Методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений

Методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений [c.105]

В первую очередь дадим математическое описание этого метода решения систем нелинейных алгебраических уравнений. Параллельно выясним физический смысл тех математических операций, к которым приходится прибегать при использовании метода. [c.111]

В заключение отметим, что оба рассмотренных метода можно применять и для решения систем нелинейных алгебраических уравнений общего вида. Для общего случая изложение метода простой итерации и метода Ньютона приведено в (2, 101. [c.16]

Тепловые проводимости, теплоемкости и мощности могут зависеть от искомых температур. Поэтому в общем случае получающиеся системы уравнений являются нелинейными. Однако при решении систем нелинейных уравнений обычно организуют итерационный процесс, при котором определение очередного приближения проводится путем решения системы линейных уравнений, в которой проводимости, теплоемкости и мощности рассчитаны по значениям температур, найденным на предыдущей итерации. Решение систем линейных алгебраических уравнений лежит также в основе некоторых методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений- [c.9]

В уравнении (7.96) матрица жесткости [/С] зависит от достигнутого уровня скоростей узловых перемещений. Это усложняет задачу отыскания решения указанного уравнения из-за необходимости рассматривать на каждом шаге по времени систему нелинейных алгебраических уравнений с многими неизвестными. Для этой цели удобно использовать итерационные методы, сводящие решение нелинейных задач к последовательности упругих решений. В расчетах использовался метод переменных параметров упругости. Интегрирование (7.96) по времени осуществлялось методом Эйлера с итерациями. [c.191]

В первом разделе рассмотрена общая процедура решения задач статики, динамики и теплопроводности с помощью МКЭ, даны методы, формулы и библиотека подпрограмм вычисления соответствующих матриц и векторов простых типовых конечных элементов прямолинейных стержней постоянного поперечного сечения (рис. 1.2), прямоугольных в плане оболочек (рис.. 3), тонких треугольных, четырехугольных и прямоугольных в плане пластин (рис. 1.4), круговых колец треугольного, четырехугольного и прямоугольного поперечного сечения (рис. 1.5), четырех-, пяти- и шестигранных объемных элементов (рис. 1.6). Изложены методы и алгоритмы расчета приведена библиотека подпрограмм решения систем линейных алгебраических уравнений, нелинейных функциональных уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.11]

Для решения системы нелинейных алгебраических уравнений химического равновесия смеси реальных газов (9) — (11) применим метод Ньютона. В результате получим систему уравнений, линейную относительно поправок к неизвестным. [c.131]

Аналогичный метод применяют при решении системы нелинейных алгебраических уравнений (2-34). Ориентировочные значения температур также могут быть определены с помощью зависимости (2-49), затем вычисляют в первом приближении величины тепловых проводимостей Оц и решают систему уравнений (2-34), рассматривая ее как систему линейных уравнений. В результате получают температуры tj во втором приближении. Расчеты последующих приближений проводятся до тех пор, пока не будет выполняться неравенство (2-50). [c.47]

Решение уравнений тепловой части алгоритма методом Ньютона — Рафсона. Конечно-разностная аппроксимация уравнений энергии и теплового потока с дополнительными соотношениями представляет собой систему нелинейных алгебраических уравнений высокого порядка. Число уравнений можно существенно уменьшить, если в [c.173]

Используя теперь краевые условия (т. е. полагая = О в узла з Д на границе М), мы видим, что (11.55) дает нам систему квадратных уравнений относительно неизвестных узловых значений Методы решения таких систем нелинейных алгебраических уравнений рассматриваются в 17. [c.181]

Остановимся на общей структуре пособия. В первой главе рассматривается часто встречающаяся в инженерной практике задача расчета средних температур по моделям с сосредоточенными параметрами. Здесь же изложены методы решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений и обыкновенных дифференциальных уравнений, дано описание соответствующего стандартного программного обеспечения. Подробно разобраны примеры программ расчета стационарных и нестационарных температур для системы, состоящей из твердых тел и движущихся жидкостей. Изучение первой главы необходимо для понимания материала следующих. [c.4]

