Гамильтона переменные принцип

Уравнения (5.16) называются каноническими уравнениями движения, или уравнениями Гамильтона. В принципе вывод этих уравнений представляется известным прогрессом, так как они являются дифференциальными уравнениями первого порядка, тогда как уравнения Лагранжа имеют второй порядок. На практике этот выигрыш оказывается в значительной степени иллюзорным. Простейшее условие для удобства интеграции какого-либо из этих уравнений состоит в том, чтобы некоторое или некоторое р явно не входили в функцию Я тогда соответствующее сопряженное переменное сохраняет постоянное значение. Таким образом, решение уравнений приводит к задаче определения системы координат, в которой бы,ло бы достаточное число циклических переменных и р . Это можно провести на основе некоторых правил (изложенных в гл. VII). К сожалению, однако, эти правила включают решение уравнения в частных производных [c.62]

Здесь полезно будет заметить, что когда говорят, что энергия при действительном движении постоянна, то имеют в виду, что = О, но не обязательно Sh = 0 у Гамильтона в принципе переменного действия мы рассматриваем действие [c.885]

Определим переменные I и в, следуя [10]. Для уравнений Гамильтона справедлив принцип наименьшего действия [c.290]

Принцип Гамильтона в случае, когда существует силовая функция.—Принцип Гамильтона принимает особенно простую и изящную форму, когда имеется силовая функция и, которая может содержать также и время. При этом силовая функция может существовать только для обобщенных координат. Это значит, что при переменных и вариациях произвольных и для Ь постоянного имеем [c.224]

Углубленный курс классической механики долгое время считался обязательной частью учебных планов по физике. Однако в настоящее время целесообразность такого курса может показаться сомнительной, так как студентам старших курсов или аспирантам он не дает новых физических понятий, не вводит их непосредственно в современные физические исследования и не оказывает им заметной помощи при решении тех практических задач механики, с которыми им приходится встречаться в лабораторной практике. Но, несмотря на это, классическая механика все же остается неотъемлемой частью физического образования. При подготовке студентов, изучающих современную физику, она играет двоякую роль. Во-первых, в углубленном изложении она может быть использована при переходе к различным областям современной физики. Примером могут служить переменные действие— угол, нужные при построении старой квантовой механики, а также уравнение Гамильтона — Якоби и принцип наименьшего действия, обеспечивающие переход к волновой механике, или скобки Пуассона и канонические преобразования, которые весьма ценны при переходе к новейшей квантовой механике. Во-вторых, классическая механика позволяет студенту, не выходя за пределы понятий классической физики, изучить многие математические методы, необходимые в квантовой механике. [c.7]

Так как переменные Q и Pi должны быть каноническими, то они должны удовлетворять принципу Гамильтона, записанному в этих переменных, т. е. должны удовлетворять уравнению [c.265]

Модифицированный таким путем принцип Гамильтона показывает, что гамильтониан рассматриваемых 2п + 2 переменных всегда равен нулю (см. задачу 6 гл. 7). Показать, что получающиеся 2/1 + 2 уравнений Гамильтона можно свести при этом к 2п обычным уравнениям Гамильтона плюс уравнение (7.19) и уравнение [c.297]

Резюме. Скрытые микроскопические движения внутри механической системы, выражаемые циклическими переменными, не нарушают ни голономного характера макроскопической системы, ни справедливости принципа Гамильтона. Они игнорируемые , потому что их можно исключить. Они вызывают появление фиктивной потенциальной энергии, которую можно интерпретировать как потенциальную энергию приложенных сил. Это явление привело Герца к мысли [c.159]

Введение. Принцип наименьшего действия и его обобщение, произведенное Гамильтоном, переводят задачу механики в область вариационного исчисления. Уравнения движения Лагранжа, вытекающие из стационарности некоторого определенного интеграла, являются основными дифференциальными уравнениями теоретической механики. И тем не менее мы еще не достигли конца пути. Функция Лагранжа квадратична по скоростям. Гамильтон обнаружил замечательное преобразование, делающее функцию Лагранжа линейной по скоростям при одновременном удвоении числа механических переменных. Это преобразование применимо не только к специальному виду функции Лагранжа, встречающемуся в механике. Преобразование Гамильтона сводит все лагранжевы задачи к особенно простой форме, названной Якоби канонической формой. Первоначальные п дифференциальных лагранжевых уравнений второго порядка заменяются при этом 2га дифференциальными уравнениями первого порядка, так называемыми каноническими уравнениями , которые замечательны своей простой и симметричной структурой. Открытие этих дифференциальных уравнений ознаменовало собой начало новой эры в развитии теоретической механики. [c.190]

