Матрица устойчивости

Определяющее устойчивость системы выражение в левой части неравенства (6.15) назовем матрицей устойчивости. Неравенство (6.14) для определителя этой матрицы позволяет получить конкретные условия устойчивости однофазной системы в различных условиях. В самом деле, разделим неравенство (6.14) сначала на квадрат изменения координаты (АУ) при постоянном значении термодинамической силы Т, сопряженной координате S, а потом на квадрат разности координаты (Д ) при постоянной термодинамической силе р, сопряженной -первой координате V. Тогда [c.127]

Таким образом, однородная система находится в состоянии устойчивого равновесия, если ее матрица устойчивости (6.15) положительна (это условие является необходимым и достаточным) или же если выполняются условия устойчивости (6.16) и (6.17) (эти условия являются достаточными, но не необходимыми, так как возможно устойчивое состояние и при нарушении этих условий). [c.128]

Условия устойчивости критического состояния найдем из неравенства для определителя матрицы устойчивости (6.15), выражающего необходимое и достаточное условие устойчивости однородной системы [c.243]

Будем характеризовать однородную систему независимыми переменными S, р тогда T—T S,p) и из неравенства для матрицы устойчивости [c.344]

Выберем в качестве независимых переменных однородной системы Т п S. Тогда р=р Т, S) и У=У(Т, S). Из неравенства для матрицы устойчивости [c.345]

Таким образом, однородная система находится в состоянии устойчивого равновесия, если ее матрица устойчивости (6.15) по- [c.106]

Формируем матрицу устойчивости Д. Уравнения равновесия и совместности перемещений узлов 1 и 2 содержатся в матрице Y. Из матрицы [c.184]

Складывая эту матрицу с обнуленной матрицей Д,, получаем матрицу устойчивости неразрезного стержня на упругих опорах f = EI = l) [c.188]

Формируем матрицу устойчивости А . Матрицы фундаментальных функций для стержней 0-1, 1-2, 2-4 заимствуем из уравнения изгиба (2.11), а для стержня 3-1 - из уравнения (4.4) с добавлением нормальных сил. Уравнения равновесия узлов 1 и 2 составляем для недеформированного состояния рамы, а уравнения совместности перемещений в соответствии с деформированным состоянием по рисунку 4.4. [c.190]

Из анализа матрицы X следует, что в матрице А нужно обнулить 1,3, 5, 6, 16 и 17 столбцы. В матрице X число нулевых параметров равно 6. Столько же независимых параметров в матрице Y, так что можно выполнить цепочку преобразований по схеме (1.46). Суммируя топологическую матрицу С с обнуленной матрицей Ао, получим матрицу устойчивости рассматриваемой рамы. [c.190]

Формируем матрицу устойчивости А. Матрицы фундаментальных функций для стержней 0-1, 1-3 заимствуем из уравнения статического изгиба [c.193]

Матрицы X, У, в которых представлены заданные краевые условия опирания рамы и уравнения связи между граничными параметрами в узле 1, представлены ниже. Из матрицы X следует, что в матрице А нужно обнулить 1, 2, 5, 12 и 13 столбцы. Сложив обнуленную матрицу Ао с топологической матрицей С, получим матрицу устойчивости А. [c.193]

Необходимость применения динамического метода существенно усложняет решение неконсервативных задач устойчивости. Здесь требуется весьма эффективный метод определения частот собственных колебаний. Среди других методов в этом отношении вьщеляется МГЭ. Он позволяет получать точный спектр частот (устраняет недостаток МКЭ), а в трансцендентном частотном уравнении отсутствуют точки разрыва 2-го рода (устраняет недостаток метода перемещений). Дополнительными положительными факторами являются простая логика формирования динамической матрицы устойчивости, отсутствие операций умножения, обращения и сложения матриц, хорошая устойчивость численных операций при вычислении определителя и т.п. [c.196]

Топологическую матрицу С формируем по матрицам X, У, а динамическая матрица устойчивости имеет 8-ой порядок. Учет следящей силы, как и у консольного стержня, производится с помощью фаничных условий = [c.222]