Система (6. 29) и (20) имеет явное решение в алгебраическом виде лишь в частных случаях. Она всегда может быть решена в числовом виде одним из методов, применяемых при решении систем нелинейных уравнений. Из этой системы уравнений определяются коэффициенты [k, I = 1,J 2, 3) как функции разностей координат f, g, h и I, а, X двух определенных точек в подвижной и неподвижной системах. [c.105]

Синтез пространственных механизмов вообще, а направляющих и многозвенных передаточных в особенности сопряжен с решением двух задач. Первая из них — получение уравнений синтеза, содержащих лишь искомые постоянные параметры механизма. К эгому следует стремиться, так как в противном случае, т. е. при наличии в системе уравнений синтеза переменных параметров количество неизвестных величин, а также количество уравнений, подлежащих решению, как правило нелинейных, существенно возрастает. Вторая задача — решение систем многочисленных нелинейных алгебраических уравнений. Эта задача, принципиально разрешимая известными методами математики, например методом Ньютона [11, если известны начальные приближения к решению системы, требует значительных затрат времени на вычислительную работу. Эти затраты существенно возрастают, если начальные приближения неизвестны. Уже намечены пути решения второй задачи путем последовательных приближений [4, 10—13]. Рекомендации по отысканию начальных приближений см. в работе [4]. Возможно также экспериментальное определение начальных приближений путем электромеханического моделирования [2, 3]. [c.40]

Для тепловых поверочных расчетов парогенераторов используется нормативный метод ВТИ—ЦКТИ [Л. 37]. В основу этого метода положено составление и решение для каждой поверхности нагрева и для всего агрегата в целом системы нелинейных алгебраических уравнений. В эту систему входят уравнения теплового баланса, в котором тепло, отданное газами, приравнивается теплу, воспринятому паром, водой или воздухом теплообмена между средами баланса расходов теплоносителей и рабочих сред с учетом отборов пара, воды, газов и воздуха на вспрыски, байпасирование, рециркуляцию и т. д. [c.40]

Рассмотренные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, блоки аппроксимации линейных и нелинейных функциональных и временных зависимостей составляют стандартное математическое и техническое обеспечение АВМ. К специальному математическому и техническому обеспечению аналоговых вычислительных машин относятся методы и устройства моделирования краевых задач, линейных и нелинейных алгебраических уравнений, задач расчета производных и функций чувствительности, дискретных, нестационарных и стохастических систем, уравнений в частных производных, задач оптимизации и геометрических задач. Специальное математическое и техническое обеспечение требуется при встраивании АВМ в экспериментальные установки и испытательные стенды для имитации реальных процессов, регистрации и обработки результатов испытания. Предметом специального рассмотрения может служить теория и практика аналого-цифровых вычислительных комплексов. Некоторые составляющие специального математического и технического обеспечения АВМ изложены ниже. [c.92]

Анализ чувствительности рассмотренными методами сводится к интегрированию систем линейных и нелинейных дифференциальных уравнений. При использовании вариационного метода анализа чувствительности необходимо при интегрировании системы нелинейных дифференциальных уравнений (5.10) хранить в памяти текущие значения вектора переменных состояния. В этом случае естественным является выбор численного метода интегрирования, который позволил бы при заданной точности за наименьшее количество шагов находить решение. Такому условию удовлетворяют неявные методы интегрирования, описанные в главе 4. Однако если разброс собственных значений матрицы Якоби дР/д невелик, то эти методы, как указывалось ранее, становятся неэкономичными, так как на каждом шаге интегрирования необходимо решать систему линейных алгебраических уравнений. В этом случае явные методы позволяют находить решение при значительно меньших вычислительных затратах на каждом шаге. [c.143]

К инвариантному МО одновариантного анализа относятся методы и алгоритмы для решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений (НАУ), обыкновенных дифференциальных уравнений. Использование для этого библиотечных стандартных программ операционных систем ЭВМ в большинстве случаев неэффективно, так как в этих программах не учитываются особенности ММ объектов проектирования в САПР (высокая размерность систем, разреженность матриц в моделях, жесткость систем ОДУ, умеренные требования к точности анализа и др.). [c.34]

