Скаляр инвариантный

Уравнения (139,3—6) с определениями j и П, согласно (139,1), (139,12) представляют собой искомую полную систему гидродинамических уравнений. Эта система очень сложна прежде всего тем, что входящие в уравнения величины р , р , л, s являются функциями не только термодинамических переменных р и Т, но квадрата относительной скорости обоих движений w = Vn — Vs)2. Последний представляет собой скаляр, инвариантный относительно галилеевых преобразований системы отсчета и относительно вращения жидкости как целого эта величина специфична для сверхтекучей жидкости, отнюдь не должна обращаться в ноль в термодинамическом равновесии, и должна фигурировать в уравнении состояния жидкости наряду с р и Т. [c.716]

Например, время t и пространственные координаты Xi, Х2,. гз мы рассматривали как величины разного рода, тогда как их следовало рассматривать как совершенно равноправные координаты пространства Минковского. Поэтому переменной, к которой мы относим перемещение точки в пространстве, следует считать не t, а собственное время т, являющееся инвариантным. Кроме того, лагранжиан должен быть инвариантной характеристикой материальной системы, не зависящей от того, какая система координат применяется при ее изучении. Поэтому мы должны ожидать, что он будет некоторым скаляром, инвариантным относительно преобразований Лоренца. [c.233]

В силу несжимаемости, ao в уравнении (6-2.3) представляет собой произвольный скаляр. Остальные восемь скалярных коэффициентов — инвариантные функции тензоров А и А - [c.212]

В преобразовании Галилея интервал времени dt представлял инвариантный относительно этого преобразования скаляр. Дифференциал dx, инвариантный относительно преобразования Лоренца,— скаляр. Он является обобщением понятия dt на мир Минковского. Собственное время т можно рассматривать как параметр, опре- [c.289]

Изотопическая инвариантность в теории SU (п)-групп описывается двумерной группой SU (2), которая эквивалентна спи-норным преобразованиям. Как известно, спинорные преобразования осуществляются при помощи двухрядных матриц Паули (см. 5, п. 7) и приводят к тем же результатам, что и операция вращения вектора изотопического спина Т в трехмерном изотопическом пространстве. Простейшим представлением SU (2)-группы после скаляра является дублетное (изотопический дублет). [c.306]

Дальнейшие упрощения матрицы феноменологических коэффициентов (уменьшение их числа) можно получить при учете симметрии среды. В выражение линейного закона (2.1) входят потоки и силы, из которых одни являются скалярами (в процессах с химическими реакциями, а также с объемной вязкостью), другие — векторами (потоки массы и теплоты), а третьи — тензорами (в процессах со сдвиговой вязкостью). В зависимости от симметрии среды система линейных уравнений (2.1) должна быть инвариантна относительно соответствующих ортогональных преобразований. При преобразованиях компоненты входящих в (2.1) различных величин преобразуются по-разному, в то время как установленная между потоком и силой связь не может изменяться при преобразованиях. Это приводит в случае изотропных систем к сохранению связей лишь между потоками и силами одной тензорной размерности, что выражает принцип Кюри о сохранении симметрии причины в симметрии следствий. Поэтому, хотя согласно линейному закону (2.1) каждая декартова компонента потока / может в принципе зависеть от декартовых компонент всех термодинамических сил, по принципу Кюри в зависимости от структуры (симметрии) среды может оказаться, что компоненты потоков будут зависеть не от всех компонент термодинамических сил и, следовательно, не все причины вызывают перекрестные эффекты, например в результате химической реакции (скалярный процесс) не может возникнуть диффузионный поток (векторный процесс). [c.16]

Инвариантность по отношению к преобразованиям системы координат при таком представлении гарантируется тем, что каждое слагаемое в формуле (5а) является скаляром — сверткой тензоров. Для того чтобы каждое слагаемое в действительности [c.411]

Мы не беспокоимся обычно об инвариантности наших законов относительно поворотов системы координат. Это связано с тем, что при составлении какого-либо уравнения всегда требуется, чтобы его слагаемые были либо все скалярами, либо все векторами, либо все тензорами одного ранга, а это автоматически обеспечивает инвариантность относительно поворотов координатной системы. Так, например, скалярное равенства имеет вид [c.218]

