Существование решений граничных задач

СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ [c.261]

Существование решений граничных задач [c.261]

Для доказательства теорем существования решений граничных задач упругого равновесия (статика) мы применили аппарат теории многомерных сингулярных интегральных уравнений и сингулярных потенциалов. При этом, как мы видели, оказалось необходимым значительное расширение схем исследования, применяемых в граничных задачах теории гармонических функций. [c.279]

В задаче о равновесии ii = О и поэтому итерационная задача, определяемая соотношениями (12) и (13), представляет особые трудности. В теории бесконечно малых деформаций необходимым для существования решения граничной задачи с заданными усилиями является условие, что приложенные нагрузки Ь и t образуют уравновешенную систему, т. е. результирующая сила и результирующий момент сил, действующих на v, 38) от этих нагрузок, должны равняться нулю. В противном случае решения не существует. В теории бесконечно малых деформаций этот факт означает не более чем предостережение, что если мы попробуем поставить граничную задачу с заданными усилиями, когда приложенные нагрузки не уравновешены, то мы не найдем решения. Аналогично в общей теории нагрузки должны быть уравновешены, чтобы решение граничной задачи с заданными усилиями могло существовать. Поэтому мы принимаем, что Ь и t уравновешены в у> ) и, следовательно, согласно (3) Ь и уравновешены в кф) для каждого п. Однако эти нагрузки не являются нагрузками для итерационной задачи, определяемой соотношениями (12) и (13). Эти последние нагрузки суть Ъп и t , зависящие от ui, иг.....u -i. Таким образом, для того чтобы задача (12) —(13) имела решение и , необходимо, чтобы соответствующее условие удовлетворялось для решения и 1, найденного на предыдущем этапе.. [c.307]

Таким образом, для граничного условия частного вида (18.39.3) решение вспомогательной задачи построено. Под общим случаем условно можно подразумевать случай, когда в (18.39.3) и в (18.39.4) в правых частях N — оо. Тогда правая часть (18.39.4) обратится в ряд Лорана, который сходится в некотором кольце, не покрывающем, вообще говоря, рассматриваемую область. Отсюда вытекает, что вопрос о существовании решения обсуждаемой задачи, соответственно результатам 18.38, в этом общем случае остается открытым. Однако приведенные рассуждения позволяют сделать важное для дальнейшего уточнение. При достаточно большом N общие (в указанном выше смысле) граничные условия можно аппроксимировать условиями вида (18.39.3), а это значит, что рассматриваемая задача не имеет решения только тогда, когда она ставится совершенно строго. Смягчив постановку задачи, т. е. заменив истинное граничное условие равенством (18.39.3), всегда можно построить решение. [c.270]

Результаты разд. 11 показывают, что решение граничной задачи для линеаризованного уравнения Больцмана можно свести к решению интегрального уравнения (11.20) для функции распределения молекул, падающих на границу. Даже для простейших граничных условий А = 0) это уравнение решить нелегко, так как ядро оператора В - выражается через функцию Грина, в свою очередь выражающуюся через собственные решения уравнения (7.3), которые, вообще говоря, неизвестны в явном виде. Однако для некоторых задач и при изучении вопросов существования и единственности решений полезно свести граничную задачу к решению интегрального уравнения. В частности, это наиболее целесообразно, как мы увидим ниже, для модельных уравнений, описанных в разд. 9. [c.250]

В этой главе доказываются основные теоремы существования решений гранично-контактных задач общего вида для неоднородных упругих сред. Неоднородная среда, в принятом нами понимании, — это упругое тело, содержащее конечное число включений, часть из которых сами представляют упругие среды, каждая со своими постоянными Ламе,а другая часть является пустотелой. Неоднородные тела подобной зернисто-пористой структуры в основном исчерпывают характер неоднородностей, встречающихся в большинстве приложений. [c.449]

Доказательство теорем существования в общем случае. В предыдущих параграфах теорема существования решений гранично-контактных задач была доказана при соблюдении гипотезы Коши, т. е. при допущении неизменности коэффициента Пуассона для всех упругих тел. Теперь мы отказываемся от этой гипотезы и, считая коэффициенты Пуассона различных тел произвольными, но достаточно близкими друг к другу, покажем, что из предыдущего получается доказательство теорем существования для всех гранично-контактных задач и в этом случае. [c.496]

Существование и единственность решения граничной задачи теории упругости [c.74]

