Плоская задача в криволинейных координатах

Плоская задача в криволинейных координатах [c.311]

Имея табл. И, нетрудно сформулировать граничные условия плоской задачи в криволинейных координатах. Для этого надо [c.313]

Уравнения плоской задачи, в криволинейных ортогональных координатах а , аз могут быть сразу написаны, если воспользоваться формулами 21, гл. V, положив, что в них Ну Н , являются [c.311]

В этой главе рассмотрены контактные задачи теории упругости для тел конечных размеров, когда часть их граничной поверхности не является координатной поверхностью какой-либо системы координат. Дано решение некоторых плоских задач для криволинейной трапеции и осесимметричных задач для тел вращения с криволинейной образующей. Для рещения задач предложен метод однородных решений, который в сочетании с известными методами решения интегральных уравнений для полубесконечных областей позволяет их эффективно исследовать [298-304. [c.183]

Фильтрующийся под сооружением поток является напорным с криволинейными линиями тока местные скорости фильтрации различны в разных точках такого потока и являются функциями координат пространства [для плоской задачи и = и х, у)]. [c.323]

Когда такое решение получено, то в общем случае оказывается, что оно дает ненулевые усилия (ст ., т е) на криволинейной поверхности цилиндра. Влияние устранения этих усилий находится с помощью решения обычной задачи для плоской деформации с использованием общей функции )апряжений в полярных координатах, приведенной в 431). [c.484]

Для рассмотрения плоской задачи движения капли в криволинейном канале уравнение (8.1) запишем в полярной системе координат [c.311]

Чтобы обобщить результаты исследований плоских задач на трехмерный случай, необходимо определить напряженное состояние в окрестности криволинейного фронта трещины. Ирвин [52] постулировал, что для эллиптической трещины состояние в окрестности вершины (фронта) является состоянием плоской деформации, и вывел выражение для соответствующего коэффициента интенсивности напряжений Ki. Позже гипотеза Ирвина была подвергнута проверке в работах [47,49], где было показано, что коэффициент интенсивности напряжений можно найти в виде некоторой функции локальных координат t, п, z, отсчитываемых по касательной и по перпендикулярам к фронту трещины, как показано на рис. 15 полное решение имеет вид [c.36]

Для построения траектории распространения трещины воспользуемся сингулярными интегральными уравнениями решения плоских задач для произвольной области с гладкими криволинейными разрезами (1.80), аппроксимируя траекторию гладкой кривой. Поместим начало декартовой системы координат хОу в центр трещины, а ось Оу направим вдоль оси симметрии, если таковые имеются. Пусть при х О форма исходной трещины задается однозначной функцией [c.46]

Известно 1—4], что определяющие уравнения для напряжений и скоростей теории плоского пластического течения жесткопластического тела приводятся к системе четырех квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка, которые относятся к гиперболическому типу. Их характеристики в физической плоскости совпадают с линиями скольжения и траекториями максимальных касательных напряжений. Построение полей напряжений и скоростей сводится к решению последовательности краевых задач с граничными условиями для напряжений и скоростей. Обычно вначале решаются краевые задачи для напряжений, связанных с уравнениями характеристик, и строится поле характеристик. Затем строится поле скоростей в пластической области при совпадении жесткопластических границ с характеристиками. После этого проверяется условие неотрицательности диссипативной функции и несущая способность принятых жестких областей 2, 3]. Для некоторых типов задач плоского пластического течения со смешанными граничными условиями разработаны методы построения полных решений, в которых вначале строится поле скоростей в плоскости характеристик или в плоскости годографа с использованием кинематических граничных условий на контуре инструмента, а затем строится поле напряжений и вычисляются характеристики в физической плоскости [5—7]. В этих решениях жесткопластические границы также совпадают с характеристиками. В [8, 9] разработан метод решения задач плоского пластического течения с использованием криволинейных координат, совпадающих с линиями тока и ортогональными к ним направлениями, и рассмотрены случаи пластического течения, в которых линии тока являются логарифмическими спиралями. [c.54]

