Метод линейных систем

Гистограммы распределений и метод линейных систем [c.56]

Выше упоминалось о том, что множество всех непрерывных распределений Ф в общем случае не является компактным само по себе и, следовательно, в силу топологической леммы не может служить основой для построения сходящейся последовательности приближенных решений при обращении интегральных уравнений первого рода. В связи с этим любой вычислительный алгоритм так или иначе основывается на предварительном сужении (ограничении) Ф до некоторого компакта. В предыдуш,ем примере рассматривались два возможных варианта простейших компактов применительно к проблеме микроструктурного анализа аэрозолей из оптических измерений. Первый из них состоял из параметрического семейства модельных распределений, второй — из гистограмм, ограниченных по абсолютному значению и размерности т. В пределах данного раздела мы построим еще один простейший компакт, который так же, как и предыдущий, приводит к методу линейных систем при обращении оптических характеристик, и его распределения также согласованы с дискретным характером реальных спектров размеров рассеивающих ансамблей частиц. Построение указанного компакта начнем с рассмотрения простого примера, иллюстрирующего, в частности, почему множество не- прерывных распределений Ф не является компактом. [c.62]

Заканчивая рассмотрение параметрического подхода к задачам многочастотной лазерной локации, следует заметить, что в нем чисто формально снимается проблема, связанная с неопределенностью границ я Я2 в исходных полидисперсных интегралах. В силу этого параметрическая форма обращения данных по светорассеянию дисперсными средами, естественно, выигрывает по> сравнению с более общими методами, примером которых является метод линейных систем. Кроме того, параметрическая форма позволяет в ряде случаев провести более обстоятельный анализ вычислительной схемы обращения и дать полезные рекомендации по планированию эксперимента и выбору параметров измерительной аппаратуры. Это можно проиллюстрировать следующими аналитическими построениями. [c.102]

Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (ЛАУ). Процедура решения системы ЛАУ [c.229]

В данной главе излагаются начальные сведения о методе точечных отображений вводятся основные понятия и приемы исследования, которые позволяют изучать поведение фазовых траекторий в двумерном и трехмерном фазовом пространстве. На конкретных примерах простейших кусочно-линейных систем рассматриваются автоколебания, вынужденные и параметрические колебания, а также скользящие движения, возможные в этих системах. [c.70]

Интерес к линейным динамическим системам определяется тем, что многие инженерные задачи сводятся к исследованию таких систем. Для изучения линейных систем развиты общие методы, обладающие вышкой степенью совершенства. Особой простотой отличается математический аппарат линейных систем с постоянными коэффициентами. Указанное обстоятельство приводит к тому, что инженеры стремятся проектировать линейные динамические системы с постоянными коэффициентами, хотя бы на небольших интер-.валах изменения переменного. [c.199]

Основная сложность при решении уравнений заключается в том, что задачи статики стержней относятся к двухточечным краевым задачам, когда решение должно удовлетворять определенным условиям в начале и в конце интервала интегрирования, в отличие от одноточечных краевых задач — задач Коши, когда все условия, которым должно удовлетворять решение, известны в начале интервала интегрирования. Поэтому хорошо разработанные методы решения систем дифференциальных линейных (и нелинейных) уравнений для одноточечных задач использовать для решения двухточечных задач в общем случае нельзя. В настоящее время имеется ряд методов численного решения линейных двухточечных задач (имея в виду стержни), которые получили распространение в расчетной практике метод начальных параметров, метод прогонки [2], метод конечных элементов [15]. Точное аналитическое решение линейных уравнений равновесия стержня, например (1.112) — (1.115), возможно только для случая, когда элементы матрицы Ах— постоянные числа [этот случай будет рассмотрен в 5.2, где изложены теория и методы расчета винтовых стержней (цилиндрических пружин)]. Для уравнений с переменными коэффициентами возможны только численные или приближенные методы решения. [c.61]

Кроме ошибок аппроксимации, существует другой источник ошибок численного решения, связанный с погрешностью вычислений. В зависимости от вычислительного алгоритма могут уменьшаться и возрастать ошибки округления. В случае возрастания говорят, что вычислительный метод неустойчив, в случае убывания — устойчив. Для решения задач используют устойчивые методы. Один и тот же алгоритм может быть устойчив при выполнении некоторых условий и неустойчив при их нарушении. Условие неустойчивости является внутренним свойством разностной схемы и не связано с исходной дифференциальной задачей. Исследование устойчивости обычно проводится для линейных задач с постоянными коэффициентами, и результаты исследования, полученные для линейных систем, переносят на нелинейные уравнения газовой динамики, но при этом надо иметь в виду, что [c.271]

