Теория бесконечно малых деформаций

Наиболее характерной особенностью У-интеграла является то, что с его помощью можно описать поле напряжений и деформаций в области нелинейной упругости вблизи вершины трещины. Например, обобщенное уравнение нелинейной упругости в теории бесконечно малых деформаций выражается как [c.186]

Теория бесконечно малых деформаций [c.85]

Формулы теории бесконечно малых деформаций используются для расчета небольших конечных деформаций, например, упругих или малых упруго-пластических деформаций. Кроме того, на основании теории бесконечно малых деформаций строится теория скоростей деформаций, с помощью которой рассчитывается напряженно— деформированное состояние в процессе обработки металлов давлением и при больших конечных деформациях. [c.88]

Что такое бесконечно малая деформация Почему она характеризуется одним тензором деформации Зачем нужна теория бесконечно малых деформаций [c.92]

Поскольку шесть функций hj ( , ) выражаются no формулам (111.7) через три функции P) для компонент скорости перемещения, функции tu должны удовлетворять уравнениям совместности скоростей деформаций. Пользуясь подобием формул теории скоростей деформаций и теории бесконечно малых деформаций, заменим в (11.57) и,(П-58) ejj на Получим уравнения совместности скоростей деформаций в прямоугольной декартовой системе координат [c.96]

Построение диаграммы деформирования с учетом упругости и сжимаемости. Диаграмма деформирования — зависимость интенсивности напряжений а от интенсивности деформаций е (рис. 62) строится на основании индикаторной диаграммы. Эта зависимость необходима для обобщения уравнений состояния на сложное НДС. Вначале построим диаграмму деформирования с учетом сжимаемости при малых упруго-пластических деформациях, когда упругие и пластические составляющие деформации имеют одинаковый порядок (калибровка прутков, дрессировка полосы, получение гнутых профилей и др.). Воспользуемся теорией бесконечно малых деформаций. [c.161]

Деформации предполагаются малыми (е -С 1). так что будем пользоваться теорией бесконечно малых деформаций. Поэтому при одноосном растяжении образца логарифмическая деформация [c.179]

Обобщить полученный выше результат, чтобы показать, что в теории бесконечно малых деформаций [c.27]

Наконец, показать, что в теории бесконечно малых деформаций объем о в исходном состоянии переходит в объем V, где [c.28]

Показать, что если среда деформируется при постоянной энтропии, то по теории бесконечно малых деформаций [c.29]

Закон суперпозиции, определенный формулой (14), справедлив в рамках теории бесконечно малых деформаций для произвольных, не обязательно однородных, деформаций. [c.36]

Основанием для рассмотрения теорий бесконечно малых деформаций, конечно, является то, что они проще в математическом отношении, чем точная теория. Как мы видели в 1> если бесконечно малое смещение является результатом последовательного осуществления двух других, то соответствующие повороты и меры деформации получаются сложением друг с другом двух последовательных поворотов и мер деформации [c.296]

В задаче о равновесии ii = О и поэтому итерационная задача, определяемая соотношениями (12) и (13), представляет особые трудности. В теории бесконечно малых деформаций необходимым для существования решения граничной задачи с заданными усилиями является условие, что приложенные нагрузки Ь и t образуют уравновешенную систему, т. е. результирующая сила и результирующий момент сил, действующих на v, 38) от этих нагрузок, должны равняться нулю. В противном случае решения не существует. В теории бесконечно малых деформаций этот факт означает не более чем предостережение, что если мы попробуем поставить граничную задачу с заданными усилиями, когда приложенные нагрузки не уравновешены, то мы не найдем решения. Аналогично в общей теории нагрузки должны быть уравновешены, чтобы решение граничной задачи с заданными усилиями могло существовать. Поэтому мы принимаем, что Ь и t уравновешены в у> ) и, следовательно, согласно (3) Ь и уравновешены в кф) для каждого п. Однако эти нагрузки не являются нагрузками для итерационной задачи, определяемой соотношениями (12) и (13). Эти последние нагрузки суть Ъп и t , зависящие от ui, иг.....u -i. Таким образом, для того чтобы задача (12) —(13) имела решение и , необходимо, чтобы соответствующее условие удовлетворялось для решения и 1, найденного на предыдущем этапе.. [c.307]

Г. Если существует решение общей граничной задачи с заданными усилиями в теории бесконечно малых деформаций, то существуют решения Ui, иг,. .. итерационной системы (12), (13). [c.310]