Условия ЗАДАЧ. Найти площадь (в м ) и координаты центра тяжести плоской фигуры (в ж). Отметки на осях даны в метрах. Криволинейный участок контура является дугой половины или четверти окружности. [c.120]

Во многих задачах, имеющих прикладное значение, распределенные силы не зависят явно от криволинейной координаты 5. В этом случае целесообразно исключить координату 5 из уравнений равновесия. Это можно сделать, например, следующим образом. Найдем из равенства (2.9) дифференциал дуги 5 (для сокращения выкладок мы приводим все преобразования и вид общего решения для плоской системы) [c.19]

Исследовал плоские движения твердого тела в пространстве Лобачевского. Предложил геометрическую интерпретацию и свой метод сведения к квадратурам случая Ковалевской, при котором исследуется некоторая вспомогательная система криволинейных координат. Заметил маятниковый характер движения центра масс для случая Гесса, предложив для него интересное геометрическое исследование. В связи со своими исследованиями по гидроаэромеханике рассмотрел ряд модельных постановок задач о плоских движениях пластинок под действием подъемной силы, обусловленной циркуляцией. В механике идеалом решения для [c.23]

К решению рассматриваемых здесь задач можно подойти и по-другому, а именно используя криволинейные оболочечные элементы. При этом необходимо применять криволинейные координаты, методы введения которых описаны в гл. 8. Допущение о представлении оболочки набором плоских элементов теперь исключается за счет использования той или иной теории оболочек. Несколько вариантов применения метода перемещений описано в работах [9—18]. [c.232]

Для решения ряда задач о плоских течениях существенную роль играет функция тока. Естественно поэтому выяснить, нельзя ли и для пространственных течений ввести аналогичную функцию. В общем случае ответ на этот вопрос отрицателен. Однако существуют частные виды пространственных течений, для которых такая функция существует. В самом деле, допустим, что характер движения позволяет выбрать криволинейную систему координат ( 1. 7а. Яп) в которой одна из проекций скорости равна нулю. Пусть, например, Uj = 0. Тогда уравнение неразрывности (2.23) примет вид [c.271]

В отличие от уравнений Навье — Стокса система уравнений (22.8) и (22.3) поддается решению в ряде важных случаев. При приближенных расчетах эта система применяется не только для исследования движения в пограничном слое на плоской пластинке, но и для исследования движения в пограничном слое на криволинейных профилях. В общем случае принимается, что координата х представляет собой длину дуги вдоль профиля, а координата у измеряется по нормали к профилю. Зависимость и х, I), задающая скорость на внешней границе пограничного слоя, определяется из решения соответствующей задачи теории идеальной жидкости. Предложены уточнения уравнений (22.8) для учета криволинейности обтекаемых профилей и для [c.256]

Положительные стороны МГЭ по сравнению с МКЭ, связанные с понижением размерности задачи, определяют целесообразность его применения к решению пространственных задач термоупругости, особенно в случае постоянных упругих характеристик материала тела. Представим поверхность тела S совокупностью A/ s двумерных граничных элементов. Эти элементы, как и в случае решения пространственных задач теплопроводности (см. 4.5), целесообразно выбрать в виде треугольников или четырехугольников (плоских или криволинейных) с аппроксимацией в пределах каждого элемента распределений компонентов перемещений Ui (N) и вектора напряжений Pi (N) постоянными значениями или же зависимостями от координат точки N в виде полиномов. Если в пределах т-го граничного элемента с площадью S,n считать Ui (N) (i Om и pt (М) = = pi)m при N S, , то после отождествления точки Мд с узловой точкой граничного элемента интегральное уравнение (1.108) нетрудно свести к матричному уравнению вида (6.46), в котором теперь и и р — матрицы 3Ns X 1 (вектор-столбцы) с компонентами соответственно ( - )+,= ( Om и P3(m-l)+i = (Pi)r , причем i = 1, 2, 3 и m = 1,2,.,., Ns — матрица SN X 1 (вектор-столбец) с компонентами [c.253]