Свирский И. В. Методы решения систем алгебраических и трансцендентных уравнений, встречающиеся при расчете больших прогибов пластин и оболочек Ц Материалы летней школы по проблеме Физически и геометрически нелинейные задачи теории пластин и оболочек. I.—Тарту Тартуский гос. ун-т, 1966.— С. 234—257. [c.368]

Анализ применяемых численных методов решения контактных задач показывает, что в некоторых вариантах возможны такие вычислительные трудности по сравнению с решением классических краевых задач со смешанными граничными условиями, как нарушение положительной определенности систем алгебраических уравнений, появление неустойчивости их решения из-за плохой обусловленности, применяется численная реализация некорректно поставленных задач. Здесь предлагается алгоритм решения задачи контакта деформируемых тел, свободный от указанных недостатков, дающий в ряде случаев более быструю сходимость по сравнению с применяемыми методами. В качестве иллюстрации рассмотрено решение задачи контакта шероховатых тел с нелинейной податливостью шероховатого слоя. [c.141]

При необходимости избежать алгебраического решения систем уравнений (23) и (24) и применять методы решения нелинейных систем уравнений к рассматриваемой задаче, нужно дополнительно определять значения переменных 0,, Ф,, 0g, для каждого положения механизма, соответствующего заданным точкам Ki- При этом максимальное количество заданных точек шатунной траектории остается неизменным п = 9), но количество неизвестных возрастает до 19 + 5я, а количество уравнении системы до 7я, как это следует из неравенства, которым нужно теперь заменить неравенство (28) [c.48]

Граф тепловой схемы вместе с описанием ее элементов и связей между ними задает систему уравнений, подлежащую решению. Системы уравнений, описывающие теплоэнергетические установки, содержат значительное число нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений. В сложных схемах число уравнений достигает нескольких сотен. Этим объясняется сложность разработки достаточно строгих общих методов решения таких систем. [c.58]

Для определения параметров канала МГД-генератора необходимо решить систему дифференциальных и алгебраических уравнений высокого порядка. Например, система нелинейных уравнений для определения параметров низкотемпературной плазмы — это лишь часть указанной системы. Аналитическое решение такой системы уравнений возможно лишь при многих упрощающих предположениях и допущениях, которые часто искажают физическую картину сложных процессов передачи и преобразования энергии и вносят большую погрешность в результаты расчета. Единственный выход в данном случае — применение численных методов решения с реализацией их на ЭЦВМ. [c.114]

При итерационном решении нелинейных систем алгебраических уравнений часто полезным оказывается применение метода релаксации. В этом случае решение на новой итерации можно записать в виде [c.158]

Для того чтобы численно решить уравнения (18,52) и (18.55), в расчетах пространственных полей используется МКЭ, а для определения временных зависимостей — МКР. Для начала вся граница С условно разбивается на отрезки конечной длины — конечные элементы (рис. 18.5). В каждом элементе функции ф, т , В и D приближаются комбинацией значений этих величин в узловых точках и интерполяцией. Базисная функция линейна по S, причем S измеряется вдоль элемента. Далее, для выбора значений в контрольных точках, которыми считаются узловые точки, к уравнению (18.52) применяется метод коллокации. Таким образом, при дискретизации уравнение (18.52) заменяется системой алгебраических уравнений относительно Ф , т] и Л , причем индекс i означает, что величина относится к узловой точке i, а точка означает дифференцирование по времени. С другой стороны, при дискретизации уравнения (18.55), принимая во внимание произвольность величин получаем другую систему уравнений относительно фг, ф , T)i, т и bi ). Поскольку эти системы уравнений нелинейны относительно неизвестных величин, для численного решения используется метод возмущений. Пусть [c.437]

Разрешающая система уравнений для конструкции, состоящей из Л/оболочек, составляется из Л/систем(II. 19). К граничным условиям на торцах конструкции присоединяется N — 1 условие сопряжения оболочек (11.23). Сформулированная нелинейная краевая задача может быть сведена к системе нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений и к задаче Коши для начального вектора. Однако в силу жесткости задачи Коши подобный алгоритм решения нелинейных задач неустойчив. Более эффективно применение итерационного процесса, на каждом шаге которого решается линейная краевая задача в сочетании с устойчивым численным методом прогонки [30, 90, 134, 1861. В практике решения [c.36]