Во-первых, этот метод позволяет получать новые поля и исследовать их свойства. Дело в том, что при выборе возможного выражения для й мы всегда ограничены тем требованием, что S должно содержать только координаты и их первые производные по Xi t и, кроме того, должно быть инвариантом Лоренца. Пусть, например, имеется только одна обобщенная координата т], которая должна быть инвариантным скаляром (или псевдоскаляром). Тогда указанным требованиям будут отвечать только члены вида [c.399]

Существование функции Лагранжа сильно облегчает эту задачу. Если функция Лагранжа L является истинным скаляром четырехмерного мира (т. е. величиной, инвариантной относительно произвольного преобразования Лоренца, или, иначе говоря, лоренц-инвариантом ), то и полученные из этой функции уравнения будут корректными с релятивистской точки зрения—тоже будут лоренц-инвариантами . [c.356]

Всякая физическая скалярная величина должна быть инвариантна по отношению к любому повороту координатных осей. Поэтому в выражение скаляра Ь могут входить лишь такие линейные комбинации компонент тензоров напряжений и скоростей деформаций, которые инвариантны по отношению к повороту осей координат. Единственной такого рода линейной комбинацией для тензора второго ранга является его линейный инвариант, равный сумме компонент, расположенных по главной диагонали. В этом легко убедиться, составляя указанную сумму в двух [c.167]

В силу релятивистской инвариантности это справедливо в любой системе отсчёта, если массу считать скаляром. Переходя в систему отсчёта, движущуюся со скоростью н, получаем [c.500]

Скаляр и вектор. В математическом естествознании рассматриваются величины, определяющие свойства физических объектов и происходящих в них процессов. Задание численных значений (при выбранной системе единиц) заключает в себе произвол, обусловленный выбором той или иной координатной системы — системы отсчета, но существующие между величинами связи не зависят от этих извне привнесенных способов описания. Тензорное исчисление представляет математическое средство, с помощью которого формулируются такие инвариантные (не зависящие от системы отсчета) соотношения между изучаемыми объектами. [c.799]

Термин инвариантный скаляр далее применяется в этом (ограниченном) смысле. [c.831]

Пусть f — инвариантный скаляр тогда в соответствии с определением (1.12.1) f(Q) = f(Q), Qst Qst и по (I 12.3) [c.832]

Градиент инвариантного скаляра. Выражение этой величины непосредственно следует из формул (I, 12.8), (I. 12.10) [c.833]

Здесь изотропная тензорная функция, образованная с помощью инвариантного скаляра /(Q), представлена в виде квадратичного полинома (или в эквивалентном виде (1.12.12)) над тензором Q = Q с коэффициентами, являющимися инвариантными скалярами. Это — частный случай представления (1.12.4) изотропной тензорной функции Р — f(Q). [c.833]

В случае изотропной ньютоновской вязкой среды (жидкости или газа), т. е. такой, что ее физические свойства одинаковы во всех направлениях в пространстве, а выражающие эти свойства физические константы представляют инвариантные скаляры, наиболее общим видом линейной связи [c.354]

Утверждение (25 ), вообще говоря, необоснованно даже интуитивно. В самом деле, нет никаких оснований отождествлять давление, определенное формулой (25 ), и давление, которое определяется уравнением состояния р = ( ЯТ, где Я — газовая постоянная, а Г — абсолютная температура. Более естественно предположить, что 2 Ри = — Зр + /, где й — некоторый скаляр, обращающийся в нуль, когда жидкость покоится (у = 0), и инвариантный относительно замены системы отсчета. [c.631]

Конечно, численное значение проекции вектора зависит от направления оси, на которую проектируется вектор. Поэтому не-удачн о встречающееся словоупотребление проекция вектора на ось — скаляр , так как скаляр — инвариантная физическая величина. Инвариантом вектора а является его модуль, обозначаемый а. Конечно, это следует и из закона преобразования (1.1.6) [c.801]