Если справедлива классическая теорема единственности для граничной задачи с заданными усилиями в теории бесконечно малых деформаций, то решения Ui иг,. .. единственны с точностью до жестких перемещений. [c.310]

Как уже упоминалось, на тензор линейной упругости Ь в соотношении (IX. 3-1) для напряжения в классической теории бесконечно малых деформаций из естественной конфигурации принято налагать дополнительные ограничения. Это, во-первых, условие [c.313]

Обоснование 4 мы также рассмотрим позднее при изложении теории конечных деформаций, однако даже в теории бесконечно малых деформаций оно пе адекватно, поскольку (X. 1-1)- лишь достаточно, но не необходимо для того, чтобы скорости волн были действительны и отличны от нуля. Например, как мы увидим в XI. 8, для изотропных материалов необходимыми и достаточными условиями служат более слабые неравенства [X > О, + 2[х>0. Таким образом, обоснование 4 никак нельзя развить в адекватное основание для получения априорного неравенства. [c.315]

Этот последний результат особенно значителен. В теории бесконечно малых деформаций имеют место все семь (совокупностей) неравенств, рассмотренных в этом параграфе, и все они следуют из С-неравенств, как это можно видеть на основании несколько усиленного результата упр. X. 3.5 [c.320]

В X. 1 мы видели, что для того, чтобы получить результаты классической теории бесконечно малых деформаций, справедливой для малых деформаций из естественной конфигурации требуется некоторое дополнительное неравенство. С другой сто-роны, как мы видели в VII. 3, мы не можем слепо следовать образцу чистой математики и налагать чересчур сильные условия, достаточные для того, чтобы обеспечить безоговорочную единственность решения граничной задачи с заданными перемещениями и с заданными усилиями, поскольку такая единственность при больших деформациях была бы точно так же неподходящей, как и нарушение этой единственности при малых деформация . Во всяком случае, сейчас это предостережение излишне, поскольку общие дифференциальные уравнения теорий упругости лежат за пределами области, для которой аналитикам удалось построить полезную теорию. В предыдущем параграфе мы изучали возможность наложить требование, чтобы преобразование от главных растяжений к главным силам в изотропном материале было монотонным. Теперь мы рассмотрим соответствующее условие для упругих материалов, имеющих произвольную группу равноправности. [c.321]

В X. 4 мы показали, что для бесконечно малых деформаций из известной конфигурации условия ССЫ+ и ССЫ сводятся к одному и тому же условию, которое представляет собой типичное дополнительное неравенство теории бесконечно малых деформаций. В этой теории, конечно, каждая конфигурация является приближенно естественной конфигурацией. Поэтому сочетание (8) с теоремой Адамара приводит к типичному результату теории бесконечно малых деформаций, принадлежащему по существу Френелю [c.343]

В классической теории бесконечно малых деформаций единственность доказывается обычно с помощью тождества, полученного Кирхгофом. Само это тождество легко обобщается на случай конечных деформаций. Мы начнем с дифференциального уравнения равновесия, которое следует из (VII. 2-6)ь а именно уравнения [c.349]

В теории бесконечно малых деформаций из естественной конфигурации условия, которые обеспечивают положительность под-интегральной функции в правой части, если Р и Р отличаются не только поворотом, налагаются дополнительно. Отсюда следует, что два поля деформаций отличаются друг от друга самое большее поворотом. [c.350]

Разумеется, на каждом шаге налагаются требования гладкости. Они не детализируются здесь, поскольку мы даем не более чем схему результатов. Теорема существования и единственности ) для граничной задачи с заданными перемещениями в классической теории бесконечно малых деформаций содержится в (4), поскольку классическое априорное неравенство влечет S-E-нег равенство, как мы видели с более общей точки зрения в XI. 8. [c.360]

До сих пор мы рассматривали фиксированный момент времени IQ. Предположим теперь, что на некотором конечном интервале IQ t <. IQh, где Л > О, известна и фиксирована некоторая определенная предыстория F. Используя t как параметр, мы можем построить однопараметрическое семейство предысторий (F(0, F+), в котором F(/) задается произвольно и не обязательно равно F+(-f 0). Чтобы пояснить это, используем в качестве примера особенно простой случай больцманов-ской теории бесконечно малых деформаций, а именно тот, в котором ядро не зависит от текущей деформации [c.459]

X. 3.5. В теории бесконечно малых деформаций (напомним, что отсчетная конфигурация является естественной) тензоры T == T (0J, Од, Од) имеют вид [c.546]

