Основные уравнения при плоской деформации

Основные уравнения при плоской деформации [c.154]

Далее, из основных уравнений (8.17) гл. I при плоской деформации можем записать [c.267]

Первые две главы посвящены выводу основных уравнений теории упругости для пространственной и плоской задач. В качестве приложения плоской задачи приводится расчет толстостенных цилиндров с днищем от внутреннего и внешнего давления и вращающихся дисков. Исследуются напряжения при действии силы на острие клина и полуплоскость. В пособии рассматриваются контактные напряжения и деформации при сжатии сферических и цилиндрических тел, дан расчет тонких пластин и цилиндрических оболочек, рассматривается кручение стержней прямоугольного, круглого постоянного и переменного сечений, дается понятие о задачах термоупругости, приводятся расчет цилиндров и дисков на изменение температуры, общие уравнения теории пластичности, рассматривается плоская задача, приводятся примеры. [c.3]

При этих предположениях основные уравнения плоской деформации дифференциальные уравнения равновесия (5.2), условия на поверхности (5.3), формулы Коши (5.4) и уравнение сплошности (5.5) сохранят такой же вид и в задаче об обобщенном плоском напряженном состоянии, а формулы закона Гука (4.5) примут следующий вид [c.54]

Для составления основного уравнения плоской задачи в полярных координатах с помощью функции напряжений воспользуемся выражениями уравнения совместности деформаций через функцию ф (бигармоническое уравнение) и преобразуем его из декартовых в полярные координаты. При этом мы воспользуемся соотношениями (5.1), (5.3). [c.94]

Решение задачи для упругой области состоит в нахождении выражений для компонент напряжений, удовлетворяющих условиям равновесия [уравнения (28)] и совместности [(уравнения (31)], а также граничным условиям, соответствующим рассматриваемой задаче. Аналогично простому интегрированию по одной переменной, дающему при последующем дифференцировании исходную формулу, решение упругой задачи должно удовлетворять исходным уравнениями. Что касается многих стандартных интегральных решений, то математикам известны типы функций, которые, будучи продифференцированы, удовлетворяют этим уравнениям. Любое аналитическое выражение представляется чрезвычайно сложным, если только геометрическая форма тела не описывается простыми математическими функциями. Даже если она и проста, то общие решения для трехмерного случая получить трудно, не сделав соответствующих упрощений, например рассматривая только тела вращения и выполнив основные расчеты для идеализированного состояния, или плоского напряжения (Од = 0), или плоской деформации (Sg = 0). [c.30]

Рассматривая накладку как топкую цилиндрическую оболочку, находящуюся в условиях плоской деформации, на основе результатов 8 гл. I обнаружим, что ее основными уравнениями будут уравнения (8.22) и (8.23) гл. I, которые должны рассматриваться при граничных условиях [c.214]

Резюмируя предыдущие рассуждения, скажем, что при решении задач, как на плоскую деформацию, так и на обобщенное плоское напряженное состояние, можно пользоваться основными группами уравнений (1ц), (Пц). (П1п) и (IVn). Закон же Гука выражается для этих задач различно для плоской деформации—уравнениями (Vn). а для плоского напряженного состояния—уравнениями (V ). Однако важно отметить, что вид этих уравнений в обоих случаях одинаков различие заключается лишь в значении упругих постоянных, которые в случае плоской деформации выражаются через и о формулами (6.5). [c.142]

Для важного класса плоских (двумерных) задач теории упругости перемещения, деформации и напряжения зависят только от двух координат на плоскости. Основные уравнения, а также общие методы решения, обсуждавшиеся в гл. 5, получаются как частный случай из соотношений для трехмерной сплошной среды. Это подробно обсуждается в гл. 8. Применение функций напряжений в плоской теории упругости имеет большое практическое значение. Весьма плодотворным является при этом введение комплексной переменной и использование методов теории аналитических функций, приводящих к эффективному методу решения. В основном он был построен Г. В. Колосовым [30] и позднее развит Н. И. Мусхелишвили (см. [31, 32], а также [А7, АЗО]). [c.119]