Большое преимущество принципа Гамильтона заключается в том, что с помощью его в дифференциальных уравнениях движения системы материальных точек можно относительно легко заменить прямоугольные координаты другими переменными. [c.28]

Принцип Гамильтона. В предыдущей теореме энергия гипотетического движения задана, а время перехода из начальной конфигурации в конечную представляет переменную величину. В другой обычно более удобной для применения теореме время перехода задано и имеет такую же величину, как в действительном движении, а энергия на варьированном пути будет вообще другая, и не должна быть заданной постоянной. При этом условии будем иметь [c.271]

Если q = О, Д / = 0, Д- = О, то мы имеем ASj = 0 это равенство представляет обобщение принципа Гамильтона ( 105). Если крайние конфигурации и переменны, то мы будем иметь [c.277]

Принцип Гамильтона в форме (9.9) нам ранее не встречался, но сама эта форма подсказывает, что х я I надо рассматривать как равноправные переменные. Следовательно, вариация этого интеграла осуществляется посред- [c.119]

Используя тензорное исчисление в большей степени, чем это делалось до сих пор, можно записать полученные результаты в форме, отличной от той, которая была приведена в предыдущем разделе. Исходным пунктом служит здесь то обстоятельство, что скалярную величину т, т. е. собственное время, можно рассматривать как обобщение переменного t, потому что последнее является скаляром в нерелятивистской механике. Тогда обобщенный принцип Гамильтона примет вид [c.145]

Принцип Мопертюи-Лагранжа. При заданной константе энергии h уравнения движения консервативной или обобщенно консервативной системы могут быть записаны в форме уравнений Якоби (см. уравнения (36) п. 152). Эти уравнения имеют форму уравнений Лагранжа второго рода, где в качестве функции Лагранжа L выступает функция Якоби Р, а роль независимой переменной играет обобщенная координата qi. По аналогии с действием S по Гамильтону введем действие по Лагранжу [c.483]

Рассмотрим траекторию изображающей точки в пространстве q и выразим принцип Гамильтона вместо переменных х в переменных д. Строим варьированный путь, выбирая в каждый момент времени виртуальное перемещение bq и получая точку на варьированной траектории, соответствующую этому моменту времени. Это виртуальное перемещение произвольно, за исключением того условия, что каждая вариация б г представляется функцией времени класса Сг, обращающейся в нуль в моменты to и ty. Поскольку вариация синхронна, [c.90]

Принцип Гамильтона применим к описанию явлений в любом поле, отличающемся от обычной задачи динамики тем, что в последней есть одна независимая переменная I и несколько зависимых переменных в то время как в случае поля д, и t являются независимыми переменными, а величины, характеризующие поле, являются зависимыми переменными. Поле и заряженные тела образуют систему, подчиняющуюся гамильтоновой динамике. [c.857]

Подробное изложение принципа Даламбера, уравнений Лагранжа, вариационных принципов, вариации произвольных постоянных, оптики Гамильтона, характеристической функции, уравнений Гамильтона — Якоби, разделения переменных, интегральных инвариантов, систематическое интегрирование систем канонических уравнений, канонические преобразования, подстановки или производящие функции, эквивалентные системы. [c.442]

Особенно интересно выяснить, могут ли такие системы описываться формализмом Лагранжа или Гамильтона, поскольку этот формализм служит весьма удобной основой для квантования. Существуют различные подходы к установлению этого формализма для непрерывных систем. Один из способов, довольно часто применяемый, состоит в том, что, скажем, упругий стержень сначала рассматривают как систему точечных частиц, а затем совершают предельный переход к сплошной системе. Полученный в этом частном случае результат обобщ,ают затем на произвольные системы. Другой способ заключается в выборе в качестве отправного пункта соответствующим образом обобщенного вариационного принципа. Наконец, третий способ, который мы здесь и используем, состоит в том, чтобы использовать вместо Q(x) их фурье-коэффи-циенты в качестве обобщенных переменных. [c.206]

