ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод Лагранжа составления уравнений движения из "Динамика системы твёрдых тел Т.1 " Метод Лагранжа наиболее удобен для исследования колебаний систем, число степеней свободы которых превосходит единицу. По этой причине здесь сформулируем только общий способ составления уравнений движения так, чтобы иметь возможность применить рассматриваемый метод для решения задач. Однако анализ общего случая отложим до второй части настоящего трактата. [c.397] Ёания колебаний около состояния стационарного движения ). Например, если тяжелая частица подвешена на нити к неподвижной точке, то в положении равновесия системы нить вертикальна и колебания около этого положения можно было бы определить на основе метода Лагранжа. Однако если бы частица описывала окружность в горизонтальной плоскости, как в коническом маятнике, то колебания около кругового стационарного движения нельзя было бы найти на основе этого метода. Точно так же, когда обруч катится по земле в вертикальной плоскости, то он может совершать малые колебания вблизи этой плоскости. Эти колебания нельзя определить на основе метода Лагранжа. Метод исследования колебаний системы около состояния стационарного движения будет дан в следуюш,ем томе. [c.398] Здесь будем предполагать, что силы, действуюш,ие на систему, имеют силовую функцию. Будем также предполагать, что уравнения связей не содержат явно время и не зависят от скоростей. [c.398] В методе Лагранжа существенно, чтобы выбранные координаты были столь малыми величинами, что можно отбросить все степени их, за исключением имеющихся наинизших степеней. Вообще говоря, эти координаты должны быть выбраны так, чтобы они уничтожались в положении равновесия. В остальном их выбор произволен. Обозначим эти координаты буквами 0, ф,. .. Тогда, если система совершает колебания около положения равновесия, эти величины будут малыми во все время движения. Пусть п — число этих координат. [c.398] Как и прежде, будем обозначать штрихами производные от координат по времени. [c.398] Обозначим через Т живую силу системы после сообщения ей возмущения в положении равновесия тогда, как в п. 396, Т можно представить в виде однородной квадратичной функции от 0, ф, . .. [c.398] Здесь все коэффициенты Ац,. .. суть функции от 0, ф,. .. и их можно предполагать разложенными в ряды по степеням этих координат. Если колебания столь малы, что можно отбросить все степени малых величин, за исключением наименьших степеней, то в этих рядах можно отбросить все члены, кроме постоянных. Поэтому будем считать коэффициенты Лц,. .. постоянными. [c.398] В положении равновесия на основе принципа возможных перемещений должны иметь место равенства дШдв = О, д1Лд(р — О,. .. (см. также п. 340). Если выбранные координаты таковы, что они уничтожаются в положении равновесия, то отсюда непосредственно следует, что == О, Вз = О, Если координаты не обладают указанным свойством, то они все же должны уничтожаться для некоторого положения системы, близкого к положению равновесия. Поэтому первые частные производные от функции 11, т. е. Вх, Вг,. .., должны быть малыми величинами. Таким образом, члены В10, ВзФ,. .. представляют собой величины второго порядка малости, и поэтому квадратичными членами в функции и нельзя пренебрегать. [c.399] Эти уравнения представляют собой уравнения Лагранжа для определения малых колебаний любой системы около положения равновесия. [c.399] Исключая М, Ы, получаем вековое уравнение Ь - и Ь. . . [c.400] Этот детерминант, как можно заметить, симметричен относительно главной диагонали. Если имеется п координат, то это уравнение представляет собой уравнение п-й степени относительно р . Во второй части этого трактата будет показано, что все значения являются вещественными. [c.400] Для каждого положительного или отрицательного корня уравнения (6) служат для определения отношений постоянных Ы, Р,. .. к постоянной М отметим, что все эти отношения являются также вещественными. Если все корни векового уравнения положительны, то уравнения (5) дают полное движение с 2п произвольными постоянными Мх, М.2, Мз,. .., и ех, 83,. .., 8 . Они определяются начальными значениями 0, ф,. .., 0, ф, . .. [c.400] Если какой-нибудь корень векового уравнения отрицателен, то соответствующий ему синус снова примет свою экспоненциальную форму, при этом коэффициент при экспоненте будет вещественным, если коэффициенту М придать чисто мнимое значение. [c.400] В этом случае не существует колебания около положения равновесия. Тогда говорят, что это положение равновесия неустойчиво. [c.400] Отметим, что для каждого положительного значения р , даваемого уравнением (7), существуют два равных значения р с противоположными знаками. Тем не менее здесь можно не обращать внимание на отрицательные значения р. Для того чтобы доказать это утверждение, заметим, что решение линейных дифференциальных уравнений соответствующим образом представляется линейной комбинацией экспонент. Далее, каждый синус есть сумма двух экспонент с противоположными по знаку показателями степеней. Поэтому оба значения р содержатся в тригонометрических выражениях, определяющих 0, ф,. .. [c.400] Эти уравнения служат для определения значений а, 3,. .. Поскольку уравнения движения удовлетворяются этими постоянными значениями координат без каких-либо членов, содержащих время, то отсюда следует, что а, 3,. .. являются координатами равновесного положения системы. Это утверждение также следует из правил, даваемых в статике для нахождения положения равновесия, когда функция V известна. В соответствии с этими правилами равновесные значения координат О, ср,. .. находим, приравнивая нулю первые частные производные от функции и по 0, ср,. .. Очевидно, что получаемые при этом уравнения совпадают с уравнениями (8). [c.401] Если некоторый корень (скажем, р ) векового уравнения (7) равен нулю, то соответствующие члены в (5) приводятся к постоянным. Из (7) также следует, что результант уравнений (8) равен нулю, так что или уравнения (8) не являются независимыми, или значения а, Р,. .. не являются столь малыми, что можио пренебречь их квадратами. В первом случае та часть решения (5), которая зависит от р, принимает другую форму. Полагая О = а - - Л/, ф = р - - В/,. .., приходим к тем же самым уравнениям (8), что и раньше, а также к системе, получаемой из (8) в результате подстановки А, В,. .. вместо а, Р,. .. и нулей вместо В , Вз,. .. Если координаты были выбраны так, что в выражении для и имеем В О, Ва = О, то эти две системы уравнений дают Л/а = В/р =. .. Однако независимо от того, был ли сделан такой выбор или нет, из этих 2 уравнений, вообще говоря, только 2га — 2 являются независимыми и они определяют 2 — 2 постоянных а, Р,. .., А, В. оставляя две, скажем А и а, неопределенными. Поэтому решение содержит полное число постоянных. [c.401] Методика использования этого правила в сочетании с методом неопределенных множителей приведена в т. П. [c.401] Значения 2п постоянных. .., и е ,., , 8 должны определяться по начальным значениям п координат 0, ф,. .. и начальным значениям их скоростей 0, ф, . .. Для их определения положим Lm os Ещ = Ат и sin Ът = Вт-Преобразуя тригонометрические члены с помощью формул сложения, получаем 2 линейных уравнений для определения 2га постоянных Ai,. .., Ап, Sj,. .., В -Когда п велико, решение этих 2п линейных уравнений становится весьма трудоемким. Однако во многих случаях можио использовать метод множителей. [c.402] Вернуться к основной статье