Предлагаемая книга посвящена применению методов потенциала к основным граничным задачам теории упругости. Исследования на эту тему занимали автора и раньше [13 а, г, е], но настоящая работа отличается от прежних тем, что в ней впервые, наряду с однородными телами, рассматриваются также кусочно-неоднородные и доказываются теоремы существования для основных граничных задач таких тел. Второй особенностью книги является построение всей теории граничных задач на базе теории сингулярных интегральных уравнений. Это позволило, с одной стороны, расширить круг исследуемых граничных задач (контактные задачи, смешанные задачи) и, с другой стороны, обнаружить новые возможности метода При точном и приближенном решении многих задач Наконец, третья особенность книги заключается в том, что в ней впервые излагаются два новых способа приближенного решения граничных задач. [c.7]

Случай равных постоянных Пуассона. Доказательство существования решения задачи (Л). В предыдущей главе были доказаны основные теоремы существования для однородных тел. В этой главе доказываются теоремы существования для граничных задач неоднородных сред, рассмотренных в гл. IV. Начнем с задачи ( 4) в том случае, когда постоянные Пуассона для сред и одинаковы. Как было показано в 6 гл. IV, функциональные уравнения задачи (Л) в этом случае имеют следующий вид [c.206]

Разрешимость (существование решения) данных задач физически очевидна, так как очевидна принципиальная возможность создания указанных условий на граничной поверхности. [c.156]

Для построения общего решения граничной задачи (1.29) для внешности области, показанной на рис. 2, разобьем всю область существования поля на части. При этом такие частичные области следует выбрать так, чтобы в каждой из них можно было построить решение уравнения Гельмгольца, позволяющее выполнить граничные условия на какой-то части полной поверхности и условия сопряжения на границах соседних частичных областей. Следует иметь в виду, что таким образом поставленная задача имеет несколько решений, которые здесь для данной задачи рассматривать не будем. В параграфе 9 второй главы при рассмотрении задачи об излучении звука конечным цилиндром конкретно указано несколько возможных вариантов разделения всей области существования поля на частичные области. [c.19]

Доказательство существования рещения указанных задач представляет трудную проблему математического анализа. Однако в. настоящее время разрешимость всех краевых задач теории упругости установлена при весьма общих условиях. Принимая существование решений упомянутых граничных задач, перейдем к доказательству их единственности. [c.85]

К сожалению, для общей постановки пространственных начально-граничных задач теории упругости в настоящий момент отсутствуют исчерпывающие результаты, относящиеся к вопросу о необходимых и достаточных условиях, обеспечивающих существование и единственность решения в зависимости от класса допускаемых краевых условий и ограничений на граничную поверхность. Однако существуют и иные (неклассические, обобщенные) постановки задач теории упругости, определяемые тем математическим аппаратом, который применяется для их решения ). [c.243]

Оставляя в стороне вопрос о доказательстве существования решения, докажем теорему единственности, при этом мотивировка остается той же, что и для статической задачи в 8.4. Ход доказательства остается в основных чертах тем же самым. Предположим, что одним и тем же начальным условиям (13.1.2) и граничным условиям удовлетворяют два различных решения системы (13.1.1) и (8.4.2) —(8.4.4), а именно, щ, a -j. Тог- [c.430]

Сформулированное утверждение тесно связано с теоремами, доказанными в 7.7. Граничные условия (17.31.1) и (17.31.2) определяют сопряженные статическую и геометрическую задачи безмоментной теории. Если п < 2, то, как было здесь показано, безмоментная геометрическая задача имеет —2п + 3 линейно независимых решений, а это согласно теореме 1 ( 7.7) значит, что есть —2п + 3 необходимых условий существования решений безмоментной статической задачи. Они и были здесь выведены. Попутно выяснилось, что в данном случае эти условия не только необходимы, но и достаточны. [c.254]

Если на обоих краях оболочки в тангенциальных направлениях ставится одно статическое и одно геометрическое граничные условия, то формулировка теорем существования решений полной краевой задачи безмоментной теории зависит от знака кривизны срединной поверхности. Для оболочки всюду положительной кривизны сохраняются теоремы существования решений безмоментных краевых задач, подобные тем, которые формулировались в в 17.31, 17.32. Однако для оболочек отрицательной кривизны получаются непривычные результаты покажем их на примере оболочки, имеющей форму одно полостного гиперболоида вращения. [c.263]

Мы не имеем возможности остановиться здесь на вопросе о существовании решений уравнений Навье — Стокса, удовлетворяющих заданным начальным и граничным условиям. Эта исключительно трудная задача решена еще не полностью, хотя ей посвящены многочисленные исследования. Не ставя перед собой трудно выполнимой задачи дать полную библиографию, мы ограничимся перечнем монографий, которые содержат основные результаты, полученные к настоящему времени [c.233]