Формируем динамическую матрицу устойчивости А рамы. Матрицы X, Y с уравнениями равновесия и совместности перемещений узлов 1,2 представлены ниже. Используем блоки уравнений (4.12), (3.10) с добавлением нормальных сил. В данной раме имеются линейно подвижные стержни 0-1 и 1-2. При колебаниях рамы массы этих стержней вызывают силы инерции. Учет таких сил инерции выполняем по формуле (3.21). К началу стержня 1-3 прикладываем сосредоточенную массу , а к концу [c.224]

Как результат, в динамической матрице устойчивости А примера 4.10 добавятся 2 компенсирующих элемента (13,16) = FEI и (14,7) = -FЕ1, т.е. возникает переменная топология, как в примере 4.7, но за счет 2-х элементов. Изменяя пропорционально параметр F стержней 1-3 и 4-2 (в матрице А для стержня 4-2 необходимо использовать блок фундаментальных функций уравнения (4.12)), фиксируем изменения частот рамы. Графики Oi=f F) представлены на рисунке 4.19. [c.228]

Для определения критических сил формируется матрица устойчивости а уравнение устойчивости по МГЭ принимает вид [c.316]

Корни этого уравнения и будут являться критическими силами. Для данной балки матрица устойчивости получится, если заменить фундаментальные функции поперечных колебаний на фундаментальные функции продольно-поперечного изгиба (4.5) в матрице А. [c.316]

Перед точным определением критических сил полезно построить график изменения определителя матрицы устойчивости A F) для грубого определения интервалов, где находятся корни уравнения (4.6). Для данной рамы этот график при 0.01< F < 220.0 принимает вид, приведенный на рисунке 5.29. [c.350]

Пример 7.4 Рассмотрим более сложную задачу устойчивости. Определить критическую силу такой же пластины, но нагруженной на части контура (рисунок 7.7,с). Усилие можно продолжить на всю длину кромки с помощью выражения NN [-Н х-yi), где //(Зс-1/2 -единичная функция Хевисайда со сдвигом. При включении Nx в коэффициент s критическая сила получается со значительным превышением Nn=2 . 35D. При включении в коэффициент г (путем поворота систем координат) критическая сила получается суш ественно меньшей Л =100.051). Среднее значение двух вариантов Ni]= 55.1D. При решении данной задачи предполагалось, что вся область пластины испытывает продольно-поперечный изгиб. Это весьма грубое допущение и критическая сила получилась существенно меньше истинного значения. Задачу можно решить в более точной постановке, т.е. считать, что подобласть 0-1 испытывает продольно-поперечный, а подобласть 1-2— поперечный изгиб в момент потери устойчивости. Если пренебречь искажением указанных напряженных состояний в граничной зоне подобластей, то матрица устойчивости примет вид [c.439]

Матрица устойчивости. Анализ устойчивости пространственных стержневых систем проводят следующим образом. После дискретизации всей конструкции вычисляют матрицы (4.11) реакций отдельных стержневых элементов. Предполагают, что в стержневых элементах действуют постоянные по длине продольные силы [c.59]

Матрица устойчивости [С] в локальной системе координат стержневого элемента должна иметь следующую структуру [c.59]

В соотношениях (12.47)—(12.51) предварите ное напряженное состояние учитывает матрица устойчивости [Gx,], содержащая усилие Q° в срединной линии кольца. [c.226]

В левой части неравенства (5), являющегося условием устойчивости, стоит матрица устойчивости. Неравенство (4) для определителя этой матрицы позволяет получить различные частные условия устойчивости фазы. [c.56]

Условия устойчивости такого состояния легко найти из неравенства для определителя матрицы устойчивости (см. примечание к задаче 1.30) [c.265]

Матрицу устойчивости ) режима Н после соответствую- [c.156]

Напомним, что матрицей устойчивости стационарной точки дСд динамической системы дс = /= (дс), Р(х = <) называется матрица дF дXj , вычисленная в точке Хд. [c.156]

Матрица устойчивости имеет вид [c.191]

Матрица устойчивости Л = (5д ,/5д у) системы (3) имеет [c.221]

Формируем матрицу устойчивости А. Уравнения равновесия и совместности перемещений узла 1 приведены в матрице У. Согласно матрице X нужно обнулить 3 и 4 столбцы матрицы А. После переноса конечных параметров из матрицы У в матрицу X топологическая матрица С примет следующий вид. Сложив матрицы Ао и С, получим матрицу устойчивости данного стержня. [c.124]

