Число собственное матрицы

Введем некоторые определения. Собственные числа Ху матрицы В, т.е. корни уравнения [c.129]

Для дальнейшего введем некоторые определения. Собственные числа "kj матрицы В называются характеристическими показателями системы (6). Собственные числа р, матрицы Х(2л) называются мультипликаторами системы (6). Из формулы (10) следует, что [c.394]

Квадраты наибольшего и наименьшего значений матрицы совпадают с наибольшим и наименьшим собственными числами эрмитовой матрицы А А. Естественно, что в случае, когда сама матрица А является эрмитовой, из (15.24) получаем формулу [c.189]

Если Яь Яг,. .., Яр — различные между собой собственные числа и матрицы А — Я[Е, А — ЯгЕ,. .., А — ЯрЕ имеют соответственно дефекты 1, 2,.... .., др, то всего имеется ( 1 + + др линейно независимых собственных [c.146]

Число собственное 4 ---матрицы 146, 149 [c.480]

Выясним физический смысл чисел обусловленности матриц А и Е/(й — А. Число обусловленности матрицы в евклидовой норме может выражаться через отношение максимального и минимального модулей ее собственных чисел [3], т. е. [c.58]

Таким образом, число обусловленности матрицы А оценивается снизу отношением квадратов максимальной и минимальной собственных частот данной дискретной модели ротора. [c.58]

Для обеспечения желаемого характера переходных процессов можно использовать законы управления вида (3.12). При отсутствии параметрических и постоянно действующих возмущений эти законы обеспечивают не только асимптотическую устойчивость ПД, но и наперед заданный характер затухания переходных процессов. Например, если собственные числа устойчивой матрицы коэффициентов усиления Г являются отрицательными, переходные процессы имеют экспоненциальный (апериодический) характер. [c.67]

Если К — собственное значение матрицы А, то для матрицы аЛ "(аеС , т>1 —натуральное число) собственным значением является число аЯ . Следовательно, для полинома Р(А) от матрицы Л собственным значением является число Р(к). [c.96]

Задача определения амплитуды критического усилия сводится к нахождению наибольшего собственного числа X матрицы А. Число окружных волн находится из условия максимума Л. Собственный вектор С позволяет определить прогибы. [c.238]

Для отбора признаков в первую очередь надо все их оценить по степени информативности. Поэтому для оценки степени информативности отдельных признаков и их сочетаний нами был использован метод минимизации описания по числу разрешаемых споров. За разрешенный спор принималась ситуация, когда расстояние между границами областей классов превышало удвоенную собственную область каждой точки отображения образа. Относительную информативность того или иного признака можно выразить в виде отношения числа разрешенных пар дефектов (элементов матриц разрешения) по этому признаку к общему числу элементов матрицы. [c.196]

Таким образом, в большинстве случаев для определения устойчивости решений линейной системы с периодическими коэффициентами достаточно определить отображение за период Х( о + т, /о) и найти собственные числа этой матрицы. Исключительными являются случаи, когда выполнено (20), но среди корней А имеются кратные. [c.458]

Обозначим XI,2(р) определитель матрицы А1 2 рЕ (характеристический многочлен). Если выполнено одно из условий Х1(1)%2(1) < О или Х1(—1)х2( —1) < О, то движение с кратными ударами структурно неустойчиво. Заметим, что данные неравенства означают наличие у матриц А 2 действительных собственных значений, по модулю больших единицы в первом случае нечетно суммарное число таких значений (для обеих матриц), больших единицы, во втором случае нечетно суммарное число собственных значений, меньших —1. [c.250]

Показать, что нулевое решение ж = О линейной системы в конечных разностях ж(5 + 1) = Лж(5) с постоянной матрицей Л асимптотически устойчиво в том и только том случае, если все собственные числа ki матрицы Л лежат внутри единичного круга ki < < 1, г = 1, п. [c.289]

I дХа дх II, а именно если в некоторой окрестности точки = О все собственные числа этой матрицы имеют отрицательные вещественные части, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво, если же в каждой точке окрестности = О имеется собственное число с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение неустойчиво. [c.58]

Вторые и третьи собственные числа ковариационных матриц влажности также имеют некоторые, хотя и не так хорошо [c.137]

Для дальнейшего введем некоторые определения. Собственные числа Xj матрицы В, т. е. корни уравнения [c.36]

Как показано в гл. 10, модели типа льда представляют собой специальный случай восьмивершинной модели, которая также может быть решена. Модели типа льда в фазе III соответствуют восьмивершинной модели при критической температуре. В этом случае имеется бесконечное число собственных значений трансфер-матрицы, вырожденных с максимальным значением. Спонтанный порядок и поверхностное натяжение отсутствуют, но корреляционная длина бесконечно велика. [c.154]

По-видимому, справедливо более общее утверждение. При достаточно низких температурах для любой ВСГ-модели каждая угловая трансфер-матрица имеет дискретный спектр собственных значений при т - оо. Это означает, что для любого е > О имеется только конечное число собственных значений, больших, чем е. [c.376]