Наконец, сделаем еще следующее замечание по поводу фигурирующих в (36,1) модулей упругости. Поскольку они введены как коэффициенты в свободной энергии, ими определяются изотермические деформации тела. Легко видеть, однако, что те же коэффициенты определяют в нематиках также и адиабатические деформации. Действительно, мы видели в 6, что для твердого тела различие между изотермическими и адиабатическими модулями возникает в силу наличия в свободной энергии члена, линейного по тензору деформации. Для нематиков аналогичную роль мог бы играть член, линейный по производным dutii. Такой член должен был бы быть скаляром и к тому же инвариантным по отношению к изменению знака п. Очевидно, что такой член построить нельзя (произведение п rot п — псевдоскаляр, а единственный истинный скаляр div п меняет знак вместе с п). По этой причине изотермические и адиабатические модули нематика совпадают друг с другом (подобно тому, как это имеет место для модуля сдвига изотропного твердого тела — 6). Эти рассуждения можно сформулировать и несколько иначе в отсутствие линейного члена квадратичная упругая энергия (36,1) является первой малой поправкой к термодинамическим величинам не- [c.194]

Унитарная симметрия — более широкая симметрия, чем изотопическая инвариантность. Поэтому естественно ожидать, что математическое описание унитарной оимметрии может быть получено при ПОМОЩИ группы SU(3) для трехрядных матриц. Подобно тому, как простейшим изотопическим мультиплетом является дублет, простейшим унитарным мультиплетом должен быть триплет (простейшее представление St/(3)-группы после скаляра), члены которого отличаются не только по заряду, но и ио странности . Следующее, более сложное представление группы SU(3) является октетным. Оно и было идентифицировано как барионный октет. [c.682]

Первые два члена совпадают с соответствующими членами волнового уравнения Да.1амбера, релятивистская инвариантность которого хорошо известна из электродинамики. Релятивистская инвариантность члена ко Р очевидна, поскольку это скаляр к = onst. Уравнение (71.13) называют уравнением Клейна-Гордона. [c.384]

При таком определении тензор нулевого ранга будет иметь только одну составляющую, инвариантную относительно ортогонального преобразования. Следовательно, скаляр является тензором нулевого ранга. Тензор первого ранга имеет три составляющих, преобразуемых согласно равенству [c.167]

Преобразование Лоренца можно рассматривать как ортогональное преобразование в пространстве Минковского. В этом четырехмерном пространстве можно говорить о скалярах, векторах и тензорах любого ранга, обобщая на них (очевидным образом) те преобразования, которые мы имели для аналогичных величин в трехмерном пространстве. Так, например, мы будем говорить о четырехмерных векторах или короче о 4-векторах и т. п. Инвариантность физического закона относительно преобразований Лоренца можно сделать тогда очевидной, если выразить этот закон в ковариантной четырехмерной форме-, все члены уравнения, выражающего этот закон, должны быть при этом тензорами одного ранга. Если же закон не удовлетворяет требованиям принципа эквивалентности, то ему нельзя будет придать ковариантную форму. Следовательно, характер преобразования (в четырехмерпом пространстве) членов равенства, выражающего физический закон, дает нам критерий для решения вопроса о релятивистской правильности этого закона. [c.219]

Отсюда следует, что если ф есть истинный скаляр пространства Минковского, то волновое уравнение (6.26) будет инвариантно ртносительно преобразований Лоренца, [c.223]

Следует заметить, что хотя функциональная производная и упрощает некоторые вариационные процедуры, однако она затемняет тот факт, что уравнения движения являются уравнениями в частных производных по Хи и по t. Кроме того, время выступает здесь как особая переменная, существенно отличная от пространственных переменных, в то время как при выводе уравнений движения мы считали Xh t равноправными параметрами й. Это равноправие переменных а и немного напоминает специальную теорию относительности. Произведение dxidx2dxzdt является здесь, в сущности, элементом объема в пространстве Минковского и, следовательно, инвариантно относительно преобразований Лоренца если 2 есть некоторый инвариантный скаляр этого пространства, то принцип Гамильтона (11.11) также будет инвариантен относительно преобразований Лоренца. В ковариантных обозначениях уравнение (11.17) будет иметь вид [c.384]

