Пространство Лобачевского

Пространство Лобачевского можно отобразить внутрь сферы единичного радиуса, как это сделал Пуанкаре, или обобщая прием, предложенный мной в 4. [c.337]

В пространстве Лобачевского волне отвечает точка на абсолюте, так как Рис. 183 [c.337]

В пространстве Лобачевского через оси у я z проведем плоскости, содержащие As эти плоскости будут пересекать плоскость л, касательную к абсолюту в точке s по направлениям. (/) и (т). [c.337]

Если вспомнить свойство винтов пространства Лобачевского ), то можно заметить, что направления электрического и магнитного векторов в плоской электромагнитной волне, распространяющейся в пустоте, образуют направления винта, главные оси которого (/) и (т) взаимно перпендикулярны и ка- [c.337]

Под комплексным углом между двумя прямыми пространства Лобачевского понимается число [c.338]

Сравнение этих формул с формулами Пуанкаре (1) доказывает, что преобразование электрического и магнитного векторов совпадает с преобразованием винта в пространстве Лобачевского. [c.339]

Благодаря прекрасным результатам Пуанкаре, мы смогли эту метрику мира, через отображение в пространство Лобачевского, изучить в большом. [c.340]

Ф-ла (24) является аналогом ф-лы косинусов сферич. тригонометрии для пространства Лобачевского. [c.498]

Неевклидова механика, т. е. классическая механика в неевклидовом пространстве и, прежде всего, в пространстве Лобачевского, возникла в конце 60-х годов XIX в., когда идеи Лобачевского начали получать признание математиков. Основным стимулом развития неевклидовой механики послужило желание выяснить, не противоречит ли неевклидова геометрия принципам классической механики. В случае такого противоречия можно было [c.342]

Под пространством Лобачевского в собственном смысле слова понимают область, находящуюся внутри абсолюта точки этой области называют собственными точками пространства Лобачевского, а прямые и плоскости, пересекающиеся с абсолютом,— собственными прямыми и плоскостями. Пространство Лобачевского вместе с абсолютом и областью, находящейся вне его, называют расширенным пространством Лобачевского, точки последней области — идеальными точками пространства Лобачевского, а прямые и плоскости, не пересекающиеся с абсолютом,— идеальными прямыми и плоскостями. [c.344]

Параллельные прямые пространства Лобачевского можно определить как прямые, пересекающиеся в точке абсолюта, а расходящиеся — как прямые, пересекающиеся в идеальной точке. [c.344]

На рис. 19 изображены прямые с, Ь, с, d пространства Лобачевского, причем прямые а, Ъ пересекаются, прямые а, с параллельны, прямые а, d рас-344 ходятся. [c.344]

Под вектором в неевклидовом пространстве Котельников понимал пару точек в определенном порядке, т. е. направленный отрезок при этом векторы одной длины и одного направления на одной и той же прямой считаются эквивалентными. Таким образом, рассматриваемые им векторы являлись аналогами скользящих векторов евклидова пространства. Аналогов свободных векторов евклидова пространства в неевклидовых пространствах не существует, так как в пространстве Римана любые две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются, и параллельных прямых, лежащих в одной плоскости, не существует, а в пространстве Лобачевского параллельные прямые [c.344]

Рис. 19. Прямые пространства Лобачевского

Каждому вектору длины а Котельников ставил в соответствие неотрицательное число г th в случае пространства Лобачевского и r g --в [c.344]

В пространстве Лобачевского это овальная поверхность второго порядка, в пространстве Римана — мнимая поверхность второго порядка, в пространстве Евклида — плоскость ( бесконечно удаленная плоскость ) и мнимая линия второго порядка на ней (мнимая линия пересечения всех сфер пространства). [c.344]

На рис. 20 изображена сумма ОС векторов ОА и ОВ (плоскость ш — полярная плоскость точки О). Это определение в равной степени относится и к пространству Лобачевского, и к пространству Римана в евклидовом же пространстве, в котором роль полярной плоскости но отношению к абсолюту для всех точек пространства играет бесконечно удаленная плоскость, это определение совпадает с обычным определением суммы двух векторов по правилу параллелограмма. Котельников показал, что его определение обладает всеми свойствами обычной суммы векторов — коммутативностью, ассоциативностью и т. д., а определенное им умножение векторов на числа дистрибутивно относительно сложения векторов. [c.345]