Остановимся на роли погрешности, которая возникает за счет приближенности решения самой системы Ритца. Важную роль здесь играет число обусловленности матрицы (см. 15). Для того чтобы решение и в этом случае оказалось устойчивым, необходимо, чтобы собственные числа матрицы были ограничены сверху и снизу положительными числами независимо от порядка матриц. [c.156]

Здесь итерационное перемножение на втором этапе теоретически должно приводить к появлению на месте [У] искомых собственных векторов, а на третьем этапе — к появлению на месте [S] диагональной матрицы с элементами, равными собственным числам. Применение матрицы [Г ] на пятом этапе эначительно ускоряет этот процесс. Если для каких-либо i, ] на четвертом этапе отношения (Ьц — bjj)/bjj и Ьц/Ь , вместе не превосходят заданную точность вычислений, то необходимо положить tij — О (этот случай соответствует близким собственным значениям). После нахождения в результате этапа (57.22) диагональных элементов матрицы [Б] они сортируются по величине, ц, соответственно, меняются местами векторы в массивах W] и [У]. Погрешность вычисления г-го вектора оценивается скалярным произведением ( и — Скорость сходимости метода одно- [c.474]

Известно, что совокупность (14.8) главных миноров симметричной трехдиагональной матрицы обладает свойством последовательности Штурма [95]. Это означает, что если для некоторого = v определена совокупность величин 7l/o(v), Mi(v),. .., МЛу), то число s(v) перемен знаков у членов этой последовательности равно числу собственных значений па отрезке Яе [—оо, v]. В общем случае, если для двух значений Я ( = Vi и Я = V2, V2>Vi) определены знаковые характеристики s(vj и (vj), то полусегменту принадлежит slva) — s(vi) собственных значений матрицы С. Свойство Штурма носледовательности (14.8) главных миноров позволяет построить простую дихотомическую схему для локализации собственных значений трехдиагональной матрицы С. [c.229]

Внешняя нагрузка iVj должна быть выражена через Пп и с, а Пп зависит, в свою очередь, от п и т. Искомое значение верхнего критического параметра нагрузки является обратной величиной наибольшего собственного числа Сщах матрицы, соответствующей системе уравнений (8.2), (8.3). [c.124]

Здесь итерационное перемножение на втором этапе теоретически должно приводить к появлению на месте [V] искомых собственных векторов, а на третьем этапе — к появлению на месте [В] диагональной матрицы с элементами, равными собственным числам. Применение матрицы [Т ] на пятом этапе значительно ускоряет этот процесс. Если для каких-либо г, / на четвертом этапе оба отношения (Ь,-,- - Ьц)1 Ьц и bijibjj не превосходят заданную погрешность вычислений, то необходимо положить tfj = о (этот случай соответствует близким собственным значениям). Можно предложить и другой алгоритм, в котором на четвертом шаге точно решается полная задача на собственные значения для матрицы [В] (это легко можно сделать, так как порядок матрицы [В] равен т [c.52]

Хп. В результате выполненных преобразований наибольшее собственное значение К было изъято, и теперь, чтобы найти следующее наибольшее собственное значение Я,, можно применить к матрицей обычный итерационный метод. Определив Хг и Хг, повторим весь процесс, используя новую матрицу А , полученную с помощью Л, Хз и Хг. Хотя на первый взгляд кажется, что этот процесс должен быстро привести к цели, он имеет существенные недостатки. При выполнении каждого шага погрешности в определении собственных векторов будут сказываться на точности определения следующего собственного вектора и вызывать накопление ошибок. Поэтому описанный метод вряд ли применим для нахождения более чем трех собственных значений, нач1 ная с наибольшего или наименьшего. Если требуется получить большее число собственных значений, следует пользоваться методами преобразования подобия. [c.57]

Произвольный определитель порядка п можно выразить через п миноров порядка п— 1, каждый из которых в свою очередь выражается через п — 1 миноров порядка п — 2. Удобство трехдиагональной формы в том, что на каждом шаге все миноры, кроме двух, оказываются равнылш нулю. В результате исходный определитель представляется последовательностью полиномов ш Ц= ат—Щт 1 К)—Ь%[т-2 к). ПрИНЯВ /о (X) = 1 И =01 — к при г=2,. . ., п, получим совокупность полиномов, известную как последовательность Штурма и обладающую тем свойством, что корни полинома /ДХ) располагаются между корнями полинома fj .i k). Поэтому для 1 к) — к можно утверждать, что значение к = заключено между корнями полинома 2 к) = а2 — Х)(а1 — X) — Ь1. Это облегчает итерационное определение корней полинома, так как если известны границы интервалов, в которых лежат значения корней полинома, то их можно найти методом половинного деления. Так последовательно находят корни всех полиномов, и последний из них 1п к) дает все искомые п собственные значения. Эту процедуру можно проиллюстрировать графически (см. рис. на стр. 64). Последовательность Штурма обладает еще и таким свойством для любого значения Ь, при котором (Ь) ф О, число собственных значений матрицы Л, больших Ь, равно числу изменений знака последовательности [c.63]

