Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы синтеза по заданным положениям приводятся к методам решения систем уравнений, получающихся при условии замыкания механизма. Получаемая система уравнений зачастую является нелинейной. Поэтому основными методами для нахождения численных значений параметров служат методы решения систем нелинейных уравнений. [c.139]

Точных методов решения уравнения (1.73) не существует. Одним из наиболее распространенных приближенных методов решения систем нелинейных уравнений является метод Ньютона [10,36]. Согласно этому методу корни уравнения (1.73) находятся с помощью итерационного процесса [c.35]

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [c.129]

Это наиболее распространенный метод решения систем нелинейных уравнений. Его популярность обусловлена тем, что по сравнению с методом простой итерации, он обеспечивает гораздо более быструю сходимость. В основе метода Ньютона лежит представление всех п уравнений в виде рядов Тейлора [c.39]

О ШАГОВОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [c.135]

По-видимому, наиболее часто используемым методом решения систем нелинейных уравнений, встречающихся в задачах нелинейной теории упругости, является метод последовательных нагружений. Будучи в некоторых чертах сходным с методом Ньютона — Рафсона, этот метод обладает рядом особенностей, делающих его особенно полезным в приложениях к физическим задачам. Во-первых, каждый шаг итерационного процесса допускает ясную физическую интерпретацию. А именно рассматривается нагружение деформируемого тела приращением нагрузки бр, которое считается достаточно малым, так что реакция тела на это приращение линейна. После приложения каждого приращения нагрузки выписывается новое жесткостное соотношение и осуществляется следующее приращение нагрузки. Продолжая этот процесс, мы получаем полную картину нелинейного поведения тела в виде последовательности кусочно-линейных шагов. Поскольку до приложения нагрузок тело, как правило, находится в естественном ненапряженном состоянии, вопрос о выборе начального приближения отпадает. Действительно, если X обозначает вектор неизвестных узловых перемещений, то мы просто полагаем Хо = О, что дает начальную точку, соответствующую недеформированному состоянию тела. В случае же, когда тело несжимаемо, мы приравниваем нулю узловые перемещения и вычисляем гидростатические давления в недеформированном состоянии. Они и служат компонентами начальной точки Хо- [c.317]

Практически все численные методы решения систем нелинейных уравнений являются итерационными, т. е. для систем уравнений вида [c.66]

Тепловые проводимости, теплоемкости и мощности могут зависеть от искомых температур. Поэтому в общем случае получающиеся системы уравнений являются нелинейными. Однако при решении систем нелинейных уравнений обычно организуют итерационный процесс, при котором определение очередного приближения проводится путем решения системы линейных уравнений, в которой проводимости, теплоемкости и мощности рассчитаны по значениям температур, найденным на предыдущей итерации. Решение систем линейных алгебраических уравнений лежит также в основе некоторых методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений- [c.9]

Система (6. 29) и (20) имеет явное решение в алгебраическом виде лишь в частных случаях. Она всегда может быть решена в числовом виде одним из методов, применяемых при решении систем нелинейных уравнений. Из этой системы уравнений определяются коэффициенты [k, I = 1,J 2, 3) как функции разностей координат f, g, h и I, а, X двух определенных точек в подвижной и неподвижной системах. [c.105]

Методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений [c.105]

Изложенные выше трудности использования метода Ньютона для решения одного нелинейного уравнения (5.12) усугубляются при применении его к решению систем нелинейных уравнений (5.16). Во-первых, возникает проблема вычисления на каждой итерации матрицы из частных производных. Во-вторых, обостряется проблема нахождения хорошего начального приближения. Для преодоления этих трудностей используют специальные модификации метода [2, 72]. [c.131]