В работах [37, 46, 51, 52, 67], а также см. сноску на с. 157, рассмотрен ряд плоских и антиплоских контактных задач для тел конечных размеров в декартовой системе координат. Сюда относятся задачи для прямоугольника, в том числе для предварительно напряженного, и криволинейной трапеции. Для их решения были использованы изложенные выше метод сведения парных рядов к бесконечным системам, метод однородных решений и метод больших Л . [c.170]

Многослойная структура с полостью или упругим включением канонической формы. Рассмотрим случай, когда полость (упругое включение) целиком расположено в одном из элементов многослойной структуры и имеет границу, представляющую собой координатную поверхность в ортогональной криволинейной системе координат (цилиндрической, сферической, эллипсоидальной). В этом случае при исследовании задачи о динамическом воздействии плоского жесткого штампа на поверхность пакета слоев или многослойного полупространства с полостью или включением целесообразно использовать принцип суперпозиции. Это позволяет точным образом свести краевую задачу динамической теории упругости к системе интегро-функциональных уравнений, при решении которой можно использовать, в зависимости от расположения неоднородности, различные методы анализа. [c.311]

Точность метода зависит от размера ячейки и в большей степени от формы границ и граничных условий. Естественно, чем больше элементов в цепи (чем меньше размер ячейки для данной задачи), тем точнее аппроксимация непрерывной задачи. На границах, однако, ситуация более критична по двум причинам. Мы уже знакомы с первой причиной границы цепи действуют как отображающие поверхности, которые можно использовать при наличии симметрии, но для открытых систем это серьезный возмущающий фактор. Изменяя значение сопротивлений, можно сконструировать специальные сетки с квази-бесконечными границами [99J, Вторая причина связана с дискретным характером метода. Легко смоделировать прямолинейные границы, однако в случае криволинейных границ, не проходящих точно через узлы, возникают проблемы. В результате распределение потенциала плоского конденсатора может быть моделировано с относительной погрешностью лучше чем 0,1%, но погрешность для цилиндрического конденсатора может достигать 4% [100]. (Конечно, цилиндрический конденсатор можно моделировать с очень высокой точностью, используя цепь для цилиндрических координат, описанную ниже.) Можно аппроксимировать криволинейные границы, опуская некоторые узлы и используя только те, которые очень близки к границе, но тогда возникает дополнительная ошибка из-за проникновения поля через промежутки, созданные опущенными узлами. Более удачный подход заключается в использовании многоэлементной резисторной сетки и аппроксимации искривленных границ плоскими поверхностями, соединяющими узлы, наиболее близко расположенные к контуру электрода. Очевидно, что ошибки максимальны в окрестности резких краев и электродов с малым радиусом кривизны. Если требуется очень высокая точность для моделирования электродов, не совпадающих с узлами, можно ввести специально подобранные шунтирующие сопротивления [101]. Пространственный заряд также можно учесть, инжектируя токи в резисторные узлы. [c.136]

Разделы, касающиеся метода фотоупругости, двумерных задач в криволинейных координатах и температурных напряжений, расширены и выделены в отдельные новые главы, содержащие многие методы и решения, которых не было в прежнем издании. Добавлено приложение, относящееся к методу конечных разностей, в том числе к методу релаксации. Новые параграфы, включенные в другие главы, относятся к теории розетки датчиков деформаций, гравитационным напряжениям, принципу Сен-Венана, компонентам вращения, теореме взаимности, общим решениям, приближенному характеру решений при плоском напряженном состоянии, центру кручения и центру изгиба, концентрации напряжений при кручении вблизи закруглений, приближенному исследованию тонкостенных сечений (например, авиационных) при кручении и изгибе, а также к круговому цилиндру при действии пояскового давления. [c.14]

