Решение плоской задачи уравнений

При решении плоской задачи теории упругости в напряжениях основные уравнения имеют вид [c.134]

Функции ф, удовлетворяющие уравнению (7.18), носят название бигармонических функций. Пользуясь бигармоническими функциями с однозначными вторыми производными, можно строить многочисленные решения плоских задач теории упругости, которые автоматически удовлетворяют уравнениям равновесия и условиям совместности деформаций. Эти решения следует лишь удовлетворить заданным граничным условиям. Такой метод решения задач, когда решение задается, а граничные условия определяют характер внешнего воздействия, носит название обратного. [c.134]

Таким образом, при решении плоской задачи в напряжениях последняя сводится к решению одного бигармонического уравнения (7.74). [c.153]

В неоднородных уравнениях равновесия внешние объемные силы можно исключить, рассмотрев частное решение этих уравнений. Поэтому при решении плоских задач теории упругости будем исходить из системы однородных уравнений равновесия [c.26]

Решение плоской задачи в напряжениях с помощью уравнений [c.77]

В результате решение плоской задачи в напряжениях свелось к необходимости решать единственное уравнение (4.19). После определения функции ф переход к самим напряжениям выполняется по формулам (4.18). [c.78]

Решения плоской задачи в тригонометрических рядах, подробно рассмотренные выше для изотропного материала, могут быть распространены и на случай ортотропного материала, например, подчиняющегося закону Гука в форме равенств (4.9). В этом случае, проводя решение в напряжениях и используя функцию напряжений Ф х, у) (4.18), придем не к бигармоническому уравнению (4.20), а к уравнению совместности деформаций такого вида [c.108]

Заметим, что В. 3. Власовым помимо изложенного пути подробно разработан и другой путь получения уравнений (8.54), а именно путем непосредственного применения принципа возможных перемещений к полоске шириной dy, выделенной из пластины и загруженной на кромках и в угловых точках соответствующими усилиями. Он не требует использования дифференциального уравнения изгиба пластины (8.34). Эти вопросы им подробно развиты и для решения плоской задачи, а также для расчета пластинчатых систем и оболочек [7]. [c.256]

Решение плоской задачи теории упругости сводится к решению бигармонического уравнения относительно функции напряжений ф. Так как оно не содержит упругих постоянных, то на основании принципа Вольтерры можно утверждать, что это же уравнение справедливо и для плоской задачи теории вязкоупругости. Если граничные условия на границе односвязной области, занимаемой рассматриваемым телом, заданы в усилиях, то, как отмечалось в 4.3, решение плоской задачи теории упругости не зависит от упругих постоянных. Следовательно, распределение напряжений в каждый момент времени i в вязкоупругом теле совпадает с распределением напряжений в упругом теле. [c.360]

При решении плоской задачи оказывается удобнее применять метод сил, который приводит к трем уравнениям, из которых первые два — это прежние (2.3.1) и дополнительное уравнение Леви [c.35]

Функция напряжений для плоской задачи. Итак, решения плоской задачи в напряжениях, т. е. задачи в двух измерениях, сводится к интегрированию трех уравнений, которые для случая, когда объемной силой является вес тела, имеют вид (2.3.1). К этим уравнениям присоединяют условия на контуре (2.3.2). Но для дальнейшего облегчения задачи вместо определения трех функций (а , Оу, т у) достаточно определить одну, так называемую функцию напряжений, посредством которой дальше уже путем дифференцирования (а не интегрирования) определяют все искомые функции. [c.37]

Таким образом, решение плоской задачи в случае, когда объемной силой является сила тяжести, сводится к решению бигармонического уравнения (2.3.12), которое должно удовлетворять и условиям на контуре. [c.37]

Особо следует упомянуть приближенные решения плоской задачи теории упругости способом замены дифференциальных уравнений метода сил или метода перемещений уравнениями в конечных разностях. В этом случае рассматриваемое тело заменяется соответствующей пространственной решеткой и для каждого телесного угла имеют место три уравнения в конечных разностях (см. главу IV). [c.66]

При решении плоской задачи теории упругости методом конечных разностей бигармоническое уравнение при разных значениях шагов сетки и Ну имеет вид [c.108]

Метод конечных разностей, широко используемый для решения плоских задач теории упругости, становится достаточно громоздким в случае областей со сложным контуром. Бурно развивающийся в настоящее время метод конечного элемента, хотя и может быть распространен на пространственные объекты, не лишен недочетов, так как связан с решением систем алгебраических уравнений высокого порядка. В значительной мере отмеченных недостатков лишен метод расширения заданной системы, однако он не пользуется еще должным вниманием. [c.149]