Для существования решения указанного класса приходится подчинить данные некоторым ограничениям. Например, в задачах статики граничные данные выбирались из класса (5) или (5) (5 — граница среды) из того же класса выбираются данные в задачах колебаний, а в задачах динамики к этому требованию добавляется еще требование существования производных по I до определенного порядка. [c.275]

В этой главе рассмотрены различные основные и смешанные граничные задачи статики и-гармонических колебаний классической теории упругости для конечных и бесконечных областей, ограниченных несколькими замкнутыми поверхностями. Построены соответствующие тензоры Грина и доказаны теоремы существования и единственности решений указанных задач. [c.422]

Интегрируем дифференциальные уравнения безмоментной теории, учитывая только тангенциальные граничные условия, и строим, таким образом, основное напряженное состояние. Допустим, что такой расчет возможен и что он выполнен (условия существования решения краевых задач безмоментной теории и методы фактического получения этих решений рассматриваются в части П1). В нетангенциальных граничных условиях, которые при этом не учитываются, будут допущены невязки. Чтобы устранить их, прибавляем к решению уравнений безмоментной теории простой краевой эффект. В нем содержатся произвольные функции afi, iIJz или ijja, которые можно использовать для ликвидации невязок в нетангенциальных граничных условиях (при этом, конечно, появятся вторичные невязки в тангенциальных граничных условиях, но в части IV будет показано, что они существенно меньше первоначальных невязок). [c.126]

Из физических соображений вытекает, что каждое упругое тело, находящееся под воздействием внешней нагрузки, при подходящем опирании находится, по меньшей мере, в одном равновесном состоянии. Кроме того, так как математические формулировки задач теории упругости базируются на фундаментальных физических принципс1х, следует ожидать, что выводимые из них соотношения не могут привести к абсурдным результатам. Это говорит о существовании решения краевой задачи теории упругости. Вместе с тем этот вопрос представляет собой одну из труднейших математических задач, которая решена в настоящее время при достаточно общих условиях. Здесь не будут приводиться эти довольно сложные и громоздкие доказательства, а будет просто строиться соответствующее решение, удовлетворяющее как дифференциальным уравнениям, так и граничным условиям задачи. [c.37]

Продолжим теперь доказательство теорем существования для задач псевдоколебаний. Матрица фундаментальных решений однородного уравнения (3.2°) получается из матрицы решений однородного уравнения (2.1°) подстановкой со = п эти решения содержат выражения ехр (iX х — г/1), k = 1, 2, 3 и в силу доказанного выше свойства а), в полуплоскости Re т > >>ае, для эластопотенциалов, в которых выражаются решения граничных задач, будут на бесконечности удовлетворены условия затухания более сильные, чем те, которые в главе 1П, 3, п. 3 были использованы для доказательства теорем единственности. Отсюда следуют интересующие нас теоремы единственности. [c.404]

Производных Фреше, теорему о неявной функции и другие теоремы из функционального анализа, многие из которых приведены с полными доказательствами. Во второй главе дан вывод основных уравнений и граничных условий статической теории упругости. В последующих главах этой части обсуждается структура системы уравнений теории упругости, её зависимость от свойств упругого материала. Часть В под названием Математические методы трёхмерной теории упругости посвящена в основном доказательству теорем существования решений краевых задач нелинейной системы теории упругости. В этой части две главы. В первой даны доказательства теорем существования, основанные на применении теоремы о неявной функции, получены оценки отклонения решения от соответствующего решения линейной задачи, доказана сходимость метода приращений. Во второй главе теоремы существования установлены вариационным методом, на основе минимизации энергии, приведены доказательства замечательных теорем Болла о существовании решений. [c.6]

Во всех рассмотренных в работе [183] задачах реализован единый подход, который используется для многих задач математической физики. Сущность его заключается в следующем. Для каждой области существования звукового (электромагнитного) поля на основе выбора соответствующих частных региений уравнения Гельмгольца строится такая их совокупность, которую мы называем общим решением граничной задачи. Это не совсем традиционное для математической физики понятие означает, что каждый раз мы строим некоторую совокупность частных решений уравнения Гельмгольца, которая содержит достаточно произвола для того, чтобы удовлетворить произвольное граничное условие для скорости или давления на поверхности, ограничивающей область существования поля. Само доказательство такой возможности обычно основано на использовании свойств функций штурм-лиувиллевского типа [152]. В частности, одно из важнейших их свойств — свойство ортогональности позволяет в последующем свести задачу определения произвольных постоянных и функций в общем представлении характеристик поля к решению простых систем линейных алгебраических уравнений. Задача несколько усложняется, если на граничной поверхности, совпадающей с координатной поверхностью, заданы смешанные граничные условия В этом случае на одной части границы задана нормаль ная составляющая скорости, а на другой — давление. Такие граничные условия приводят к довольно сложным системам интегральных или алгебраических уравнений, для решения которых не предложены к настоящему времени методы, эффективные для произвольной длины волны. [c.13]