В работе [368] на основе применения вариационного принципа Гамильтона развита линейная теория для определения динамической реакции на переменные с течением времени нагрузки многослойных анизотропных пластин с неоднородно ослабленными интерфейсами между слоями. Приведен иллюстрирующий числовой пример расчета по изложенной методике прогибов и напряжений в свободно-опертой трехслойной прямоугольной пластине с ослабленными интерфейсами. [c.20]

Перейдем теперь к мемуару Второй очерк об общем методе в динамике . После вводных замечаний, описывающих общее содержание мемуара, Гамильтон обращается к установлению новой формы уравнений движения системы свободных материальных точек в произвольной криволинейной системе координат gi, дг. 9зп Отправляясь от принципа Даламбера, он устанавливает уравнения Лагранжа и, вводя в них вместо производных Qi, qtf-T qsn новые переменные pi, рг,---, Рзп о формулам [c.12]

Согласно общим принципам статистической механики, наблюдаемые значения обобщенных сил должны рассматриваться как средние значения Ai) некоторых динамических переменных определяемых через параметрическую зависимость гамильтониана от обобщенных координат Как следует из квантовой механики, операторы, соответствующие обобщенным силам, даются выражением [c.62]

С помощью квазиравновесного статистического оператора (7.1.5) можно построить истинный неравновесный статистический оператор g t) и вывести уравнения баланса для HiY и Н2У. Ясно, что мы рассматриваем лишь частный случай более общей задачи, в которой неравновесное состояние системы описывается произвольным набором базисных динамических переменных Поэтому мы можем, в принципе, воспользоваться обобщенными уравнениями переноса, полученными во второй главе первого тома, подставив туда в качестве базисных переменных Рт гамильтонианы подсистем 7/1 и 7/2, а вместо термодинамических параметров — обратные температуры и [c.92]

Применяется принцип Гамильтона, в соответствии с которым осуществляется варьирование по переменным, входящим в принятое выражение для w. Таким путем получается система обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. [c.11]

Относительная краткость курса потребовала щателыюго отбора теоретического материала и примеров, поясняющих основные разделы курса. В курс включен ряд дополнительных разделов, В динамике достаточно полно изложена общая теория малых колебании механических систем с одной н двумя степенями свободы. В аналитическом динамике даны канонические уравнения Гамильтона и принцип Остроградского—Гамильтона. Расширена глава Динамика твердого тела с одной закрепленной точкой . Наряду с приближенной теорией гироскопа дополнительно изложена точная теория гироскопического момента при регулярной прецессии. В специальных главах изложены также элементы теории искусственных спутников и основные сведения по движению точки переменной массы. [c.3]

Замена независимой переменной. Важное и существенное свойство вариационных принципов заключается в том, что их легко можно выразить в любых выбранных координатах. Это обстоятельство уже отмеча1лось нами ранее (в 6.3) при выводе уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона. Обобщение принципа Гамильтона (26.6.2) дает возможность пойти дальше в этом направлении и произвести замену независимой переменной. Введем вместо t новую независимую переменную 0, связанную с t соотношением [c.537]

Преобразование уравнений Гамильтона. Вариационный принцип (5) замечателен тем, что из производных// ,..., p j ,q ,..., только q[,. .., q jj содержатся под знаком интеграла, и притом, линейно, и имеют коэффициентами как раз сопряженные переменные. Преобразование координат Pl,. .., q,n в новые р ,. .., дает форму, линейную относительно р[, но, вообще говоря, не такого вида. Мы рассмотрим в следующем параграфе получающийся таким путем тип уравнений так называемые пфаффовы уравнения, которые имеют некоторые преимущества перед уравнениями Гамильтона. [c.64]

Смысл этого равенства заключается в том, что переменными теперь являются q, . .., <7s р, . ... ps- Независимые ва,риации этих переменных следует вычислять по-прежнему при постоянном t. С геометрической точки зрения видоизменение принципа Гамильтона — Остроградского представляет собой переход от подпространства конфигураций к фазовому пространству. [c.102]