Котельников показал, что система сил неевклидова пространства, находящихся в одной плоскости, всегда эквивалентна одной силе. При этом в пространстве Римана всегда получается обычная сила, а в пространстве Лобачевского в случае сложения сил, направленных по параллельным или расходящимся прямым, может получиться сила, направленная по прямой, касающейся абсолюта , или по идеальной прямой. Поэтому в пространстве Римана не существует аналогов пар сил в евклидовом пространстве, а в пространстве Лобачевского имеются два вида аналогов пар сил пары сил, эквивалентные силе, направленной по прямой, касающейся с абсолютом, и пары сил, эквивалентные силе, направленной по идеальной прямой. [c.345]

После Н. Е. Жуковского кафедру теоретической механики возглавлял проф. Е. А. Болотов (1921 —1922), а после его смерти начиная с 1924 г. до конца своей жизни (1944) кафедрой заведовал выдающийся русский математик и механик проф. А. П. Котельников. Он занимался разработкой неевклидовой механики в трехмерных пространствах Лобачевского и Римана. В труде Проективная теория винтов им разработана теория винтового исчисления, оказавшаяся полезной в теоретической механике и ее приложениях. Много занимался А. П. Котельников кинематикой механизмов -впервые ввел понятие о редуцированных ускорениях, кресте ускорения, поле векторов. В Заметке о графической динамике (1927) он вновь применяет геометрические методы к решению задач механики. С 1930 г. Котельников одновременно работал в ЦАГИ над изданием собрания сочинений Н. Е. Жуковского. [c.104]

Задача. Найти кривизны трехмерной сферы радиуса Н и пространства Лобачевского по всевозможным двумерным направлениям. [c.273]

Исследовал плоские движения твердого тела в пространстве Лобачевского. Предложил геометрическую интерпретацию и свой метод сведения к квадратурам случая Ковалевской, при котором исследуется некоторая вспомогательная система криволинейных координат. Заметил маятниковый характер движения центра масс для случая Гесса, предложив для него интересное геометрическое исследование. В связи со своими исследованиями по гидроаэромеханике рассмотрел ряд модельных постановок задач о плоских движениях пластинок под действием подъемной силы, обусловленной циркуляцией. В механике идеалом решения для [c.23]

Приведем также вывод уравнений движения свободного твердого тела в искривленном пространстве и тела с гиростатом. В этом случае естественно возникают уравнения на пучке скобок (2.4) ( 2 гл. 3). Здесь мы для простоты ограничимся лишь случаем трехмерной сферы 6 , приводя без вывода уравнения движения в пространстве Лобачевского. [c.274]

Свободное твердое тело в пространстве Лобачевского. Приведем без подробного вывода уравнения движения свободного тела в пространстве Лобачевского [c.279]

Как развитие аналогии, указанной в предыдущем параграфе, рассмотрим движение материальных точек, взаимодействующих по закону ньютоновского притяжения (точнее, его аналогу) на пространствах постоянной кривизны, в качестве которых мы выберем компактные двумерную и трехмерную сферы и "З (кстати, А. Эйнштейн предлагал использовать как статическую модель реального мира). Хотя почти все изложенные результаты справедливы и для (некомпактного) пространства Лобачевского, мы не приводим их здесь подробно, ориентируясь лишь на приложения к динамике шарового волчка. В силу отсутствия группы преобразований Галилея такая небесная механика обладает некоторыми отличиями от плоской. Например, задача двух тел здесь не тождественна задаче о центральном поле. Более того, первая задача оказывается неинтегрируемой в отличие от второй. Тем не менее часть интегрируемых задач небесной механики плоского пространства (задача Кеплера, двух центров) обобщается и для искривленного пространства, а значит порождает интегрируемые шаровые волчки. [c.336]

Твердое тело в пространстве Лобачевского 279 [c.377]

Далее М будет многообразием постоянной кривизны К. Достаточно рассмотреть случаи /(=1 (сфера), К——1 (пространство Лобачевского) и /(=0 (евклидово пространство). [c.138]