Отказы в решении задач могут проявляться в несхо-димости итерационного процесса, в превышении иогреш-ностями иределыю допустимых значений и т. и. Причинами отказов могут быть такие факторы, как плохая обусловленность ММ, ограниченная область сходимости, ограниченная устойчивость. Так, итерации ио методу Ньютона ири решении систем нелинейных алгебраических уравнений сходятся только в случае выбора начального приближения в достаточно малой окрестности корня. [c.49]

Решение систем нелинейных алгебраических уравнений. Ограничимся изложением только двух методов реп1ения, рассматривая их применительно к нелинейным системам частного, но наиболее часто встречающегося в разных теплофизических задачах квазилинейного вида. Такие системы записываются аналогично (1.8), но имеют коэффициенты ац, зависящие от искомых величин и. a,j = = a,j (и,,. .., u/v). Они возникают, например, при решении стационарных уравнений теплового баланса (1.2), в которых тепловые проводимости Ojj зависят от температур Т,-, Г,-. Для решения этих нелинейных систем обычно применяют итерационные методы, в которых на каждой итерации решается линеаризованная система, т. е. некоторая линейная система, полученная из исходной нелинейной задачи. Наиболее часто применяют два подхода к линеаризации. [c.15]

Д]ругая форма метода дана А.А. К фдюмовым [2321. Для решения систем нелинейных алгебраических уравнений вида (1.1.1), полученных методом Ритца, он предложил использовать непрерывное продолжение по параметру нагрузки. В работе [69] зта же форма продолжения по параметру применена к нелинейным уравнениям метода Бубнова. Во избежание, вычислительных-трудностей в окрестности предельной точки продолжение решения предлагается осуществлять по некоторому комплексному параметру, в частности сделана попытка использовать в качестве параметра продолжения решения длину кривой решений К. [c.184]

Предназначен для решения тепловых задач. ТЕКОН представляет собой модульную систему программ со специализированным языком. Обеспечивает решение задач параболического и эллиптического типов. В общем случае ТЕКОН может быть одним из блоков некоторого более общего вычислительного процесса. Названные задачи решаются в произвольных пространственных областях ступенчатого типа,заданных в локально-ортогональных координатах, описываемых с помощью коэффицпентов Ламе. При переходе от исходной системы уравнений к конечно-разностной аппроксимации используется интегро-интерполяционный метод построения разностных схем [79]. Рассматривается класс неявных консервативных разностных представлений. Алгоритмы, реализующие процедуры вычислений по соответствующим схемам, содерл<ат итерационные процессы по нелинейности, сводящиеся к решению систем линейных алгебраических уравнений на каждом шаге. В рассматриваемом ТЕКОНом клас- [c.178]

На втором этапе были вычислены состав и термодинамические функции воздуха при различных температурах и давлениях. Задача состояла в решении системы нелинейных алгебраических уравнений для молярных долей компонент воздуха при каждой температуре и каждом давлении. При решении системы использовался метод Ньютона. Для вытшсления теплоемкостей решались две системы линейных уравнений для определения производных от чисел молей при постоянном давлении и производных от чисел молей при постоянном объеме. По данным решений трех систем и расчетам термодинамических функций компонент вычислялись термодинамические функции воздуха. [c.277]

В [л. 77] на простейшем примере одиночной ГЭС лроверялась возможность использования метода Ньютон а—Р а ф с о н а для оптимизации длительных режимов ГЭС. Если записать в конечных -разностях дифференциальные уравнения (2-13),. то получим систему нелинейных алгебраических уравнений. Одним из наиболее эффективных путей численного решения этой системы уравнений является метод Ньютона— Рафсона. [c.42]