Такое явление искажения плоской формы поперечных сечений называется депланацией. Оно характерно для всех некруглых стержней, испытывающих кручение. У круглых же валов поперечные сечения при деформации остаются плоскими. Это обстоятельство в свое время было проницательно подмечено французским ученым Ш. Кулоном (1736—1806) и использовано в качестве гипотезы плоских сечений в разработанной им теории кручения круглых стержней. Любопытно, что сделано это было задолго до установления основных уравнений механики твердого деформируемого тела. [c.128]

Основные уравнения и фундаментальные решения. Уравнения плоской деформации в однородном анизотропном теле при отсутствии объемных сил могут быть записаны в следующем виде [c.252]

Здесь предполагается 0 (1). Подставляя асимптотические разложения (33.8) и (33.9) в уравнения (33.5) и (33.7) сохраняя члены при различных степенях у] 1 и интегрируя по р, приходим к различным асимптотическим приближениям. Из соотношений (33.6) и (33.9) легко получить порядок характерной длины й и выделить три основных случая й = О (Л), Ь = 0 (ка) и Ь = 0(а). В каждом из указанных случаев низшие приближения соответствуют известным теориям 6 = 0(Л) —плоской деформации, 6 = 0[(Ла) 2] —теории тонких пологих оболочек, 6 = 0 (а) —мембранной теории оболочек. Более высокие приближения позволяют учесть толщинные поправки, связанные с эффектами поперечного сдвига, нормальных напряжений, инерции вращения. Общие асимптотические приближения построены наложением указанных трех приближений. Полученные аппроксимации удовлетворяют условию предельности при Л/6, стремящемся к нулю, имеем К2(1 + >) и при Л/6, стремящемся к бесконечности, имеем с- сц. [c.192]

При расчете рам из тонкостенных элементов по методу деформаций основными неизвестными являются перемещения узлов три линейных, три угловых и депланация узла. Следовательно, в общем случае для каждого узла рамы нужно составить семь уравнений. При расчете же плоских рам на пространственную нагрузку задача упрощается, так как нагрузка, перпендикулярная к плоскости рамы, не вызывает усилий, а следовательно, угловых и линейных перемещений системы в ее плоскости. Разложив заданную нагрузку на две составляющие, из которых одна лежит в плоскости системы, а другая ей перпендикулярна, можно неизвестные разбить на две независимые друг от друга группы. [c.360]

Выше при выводе основного линеаризованного уравнения использовалась обычная теория изгиба балок, не учитывающая влияния деформаций сдвига, вызываемых поперечными силами. Рассмотрим вариант решения задачи устойчивости прямого стержня с учетом влияния деформаций сдвига. Воспользуемся расчетной схемой балки, предложенной С. П. Тимошенко. Согласно этой схеме плоские сечения, до деформации балки нормальные к ее оси, остаются плоскими и после изгиба балки, но перестают быть нормальными к ее изогнутой оси. Таким образом, в схеме С. П. Тимошенко положение каждого сечения деформированной балки определяется двумя независимыми величинами поперечным перемещением V и углом поворота сечения (рис. 3.22). Угол сдвига равен > ) = О — v, где v — угол поворота нормали к оси балки. [c.109]

Сопоставление [9] решений по уравнениям (7.22)-(7.25) с точными аналитическими решениями (для всесторонне растянутой пластины с отверстием), с многочисленными результатами численных методов (в основном МКЭ), а также с экспериментальными данными, полученными на плоских образцах, сосудах с отверстиями и патрубками, показало удовлетворительную точность в оценке местных напряжений а ,ах и деформаций Стах по уравнениям (7.20) и (7.21) в зонах концентрации при механическом нагружении. [c.221]