Если при решении системы (2.13) возникла погрешность Аац,к в вычислении коэффициента матрицы А, то она может быстро возрастать, приводя к ошибкам результата Ах1х= А.ац1ац, где г=гпах Яг /т1п Хг —число обусловленности матрицы А кг — собственные числа матрицы А. При плохо обусловленной матрице А ошибка в решении может оказаться значительной, поэтому алгоритм выбора главного элемента дополняется следующим условием. Вводится множество элементов с, для которых Мц,к=Ми, и удовлетворяется условие численной устойчивости. В качестве главного элемента на к-м шаге выбирается наибольший по модулю из кандидатов, находящихся в сь. Для контроля точности полученного решения находят вектор невязки R=B—АХ. Если норма К мала, а система хорошо обусловлена, то решение найдено достаточно точно. В противном случае решение можно уточнить итерационным методом. [c.38]

Располагая собственные числа ковариационной матрицы 5г / в порядке убывания > Я2 > Яз >. .можно последовательно найти соответствующие им собственные векторы Рь р2, Рз, [c.49]

Действительно, если в районе Буффало Я,1 707 (°С) то вблизи судна погоды К, расположенного примерно на той же широте, Я,1 144 (°С) 2. Наименьшие значения первого собственного числа ковариационной матрицы температуры (менее 50 (°С) ) наблюдаются зимой в тропической зоне и вблизи экватора. При этом вариации Я,1 здесь от станции к станции очень малы, в основном менее 10—15 (°С) [c.129]

Вторые и третьи собственные числа ковариационных матриц существенно меньше первого собственного числа, они менее изменчивы, чем 1 ( 2 в основном варьирует от 25 до 100—150 (°С) аХз — от 5—10 до 50 (°С) 2), Кроме того, в отличие от >.1, вторые и в меньшей степени третьи собственные числа температуры обладают хорошо выраженным широтным ходом, особенно в зимний период (см. табл. 3.5, данные станций Корал-Харбор, Буффало и Майами). [c.130]

Анализ данных табл. 3.6 и рис. 3.21 позволил установить, что величина первого собственного числа ковариационных матриц SqqW ДОВОЛЬНО значительно варьирует в зависимости от географического положения станции и особенно в течение года (правда, ГОДОВОЙ ход проявляется наиболее четко лишь в умеренных широтах). Так, например, зимой первое собственное число матриц SqqW может изменяться от 1—2 до 40—50 (%о) При этом наименьшие значения отмечаются над центральной Арктикой и над внутренними континентальными районами материка Евразии (особенно над Восточной Сибирью). Здесь, как известно, в холодный период наблюдается наиболее слабая циклоническая деятельность и самое минимальное в северном полушарии влагосодержание атмосферного воздуха. Наибольшие значения Xi прослеживаются зимой над западными частями Тихого и Атлантиче- [c.135]

Полученный результат справедлив при любом выборе ортонор-мированной системы функций Если система // выбрана произвольно, то для построения матрицы гамильтониана потребуется большое число функций //, и соответствующее представление группы симметрии будет иметь очень высокую размерность. Если, с другой стороны, взять в качестве функций /г собственные состояния гамильтониана, то действие на них гамильтониана сведется к умножению их на некоторое число (собственное значение энергии), и матрица гамильтониана окажется диагональной. Любое преобразование симметрии должно поэтому переводить либо в себя, либо в вырожденное состояние. Размерность представления, порожденного данной функцией / , не может превышать степень вырождения состояния. Таким образом, между размерностью представления группы и степенью вырождения состояния, породившего это представление, существует тесная связь. В частности, если под действием неприводимого представления все состояния некоторой совокупности преобразуются друг через друга, то это означает, что и под действием операции симметрии эти состояния будут преобразовываться друг через друга, т. е. мы не можем найти никакой линейной комбинации (никакого унитарного преобразования), представляющей исключение. Из симметрии гамильтониана поэтому следует, что эти состояния должны быть вырожденными. Мы пришли тем самым, правда с помощью интуитивных соображений, к одному из важных результатов теории групп. Если группа симметрии гамильтониана имеет многомерные неприводимые представления, это означает, что собственные состояния гамильтониана должны быть вырожденными. [c.38]

Неособенная вещественная матрица четвертого порядка Ек осуществляет взаимно однозначное отображение пространства решений канонической системы (2.16), рассматриваемой на к-к стороне /Jv, на себя, т. е. является оператором монодромии. Полагая к = , 2,. .., И, получаем N матриц Ей, причем в силу (2.31) Ек+1 = РкЕкРк и потому собственные числа Х, матрицы Ей не зависят от к. [c.274]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...