Зональные методы находят применение и при моделировании радиационно-конвективного теплообмена. Объем рабочего пространства печи, а также поверхности ограждения и обрабатываемо1Х) материала разбивают на объемные и поверхностные зоны. При этом для каждой зоны записывают уравнения теплового баланса, учитывающие для объемных зон радиационный и конвективный перенос теплоты, конвективную теплоотдачу к поверхности и тепловыделение при горении, а для поверхностных зон — радиационную и конвективную составляющие теплоотдачи. В результате получают систему нелинейных алгебраических уравнений, которая и подлежит численному решению. Теория и практика применения зональных методов для математического моделирования внешнего радиационно-конвективного теплообмена описаны в [2, 3, 34, 35]. [c.76]

Сказанное показывает важное значение, отводимое в математическом обеспечении САПР численным методам решения систем ОДУ, нелинейных и линейных алгебраических уравпепин. Из рис. 2.2 также видно, что такие системы уравнении приходится роптать при проектировании объектов па микро- и макроуровнях, а часто и на ме-тауровие. От эффективности этих методов существенно зависит общая эффективность выполнения проектных процедур функционального проектирования. [c.45]

Конечные элементы могут быть построены различной формы, для различных видов деформации (плоская задача, изгиб пластин, деформации элемента оболочки, стержня и т. д.). Каждый из элементов характеризуется его матрицей жесткости R. Если они построены, то метод конечных элементов позиоляет по изложенной схеме создавать любые композиции (ансамбли) из различных конечных элементов. Причем определение деформированного состояния такой композиции или ансамбля (приближенно заменяющего реальную конструкцию) сводится к составлению и решению системы линейных алгебраических уравнений типа (8.71). В настоящее время существуют автоматизированные комплексы программ, позволяющие рассчитывать по методу конечных элементов очень сложные конструкции с числом неизвестных перемещений, соствляющим тысячи или даже десятки тысяч единиц. Он успешно также применяется в решении нелинейных задач и задач динамики деформируемых систем. [c.263]

Схемотехническое проектирование радиотехнических (RF) схем отличается рядом особенностей математических моделей и используемых методов, прежде всего в области СВЧ-диапазона. Для анализа линейных схем обычно применяют методы расчета полюсов и нулей передаточных характеристик. Моделирование стационарных режимов нелинейных схем чаще всего выполняют с помощью метода гармонического баланса, основанного на разложении неизвестного рещения в ряд Фурье, подстановкой разложёния в систему дифференциальных уравнений с группированием членов с одинаковыми частотами тригонометрических функций, в результате получаются системы нелинейных алгебраических уравнений, подлежащие решению. Сокращение времени в случае слабо нелинейных схем достигается при моделировании СВЧ-устройств с помощью рядов Вольтерра. Анализ во временной области для ряда типов схем выполняют с помощью программ типа Spi e путем интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.136]

Маркировка - распределение меток по позициям в сети Петри Маршрутизация транспортных средств - задача определения маршрутов движения транспортных средств для выполнения заказов на перевозки грузов Математическое обеспечение ALS - методы и алгоритмы создания и использования моделей взаимодействия различных систем в ALS-технологиях Метод гармонического баланса - метод анализа нелинейных систем в частотной области, основанный на разложении неизвестного решения в ряд Фурье, его подстановкой в систему дифференциальных уравнений с группированием членов с одинаковыми частотами тригонометрических функций, в результате получаются системы нелинейных алгебраических уравнений, подлежащие решению Метод комбинирования эвристик - метод определения оптимальной последовательности эвристик для выполнения совокупности шагов в многошаговых алгоритмах синтеза проектных решений [c.312]

Применяя прямое и обратное преобразования, а также теоремы комплексного исчисления и методы решения нелинейных алгебраических уравнений, Г. Е. Пухов решил ряд задач с доведением их до численных результатов. В частности, получены формулы для расчета периодических процессов и процессов установления в электрических машинах постоянного тока с учетом нелинейности дифференциальных уравнений, в магнитных усилителях, в статических утроителях частоты и др. Кроме того, им получены расчетные формулы для определения периода колебаний и амплитуд гармоник лампового генератора, рассчитаны периодический процесс в цепи параметрического генератора и переходные процессы в ряде систем автоматического регулирования. При этом выяснилось, что определение качества переходных процессов проще производить комплексным методом, а не наиболее распространенным методом трапецоидальных частотных характеристик. Если комплексным методом исследовать почти синусоидальные процессы в нелинейных системах, то можно убедиться в том, что в этом случае он будет тождественен методу гармонического баланса Н. М. Крылова и Н. Н. Бого-л1обова. Метод Г. Е. Пухова подробно изложен в его книге [13]. [c.94]