XII. 1.2. Заметьте, что в теории бесконечно малых деформаций определяющие уравнения линейны, так что если v = v (X) н v = v (X) — решения одной и той же краевой задачи, то и (X) = v (X) — v (X) есть решение, удовлетворяющее нулевым условиям на границе. Используя (IX. 1-12) (в упрощенной записи) и (IX.3-1), преобразуйте (XII. 1-4), а затеи воспользовавшись дополнительным неравенством (XI. 1-1), покажите, что Е = О, и интерпретируйте этот результат. [c.556]

Любое из этих уравнений в пространстве (с шестью независимыми компонентами) обобщает соотношение (2.2.54) на случай теории конечных деформаций. Очевидно, тензор 1 — 2е может рассматриваться как метрический для деформированного материального пространства в теории бесконечно малых деформаций. В этом случае уравнение (2.2.55) принимает вид Ai/i i(e) = 0. Однако с тензором кривизны в трехмерном [c.89]

Например, в упругих телах (деталях различных машин и сооружений) деформации часто малы и компоненты тензора деформации, являющиеся в декартовой системе координат отвлеченными числами, имеют порядок долей процента поэтому большое распространение получила линейная теория бесконечно малых деформаций, в которой произведениями малых величин пренебрегают. [c.347]

Решение. При упругой деформации ц равен коэффициенту Пуассона ц.. За пределом упругости появляется пластическая деформация, которая протекает без изменения объема. Поэтому за пределом упругости fi увеличивается, прибли жаясь с ростом е к 0,5. Как показывают опыты, х становится практически равным 0,5 при деформации менее 10 %, поэтому воспользуемся формулами теории бесконечно малых деформаций. Учитывая (V.6), получим [c.163]

Частица, находящаяся в момент f в точке х, имеет скорость v(j , /), и потому ее координата в момент t+dt будет x-j-vdt, так как ее бесконечно малый вектор перемещения за время dt будет vdt Таким образом, в каждый момент времени t для исследования движения всей среды за малый интервал dt можно принять метод Лагранжа, если х считать начальной координатой частицы (в момент t), а u (j , t)=ydt применять в качестве вектора перемещения этой частицы. Отсюда происходит совпадение теории малых перемещений и деформаций по методу Лагранжа и теории бесконечно малых деформаций, т. е. скоростей деформаций в эйлеровом пространстве. [c.65]

Возвращаясь к (2), мы видим, что для поддержания простого сдвиг а напряжением сдвига было бы необходимо, чтобы Sj —3-1 = 0 и, следовательно, в силу (4) чтобы Д(/С ) = 0. Это означает, что напряжение сдвига также должно было бы обратиться в нуль. Другими словами, выражение для реакции, следующее из теории бесконечно малых деформаций, не может быть точным ни для какого изотропного упругого материала с не обращающимся в нуль модулем сдвига. В общем случае для того, чтобы произвести сдвиг, нужно приложить нормальные усилия в плоскостях сдвига Хз = onst, сдвиговых плоскостях Xi = onst и нормальны плоскостях Х = onst. [c.277]

Сформулированный в конце 2 закон суперпозиции может быть обобщен ввиду линейности дифференциального уравнения (15) и граничных условий для перемещений и усилий. А. именно, для данного тела в данной естественной конфигурации любая линейная комбинация решений также является решением. Поэтому весьма общие задачи могут быть разбиты на более простые задачи, которые можно решить по отдельности, и затем сложение решений этих более простых задач друг с другом даст искомое решение. Например, для того чтобы исследовать задачу о совместном кручении и растяжении цилиндра, мы решаем задачи о кручении й растяжении отдельно и затем складываем решения в силу закона суперпозиции решение комбинированной задачи ёсть сумма решений двух отдельных задач. Таким образом, кручение и растяжение не оказывают влияния друг на друга, в рамках классической теории бесконечно малых деформаций. В частности, бесконечно малое растяжение не изменяет модуль кручения. Как мы видели при рассмотрении задачи. Кулона в Vin.5, ника сое подобное разделение воздействий невозможно, если либо угол закручивания, либо растяжение велики. Хотя закон суперпозиции свидетельствует об аналитической простоте и удобстве классической теории бесконечно малых деформаций, в равной мере oii свидетельствует 66 ограниченности этой теории как модели механического поведения материалов. [c.300]

