоречить законам механики), переводящие систему из начального положения в конечное, при которых функции V или 5 будут иметь минимум. Легко видеть, что эти пути должны существовать, так как два положения могут быть такими, что невозможно выпустить систему из начального положения с данной энергией так, чтобы она прошла через конечное положение. Так, предположим, что требуется бросить тяжелую частицу нз начальной точки А с данной скоростью таким образом, чтобы она прошла через точку В на горизонтальной прямой, проходящей через точку А и отстоящую от нее на расстоянии, превышаю щем наибольшую горизонтальную дальность. Известно, что это не может быть сделано в реальных условиях бросания в реальное время. Тем пе менее должны существовать некоторые пути из А в В, на которых действие будет минимальным. Покажем теперь что 1) стандартные методы вариационного исчисления, которые основаны на предположении, что вариации независимых координат могут иметь любой знак, приводят только к уравнениям Лагранжа 2) существуют некоторые другие пути движения, которые так расгюложены, что координаты (по крайней мере вдоль некоторой частп пути) нельзя варьировать в какую-то одну сторону без введения мнимых величин и что еслн эти недопустимые вариации исключить, такие пути могут давать максимум или минимум. [c.343]

Таким обра эом, видим, что р является одним из значений р , получаемых из определяющего уравнения Лагранжа, приведенного в п. 58, в то время как значения /1, я ,. .. пропорциональны мннорам определителя. Исключая по очереди г .. .. из выражений (1), проведем аналогичные выкладки для каждого из других столбцов формул преобразования (2). Таким путем получаем правило, приведенное в пп. 53 и 56. Формулы преобразования указаны в развернутом виде в п. 56. Видим, что коэффициентами при х, у,. .. служат миноры 1ц (р ),. .. [c.530]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...