Подобные рассуждения,показывают, что и для задачи о иными граничными условиями, например для стационарного случая имеетсж только единственное решение. По-иному обстоит депо о доказательством существования решения наших уравне-вий. Математическое доказательство таких теорем существования, отиоеится к области чистого анализа, но физическая интерпретация ваших уравнений требует, чтобы решзвиз существова,ло. [c.23]

Задачи температурных режимов элементов конструкций. Этот класс задач объединяет стационарные и нестационарные, плоские и пространственные задачи распространения теплоты в твердых телах при наличии фильтрации при существовании фронтов реакций, источников и стоков теплоты и массы при произвольных граничных условиях на поверхности. Наиболее широко для решения задач данного класса используется метод конечных разностей в сочетании с методом прогонки и методом расщепления [44, 1051. Подробно эти методы рассмотрены выше. Существующие аналитические решения стационарных и нестационарных задач данного класса охватывают только канонические формы (пластина, цилиндр, шар). Нестационарные решения таких задач содержат ряды с использованием тригонометрических функций, функций Бесселя, Грина и др. Такая форма представления решений для определения численных значеннй температурного поля требует использова1н, я [c.188]

Название метод граничных элементов , впрямую привязанное к дискретизации границы для проведения вычислений, вряд ли могло появиться до тех пор, пока численное решение сложных задач на ЭВМ не стало общедоступным — интегральные уравнения родились и долгое время оставались не средством численного решения задач, а мощным орудием теоретического исследования проблем математической физики. С их помощью доказывались теоремы существования и единственности решения краевых задач в различных классах функций, выяснялся характер сингулярностей в особых точках, изучались спектры операторов, соотношения между исходными и сопряженными уравнениями и т. д. Эта большая работа оставила заметный след в развитии математики. Достаточно назвать имена Э. Бетти, В. Вольтерры, Д. Гильберта, Ж- Лиувилля, Дж. Лауричеллы, А. М. Ляпунова, К. Неймана, А. Пуанкаре, С. Сомильяны, Э. Фредгольма, чтобы почувствовать сколь значительны результаты, полученные в теории интегральных уравнений. [c.266]

Введенные выше потенциалы простого слоя, двойного слоя и их производные, как показано в 1, удовлетворяют тождественно дифференциальным уравнениям теории упругости внутри тела при отсутствии объемных сил. Частное решение, соответствующее действию объемных сил, выражается объемным потенциалом с плотностью, равной объемной силе. В связи с этим решение тон или иной краевой задачи теории упругости можно попытаться искать в виде суммы одного или нескольких граничных потенциалов и объемного потенциала. Плотности граничных потенциалов должны содержать достаточно неизвестных, чтобы можно было удовлетворить граничные условия. Для нахождения этих неизвестных строятся интегральные уравнения на границе тела —граничные интегральные уравнения (ГИУ). Если при заданных краевых условиях доказано существование решения построенного интегрального уравнения, то тем самым обоснована использованная формула представления решения. Вопрос обоснования формулы представления решения не возникает, если в качестве ее используется формула Сомильяны, справедливая дл любого регулярного, т. е. принадлежащего классу ( (Q) n (Q)) , поля перемещений, а также для более общих классов перемещений, для которых имеет место формула Бетти. Поскольку плотности потенциалов простого и двойного слоя, входящих в формулу Сомильяны, имеют прямой физический смысл, то соответствующую формулировку метода граничных элементов (МГЭ) называют прямой формулировкой МГЭ. В противоположность этому формулировку МГЭ, использующую другие формулы представления, называют непрямой формулировкой МГЭ. [c.62]

Теорему 1 можно взять в качестве отправной точки при построении строгой теории граничных задач, поскольку она позволяет говорить о решении, которое, как было показано, существует и единственно. Отметим, однако, что показано было лишь существование функции к, интегрируемой с квадратом по обеим переменным X и I, а о гладкости решения ничего не известно. В частности, не известно, дифференцируема ли к по пространственным переменным почти всюду так, чтобы удовлетворялась не только интегральная форма (3.2), но и первоначальная интегро-диффе-ренциальная форма (1.21) линеаризованного уравнения Больцмана. Оказывается, что существует производная по направлению 1-дк1дх, а отсюда следует, что первоначальное интегро-диффе-ренциальное уравнение удовлетворяется по крайней мере в обобщенном смысле. [c.156]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...