Если л = 1, то система (12) сводится к системе уравнений (IX.3-14) и (IX.3-16), которые дают решение граничной задачи с заданными усилиями в теории бесконечно малых деформаций при ui = u и bi = b. Для произвольного п (12) имеет тот же самый вид, за исключением того, что и заменяется на и , Ь на и tx на txrt- Таким образом, представляется, что решение граничной задачи с заданными усилиями в теории конечных деформаций, удовлетворяющее предположениям (2), (3) и (4), сводится к решению п граничных задач с заданными усилиями в теории бесконечно малых деформаций, первая из которых представляет собой соответствующую классическую граничную задачу для того же самого тела. Нагрузки для задачи п-го порядка равны Ь и Согласно (13), это не просто п-е члены разложения данных нагрузок (3) это определенные функции от решений Uj, Ua, U3, u i, полученных на предыдущих п—1 стадиях процесса. [c.306]

В теории бесконечно малых деформаций решение граничной задачи с заданными усилиями, если оно существует, единственно лишь по отношению к бесконечно малым поворотам. Так, если и (Х)—решение системы (12), то решением будет также и + (X — Хо) + onst, где W —любой постоянный антисимметричный тензор. В общей теории упругости не следует ожидать никакой подобной неопределенности, ибо произвольный поворот тела как целого в общем случае не сохраняет равновесие моментов. Чтобы согласовать эти факты, Синьорини предложил определять W с помощью условия совместности (18). Если существует лишь единственный поворот W , то неопределенность поворота устраняется. [c.309]

Таким образом, для семи неравенств, которые мы рассматривали, из одного из них следуют шесть остальных при условиях, когда применима теория бесконечно малых деформаций. Фактически, теория бесконечно малых деформаций предполагает существование естественной конфигурации и потому легко показать, что С Ф (Р-С 0-Е, или В-Е, или Е). С другой стороны, в общей теории изотропных упругих материалов, даже если (21) имеет место, первые три совокупности неравенств справа в (23) не зависят друг от друга и от С. Если имеют место все четыре совокупности, то мы можем коротко выразить этот факт, налагая удобное и простое G NI-условие, которое [c.320]

Резюмируем для материалов с естественной конфигурацией G NI -условие эквивалентно четырем правдоподобным неравенствам С, 1Р5+, Т-Е+ и Е-Т+. В частности, оно включает в себя как частный случай обычное неравенство С теории бесконечно малых деформаций.. Однако это условие представляется слишком сильным для материалов, не имеющих естественной конфигурации. [c.321]

В классической теории бесконечно малых деформаций каждое решение устойчиво в смысле, который мы вскоре определим. Устойчивость этого типа, поскольку она имеет место автоматически, почти тривиальна. Когда мы пробуем, однако, подойти к исследованию понятия устойчивости вообще, оказывается, что трудно не только исследовать, но в первую очередь даже точно определить его. Наиболее, по-видимому, естественная идея заключается в том, чтобы равновесную конфигурацию тела считать устойчивой, ёсли это тело, будучи чуть деформировано из х(- )> само по себе возвращается к через достаточно большое время или по крайней мере мало отклоняется от х(- ) в течение всего последующего времени. Это понятие, несмотря на свою привлекательность, нечетко, поскольку ничего не говорится о силах или связях, которые действуют на в течение его малой деформации из х(- ) и после нее, однако очевидно, что различные распределения сил и связей приводят, вообще говоря, к различному поведению. Дело не только в этом. Для того чтобы такой критерий стал эффективным, должно быть известно определяющее соотношение для в произвольном движении, однако опыт с реальными телами показывает, что устойчивость равновесной конфигурации часто слабо связана со спецификой реакции тела на характер изменения деформации во времени. [c.350]

Это означает, что в теории бесконечно малых деформаций лаг-ранжев и эйлеров тензоры деформаций совпадают. В частности, можно использовать только одну систему координат (например, хи). Тогда уравнения (2.2.44) и (2.2.45) принимают вид [c.87]

Введенные выше тензоры деформации в пространстве имеют в общем случае по шесть независимых компонент. Однако они выражаются через вектор перемещения, который имеет самое большее три независимые компоненты. Если произвольно задать шесть компонент тензора деформации, то сразу возникнет вопрос, существует ли однозначное непрерывное поле вектора перемещения, соответствующего этой деформации. Очевидно, уравнения (2.2.40) и (2.2.41) не имеют решений для трех неизвестных функций ик или ы,-, если не выполняются определенные условия интегрируемости или совместности. Эти условия в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных содержат только компоненты тензора деформации. Например, в теории бесконечно малых деформаций условия совместности, известные как соотношения Ламе, имеют вид [Ег1пдеп, 1967] [c.88]

В теории бесконечно малых деформаций вышеполученные результаты, очевидно, принимают вид [c.91]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...