Отсутствие же представления о влиянии второго фактора на ожидаемую точность расчета приводило многих исследователей к неполноценным или даже порочным результатам анализа (использование уравнения пластичности в упрощенной, не соответствующей условию задачи форме, условное рассмотрение трехмерной задачи как плоской, использование основных зависимостей теории малых пластических деформаций в случае значительной деформации, попытка установить непосредственную связь напряжений с деформациями при немонотонном процессе конечной деформации и пр.). [c.23]

В работах [17, 55, 66, 73] приводятся решения некоторых плоских и осесимметричных контактных задач о вдавливании без трения жесткого штампа в двухслойное стареющее вязкоупругое основание. Предполагается, что верхний слой тонкий относительно области контакта, неоднородно-стареющий реологические свойства нижнего слоя описываются уравнениями линейной теории ползучести стареющих материалов слои жестко сцеплены между собой область контакта не изменяется с течением времени. В зависимости от соотношений между модулями упругомгновенных деформаций слоев смешанные задачи сводятся к интегральным уравнениям первого или второго рода, содержащим операторы Фредгольма и Вольтерра. Используемый для их решения аналитический метод (см. 9, гл. 1) позволил построить разложения для основных характеристик контактного взаимодействия при произвольным образом меня- [c.465]

В случае когда отбортовка осуществляется пуансоном с плоским торцом при относительно малой протяженности контактной поверхности, уравнение равновесия (2) для основной части очага деформации имеет вид [c.240]

Первые работы по теории пластичности были вкполнены в семидесятых годах прошлого века Сен-Венаном и Леви, которым при-и длежит создание одного из вариантов теории пластичности, а также получение основных уравнений задачи плоской деформации. [c.7]

Теоретической основой постановки экспериментальных исследований для многочисленных механизмов, работающих в масляной среде, является контактно-гидродинамическая теория смазки. Контактно-гидродинамический режим смазки является типичным для условий работы зубчатых и фрикционных передач, подшипников, катков и других механизмов. Основная задача теории заключается в определении контактных напряжений, геометрии смазочного слоя и температур при совместном рассмотрении уравнений, описывающих течение смазки, упругую деформацию тел и тепловые процессы, протекающие в смазке и твердых телах. Течение смазки в зазоре описывается уравнениями, характеризующими количество движения, сплошность, сохранение энергии и состояние. Деформация тел определяется основными уравнениями теории упругости. Температурные зависимости находятся из энергетического уравнения с использованием соответствующих краевых условий. Плоская контактно-гидродинамическая задача теории смазки решалась с учетом следующих допущений деформация ци-лидров рассматривалась как деформация полуплоскостей упругие деформации от поверхностного сдвига считались малыми для анализа течения смазки использовалось уравнение Рейнольдса при вязкости смазки, явля- [c.165]

Собственным весом балки пренебрегаем. Тогда при подстановке напряжений (6.23) в уравнения равновесия (6.2) и уравнение неразрывности деформаций (6.9) убеждаемся, что они обращаются в тождества. Таким образом, напряжения (6,23) удовлетворяют основным уравнениям плоской задачи теории упругостн. [c.71]

Уравнения (XIII.7) относятся к основным уравнениям математической теории пластичности, находят все большее применение к задачам плоской деформации при обработке металлов давлением и называются интегралами уравнений пластичности или уравнениями Генки. [c.266]

Еще в работах Генки [15], А. А. Ильюшина [40] и А. Ю. Иш-линского [43] было рассмотрено влияние вязкости на формообразование металлов. В [15] разобраны вращение прокатного валка в пластическом материале, продавливание пластической массы через цилиндрическую полость и локализация деформаций при растяжении стержня. В [40] выведены основные уравнения вязкопластического течения и рассмотрены вращение цилиндра в вязкопластической среде, расширение полого цилиндра под действием внутреннего давления, волочение круглого прутка через жесткую коническую матрицу, движение вязкопластического материала в круглой трубе. В [43] решена задача прокатки и волочения полосы в условиях плоской деформации. При этом в [40 и 43] принято, что максимальное касательное напряжение является линейной функцией максимальной скорости угловой деформации. [c.5]