Основная идея изложенного в гл. 10 метода комплексной переменной для решения плоской задачи теории упругости состояла в том, чтобы представить искомые напряжения и перемещения через функции комплексной переменной, т. е. по существу через гармонические функции действительных переменных Ха.. Для этих функций формулируются те или иные краевые задачи, методы решения которых и составляют содержание соответствующего раздела теории упругости. Большая часть эффективных методов решения пространственных задач теории упругости представляет собою развитие той же идеи. Здесь мы приведем и будем в дальнейшем использовать одно такое представление решения задачи теории упругости через четыре гармонические функции. Это представление было открыто Папковичем в 1932 г. и независимо Нейбером в 1933 г. Будем отправляться от уравнений Ламе при отсутствии объемных сил [c.359]

Это уравнение служит основным уравнением теории устойчивости изотропных пластин. Здесь усилия считаются заданными, т. е. найденными в результате предварительного решения плоской задачи теории упругости. Заметим, что обычно начальное напряженное состояние бывает достаточно простым, анализ уравнения [c.415]

Решение плоской задачи в напряжениях сводится к отысканию трех неизвестных функций о (х, у), Оу х, у) и х у х, у). Для отыскания этих трех функций имеются два дифференциальных уравнения равновесия (5.2). К ним следует добавить уравнение сплошности (5.5), заменив в нем деформации на напряжения. [c.54]

Для решения плоской задачи в напряжениях в полярной системе координат имеем два уравнения равновесия (6.1) и уравнение сплошности (6.3). [c.83]

Решение плоской задачи в полярных координатах в напряжениях заключается в отыскании трех функций 0,.(г, 0), т, (т, 0) и +д(/-, 0) с помощью трех уравнений двух уравнений равновесия (6.1) н уравнения сплошности (6.2), удовлетворяющих условиям на поверхности. [c.98]

Решение плоской задачи теории упругости в декартовых координатах сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений равновесия (4,2) и совместности де- [c.68]

Теперь решение плоской задачи сводится к отысканию таких напряжений щ, о , которые бы удовлетворяли системе уравнений равновесия (4.2), гармоническому урав- нению (4.9) и граничным условиям (4.3). [c.69]

При использовании функции напряжений <р (функции Эри) ) решение плоской задачи заключается в отыскании такого выражения этой функции, которое бы удовлетворяло уравнению (4.11) и граничным условиям, записанным через функцию ф [c.70]

Таким образом, для решения плоской задачи в полярных координатах и определения напряженного и деформированного состояния упругого " тела мы имеем уравнения равновесия (5.4), (5.5), геометрические уравнения (5.6) и физические уравнения (5.7) или (5.8). [c.92]

Решение плоской задачи в перемещениях сводится к отысканию таких функций перемещений и г, 0), у(г, 0), которые бы удовлетворяли уравнениям равновесия (5.10), (5.11) и условиям на границах тела. При решении задачи в перемещениях условия совместности деформаций удовлетворяются тождественно. [c.93]

Следовательно, если использовать функцию напряжений, то для решения плоской задачи в полярных координатах необходимо подобрать такое выражение функции ср, которое бы удовлетворяло уравнению (5.17) и граничным условиям. При этом уравнения равновесия будут удовлетворяться тождественно. [c.95]

Замечание. Не следует думать, что равенства (99) дают полное решение плоской задачи. Используя соотношения (99), удастся удовлетворить только уравнения равновесия, однако, как будет ясно и.з дальнейшего, для полного решения задачи функция Ф(г, у) дол /кпа еще удовлетворить условия совместности деформаций всех элементов. [c.53]

Постановка и основные уравнения задачи. В этом параграфе общие соотношения (1.3.25)—(1.3.30) использованы при решении плоской задачи о непрерывном наращивании бесконечного клина t). К вершине клина приложена изменяющаяся во времени сила Р t). Клин характеризуется двумя углами 1 ( ) и 2 t). Предполагается, что 0 t) п, где 1 = 1,2. При этом [c.93]

Решение плоской задачи теории упругости в напряжениях. Для того чтобы иметь возможность решать задачу теории упругости в напряжениях, необходимо через них выразить условие совместности деформаций, после этого, присоединяя его к двум дифференциальным уравнениям равновесия (9.88), получим раз-решаюш,ую систему уравнений. [c.662]

Итак, для решения плоской задачи теории упругости в напряжениях имеем систему уравнений [c.663]

Часто удобнее всего разделять напряжения в объемных задачах интегрированием уравнений равновесия, как при решении плоских задач ). Если интегрирование производится вдоль линии, параллельной оси X, то используется уравнение равновесия [c.214]