Таким образом, потребности развивающейся новой техники поставили уже в 40-х годах нашего столетия задачу об эффективных способах нахождения решений систем нелинейных уравнений с частными производными с учетом реальных свойств веществ и геометрии проектируемых изделий. Известные ранее аналитические методы решения отдельных типов линейных уравнений (создание их связано с именами Фурье, Адама ра, Римана, Лежандра и других известных математиков) и некоторых нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (Пуанкаре, Ляпунов и другие) не могли дать решения поставленных задач. Численные же методы, которые также успешно при менялись для решения отдельных задач еще в прошлом веке (Гаусс, Леверье и другие), не могли быть эффективно реализованы до появления хороших счетных машин. Конец 40 х годов и все последующие десятилетия проходили под знаменем бурного прогресса средств вычислительной техники. Первое время рост возможностей электронно-вычислительных машин, в первую очередь их быстродействия и памяти, выдвинул тезис о том, что с помощью достаточно мощных ЭВМ, с использованием сугубо численных методов (прежде всего разностных методов и методов прямого статистического моделирования) можно эффективно получить решение практически всех возникающих в приложениях задач без детального, аккуратного в математическом смысле исследования свойств применяемых математических моделей. [c.13]

Методы приближенных вычислений (стандартные численные методы вычисле ния интегралов, решения систем нелинейных уравнений, приближения функций, реше ния обыкновенных дифференциальных уравнений, методы регуляризации при решении неустойчивых задач). [c.25]

Мы начинаем изучение самого плодотворного метода теоретической физики — гамильтонова формализма [8, 15, 16, 28, 40, 156, 262]. В современной физике гамильтоновы системы занимают весьма важное место. С одной стороны, они описывают практически все явления, изучаемые в классических теориях гамильтонов формализм является основой квантовой механики и теорий вторично-квантовых полей [15, 156-158]. С другой стороны, теория канонических преобразований позволяет развить универсальные методы получения точных и приближенных решений систем нелинейных уравнений. [c.250]

Рис. 2.10. Блок-схема алгоритма метода простой итерации для решения систем нелинейных уравнений.

Для решения систем нелинейных уравнений лучше всего пользоваться методом Ньютона. Если точные значения частных производных найти не удается, можно пользоваться их приближенными значениями, найденными методом секущих. [c.45]

Перечисленные атрибуты могут фигурировать н в приближенных методах расчета. Например, при решении систем нелинейных уравнений часто прибегают к линеаризации (атрибут А2). Другой пример — решение уравнений методами последовательных приближений (атрибут ЛИ). Однако теория приближенных методов заранее предполагает оценку погрешностей, а эвристическое решение имеет вероятностный характер в том смысле, что оно пригодно для большинства случаев. [c.21]

Решить поставленную задачу можно с использованием известного метода Ньютона для решения систем нелинейных уравнений. Приращения функций Ф могут быть представлены в виде разло- [c.390]

В первую очередь дадим математическое описание этого метода решения систем нелинейных алгебраических уравнений. Параллельно выясним физический смысл тех математических операций, к которым приходится прибегать при использовании метода. [c.111]

В ЭТОМ параграфе мы хотели бы обсудить некоторые свойства методов простых итераций вида (15.3.2-2) для решения систем нелинейных уравнений (15.3.2-1) [c.411]

Для решения систем нелинейных уравнений применяют [6, 281 метод Ньютона, метод наименьших квадратов, градиентные методы и некоторые др. [c.387]

Решение систем нелинейных АУ выполняется итерационными методами, при этом на требуемое число итераций И в методе Ньютона решающее влияние оказывает выбор начального приближения, а в остальных итерационных методах — число обусловленности Ц матрицы Якоби решаемой системы уравнений. [c.233]

Основная сложность при решении уравнений заключается в том, что задачи статики стержней относятся к двухточечным краевым задачам, когда решение должно удовлетворять определенным условиям в начале и в конце интервала интегрирования, в отличие от одноточечных краевых задач — задач Коши, когда все условия, которым должно удовлетворять решение, известны в начале интервала интегрирования. Поэтому хорошо разработанные методы решения систем дифференциальных линейных (и нелинейных) уравнений для одноточечных задач использовать для решения двухточечных задач в общем случае нельзя. В настоящее время имеется ряд методов численного решения линейных двухточечных задач (имея в виду стержни), которые получили распространение в расчетной практике метод начальных параметров, метод прогонки [2], метод конечных элементов [15]. Точное аналитическое решение линейных уравнений равновесия стержня, например (1.112) — (1.115), возможно только для случая, когда элементы матрицы Ах— постоянные числа [этот случай будет рассмотрен в 5.2, где изложены теория и методы расчета винтовых стержней (цилиндрических пружин)]. Для уравнений с переменными коэффициентами возможны только численные или приближенные методы решения. [c.61]