Остановимся кратко на содержании главы. В разд. 2,2 на основе принципа виртуальных перемещений Лагранжа выведены основные соотношения подкрепленной ребрами криволинейной панели. В разд. 22.3 выделено элементарное решение Сопротивления материалов. Преобразование исходных уравнений для плоской панели к системе разрешающих уравнений содержится в разд. 2.4. Далее в разд. 2.5 изучено напряженно-деформированное состояние симметрично подкрепленной панели. Рассмотрена панель как конечной, так и бесконечной длины. Решение представлено в виде быстросходящихся рядов, даны результаты численных расчетов и программы расчета. В разд. 2.6 изучается эффект подкрепления панели на торце дополнительным ребром, работающим только иа изгиб. В разд. 2.7, как и в разд. 2.5, рассмотрена симметрично подкрепленная панель, но при кососимметрнчиом загруженин ребер парой сил. Решение отличается от полученного в разд. 2.5, так как требуется учитывать изгиб панели в ее плоскости. Решение доведено до числа. В разд. 2.8 рассмотрены панели с двумя ребрами разной жесткости для случа.я, когда поперечное перемещение панелн равно нулю или отлично от нуля. В разд. 2.9 на примере бесконечной пластины с полубесконечным ребром дается оценка погрешности решения путем введения гипотезы отсутствия поперечной деформации пластины. Эта оценка выполнена, путем срав неиня решения на основе упомянутой гипотезы с точным решением, полученным иа основе уравнений плоской теории упругости. Результаты этого раздела опубликованы Э. И. Грнголюком и В. М. Толкачевым [5]. В этой работе дана также общая постановка задач включения на основе гипотезы отсутствия поперечной деформации, рассмотрены задачи для пластины и ребра конечных размеров, для полубесконечной пластины с полубесконечным ребром, а также задача для защемленной по боковым сторонам полубесконечной полосы, нагруженной на торце постоянной распределенной нормальной нагрузкой. [c.68]

Начиная с двадцатых годов, теория пластичности интенсивно развивается, вначале—преимущественно в Германии. В работах Г. Генки [ i. 56] л. Прандтля [ ], Р. Мизеса и других авторов были получены важные результаты как по основным уравнениям теории пластичности, так и по методам решения плоской задачи. К этому времени относятся и первые систематические экспериментальные исследования законов пластической деформации при сложном напряженном состоянии, а также первые успешные приложения теории пластичности к техническим вопросам. Уже с тридцатых годов теория пластичности привлекает внимание широкого круга ученых и инженеров развертываются интенсивные теоретические и экспериментальные исследования во многих странах, в том числе и в СССР. Теория пластичности, наряду с газовой динамикой, становится наиболее энерг1 чно развивающимся разделом механики сплошных тел. [c.9]

В данной главе описаны различные методы расчетов распределения напряжений вокруг острых концентраторов напряжений или трещин. Все аналитические решения включают использование в той или иной форме комплексных переменных. Функции напряжений Вестергаарда обычно позволяют получить основные параметры полей напряжений у вершины трещины, но в более сложных случаях, относящихся к реальным образцам, необходимо использовать функцию напряжений в виде полинома или конформные отображения. Для моделирования трещин могут быть использованы и ряды дислокаций. Метод конечных элементов применяется все шире, вытесняя постепенно метод уравнений в конечных разностях, тем самым широко привлекая вычислительную технику для решения большого числа совместных линейных уравнений, представленных матрицей жесткости. Для моделирования упруго-пластической деформации по типу I при плоском [c.88]