Для механики сплошной среды вообще и механики деформируемого твердого тела в частности аппарат теории тензоров является естественным аппаратом. В большинстве теорий выбор системы координат, в которых ведется рассмотрение, может быть произвольным. Проще всего, конечно, вести это рассмотрение в ортогональных декартовых координатах. Очевидно, что доказательство общих теорем и установление обнщх принципов при написании уравнений именно в декартовых координатах не нарушает общности. Что касается решения задач, то иногда бывает удобно использовать ту или иную криволинейную систему координат. Однако при этом почти всегда речь идет о простейших ортогональных координатных системах — цилиндрической или сферической для пространственных задач, изотермической координатной сетке, порождаемой конформным отображением, для плоских задач. В некоторых случаях, когда рассматриваются большие деформации тела, сопровождаемые существенным изменением его формы, система координат связывается с материальными точками и деформируется вместе с телом. При построении соответствующих теорий преимущества общей тензорной символики, не связанной с определенным выбором системы координат, становятся очевидными. Однако в большинстве случаев эти преимущества используются при формулировке общих уравнений, не открывая возможности для решения конкретных задач. Поэтому мы будем вести основное изложение в декартовых прямоугольных координатах, случай цилиндрических координат будет рассмотрен отдельно. [c.208]

В этой главе приведено строгое решение задачи о диффрак-ции на открытом конце плоского волновода, в дальнейших главах то же будет сделано для круглого волновода. Эти задачи поучительно (с методической точки зрения) сравнить с задачами о диффракции на бесконечной прямой щели и на круглом отверстии в плоском экране. Для бесконечно тонкого и идеально проводящего экрана последние задачи, как известно, решаются методом разделения переменных в криволинейных координатах— эллиптических и сфероидальных решения имеют вид сложных рядов, члены которых выражаются через специальные функции. Эти ряды оказываются пригодными для вычислений [c.58]

Система криволинейных разрезов в полуплоскости. Пусть в полубесконечной пластине, занимающей нижнюю полуплоскость (г/ <С 0), имеется N криволинейных разрезов L , отнесенных к локальным системам координат (см. рис. 7). В точке г = = Ьо (Im bo < 0) действует поперечная сила (VIII.26), а на краю пластины заданы моменты (х). Используя представления (VIП.41) и решения (VIИ.99), (VIII. 100), построим аналогично, как и в случае плоской задачи теории упругости (см. параграф 1 главы IV), комплексные потенциалы Фх (г) и (г) для полубесконечной пластины с разрезами L k= 1, 2,. .., N), когда на краю пластины заданы усилия [c.268]

Контактные задачи для тел конечных размеров неканонической формы, в миографии рассмотрен ряд контактных задач для тел конечных размеров, когда часть их граничной поверхности не является координатной поверхностью какой-либо системы координат. Проведено исследование некоторых плоских контактных задач для криволинейной трапеции и осесимметричных задач для тел вращения с криволинейной образующей. [c.26]

Таким же способом можно исследовать клин ), ограниченный двумя дугами окружностей, касающихся друг друга в точке О (фиг. 112). Несколько примеров применения криволинейных координат к решению плоских задач разобрано А. Лове 2). Задачи относящиеся к двум неконцентрическим окружностям, решены Джеферри [c.205]

Напомним, что уравнения (11.52) составлены для системы криволинейных координат, из которых координата х измеряется вдоль дуги меридиана тела вращения, а координата I/ — по нормали к стенке соответственно этому измеряются и составляющие скорости и и V. Величина г во втором уравнении системы (11.52) означает расстояние точки поверхности тела от оси симметрии, измеренное по перпендикуляру к оси. Обе системы отличаются одна от другой только своими вторыми уравнениями, а именно в уравнение неразрывности осесимметричной задачи входит радиус г (х), отсутствующий в уравнении неразрывности плоской задачи. Первые уравнения обеих систем полностью v oвпaдaют. [c.239]