Книга состоит из десяти глав. По охватываемому материалу I Vi главы соответствуют в целом традиционным курсам механики. Задачи остальных четырех глав связаны с тематикой спецкурса Методы интегрирования канонических систем . В отличие от лагранжева формализма гамильтонов подход позволяет в принципе найти решение как каноническое преобразование начальных данных, не обращаясь непосредственно к уравнениям. В этом аспекте канонический формализм является мощным рабочим методом, позволяющим получить приближенное решение широкого круга физических и математических задач [1]. Рассмотрены проблемы, относящиеся к интегр ированию нелинейных уравнений, преобразованиям Дарбу и Фрелиха, ВКБ-приближению, определению собственных векторов и собственных значений, гамильтоновой теории специальных функций. Дополнительные преимущества дает метод удвоения переменных, позволяющий использовать канонический формализм для решения нового класса задач алгебраических и трансцендентных уравнений, сингулярио-возму-щенных уравнений, построению Паде-аппроксимантов, обращению интегралов и т. д. Широта диапазона рассматриваемых проблем обусловлена возможностью приведения к гамильтоновой форме нелинейных систем общего вида и универсальностью используемых методов интегрирования. [c.3]

Уильям Роуан Гамильтон, видный ирландский математик, в статьях Об общем методе динамики , написанных в 1834—1835 гг., для определения движения вводит новые переменные и новые функции, формулируя общий принцип наименьшего действия. "При этом главная функция, зависящая от начальных и конечных координат и времени, равна сумме живых сил (Г) и сил напряжения (Я). Последние, называемые силовой функцией, для стационарных, то есть не изменяющихся во времени, консервативных систем (механических систем, при движении которых сумма Т- П постоянна), выражают полную энергию системы. [c.117]

Имея разложения (38) — (39), вычисляем энергию деформации и кинетическую энергию для каждой отдельной ячейки. Последующее осреднение по ячейке дает среднюю энергию, полностью определяемую своим значением в центре волокна. После этого осуществляется завершающий этап перехода от системы дискретных ячеек к однородной континуальной модели, который состоит во введении полей кинематических и динамических переменных, непрерывных по всем координатам. Значения этих переменных на средних линиях волокон совпадают со значениями соответствующих параметров, вычисленными для системы дискретных ячеек. Следовательно, кинетическую энергию и энергию деформации, подсчитываемые так, как это описано выше, можно интерпретировать как плотности энергий для вновь введенной непрерывной и однородной среды. Плотность энергии деформации содержит не только члены, зависящие от эффективных модулей, но и члены, зависящие от некоторых констант, включающих характеристики как физических, так и геометрических свойств компонентов композита (т. е. от эффективных жесткостей ). Этим и объясняется название теории — теория эффективных жесткостей . Определяющие уравнения этой теории были получены при помощи принципа Гамильтона в совокупности с условиями непрерывности и с использованием множителей Лагранжа. Аналогичная теория для композитов, армированных упорядоченной системой прямоугольных волокон, была разработана Бартоломью и Торвиком [11]. [c.377]

Следует заметить, что хотя функциональная производная и упрощает некоторые вариационные процедуры, однако она затемняет тот факт, что уравнения движения являются уравнениями в частных производных по Хи и по t. Кроме того, время выступает здесь как особая переменная, существенно отличная от пространственных переменных, в то время как при выводе уравнений движения мы считали Xh t равноправными параметрами й. Это равноправие переменных а и немного напоминает специальную теорию относительности. Произведение dxidx2dxzdt является здесь, в сущности, элементом объема в пространстве Минковского и, следовательно, инвариантно относительно преобразований Лоренца если 2 есть некоторый инвариантный скаляр этого пространства, то принцип Гамильтона (11.11) также будет инвариантен относительно преобразований Лоренца. В ковариантных обозначениях уравнение (11.17) будет иметь вид [c.384]

Далее, в 1873 г. Клаузиус ), введя канонические переменные и используя вместо принципа Гамильтона принцип наименьщего действия, который менее удобен для целей обобщения механики на тепловые явления, получил выражение, аналогичное второму началу. Однако и в этом случае говорить о прямом выводе второго начала из принципов механики нельзя. Полученные выражения оказались эвристически бесполезными и физически отнюдь не поддаются сколько-нибудь простому и наглядному истолкованию. По существу, идея физики, выводимой из одного (и только одного) единообразно понимаемого принципа, не была реализована, а подменена идеей объединения различных областей физики (в данном случае механики и теории теплоты) с помощью одного соотношения, но рассматриваемого с разных, внутренне неувязанных точек зрения. Это означало, что феноменологическая увязка теории теплоты и механики не обогатила физическую картину мира. [c.851]