Пластинка, толщина которой б мала по сравнению с остальными размерами, подвергается действию приложенных по контуру сил, лежащих в срединной плоскости пластинки. Положим, что нам известен закон распределения напряжений. Задача заключается в том, чтобы найти, как изменятся напряжения, если в какой-либо точке пластинки, удаленной от контура, сделать круглое отверстие малого диаметра. Частный случай поставленной задачи решен Г. Киршем ), им разобран случай растяжения пластинки. Свое решение Г. Кирш получил путем подбора. Процесса этого подбора решения он не приводит, а дает окончательные значения перемещений и деформаций и показывает, что они удовлетворяют основным уравнениям теории упругости. Недавно вышла по этому же вопросу новая работа П. А. Велихова ). Хотя автор в начале своей работы и указывает, что ему при отыскании решения много помогла гидродинамическая аналогия, но в действительности опять все сведено к постепенному подбору решения. В заключение этой работы автор приходит к результатам Г. Кирша. Ниже мы подробно остановимся на работе П. А. Велихова, здесь же предлагаем решение задачи прямым путем, а не путем подбора. Такое решение вполне возможно, если рассматривать задачу как плоскую и воспользоваться общим решением ее в случае кругового кольца ). [c.106]

Мы не станем полностью выписывать уравнения для общего-случая трехмерного медленного установившегося течения идеально иластичного вещества, поскольку попытки получения общего-решения для этих уравнений следует признать безнадежными. В последующих главах будут рассмотрены некоторые важные частные вопросы, например случай симметрии вращения и двумерное плоское напряженное состояние. Введение основных уравнений (27.1) [или (27.2)] предполагает, что составляющие напряжения в любом элементе материала при бесконечно малой деформации остаются неизменными. Поле напряжений в теле предполагается стационарным ). [c.457]

Решение проблемы равновесия пластинок и оболочек при упругопластических деформациях, как и при чисто упругих, основывается на двух основных постулатах Кирхгоффа-Лява. Первый состоит в том, что совокупность материальных частиц, расположенных на нормали к серединной поверхности оболочки до деформации, расположена также на нормали к серединной поверхности её после деформации, и потому деформированное состояние оболочки определяется только деформированным состоянием её серединной поверхности. Этот постулат, по существу, говорит о том, что каждый кусок оболочки, размеры серединной поверхности которого малы сравнительно с общими её размерами (и соизмеримы с толщиной), находится в условиях, весьма близких к чистому изгибу и кручению, наложенным на растяжение и сдвиг без изгиба и кручения. Второй постулат состоит в том, чю все компоненты напряжений, имеющие направление нормали к серединной поверхности, весьма малы сравнительно с другими. Оба эти постулата находятся в согласии друг с другом и означают, что всякий тонкий элементарный слой материала, парадлельный серединной поверхности оболочки, находится в условиях плоского напряжённого состояния или, точнее, напряжения, действующие в его плоскости, значительно больше других напряжений. В справедливости такого предположения можно убедиться из анализа порядка различных компонентов напряжений в тонкой оболочке, исходя из уравнений равновесия. [c.153]

Для механики сплошной среды вообще и механики деформируемого твердого тела в частности аппарат теории тензоров является естественным аппаратом. В большинстве теорий выбор системы координат, в которых ведется рассмотрение, может быть произвольным. Проще всего, конечно, вести это рассмотрение в ортогональных декартовых координатах. Очевидно, что доказательство общих теорем и установление обнщх принципов при написании уравнений именно в декартовых координатах не нарушает общности. Что касается решения задач, то иногда бывает удобно использовать ту или иную криволинейную систему координат. Однако при этом почти всегда речь идет о простейших ортогональных координатных системах — цилиндрической или сферической для пространственных задач, изотермической координатной сетке, порождаемой конформным отображением, для плоских задач. В некоторых случаях, когда рассматриваются большие деформации тела, сопровождаемые существенным изменением его формы, система координат связывается с материальными точками и деформируется вместе с телом. При построении соответствующих теорий преимущества общей тензорной символики, не связанной с определенным выбором системы координат, становятся очевидными. Однако в большинстве случаев эти преимущества используются при формулировке общих уравнений, не открывая возможности для решения конкретных задач. Поэтому мы будем вести основное изложение в декартовых прямоугольных координатах, случай цилиндрических координат будет рассмотрен отдельно. [c.208]