Среди методов решений линейных систем можно выделить две группы прямые и итерационные методы. Методы первой группы позволяют получить решение за конечное число операций, второй — в пределе при s-voo, где s — номер итерации. Прямые методы используют для решения сравнительно небольших линейных систем до порядка 10 , итерационные — до порядка 10 . Для решения линейных уравнений, как правило, применяют итерационные методы. [c.25]

Применяя неявные схемы, мы получаем для определения значений искомой сеточной функции на верхнем временном слое систему алгебраических уравнений. Если схема линейная, то эта система также линейная и для ее решения можно использовать стандартные вычислительные методы линейной алгебры. Однако число арифметических действий, необходимое для решения линейной алгебраической системы общего вида, имеющей порядок N, быстро возрастает с увеличением N (пропорционально Л ). Для одномерных сеточных краевых задач число N мо- [c.92]

Использование методов линейной алгебры в химической кинетике позволяет найти инварианты химических реакций, т. е. линейные комбинации концентраций компонентов, которые не меняются в ходе той или иной совокупности химических реакций. К инвариантам химических реакций можно, в частности, отнести концентрацию атомов. Использование того факта, что концентрации элементов не меняются при химических превращениях, позволяет упростить некоторую часть уравнений диффузии, используя систему уравнений сохранения для отдельных элементов (5.1.19). [c.207]

Остановимся на общей структуре пособия. В первой главе рассматривается часто встречающаяся в инженерной практике задача расчета средних температур по моделям с сосредоточенными параметрами. Здесь же изложены методы решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений и обыкновенных дифференциальных уравнений, дано описание соответствующего стандартного программного обеспечения. Подробно разобраны примеры программ расчета стационарных и нестационарных температур для системы, состоящей из твердых тел и движущихся жидкостей. Изучение первой главы необходимо для понимания материала следующих. [c.4]

Тепловые проводимости, теплоемкости и мощности могут зависеть от искомых температур. Поэтому в общем случае получающиеся системы уравнений являются нелинейными. Однако при решении систем нелинейных уравнений обычно организуют итерационный процесс, при котором определение очередного приближения проводится путем решения системы линейных уравнений, в которой проводимости, теплоемкости и мощности рассчитаны по значениям температур, найденным на предыдущей итерации. Решение систем линейных алгебраических уравнений лежит также в основе некоторых методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений- [c.9]

Изложение методов решения систем алгебраических уравнений, начнем с линейных систем. [c.9]

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений разделяют на две группы прямые и итерационные. В прямых методах решение находят за конечное число действий, зависящее от числа неизвестных N, и это решение было бы точным, если бы при выполнении арифметических операций не было погрешностей округления, т. е. если бы действия проводились с неограниченным числом знаков. [c.10]

Основным недостатком итерационных методов является трудность получения оценок их скорости сходимости. Довольно часто получается слишком медленная сходимость и выгоднее решать систему прямыми методами. Для определения оценок скорости сходимости и оптимального значения параметра релаксации а из (1.22) приходится предпринимать специальные исследования, в частности вычислять минимальное и максимальное собственные числа матрицы. Обычно это имеет смысл делать только в случае, когда линейную систему с данной матрицей предполагается решать многократно. [c.15]

Для решения жестких систем применяют специальные неявные разностные схемы, при реализации которых возникает ряд трудностей. Во-первых, при решении систем нелинейных разностных уравнений применение метода простой итерации неэффективно. Необходимо применять метод Ньютона. Во-вторых, линейные системы разностных уравнений, получающиеся либо непосредственно в процессе решения линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, либо при реализации метода Ньютона в случае нелинейных систем, являются часто плохо обусловленными. Для их решения применяют специальные приемы. [c.41]

Одним из лучших методов решения систем линейных алгебраических уравнений общего вида является. метод последовательного исключения Гаусса с выбором главного элемента. Расчет по формулам этого метода требует примерно арифметических операций, поэтому при достаточно больших N потребуются значительные затраты машинного времени. Заметим, что при решении задачи по явной схеме число арифметических операций вычисления разностного решения на каждом временном слое по формуле (3.27) пропорционально N. [c.96]