Сопоставим в заключение методы Гамильтона и Лагранжа. В гамильтоновом формализме основными величинами являются , р, и Н. Гамильтониан можно построить с помощью функции Лагранжа и q и р,. Отсюда непосредственно получаются канонические уравнения и динамические переменные. Однако в гамильтоновом формализме время все же играет особую роль по сравнению с пространственными координатами, являясь, по существу говоря, единственной независимой переменной. С одной стороны, это дает возможность провести далеко идущую аналогию с классической механикой, но, с другой стороны, именно поэтому теория оказывается релятивистски неинвариантной. Напротив, в лагранжевом формализме не вводят функции р,-, Н (хотя это и возможно). В лагранжевом методе исходят из вариационного принципа для лагранжиана системы. Из условий для его экстремума получают уравнения движения, а динамические переменные (энергия — импульс, заряд и т. п.) определяются как инварианты, соответствующие различным преобразованиям системы координат и, в случае теории полей, функций поля. В лагранжевом формализме время входит совершенно симметрично с пространством и теория с самого начала релятивистски ковариантна, но зато аналогия с механикой системы точек оказывается гораздо менее отчетливой. [c.878]

Видоизменение принципа Даламбера для систем е неинте-грируемыми связями. Непосредственное применение принципа Даламбера к выводу уравнений движения систем с неинтегрируемыми связями представляет то неудобство, что в состав аналитического выражения принципа входят дифференциальные выражения второго порядка, а это иногда значительно затрудняет переход от одних переменных к другим. С другой стороны, интегральные принципы, а именно, принципы Гамильтона, Лагранжа, Гельмгольца, хотя и содержат выражения первого порядка, но они несправедлявы для систем с неинтегрируемыми связями. Между тем, если равенство, выражающее принцип Даламбера, подвергнуть одному, почти очевидному, преобразованию, то мы получим формулу, весьма удобную для приложений, содержащую выражения первого порядка и по внешнему виду аналогичную формуле для вариации гамильтонова действия. [c.596]

В. А. Сана в статье Вариационные принципы в механике переменной массы (1956) сформулировал принцип виртуальных перемещений для общего случая системы точек переменной массы, получил принципы Даламбера, Гаусса, Гамильтона—Остроградского и из этих принципов вывел соответствующие уравнения двхтжения системы переменной массы. [c.304]

В двух работах М. Ш. Аминова Об устойчивости вращения твердого тела переменной массы вокруг неподвижной точки (1958) и Некоторые вопросы движения и устойчивости твердого тела переменной массы (1959) содержатся некоторые общие результаты для системы ге материальных точек переменной массы, подчиненной идеальным голонохмным связям, формулируется принцип Гамильтона — Остроградского, который затем применяется к выводу дифференциальных уравнений движения твердого тела переменной массы вокруг неподвижной точки и для [c.305]

П. В. Воронец а вслед за ним Г. К. Суслов обобщили принцип Гамильтона — Остроградского на неголономную систему с любым конечным числом степеней свободы (принцип Воронца — Суслова), вводя в подынтегральное выражение соответствующим образом подобранное переменное слагаемое и пользуясь лагранжевьши координатами. Почти одновременно П. В. Воронец 3 обобщил рассматриваемый принцип также и на случай квазикоординат (принцип Воронца). [c.91]

Вывод уравнений движения системы при помои и принципа Гамильтона, Воспользовавшись найденными аппроксимирующими зависимостями для перемещений (1а), (4) и (5), можно на основании принципа Гамильтона составить систему дифференциальных уравнений относительно четырех переменных о, i, Ь и gs. Для этого необходимо определить потенциальную и кинетическую энергии оболочки. Выражения для энергий, используемые в данном исследовании, согласуются с допущениями, заложенными при выводе уравнений Доннелла. Однако единственный учтенный при этом выводе член, представляющий продольные силы инерции, связан с переменной io (t), а окружные силы инерции не учитываются совсем. В работе [9] показано, что при использовании линейной теорий это допущение справедливо в пределах того диапазона чисел волн i, k п I, который представляет интерес с точки зрения настоящего исследования. Применение принципа Гамильтона [c.13]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...