Полиномы интерполяционные

Интерполяционный полином (1.3) называется интерполяционным полиномом Лагранжа. [c.6]

Формулы дифференцирования. Погрешность. Если функция /(д ) задана в точках Xoестественным способом вычисления ее производной в точке х (считаем, что Хп) является дифференцирование интерполяционного многочлена. Интерполяционный многочлен Лагранжа (1.3) приближает функцию f x) с погрешностью Rn(x) [см. формулу (1.5)], поэтому замена производной f(x) производной полинома Лагранжа порождает погрешность. Имеем [c.10]

Ввиду симметрии задачи относительно диагонали в качестве области решения рассматривалась половина сечения, которая была разбита на G4 конечных элемента треугольной формы (сетка конечных элементов показана на рис. 23.10, а). Температура в конечных элементах аппроксимировалась интерполяционным полиномом первой степени [c.248]

Xj+2- На отрезке [xj, Xj.- - 2h] функция / (х) заменяется параболой, проходящей через точки fj, fj+i, fj+2 (рис. 2.11). Интеграл от интерполяционного полинома на отрезке [xj, xj + 2h] равен [c.60]

Поправки А (Г) определяются для каждого термометра как разность измеренных значений (7 ) и рассчитанных W т T) для всех основных реперных точек от 13,81 до 373,15 К. Для определения поправки АШ Т) при промежуточных температурах используют четыре интерполяционные формулы для четырех температурных интервалов. Коэффициенты этих интерполяционных полиномов второй или третьей степени определяются по рассчитанным значениям АХ7(Т) в основных реперных точках, а также из условия равенства производных dAW T)fdT на стыке двух интерполяционных формул [20]. [c.76]

В последнем случае функция должна содержать параметры, определяемые эмпирически, и самое отыскание конкретного вида этой функции имеет характер построения некоторой аппроксимации, в частности, интерполяционного полинома. [c.572]

При соответствующих значениях функций авто- и взаимной корреляции сигналов аго, xi, функцией (1.19) довольно точно можно описать кривую зависимости среднеквадратичного уровня от нагрузки (например, с помощью интерполяционного полинома Лагранжа или методом наименьших квадратов). Штриховой линией на рис. 1.6 проведена кривая [c.37]

Воспользуемся теперь первым интерполяционным полиномом Ньютона. При выборе его степени, руководствуясь требуемой точностью, можно исходить из известной (хотя и грубой) оценки погрешности приближения [641 [c.138]

Приближенное вычисление функции F х, у) = О, определенной на множестве дискретных точек (j , г/,-), осуществляется с помощью интерполяции. Искомая функция представляется интерполяционным полиномом. Степень полинома определяется числом заданных опорных точек (j , г/ ). [c.190]

Попытки использования классических интерполяционных полиномов Лагранжа, Ньютона и других для вычерчивания лекальных кривых не привели к успеху из-за появления нежелательных перегибов и больших колебаний кривых на отдельных интервалах интерполяции. Поэтому для автоматического вычерчивания разработаны специальные методы интерполяции. [c.190]

Матрица Констант для вычисления коэффициентов интерполяционных полиномов [c.191]

Для каждого интервала вычисляем коэффициенты интерполяционного полинома b i, затем, изменяя с постоянным шагом нормированный параметр s, вычисляем координаты х , у промежуточных точек 1-го интервала. Последние соединяются отрезками прямых. [c.192]

СТОХАСТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО ПОЛИНОМА ДЛЯ АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ ТАБЛИЧНО [c.170]

В настоящей статье рассматривается задача аппроксимации некоторой функции, заданной таблично, специально выбранным интерполяционным полиномом, дающим лучшее приближение заданного участка изменения этой функции по сравнению с обычным интерполяционным полиномом [4] в смысле некоторой заданной оценочной функции. [c.170]

Для оценки качества приближения введем оценочную функцию Ф, описание которой будет дано ниже. Рассмотрим в качестве аппроксимирующих функций множество интерполяционных полиномов заданной степени т, где т п, которые могут быть построены на основе информации, представленной таблицей (1). [c.170]

В противном случае мы вынуждены будем экстраполировать на [Хг-, 3 5], а это, как известно, дает значительно худшее приближение но сравнению с интерполированием. Следовательно, из общего числа n+V возможных интерполяционных полиномов нужно выбросить те, для которых соответствующие наборы точек (3) не удовлетворяют условию (5). [c.171]

Число членов этой убывающей подпоследовательности конечно, и существует минимальный элемент, соответствующий наилучшему приближению среди интерполяционных полиномов заданной степени т. Для поиска такого элемента требуется, очевидно, просмотреть все возможные интерполяционные полиномы, построенные на материале таблицы (1). [c.172]