В механике разрущения однофазных материалов трещина I рода практически намного более важна, чем трещины II и III рода. Основную идею неустойчивого роста трещины можно проиллюстрировать простым образом при помощи уравнения (6.7). В задачах с плоской трещиной (вид I и II) единственными геометрическими параметрами в кончике трещины являются радиус основания трещины и толщина материала. Так как величина радиуса на порядок меньще толщины, для упругих (также для слабо выраженных пластических) случаев материал в кончике трещины из-за стеснения деформации находится в условиях, близких к плоскому деформированному [c.226]

Описанные допущения по-существу аналогичны основным допущениям 1—4, принятым при рассмотренном выше анализе Одзи с сотруд. В этом случае локальная деформация соответствует повреждению ползучести Ф, а величина ячейки соответствует характеристическому размеру р. Ниже показан пример расчета для плоского напряженного состояния (деформация разрушения lo .f = е/) в случае = а, tio = ё, т, е. в случае, когда уравнения (5.33) и (5.32) тождественны. [c.183]

Клебш з) заимствовал из теории Геринга-Кирхгофа приближенные выводы относительно напряжений и деформаций в малой части пластинки, ограниченной вертикальными плоскими сечениями, и получил уравнения равновесия пластинки, выраженные в проекциях упругих усилий и моментов. Его уравнения распадаются на две группы одна группа содержит растягивающие и гори, зонтальные перерезывающие упругие усилия, а другая группа — упругие пары и вертикальные упругие усилия. Уравнения второй группы относятся к изгибу пластинки, и их форма такова, что если соотношения, при помощи которых упругие пары выражаются через деформацию срздней поверхности, известны, то можно определить вертикальные перерезывающие силы и получить уравнение для прогиба пластинки. Выражения для упругих пар можно получить из теории Кирхгофа. Клебш нашел решение своего уравнения для случая круглой пластинки, защемленной по краям и нагруженной произвольным образом. Кельвин и Тэт сделали невозможными какие-либо дальнейшие сомнения по поводу теории, относящейся к уравнениям равновесия, выраженным в проекциях упругих усилий и пар. Эти ученые отметили, что в случае чистого изгиба выражения для упругих пар могли бы быть получены из теории изгиба балки Сен-Венана объединение двух граничных условий Пуассона в одном условии Кирхгофа они объяснили с т чки зрения прин ципа упругой равнозначности статически эквивалентных систем нагрузок Позднейшие исследования содействовали устранению последних затруднений, связанных с теорией Кирхгофа - ). Одно из препятствий к дальнейшему прогрессу состояло в отсутствии точных решений задач об изгибе пластинок, аналогичных тем, которые были получены fH-Венаном для балок. Те немногие решения, которые были получены подтверждают основной вывод теории, который не был строго доказан, а именно, вид выражений для упругих пар через кривизну средней поверхности. [c.41]

Чтобы не повторять материал, уже изложенный в разных учебниках, определения и вводимые понятия включались только в той степени, в какой они были необходимы в процессе обсуждения основных результатов. Определения напряжений и деформаций служат лишь для установления терминологии, но предполагается, что более полное изложение закона Гука можно при необходимости найти в других работах. Вывод векторного волнового уравнения и обоснование возможности использования скалярного и векторного потенциалов ланы без должного обосиовання, но эти моменты не существенны для основноп темы книги я они хорошо освещены в другой литературе [95, 120]. Рассмотрение плоских волн в однородных средах приводится для того, чтобы обеспечить основу для расчета упругих констант зернистых и пористых сред и для опенки комплексных констант распространения волн в поглощающих средах Подобным же образом рассмотрение плоских волн вблизи сво- [c.10]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...