Использование традиционных методов решения систем нелинейных уравнений (метода наискорейшего спуска, метода Ньютона, итерационных методов) наталкивается на значительные трудности, связанные, нанример, с дифференцированием функций, определяемых в данном случае интегралами. Поэтому использован численный алгоритм, заключаюгцийся в следуюгцем. [c.287]

Некоторые разновидности шаговых методов. Рассматриваемые метод последовательных жесткостей и ряд модификаций шаговых методов единообразно укладываются в схему известного в. прикладной математике метода дифференцирования по параметру (методы продолжения) Методы продолжения использовались для доказательства суш,ествования решения еш,е в прошлом столетии [84]. Впервые этот метод для численного решения систем нелинейных уравнений был применен, по-видимому,. яэемом [82]. Кроме того Д. О. Давыденко [22] применил метод дифференцирования по параметру к широкому классу задач, в том числе и для решения систем нелинейных уравнений. В ряде более поздних работ [10, 74] эти методы были снабжены четким физическим смыслом, что обусловило их широкое распространение при решении различных нелинейных задач механики. [c.80]

Первое издание книги опубликовано издательством Московского университета в 1988 г. Во втором издании книги приведены решения 160 новых задач. Включена новая глава 11 Релятивистская механика . Теперь сборник содержит решения 560 задач, иллюстрируюш их приложения методов теоретической механики к исследованию широкого круга проблем. Представлены задачи по всем разделам классической механики динамика частицы во внешнем поле и тел переменной массы, динамика системы частиц, уравнения Лагранжа, линейные и нелинейные колебания, динамика твердого тела, электромеханика, уравнения Гамильтона и канонические преобразования. Задачи по электромеханике рассмотрены в рамках лагранжева формализма. Включены также 42 задачи по релятивистской динамике, которые отсутствуют в известных сборниках задач по механике. Ряд задач, представляюш их различные аспекты одной проблемы, представлен в нескольких разделах сборника. Значительно расширен раздел, включаюш ий множество задач, иллюстрируюш их применение новых методов интегрирования систем нелинейных уравнений обш его вида, представленных в гамильтоновой форме. [c.5]

Цель учебника — изложить фундаментальные принципы и методы теоретической механики, научить читателя активно применять современный математический аппарат для решения конкретных задач динамики, подготовить к анализу широкого круга проблем, изучаемых в курсе теоретической физики. Основное внимание уделено исследованию классических и современных задач механики в рамках лагранжева и гамильтонова подходов, методам гамильтонизации систем нелинейных уравнений и новым методам интегрирования канонических систем. [c.1]

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрируюшдх применение метода усреднения для решения систем нелинейных уравнений. [c.320]

При использовании ручных расчетных методов решение систем нелинейных дифференциальных уравнений высокого порядка, каковыми являются математические модели реальных схем, практически невозможно, если не прибегать к многочисленным упрощениям ММС. Наиболее известные приемы упрощений—раздельный анализ схем на постоянном и переменном токе, раздельный анализ процессов в схеме на разных стадиях переходного процесса или в разных частотных диапазонах, причем анализу переходных процессов или частотных характеристик должна предшествовать линеаризация ММС. Обычно этих приемов недостаточно, поэтому приходится пренебрегать частью реактивностей, сводя их количество, остающееся в эквивалентной схеме, до одной-двух. Тогда ММС становится системой не более двух линейных уравнений и может быть решена в общем виде. Это решение в итоге даст приближенные явные зависимости выходных параметров от внутренних и внешних параметров. Невысокая точность ручных расчетных методов очевидна. Кроме того, сколько-нибудь обоснованное упрощение эквивалентных схем обычно возможно только для простых схем, причем приемы упрощений будут специфичными для каждой конкретной схемы или, в лучшем случае, группы схем. Следовательно, ручные расчетные методы не являются универсальными. Однако на первоначальных стадиях проектирования еще не требуется высокой точности расчетов. Поэтому ручные расчетные методы с необходимостью используются в процессе проектирования для получения некоторых вариантов схем, исходных для дальнейшей отработки экспериментальными методами (см. рис. 2, блоки 1 б, 2 б, 1 в). Знание этих методов и приемов полезно и при решении неалгоритмизированной задачи синтеза. [c.31]