L (xi) — значение интерполяционного, полинома при х = Xi-Функция Ф отличается от Ф тем, что в сумму, стоящую в знаменателе функции Ф, не включаются слагаемые е с номерами i, совпадающими с номерами узлов интерполирования для данного полинома, так как в узлах значения функции г/ / (ж) и полинома L (х) равны между собой. Функция Ф предъявляет повышенные требования к точности интерполирования в промежутках между узлами. Ею целесообразно пользоваться при аппроксимации именно интерполяционными полиномами. [c.173]

Алгоритм стохастического метода поиска оптимального интерполяционного полинома для аппроксимации кривой, заданной таблично, был реализован в программе, составленной для ЭЦВМ Минск-2 . [c.173]

Были подобраны интерполяционные полиномы, аппроксимирующие с разной степенью точности заданный участок кривой отклонений профиля от теоретической кривой. Для сравнения была произведена аппроксимация кривой отклонений алгебраическими полиномами такой же степени, полученными но методу наименьших квадратов. [c.173]

Были вычислены абсолютные и относительные ошибки аппроксимирующих полиномов по отношению к кривой отклонений. Сравнительные таблицы, приведенные в 13], показывают, что при пользовании оптимальным интерполяционным полиномом относительные ошибки, больш ие по абсолютной величине единицы, встречаются реже, чем при пользовании полиномом, полученным по методу наименьших квадратов. Абсолютные ошибки больше для интерполяционного полинома. [c.174]

Изложенный стохастический метод определения оптимального интерполяционного полинома может быть обобщен п применении к задаче поиска оптимума некоторой многопараметрической функции в смысле заданной оценочной функции. При этом, в зависимости от области изменения параметров и их характера, дискретные случайные величины могут быть заменены непрерывными случайными величинами, а также могут быть учтены различные законы распределения параметров. [c.174]

В заключение приводится описание программы стохастического метода определения оптимального интерполяционного полинома па языке АЛГОЛ-60. [c.174]

Одна из возможностей — применение для вычисления производных интерполяционного полинома более высокого порядка, чем в формулах (9). Это позволит при уменьшенном числе расчетных точек получить ту же точность, что и при использовании формул (9) с указанным выше числом расчетных точек. Следует, однако, отметить, что большого эффекта этот путь дать не может, поскольку уменьшение числа точек делает проверку условий работы механизма менее надежной (повышается вероятность того, что неисправность произойдет в интервале между расчетными точками и не будет своевременно обнаружена). [c.168]

При решении рассматриваемой задачи отклонение каждой реальной кривой от расчетной будем описывать интерполяционным полиномом Лагранжа. Это дает возможность отдельные члены полинома представить в виде произведения, в котором один из сомножителей является неслучайным и в общем случае определяется значениями абсцисс или полярных углов во всех узлах за исключением рассматриваемого, а второй — случайным, зависящим от отклонений реальной кривой от расчетной в каждом из узлов. [c.197]

Это также подтверждает отмеченное выше соображение о целесообразности применения полинома Лагранжа в качестве интерполяционного при решении задач точности механизмов с высшими кинематическими парами. [c.200]

При расчете на основе метода статистических испытаний точности партии механизмов, имеющих в своей структуре высшие кинематические пары, поступают следующим образом. В каждом изучаемом положении механизма строят заменяющий механизм с низшими кинематическими парами. При этом для каждого сочетания первичных ошибок ошибка элемента высшей кинематической пары описывается интерполяционным полиномом Лагранжа. В условиях надлежащего случайного сочетания всех ошибок меха- [c.201]

Задача кусочно-кубической интерполяции. Алгоритмы интерполяции функций по точным данным, определенным на дискретном множестве точек, как правило, основаны на использовании интерполяционных полиномов Лагранжа или теории сплайнов, интенсивно развиваемой в последние годы. При этом относительно интерполируемой функции / (х) вводится априорное предположение о том, что она обладает производными до некоторого порядка. Алгоритм кусочно-кубической интерполяции и его программная реализация рассмотрены в [1]. [c.157]

Коэффициенты uj этой стандартной функции даны в табл. 2. Поправки AWi(Te8) при температурах основных реперных точек получают из измеренных значений W(Tq8) и соответствующих значений И7ккт-б8(Тб8) (табл. 3). Чтобы найти поправки AWi Tes) при промежуточных температурах, используют интерполяционные формулы. Диапазон между 13,81 и 273,15 К разделен на четыре участка, в каждом из которых AWi Tss) определяется полиномом от Tes- Коэффициенты полиномов определяют из значений AW, (7 68) в реперных точках и из условий равенства производных dAWi Tes)ldTes на границах соседних температурных участков [c.415]

В этом случае для представления функции на каждой части интервала разбиения можно применить интерполяционные многочлены более высокой степени, чем первая, что и позволяет уменьшить число частей. Однако в этом случае необходимо сохранять в памяти ЭВМ значения коэффициентов полиномов, что, естественно, снижает эффект от уменьшения числа частей. Кроме того, объединение интерполяционных многочленов, полученных для соседних частей, может приводить к разрьтам уже первой производной функции в точках стыка. [c.232]