Формируем матрицу устойчивости А. Уравнения равновесия и совместности перемещений узлов 1 и 2 содержатся в матрице У. Из матрицы X следует, что в матрице А нужно обнулить 1, 2, 5 и 9 столбцы. Коэффициенты фундаментальных функций будут равны [c.125]

Два близких устойчивых равновесных состояния однород юй системы связаг.ы неравенством для детерминанга матрицы устойчивости [c.344]

Выберем в качестве независимых переменных однородной системы параметры К и 5. Тогда p=p V, S), T=T(V,S) и при 5 = onst из неравенства Д7Д5—Д/)ДК>0 для матрицы устойчивости получаем [c.346]

M(0) = F2v(0) e(0) = F2 (0) M i) = F2v i)-, 0 i) = F2 p i) в преобразованиях (1.46) приводят к матрице устойчивости вида [c.231]

Пример 7.3 Рассмотрим жестко защемленную квадратную пластину, нагруженную силами N =Ny=N (рисунок 7.7,в). Выше отмечалось, что наибольшая погрешность вариационного метода Канторовича-Власова наблюдается у квадратных пластин, а условия ее опирания не позволяют получить точного аналитического решения задач статики, динамики и устойчивости. Поэтому данная задача позволяет дать оценку точности и эффективности различных методов, в том числе и МГЭ. Матрица устойчивости и ее определитель для краевых условий по рисунге 7.7,в примут вид [c.436]

Величина критической силы при учете 5 членов ряда (7.100) Ркр=25,6А16В/в отличается от эталонного значения всего лишь на 0,075 %. Данный результат также будет отличаться от действительных критических сил, т.к. весьма сложно реализовать величину с=] 10 и учесть существенно неоднородное напряженное состояние, создаваемое сосредоточенной силой. При жестком защемлении кромок, параллельных оси Ох, изменятся краевые условия в матрицах X, Y (7.110). После учета данных условий матрица устойчивости примет вид [c.462]

Критические силы задач с данной матрицей приведены в таблице 7.11. Матрица устойчивости для жесткого защемления одной кромки и шарнирного онирания другой в направлении оси ОХ запишется следующим образом [c.463]

Высокая степень дисперсности вещества II фазы — ценное свойство, предопределяющее создание микроравномерного распределения частиц в матрице, устойчивость суспензий, эмульсий и аэрозолей, из которых происходит образование КМ, и наиболее полное проявление ими активности (химическое взаимодействие с матрицей, облегчение диффузии, упрочнение матрицы и повышение коррозионной стойкости). Значительная дисперсность важна и при создании тонких слоев композиционных покрытий с равномерным распределением частиц II фазы. [c.19]

Класс симметризуемых систем, обобщающих аффинноинвариантные свойства канонического триплета,— класс 5-систем, был определен в 1 гл. 5. Регулярная квадратично-нелинейная 0-система, для которой построенная по 0-симметризатору 5 квадратичная форма в (д ) (матрица 0 обратна матрице 25) пропорциональна форме В х) = = 2 1(Л ) (д ) (Л = (5. ,/5д у) — матрица устойчивости), называется 5-системой. Представляет интерес выяснение вопроса о существовании -систем с трехмерным фазовым пространством, отличных от канонического триплета. Ниже изложено полное решение этого вопроса, основанное на вещественной классификации тернарных кубических форм. Другой метод исследования 5-систем в изложен в работе [199]. Кубическая характеристическая функция данной 0-системы Р (х , х , х ), согласно А. Пуанкаре [208], приводится невырожденным вещественным линейным преобразованием переменных х , х,) к одному из следующих канонических видов [c.280]

Складывая эту матрицу с обнуленной матрицей Ао, получаем матрицу устойчивости неразрезного стержта на упругих опорах =Е1=1) [c.129]

Формируем матрицу устойчивости А. Матрицы фундаментальных функций для стержней 0-1, 1-2, 2-4 заимствуем из уравнения изгиба (2.11), а для стержта 3-1 - из уравнения (4.4) с добавлением нормальных сил. [c.131]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...