С точки зрения развитой пока теории такие лагранжианы взаимодействия Lint могли бы быть любыми ф-циями полей и их первых производных, удовлетворяющими лишь ряду простых условий 1) локальности взаимодействия, требующей, что бы Lintix) зависел от разл. полей и (л ) и их первых производных только в одной точке пространства-времени х 2) релятивистской инвариантности, для выполнения к-рой должен быть скаляром относительно преобразований Лоренца 3) ин-вариантности относительно преобразований из групп внутренних симметрий, если таковые имеются у рассматриваемой модели. Для теорий с комплексными нолями сюда, в частности, входят требования эрмитовости лагранжиана и инвариантности относительно допустимых в таких теориях калибровочных преобразований. [c.302]

В случае внутр. симметрий требования инвариантности не так универсальны выбор группы симметрии по существу фиксирует модель, описывающую определ. круг физ, явлений. Напр., группой внутр. симметрии, скаляром относительно к-роп должны быть действие и Л., для электродинамики является f7 (1), ДЛЯ теории электрослабого взаимодействия — SU 2) U ), ДЛЯ кеаитовой хромодинамики— 5f/(3). На языке теории групп в качестве Л. можно взять любую ф-цию Казимира операторов соответствующе группы. Далее выбор Л. определяется соображениями простоты чтобы ур-ния движения были дифференциальными не выше 2-го норядка, суммарная степень производных о отд. слагаемых в Л. не должна превьппать 2. В реальных ситуациях этих принципов отбора всё же пе хватает для одпозначпого выбора Л. В общем случае Л. оказывается полиномом по полям н их производным. Били-иейпая по ним часть в Л. кинетические плюс массовые члены) наз. свободным Л., а остальные члены образуют Л. взаимодействия. [c.545]

Релятивистски-ковариантная запись М. у. позволяет легко находить инвариантные комбинации полей, токов и потенциалов (4-скаляров или инвариантов Лоренца группы), сохраняющихся, в частности, при переход от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Во-первых, это чисто полевые инварианты (см. Инварианты, электромагнитного поля). Во-вторых, это токовые (источниковые) инварианты [c.37]

Примерами 4-векторов являются 4-импульс системы Р , 4-потенциал эл.-магн. поля А , и др. Четырёхмерные векторы классифицируются по их поведению относительно несобств. преобразований Лоренца полярные векторы меняют знак пространственных компонент, а временная компонента не изменяется аксиальные векторы ведут себя противоположным образом. Аналогичная классификация применяется и до отношению к величинам, инвариантным относительно преобразований Лоренца они делятся на скаляры и псевдоскаляры. [c.498]

Осн. проблема Э. в., требующая решения,—изучение механизма нарушения исходной инвариантности. Самый прямой путь здесь—поиски хиггсова скаляра. Теория не предсказывает его массу А/д, поэтому диапазон поисков очень широк. Активно обсуждается возможность 1(Ю ГэВ < А/я < 1000 ГэВ, 1с-рая будет исследована на коллайдерах нового поколения (LH , SS ). Открытие хиггсова скаляра означало бы окончательное подтверждение теории Э. в. в исходной формулировке С, Вайнберга и А, Салама, Другая важная нерешённая проблема—нарушение СР- и Г-инвариантностей. Отмечалось, что если [c.593]

Очень часто авторы находили и исследовали инвариантные скаляры годографов или отдельные составляющие годографических векторов, не осознавая годографической природы этих инвариантов и не рассматривая их в связи с историческими научными прецедентами. В любом случае годографический подход оказывался удобным и эффективным, особенно благодаря его эвристической природе. [c.59]

Как уже упоминалось в гл. I, всякая физическая скалярная величина должна быть инвариантна по отношению к любому повороту осей координат. Таким образом, в выражение скаляра Ь могут входить лишь такие линейные комбинации компонент тензоров напряжений и скоростей деформации, которые инвариантны по отношению к повороту осей координат. Единственной такого рода линейной К1)мбинацией для тензора 2-го ранга является его линейный инвариант, равный сумме компонент, расположенных по главной диагонали, в чем лепсо убедиться, состав. 1ЯЯ указанную сумму в двух произвольно повернутых друг по отношению к другу системах координат и используя связг. между компонентами тензора в этих системах координат. [c.472]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...