Автомодельные решения плоской задачи. 1°. Общие уравнения. Будем искать решения уравнения (1.10) в форме, зависящей от переменных х, t и некоторой постоянной о, имеющей размерность L T P , где L — размерность длины, Т — размерность времени. Такие решения представляются в виде [c.79]

Решение плоской задачи теории упругости сводится к определению трех составляющих напряжений — Ох, (jy и т у, которые должны удовлетворять двум дифференциальным уравнениям равновесия и уравнению совместности при заданных граничных условиях. Если считать, [c.10]

Для решения плоской задачи теории упругости, т. е. для определения компонентов напряжений а у и необходимо проинтегрировать систему дифференциальных уравнений (13) или (15) и уравнение совместности (14) с учетом условий на контуре [c.11]

Преобразованное таким образом уравнение стало идентичным уравнению для плоского течения (10-48). Посредством аналогичной замены переменных решение плоской задачи (10-46) преобразуется к решению для осесимметричного течения [c.272]

Обычно решение плоской задачи теории упругости производится в перемещениях, в напряжениях или функциях напряжений. В последнем случае, например, это приводит к исследованию би-гармонического уравнения [c.199]

Решение плоской задачи связано с определением функции напряжений Д. Эйри. Последняя может быть определена как решение бигармонического уравнения, имеющего одинаковую символьную форму записи с уравнением изгиба (7.6) [c.480]

При произвольном выражении Af (j i) предложенная функция напряжений не удовлетворяет бигармоническому уравнению и потому не может быть решением плоской задачи. Оно удовлетворится, если <7=0, M = aXi + b, Q = onst. В этом случае полоса нагружена только по торцам (например, задача об изгибе консоли силой, приложенной на свободном конце), аг2=0 и поэтому решение задачи сопротивления материалов есть точное решение задачи теории упругости. [c.136]

Как известно, решение плоской задачи в напряжениях может быть сведено к определению функции напряжений, которую здесь обозначим F = F (х, у). Эта функция находится как решение бигар-монического уравнения (см. 4.4) [c.371]

Целесообразно для решения плоской задачи (в напряжениях) ввести вспомогательную функцию — функцию Эйри ), определив ее следующим путем. Рассмотрим уравнение (4.4). Из первого уравнения следует существование такой функции А х,у), что дА/ду = Ох, дА/дх = —Хху Аналогично, из второго уравнения следует, что существует функция В х,у) такая, что дВ/ду = —Хху и dBfdx = ay. Приравнивая между собой выражения для Хху, приходим к доказательству существования такой функции U(x,y), что [c.278]

Выше излагались методы решения плоской задачи теории упругости, которые в отдельных случаях (как, например, при решении интегральными уравнениями Шермана — Лауричеллы) оказываются непосредственно применимы и для случая много- [c.405]

На базе уравнений задачи в напряжениях, сведенных к уравнению совместности в виде (19.11), развиты мощные аналитические методы решения плоских задач теории упругости с использованием функций комплексного переменного. Однако эти методы выходят за пределы данного круга и здесь не излагаются. Получение аналитических решений в замкнутом виде для более или менее сложных областей и видов нагрузок представляет большие трудности. Для сравнительно простых случаев решение может быть построено путем подбора функций Ф, заведомо удовлетворяющих уравнению совместности (19.11). Последующая р омбинация этих частных решений может дать с заданным уровнем приближения решение поставленной задачи. Такая задача рассмотрена в 19.4. Эффективные методы решения плоских задач теории упругости дают метод конечных разностей и метод конечных элементов, которые рассмотрены в последующих параграфах. [c.444]

Можно показать, что при любых значениях 9(z) п oji z) определяемые из (2.5) функции а, Су, г у, и и v удовлетворяют основным уравнениям (2.1). Другими словами, (2.5) есть общее решение плоской задачи (2.1) теории упругости. Однако при решении практически важных задач приходится налагать некоторые дополнительные условия на рассматриваемые величины на границе области, что приводит к так называемым краевым задачам, а соотношения (2.5), несмотря на свою общность, не являются конкретным решением этих краевых задач. [c.22]

Как в случае плоской деформации, так н в случае обобщенного плоского напря/кенного состояния решение плоской задачи сводится к определению трех составляющих напряжения Ох, Оу, Хху и трех составляющих деформации е, е , ху из одних II тех же уравнений равновесия и совместности. деформаций. [c.67]

Другой путь — решение плоской задачи в напряжениях. Подобно тому, как это было сделано при решении плоской задачи в декартовых координатах, подберем выражения для напряяшний через функцию ф в таком виде, чтобы удовлетворялись уравнения равновесия (5.4) и (5.5). [c.93]

Метод сеток оказывается эффективным такгке при решении плоской задачи теории упругости. Будем исходить из основного уравнения плоской задачи V V p = 0. [c.213]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...