Тензорные уравнения замкнутости закрытых кинематических цепей в форме (3.21), (3.24) или открытых кинематических цепей в форме (3.20) содержат всю информацию о параметрах движения этих цепей. Для определения, например, абсолютных и относительных перемещений звеньев конкретной цепи необходимо заменить входящие в перечисленные уравнения тензоры отображающими их матрицами и после осуществления операций умножения матриц и приравнивания соответствующих элементов правой и левой частей получить систему алгебраических уравнений, решение которой даст возможность определить перемещения звеньев. Как известно, скорости и ускорения движения звеньев и их точек представляют собой соответственно первые и вторые производные по параметру времени от перемещений звеньев. Дифференцируя дважды по параметру времени полученную систему алгебраических уравнений, получим соответственно две системы уравнений одну для определения ускорений, другую для определения скоростей. Разумеется, первая система может иметь коэффициенты, зависящие от величины перемещений, которые следует считать известными после решения исходной системы уравнений. Аналогично коэффициенты системы линейных уравнений для определения ускорений могут содержать величины перемещений и скорости звеньев. Решение линейных систем не представляет принципиальных трудностей и может быть осуществлено по методам Крамера (при помощи определителей) или Гаусса (при последовательном исключении неизвестных). Иллюстрация изложенного дана на примерах (см. 3.4). [c.46]

В 30-х годах современная теория автоматического регулирования только зарождалась. В наследство от классической теории регулирования хода машин, основы которой были заложены Вышнеградским и Стодолой, был получен критерий устойчивости Раута — Гурвица для определения устойчивости линейных систем, кривые Вышнеградского, пригодные для выбора параметров линейных систем 3-го порядка и некоторые другие результаты. Потребности развития новой техники и автоматизации технологических процессов настоятельно требовали введения более сложных и качественных систем автоматического регулирования. Для выполнения этих задач требовались новые эффективные методы расчета автоматических регуляторов. Результаты, полученные в классической теории регулирования хода машин, постепенно были распространены на регулирование электрических параметров, тепловых процессов и т. д. К концу 30-х годов в теории регулирования наметился серьезный сдвиг, связанный с введением частотных представлений. Повышение быстродействия и увеличение точности производственных процессов требовали от автоматических регуляторов не только устойчивости, но и высокого качества регулирования. Таким образом, в 30-е годы расширяется понятие о регулировании машин, постепенно осуществляется переход к регулированию технологических процессов и выдвигаются новые задачи теории регулирования исследование качества регулирования, синтез регуляторов и т. д. [48]. [c.237]

На основе работ, выполненных в 1936 г. в ВЭИ, в 1938—1939 гг. были опубликованы исследования А. В. Михайлова, который предложил использовать в теории регулирования частотные методы, ранее применявшиеся в радиотехнике, и сформулировал новый критерий устойчивости линейных систем автоматического регулирования. В 1939 г. в ВЭИ В. В. Солодовников применил преобразование Лапласа для решения задач теории регулирования и провел анализ устойчивости системы регулирования с распределенными параметрами. [c.238]

В послевоенный период теория автоматического регулирования формируется как самостоятельная научная дисциплина. Существенное влияние на ее развитие оказали результаты, полученные в смежных областях, особенно радиотехнике. Критерий Найквиста — Михайлова и критерий Михайлова были распространены на системы, описываемые дифференциальными уравнениями высокого порядка. Возможность использования экспериментально снятой амплитудно-фазовой характеристики устойчивой разомкнутой системы для определения устойчивости замкнутой системы делает частотные методы весьма распространенными на практике. В 1946 г. эти критерии были распространены на случаи нейтральных и неустойчивых разомкнутых систем. Теория устойчивости линеаризованных систем с сосредоточенными параметрами получила свое завершение в разработке теории Д-разбиения. В 1946 г. были исследованы закономерности расположения корней целых функций на комплексной плоскости, характеризующие устойчивость систем с распределенными параметрами (трубопроводы, длинные линии электропередач и т. д.) и с элементами с транспортным запаздыванием. На системы с запаздыванием был распространен метод частотных характеристик систем с сосредоточенными параметрами. В 1947 г. этот метод был распространен на один класс систем с распределенными параметрами. В связи с задачами стабилизации линейных систем в 1951 г. было [c.248]