Все приведенные выше выкладки по существу справедливы для любой ортогональной системы координат. Ортогональной называется такая система, в которой все три координатные линии в любой точке пространства пересекаются под прямым углом. Координатная линия — кривая, уравнение которой qi = onst (7, — координата в криволинейной системе координат). В общем случае координатные линии являются произвольными пространственными кривыми (рис. 13). Наиболее распространенными криволинейными системами координат являются цилиндрическая (полярная для плоской задачи) и сферическая. [c.24]

S) Непосредственное определение напряжений в случае плоской Задачи при помощи криволинейных координат рассматривал S.D. Саг others, Ргое. Roy, So LoiKIoa (сер. А), т. 97,1920, m 1 iO. Дополнительные сведения см. также Ш. [c.226]

При условии расслоеппости поля собственных векторов тензора напряжений, отвечающих наибольшему (или наименьшему) главному напряжению, найдены такие канонические криволинейные координаты, нри преобразовании к которым уравнения равновесия, сформулированные для ребра поверхности текучести, приводятся к трем уравнениям, допускающим при некоторых ограничениях точные интегралы. Найдены инварианты, сохраняющие свои значения нри продвижении вдоль лпнпй главных напряжений в среде с повреждениями. Построены капонические координаты плоской задачи и найдены инвариантные отношения, устанавливающие баланс главных напряжений, повреждений и кривизн линий главных напряжений. [c.440]

При решении некоторых задач подземной гидравлики удобно связывать с неподвижной фильтрующей средой систему криволинейных координат. Примером такой системы координат может служить система полярных (цилиндрических) координат, в которых представлены дифференциальные уравнения потенциального плоско-радиального потока (VIII.15) и (VIII.16). [c.180]

Остановимся подробнее на получении системы интегро-функциональ-ных уравнений контактной задачи. Использование принципа суперпозиции предполагает возможность получения аналитического решения краевой задачи динамической теории упругости с однородными граничными условиями в напряжениях для составляющих многослойную область с каноническим включением элементов. Таковыми являются однородный упругий слой, однородное упругое полупространство, полость в безграничном пространстве и упругое включение, граница которого тождественна границе полости. Решение задач для однородного слоя (полупространства) строится методом интегральных преобразований с использованием принципа предельного поглощения и может быть получено в виде контурного несобственного интеграла [2,4,14]. В зависимости от постановки задачи (пространственная, плоская, осесимметричная) получаем контурные интегралы типа обращения преобразования Фурье или Ханкеля [16]. Решение задачи для пространства с полостью, описываемой координатной поверхностью в ортогональной криволинейной системе координат, получаем в виде рядов по специальным функциям (сферическим, цилиндрическим (Ханкеля), эллиптическим (Матье)) [17]. При этом важно корректно удовлетворить условиям излучения, для чего можно использовать принцип излучения. Исключение составляет случай горизонтальной цилиндрической полости при исследовании пространственной задачи. Здесь необходимо использовать метод интегральных преобразований Фурье [16] вдоль образующей цилиндра и принцип предельного поглощения [3] для корректного удовлетворения условиям излучения энергии вдоль образующей. [c.312]

В. В. Соколовский (34] поставил и решил задачу о давлении плоского штампа длины 2а иа плоский срез жесткопластической выпуклой заготовки с криволинейными свободными контурами, симметричными относительно оси у. Эта задача решалась численно. Приведем решение, когда свободный коитур представляет собой окружность радиуса Сетка линий скольжения в плоскости течения хг/ построена по координатам узловых точек, она приведена иа фиг. 12. Распределение безраз- [c.457]

В некоторых задачах об обтекании плоских или осесимметричных тел удобно использовать систему координат (х, и), связанную с контуром твердой поверхности. Эти координаты обычно применяются для описания пограничного слоя на криволинейных стенках, поэтому упрощения полного уравнения (1.11) можно интерпретировать как некоторые проме-жуточ1сые формы уравнения, содержащие в себе все планы уравнения пограничного слоя. При этом обоснования выбора таких форм являются как бы обобщением аргументации при выводе уравнений Прандтля. [c.131]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...