Выдающиеся результаты в области общих принципов механики получили М. В. Остроградский, В. Гамильтон, К. Гаусс и Г. Герц. Теория интегрирования уравнений динамики была разработана В. Гамильтоном, М. В. Остроградским и К. Якоби, добившихся независимо друг от друга фундаментальных результатов в этой части механики. В общей теории движения систем материальных точек глубокие исследования провел С. А. Чаплыгин. С. А. Чаплыгину принадлежит особая система дифференциальных уравнений движения систем с неголономными связями. Теория движения систем с неголопомнымн связями является одним из сравнительно новых разделов теоретической механики. Эта теория непосредственно связана с современными исследованиями свойств так называемых неголопомиых пространств, обобщающих в известном смысле пространства Лобачевского и Ри.мапа. [c.38]

Рассмотрим четырехмерный мир Минковского (трехмерное пространство + время). Геометрическим местом пучка единичных временных векторов будет полость двуполостного гиперболоида. По Пуанкаре метрика пучка этих векторов будет совпадать с метрикой трехмерного пространства Лобачевского. [c.337]

Каждой точке пространства Лобачевского, таким образом, будет отвечать некоторое временное направление мира Минковского. Углы около точки А будут при этом измеряться как углы между чисто пространственными направлениями, взятьши в системе отсчета А. [c.337]

Аналогично, трёхмерному случаю соответствует трёхмерное пространство Лобачевского. В пространстве Лобачевского, как во всяком пространстве с заданной метрикой, можно ввести параллельный перенос. Гео-дезические линии, образуемые параллельным переносом, по определению, есть прямые в атом пространстве. Т. к. в любой его точке в малой окрестности действует ньютонов закон сложения скоростей, то в этой окрестности параллельный перенос означает сохранение направления скорости, а если переносится какой-то др. вектор, то он должен сохранять угол с направлением скорости. В частности, параллельному переносу из О в А (В) координатных осей соответствует чисто лоренцево преобразование (без вращения) к системе отсчёта, движущейся со скоростью 01(02) (рис. 1). Параллельный [c.498]

Ц В серии статей В. М. Савицкого [2254-227] рассматриваются развертывающиеся поверхности пространства Лобачевского, Используя интерпретацию пространства Лобачевского в сфере единичного радиуса с бельтрамиевыми координатами, автор проводит следующую классификацию развертывающихся поверхностей пространства Лобачевского а) поверхности, гомеоморфные евклидову цилиндру, на универсальной накрывающей которых расположено семейство попарно расходящихся прямых (1-й тип) семейство параллельных в одном направлении прямых (2-й тип) [c.259]

Дженокки наряду с неевклидовым пространством Лобачевского рассматривал и неевклидово пространство Римана. Шеринг посвятил сложению сил в многомерных пространствах Римана и Лобачевского специальную работу Сила тяжести в многократно протяженных гауссовых и римановых пространствах < [c.343]

В России исследования по неевклидовой механике началась в 90-х годах XIX в. Вероятно, первой работой была статья П. С. Юшкевича, написанная в 1892 г. и опубликованная в 1898 г. В работе определяется сложение сил как в том случае, когда они направлены по пересекающимся прямым, так и в тех случаях, когда они направлены по параллельным прямым, которые в пространстве Лобачевского определяются как непересекающиеся прямые, получаемые предельным переходом из пересекающихся, и по расходящимся прямым, т. е. по непере< екающимся прямым, которые нельзя получить предельным переходом из пересекающихся. [c.343]

А. П. Котельникова в которой его винтовое исчисление обобщается на трехмерные неевклидовы пространства Лобачевского и Римана. Название Проактивная теория векторов объясняется тем, что Котельников, следуя [c.343]

При этом в силу того, что в пространстве Лобачевского выполнено соотношение (ж°) - (ж ) - (ж ) - (ж ) = справедливо неравенство (ж°) > (ж ) , г = 1,2,3, и поэтому Ао > Aj, г = 1,2,3. Система (5) является интегрируемым случаем Шоттки-Манакова на пучке скобок (см. 2 гл. 3). Задача о движении двумерной фигуры на плоскости Лобачевского впервые рассматривалась Н.Е.Жуковским [77]. [c.280]

В переменных г,ф), где (р = атвоф, решение уравнения (11.26) снова определяет коническое сечение вида (11.23). Траектория также получается намоткой линии (11.23) на конус с центром в одном из фокусов. Аналогично задача Пуанкаре а = 0) приводит к геодезическим на конусе. Можно повторить все рассуждения для пространства Лобачевского. [c.345]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...