Существенно иное, статистическое направление теории оптимальных систем возникло примерно одновременно с теорией детерминированных систем. Статистическое направление, во всяком случае на начальной стадии, базировалось на математической теории Колмогорова — Винера. Кроме того, был создан другой метод — метод канонических разложений, часто оказывающийся более удобным для приближенного решения сравнительно сложных задач. Вначале работа в области статистических методов в автоматике велась главным образом в направлении развития статистических методов исследования стационарных линейных систем в установившемся режиме при стационарных случайных возмущениях, применения этих методов к задачам практики и их распространения на линейные импульсные системы. [c.250]

Для систем, съем данных в которых происходит в течение конечного интервала времени, удалось, используя аппарат разностных уравнений и дискретного преобразования Лапласа, разработать методы исследования их устойчивости и построения процессов в этих системах. В дальнейшем, благодаря применению некоторых теорем дискретного преобразования Лапласа, оказалось возможным свести изучение этого класса систем к изучению обычных импульсных систем с мгновенным съемом данных. Если на первых порах теория импульсных систем заимствовала методы и приемы у теории непрерывных систем, то в настоящее время она успешно решила ряд задач по синтезу оптимальных линейных импульсных систем при учете неизменной части системы, которые в теории непрерывных линейных систем до сих пор остаются нерешенными. Наличие неизбежно присутствующих или преднамеренно вводимых нелинейностей ограничивает возможности применения линейной теории импульсных систем. Особенно это относится к системам с широтно- и частотно-импульсной модуляциями, а также к системам, содержащим в качестве элемента цифровые вычислительные устройства при учете ограничений памяти и небольшом числе разрядов. [c.270]

Для решения задач были разработаны на базе метода канонических разложений случайных функций общие методы определения оптимальных линейных систем для нестационарных входных сигналов, применяемые к системам с любым числом входов и выходов, а также решен ряд частных задач по определению оптимальных систем различного назначения. Кроме того, нри помощи теории канонических разложений был разработан общий метод нахождения оптимальных систем и оптимальных алгоритмов обработки информации но любым статистическим критериям качества. Этот метод, применимый к линейным и нелинейным системам с любым числом входов и выходов, позволил объединить одной общей теорией все задачи обнаружения сигналов в шумах и их оптимальной обработки, возникающие в теории информации, теории связи, радиотехнике, автоматике и других областях науки и техники. Было показано, как этот общий метод может быть применен для построения алгоритма обучающихся машин. [c.274]

Методы, используемые при исследовании устойчивости линейных систем, рассматриваются в теории автоматического регулирования [3]. [c.17]

В последние годы было выяснено, что задача определения предельных и приспособляющих нагрузок в математическом отношении является проблемой математического программирования (оптимального планирования) и, следовательно, может изучаться на основе специальных методов, получивших развитие, главным образом, в связи с задачами управления и планирования и широко использующих ЭВМ [67, 187]. Методы линейного программирования были применены в работах [87, 142, 205] к анализу предельного равновесия пластин и оболочек, а в цикле статей [181, 182 и др.] —к задачам предельного равновесия, приспособляемости и оптимального проектирования стержневых систем. [c.10]

С целью применения методов теории колебаний в исследованиях движения ротора обычно его вращательное движение заменяют двумя колебательными движениями, происходящими в двух взаимно перпендикулярных плоскостях с постоянным сдвигом фаз. Исследуют отдельно каждую компоненту и далее для получения общей физической картины производят суммирование обеих составляющих. Этот метод удобен и точен для линейных систем. Однако этого нельзя сказать о нелинейных системах. [c.74]

Характеристика муфты является типично нелинейной и поэтому методы расчета, обычные для линейных систем, здесь не применимы. [c.227]

В этом конкретном случае оптического зондирования обратной задаче светорассеяния дисперсными средами естественно придать параметрическую форму. Малый объем исходных спектральных данных делает малоэффективным применение метода линейных систем. Как показано в работе авторов [6], лишь в случае четырехчастотного лидара целесообразно применение более общих методов интерпретации локационных данных. [c.99]

Сказанное показывает важное значение, отводимое в математическом обеспечении САПР численным методам решения систем ОДУ, нелинейных и линейных алгебраических уравпепин. Из рис. 2.2 также видно, что такие системы уравнении приходится роптать при проектировании объектов па микро- и макроуровнях, а часто и на ме-тауровие. От эффективности этих методов существенно зависит общая эффективность выполнения проектных процедур функционального проектирования. [c.45]