Важно учитывать характер решаемой задачи. При решении задачи оптимизации стремятся выбрать для первой серии экспериментов такую единицу масштаба, которая давала бы возможность для шагового движения к оптимуму. При описании процесса единица масштаба должна охватывать всю область, подлежашую описанию интерполяционным полиномом. [c.118]

Минимально необходимое число уровней факторов на единицу больше порядка интерполяционного полинома. Поскольку результаты наблюдений отклика носят случайный характер, приходится в каждой точке плана проводить т параллельных опытов (обычно т = 2ч-4), осреднение результатов которых дает возможность уменьшить погрешность оценки истинного значения отклика а ]/т раз. Эксперимент делится на т серий опытов. В каждой серии последовательность опытов рандомизируется, т. е. с помощью таблицы случайных чисел определяется случайная последовательность реализации опытов в каждой серии. Рандомизация-позволяет ослабить или исключить вовсе влияние неконтролируемых случайных или систематических погрешностей на результаты-исследования. Рандомизация подробно описана, например, в [2]. [c.118]

На рисунке приведена блок-схема программы, выполняющей сглаживание интерполяционных данных, т. е. покрытие поверхности, полученной в результате интерполяции гладкой поверхностью, и вычисление аналитического выражения (бикубического полинома) W х, у) полученной функции. [c.148]

В этом случае метод случайного выбора узлов интерполяции должен быть заменен систематическим для анализа всех возможных интерполяционных полиномов. Однако в практических приложениях мол ет быть указана превосходящая минимальный элемент нижняя граница eps для оценочной функции, достижение которой достаточно. И здесь стохастический метод дает возмолг-ность гораздо быстрее приблизиться к минимуму, чем систематический перебор. Остановимся па том члене последовательности, кoтopJJ й не превосходит этой границы eps. Соответствующий интерполяционный полином является аппроксимирующей функцией, дающей лучшее приближение заданного участка изменения функции по сравнению со всеми рассмотренными ранее интерполяционными полиномами. Аналогично подпоследовательности, сходящейся к нулю, можно строить подпоследовательность, сходящуюся к оо, каждый новый член которой соответствовал бы полиному, дающему худшее приближение у = f (х) но сравнению с ранее просмотренными сериями из ти + 1 точки в смысле выбранной оценочной функции. [c.172]

Мардер Б. О. Программа для ЭЦВМ Минск-2 интерполирования по Лагранжу н вычисления первых и вторых производных интерполяционного полинома. Сб. Автоматизация исследований и контроля точности в машиностроении . Нрука , 1967. [c.176]

Стохастический метод определения оптимального интерполяционного полинома для аппроксимации функции, заданной таблично. Мардер Б. О. Сб. Автоматизация научных исследований в области машиностроения и приборостроения . Наука , 1971, стр. 170—176. [c.270]

Излагается метод аппроксимации экспериментальной кривой специально подобранным интерполяционным полиномом. Подбор осуществляется с использованием датчика равномерно распределенных случайных чисел. Оценка качества приближе-1шя дается оценочной функцией заданного вида. Разработаны алгоритм и программа для ЭЦВМ Мянск-2 . Приводится текст алгоритма на языке АЛГОЛ-60. Библ. 4 иазв, [c.270]

Рассмотрим, насколько качественным будет оиисание отдельных реализаций Аг/,- (х), представленных посредством интерполяционного полинома Лагранжа, и какими окажутся законы распределения производных от реализаций, определенные при помощи этого полинома. [c.199]

Табличное диференцирование. Для вычисления производной от функции, заданной таблицей, следует заменить её полиномом по любой интерполяционной формуле и продиференцировать этот полином. [c.257]

При довольно ограниченной оперативной памяти ЭВМ использование подробных таблиц в полном объеме при расчетах на вычислительных машинах неэффективно, так как при больших диапазонах изменения параметров приходится многократно обращаться к внешней памяти для считывания отдельных частей табл1щ. Сокращение объема таблиц (сжатие таблиц), замена табличной функции несложным аналитическим выражением — уравнением состояния позволяют во многих случаях резко ускорить расчеты на ЭВМ. Сжатие таблицы можно осуществить путем хранения в запоминающем устройстве таких опорных табличных значений (узловых точек), промежуточные значения между которыми с достаточной точностью определяются интерполяционными полиномами невысокого порядка. Во многих случаях удается обширные области таблиц заменить аналитическим зависимостями. Уравнения состояния должны описывать экспериментальные значения теплофизических свойств в пределах погрешностей эксперимента и быть термодинамически согласованными. Во многих случаях иримене-ние известных уравнений состояний позволяет эффективно определять на ЭВМ свойства теплоносителей и рабочих веществ в довольно широком диапазоне изменений температур и давлений. [c.11]

Для расчетов в области влажного пара по линии насыщения Мейером, Веспером и др. [Л. 10] предложены более простые уравнения в виде интерполяционных полиномов 8—10-го порядка [c.14]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...