Ввиду отмеченного выше, приходится обратиться к методу решения системы нелинейных уравнений, свободному от упомянутого недостатка, поскольку речь идет об исследовании устойчивости или о расчете вантовостержневых систем по деформированной схеме. В качестве такого метода изберем шаговый метод решения, который применительно к задачам строительной механики развивался в ряде работ [16, 32, 51, 52, 87, 88]. Обычно в применении шагового метода исходили из физических соображений, в связи с чем по существу один и тот же метод получил различные обоснования и наименования у различных авторов ( метод многоступенчатого нагружения [16], метод последовательных деформаций [32] и т. п.). [c.135]

Хотя симплексный метод предполагает осутцествление множества проб и итераций, доказано, что он достаточно эффективен при решении некоторых нелинейных систем в тех случаях, когда не проходят другие методы. Особенно эффективен этот метод при решении больших систем линейных неравенств. Поэтому он гораздо чаще применяется в нелинейном программировании, чем при решении систем нелинейных уравнений. [c.328]

ПРАКТИЧРХКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [c.16]

Математическое моделирование активных модулей АФАР может быть осуществлено двумя способами на основе системы уравнений, описывающих работу активных элементов, которая в общем случае является системой нелинейных дифференциальных уравнений, или с помощью их выходных (нагрузочных) характеристик. В обоих случаях при моделировании АФАР получается система нелинейных уравнений, решать которую необходимо численными методами. Так как все численные методы решения систем нелинейных урабнений являются итерационными, то при расчете характеристик АФАР для каждого положения луча при первом способе моделирования необходимо многократное решение системы дифференциальных уравнений, что требует больших затрат машинного времени. [c.41]

Функции (5.37) возникают при решении задач многокритериальной оптимизации, чебышевской аппроксимации, решении систем нелинейных уравнений. В [226] предложен метод сведения общей задачи математического программирования к безусловной минимизации функции вида (5.37). Сложность минимизации функций максимума (5.37) связана с тем, что функция g ) недифференцируема, и поэтому рассмотренные ранее методы не могут быть непосредственно использованы. Выделим основные подходы к построению алгоритмов минимизации функции максимума. [c.149]

Для решения систем нелинейных конечных уравнений используют диакоптический вариант метода Ньютона с контролем сходимости итерационного процесса отдельно по выделенным фрагментам. Выполнение условий сходимости в г-м фрагменте является основанием для прекращения вычислений по уравнениям этого фрагмента. Очевидно, что раздельное интегрирование означает и раздельное решение подсистем ЛАУ, относящихся к отдельным фрагментам. [c.244]

Сказанное показывает важное значение, отводимое в математическом обеспечении САПР численным методам решения систем ОДУ, нелинейных и линейных алгебраических уравпепин. Из рис. 2.2 также видно, что такие системы уравнении приходится роптать при проектировании объектов па микро- и макроуровнях, а часто и на ме-тауровие. От эффективности этих методов существенно зависит общая эффективность выполнения проектных процедур функционального проектирования. [c.45]

Отказы в решении задач могут проявляться в несхо-димости итерационного процесса, в превышении иогреш-ностями иределыю допустимых значений и т. и. Причинами отказов могут быть такие факторы, как плохая обусловленность ММ, ограниченная область сходимости, ограниченная устойчивость. Так, итерации ио методу Ньютона ири решении систем нелинейных алгебраических уравнений сходятся только в случае выбора начального приближения в достаточно малой окрестности корня. [c.49]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...