В настоящее время методы и алгоритмы анализа динамики линейных систем разработаны достаточно полно. В первую очередь это относится к методам анализа линейных систем с постоянными коэффициентами. В данной главе основные вопросы аназгиза динамики связаны с исследованием устойчивости и колебаний линейных систем. Основополагающими при рещении таких задач являются работы А.М. Ляпунова. [c.81]

G. Нелинейные силы. Приведенная классификация линейных сил по их математической структуре очень удобна для линейных систем, особенно при исследовании устойчивости движения. Однако для нелинейных сил этот метод неприменим. Поэтому для общей характеристики сил воспользуемся их физическими свойствами. Как известно, работа потенциальной силы К (д) не зависит от пути перемещения точки приложения сил1.г. Для )Tiiii силы справедливо равенство [c.154]

Метод разложения в спектр негармопической впешней силы, примененный в предыдущем параграфе для рассмотрения действия на линейную систему негармонической, но периодической внешней силы, может быть применен также и в случае непериодической внегнпей силы, [c.622]

Поскольку речь идет о выборе метода исследования нелинейных систем, удобного для реализации на ЭВМ, то логично потребовать, чтобы математический аппарат, лежащий в оснс ве этого метода, был аналогичен аппарату, используемому для анализа линейных систем. Известно, что для расчета линейных систем наиболее прие1ллемым с точки зрения САПР является спектральный метод, в основе применения которого лежат алгоритмы БПФ. [c.91]

Гл. I, Методы численного анализа достаточно полно изложены в [3, 6, И, 12, 15, 22, 29, 31, 36]. Современные методы решения систем линейных алгебраических уравнений содержатся в [31, 36] и книге Воеводин В. В. Вычислительные основы линейной алгебры (М., 1977), а краевых задач — в [3, 29] и книге Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений (М., 1986). [c.227]

Резюме. Делоне предложил замечательный метод изучения систем с разделяющимися переменными, удовлетворяющих дополнительному условию, согласно которому линии тока на разделившихся фазовых плоскостях (7, pii) — замкнутые кривые. Он ввел каноническое преобразование, позиционными координатами которого являются переменные действия Jk, определенные как площади, ограниченные линиями тока. Для движения, осуществляющегося в действительности, Jk являются константами, а сопряженные импульсы, взятые с обратным знаком,— угловые переменные со — линейно меняются со временем /. Частные производные Е по У,- дают п новых констант, являющихся частотами движения v,-. Каждое qk может быть записано в виде кратного ряда Фурье, содержащего все частоты V,- и все их гармоники. Поэтому такие системы называются многопериодными. [c.291]

Хотя методы определения периодических двинсений охватили кусочнолинейные системы весьма общего вида, метод анализа переходных и иных процессов удалось развить лишь для кусочно-линейных систем частного вида — релейных систем. Были разработаны методы анализа и синтеза таких систем. Оказалось, что для релейных систем могут быть построены методы расчета, возможности которых близки к возможностям методов расчета линейных систем. [c.268]

Конечно, уравнения (6) могут быть использованы для непосредственного определения коэффициентов влияния, например, на аналоговой или цифровой машине [1]. Однако здесь мы изложим другой подход (см. пп. а—г), основанный на свойствах уравнений (6). Этот метод назван нами методом преобразованных систем. Рассмотрим сначала линейные системы. В соответствии со свойством уравнения (6), если исходная сисистема линейна (см. п. г.), то левые части основного уравнения и уравнения для коэффициентов влияния тождественны. Следовательно, для решения уравнений (6) мы можем воспользоваться самой системой (или ее моделью, электрической цепью и т. д.), убрав основное возбуждение и вводя возбуждение в соответствие с правой частью уравнения (6). Такая система, полученная из основной, называется преобразованной [2, 4, 5]. [c.82]

Двойственный метод также относится к конечным методам линейного программирования. Он представляет не что иное, как симплекс-метод (метод последовательного улучшения плана), примен-енный к решению двойственной, задачи. Вычислительная процедура формулируется в терминах прямой задачи. Каждый шаг уточняет план двойственной задачи. Каждый из опорных планов двойственной задачи можно рассматривать как приближенную систему оценок условий прямой задачи (отсюда название — метод последовательного уточнения оценок). Вектор г — опорный план г/ = У < , ytn) двойственной задачи. [c.166]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...