Метод сеток, или метод конечных разностей, является эффективным инструментом теоретического изучения конвективных процессов. Основная идея метода такова. В области определения дифференциальной задачи выбирается конечное множество точек (узлов), называемое сеткой. Функции и производные в каждом узле приближенно заменяются (аппроксимируются) некоторыми линейными комбинациями значений соответствующих функций, входяищх в уравнения и краевые условия, в узлах сетки. В результате этих замен нелинейная дифференциальная задача ЕК сводится к системе нелинейных алгебраических уравнений относительно приближенных значений искомых функций в узлах. Такую систему принято называть разностной задачей, или разностной схемой. Несмотря на нелинейность и большое, как правило, число неизвестных, разностная задача более предпочтительна для решения, чем исходная дифференциальная, так как допускает применение вычислительной техники. Найденное на ЭВМ решение разностной задачи (разностное решение) принимается за приближенное решение исходной задачи в узлах сетки. Оно имеет вид числовой таблицы, размер которой пропорционален количеству узлов. [c.28]

Метод конечных элементов, по крайней мере его основы, известен уже более полувека, но настоящий взлет он получил лишь с развитием современных средств информатики. Интегральные представления известны достаточно давно благодаря работам Галеркина, Ритца, Куранта и Гильберта [1-4] (здесь отмечены только эти работы, как внесшие наиболее существенный вклад). Однако применение интегральных представлений расширялось по мере того, как разрабатывались методы решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений больших размерностей. Действительно, громадная работа по решению линейной системы с несколькими десятками уравнений и таким же количеством неизвестных отталкивала большинство инженеров, и такими вычислениями занимались лишь немногие специалисты, которые, впрочем, разрабатывали всевозможные ухищренные методы, применявшиеся в течение ряда лет, некоторые из которых используются еще и сегодня (Сутвел, Якоби, Гаусс). [c.7]

Для исследования динамики промышленных гидроприводов используется система обыкновенных дифференциальных и алгебраических нелинейных уравнений [1, 2]. В этих уравнениях ряд коэффициентов изменяет свое значение при достижении заданного значения аргументом (временем) или какой-либо переменной, например скоростью выходного звена гидродвигателя, расходом жидкости в определенном сечении и т. д. Рассмотрим метод решения таких систем уравнений на примере решения системы уравнений движения гидропрцвода с гидроцилиндром, который питает нерегулируемый насос с переливным клапаном. Управление скоростью выходного звена гидроцилиндра (поршня) осупдествляется дроссельными управляюш ими гидроустройствами (УГ), золотники которых перемещаются с постоянной настраиваемой скоростью. Экспериментальное исследование УГ с профилированными золотниками [1] показало, что потери давления Ар в окне У Г можно с достаточной точностью аппроксимировать функцией [c.3]

Динамика промышленных гидроприводов моделируется решением систем обыкновенных дифференциальных и алгебраических нелинейных уравнений. Алгоритм исследования динамики гидроприводов представлен на алгоритмическом языке Фортран-4. Интегрирование дифференциальных уравнений осуществляется методом Рунге-Кутта. Табл. 1, библ. 4 назв. [c.170]

При стационарном режиме работы термоизоляции X и в (2.56) и (2.57) не будут зависеть от времени t и станут числовыми коэффициентами, которые могут быть определены из системы алгебраических уравнений (в общем случае нелинейных). Эту систему можно получить как из (2.47) при условии = Г = О, так и из условия минимума функционала (2.48). В последнем случае метод приближенного аналитического решения задачи называют методом Рэлея-Ритца [10]. Этот метод применим и в случае конечно-элементной аппроксимации стационарного распределения температур в рассматриваемом неоднородном анизотропном теле произвольной формы. [c.49]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...