Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (ЛАУ). Процедура решения системы ЛАУ [c.229]

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений разделяют на две группы прямые и итерационные. В прямых методах решение находят за конечное число действий, зависящее от числа неизвестных N, и это решение было бы точным, если бы при выполнении арифметических операций не было погрешностей округления, т. е. если бы действия проводились с неограниченным числом знаков. [c.10]

Одним из лучших методов решения систем линейных алгебраических уравнений общего вида является. метод последовательного исключения Гаусса с выбором главного элемента. Расчет по формулам этого метода требует примерно арифметических операций, поэтому при достаточно больших N потребуются значительные затраты машинного времени. Заметим, что при решении задачи по явной схеме число арифметических операций вычисления разностного решения на каждом временном слое по формуле (3.27) пропорционально N. [c.96]

Необходимым условием сходимости итеративного метода решения систем линейных алгебраических уравнений является следующее сумма коэффициентов при неизвестных переменных в каждом уравнении не должна превышать единицу. Системы уравнений (4-10) и (4-14) этому условию удовлетворяют. [c.46]

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений [c.106]

Здесь нужно отметить два обстоятельства. Во-первых, система уравнений остается симметричной — факт, облегчающий применение обычных методов решения систем линейных алгебраических уравнений (гл. 20),- Во-вторых, на диагонали матрицы появляются нули, что иногда затрудняет получение решения. [c.49]

Анализ прямых и итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений МКЭ показывает, что они имеют различные возможности и потенциальные преимущества [c.125]

Определение перемещений методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения упругой линии в случае балок с большим количеством участков сопряжено со значительными трудностями. Эти затруднения заключаются не в интегрировании дифференциальных уравнений, а в технике определения произвольных постоянных интегрирования — составлении и решении систем линейных алгебраических уравнений. Так, если балка по условиям нагружения разбивается на п участков, то интегрирование дифференциальных уравнений для всех участков балки дает 2п произвольных постоянных. Добавив к двум основным оперным условиям балки 2 п — 1) условий непрерывного и плавного сопряжения всех участков упругой линии, можно составить 2п уравнений для определения этих постоянных. [c.281]

Довольно часто различного рода задачи математической физики сводятся к решению систем линейных алгебраических уравнений. В силу этого весьма полезно, хотя бы вкратце, изложить основные вопросы, связанные с методами их решения. Начнем рассмотрение с бесконечных систем (см. [17]). Пусть имеем систему [c.183]

Тепловые проводимости, теплоемкости и мощности могут зависеть от искомых температур. Поэтому в общем случае получающиеся системы уравнений являются нелинейными. Однако при решении систем нелинейных уравнений обычно организуют итерационный процесс, при котором определение очередного приближения проводится путем решения системы линейных уравнений, в которой проводимости, теплоемкости и мощности рассчитаны по значениям температур, найденным на предыдущей итерации. Решение систем линейных алгебраических уравнений лежит также в основе некоторых методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений- [c.9]

Обработка на ЭЦВМ информации, получаемой при балансировке однотипных агрегатов, требует решении систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений значительно больше числа неизвестных. Как правило, такие системы иесов.местны и не имеют точного решения. Приближенное решение по методу наименьших квадратов сводится к решению системы линейных уравнений с квадратной матрицей [1], [2]. Однако в процессе решения возникают трудности, связанные с возможностью плохой обусловленности матрицы системы нормальных уравнений. Чис.до обусловленности дает оценку того, насколько относительная погрешность результата превосходит погрешность исходной информации. Если число обусловленности велико, то небольшая ошибка в исходных данных приводит к значительным ошибкам в решении. Поэтому оценка обусловленности матрицы дает существенную характеристику качества решения. [c.151]

Обращение матриц - одна из наиболее распространенных операций задач строительной механики и других наук. Обратной называют матрицу, получаемую в результате деления единичной матрицы Е на исходную матрицу л, т.е х = Е1х Эту процедуру выполняет функция шу(л ), которая вычисляет элементы обратной матрицы для исходной квадратной матрицы х. Выдается предупреждающее сообщение, если матрица л плохо масштабирована или близка к вырожденной. На практике вычисление обратной матрицы не так уж необходимо. Чаще обращение применяют для решения систем линейных алгебраических уравнений вида ах = Ь. Один из путей решения этой системы - л = inv(a) Ь, хотя лучше использовать метод исключения Гаусса без формирования обратной матрицы, например х = а Ь или х = Ыа. [c.250]

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом исключения Гаусса [c.258]

Применение этого метода к минимизации квадратичной функции (5.4) дает метод наискорейшего спуска решения систем линейных алгебраических уравнений с симметричными положительно определенными матрицами [c.142]

В первом разделе рассмотрена общая процедура решения задач статики, динамики и теплопроводности с помощью МКЭ, даны методы, формулы и библиотека подпрограмм вычисления соответствующих матриц и векторов простых типовых конечных элементов прямолинейных стержней постоянного поперечного сечения (рис. 1.2), прямоугольных в плане оболочек (рис.. 3), тонких треугольных, четырехугольных и прямоугольных в плане пластин (рис. 1.4), круговых колец треугольного, четырехугольного и прямоугольного поперечного сечения (рис. 1.5), четырех-, пяти- и шестигранных объемных элементов (рис. 1.6). Изложены методы и алгоритмы расчета приведена библиотека подпрограмм решения систем линейных алгебраических уравнений, нелинейных функциональных уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.11]

Наиболее эффективные из этих методов сводят решение соответствующих краевых задач к решению систем линейных алгебраических уравнений. Поэтому ознакомление с основами аппарата линейной алгебры является необходимым для успешного изучения методов математического модели рования. [c.16]

При использовании численных методов в расчетах оболочек возникает необходимость решения систем линейных алгебраических уравнений высоких порядков. Методы решения систем уравнений [89] подразделяются на прямые и итерационные. Эффективность выбранного для решения систем алгебраических уравнений блочного метода Гаусса определяется следующими достоинствами [c.180]

Замечания. 1. Заключительный этап применения метода — решение системы линейных алгебраических уравнений, заменяющей ГИУ. Обычно возникают системы с заполненной матрицей. Их решение при большом числе уравнений сопряжено с определенными трудностями по сравнению с решением систем ленточного типа, с которыми имеют дело в методе конечных элементов. Мы не будем останавливаться на этом вопросе. Ограничимся несколькими замечаниями. [c.197]

В работах [1, 21 исследовалось течение вязкой несжимаемой жидкости в расширяющемся двумерном канале, стенки которого становятся параллельными на большом расстоянии вверх и вниз по потоку (ширина канала на выходе в два раза превосходила ширину яа входе). Для расчетов использовался численный метод, основанный на введении в уравнения малого параметра, сводящего численную процедуру в конечном счете к решению систем линейных алгебраических уравнений на каждом шаге итерации. Расчеты показали, что при числе Рейнольдса Не, вычисленном по ширине входной части и равном 8я, возникают возвратные течения небольшой [c.235]

Вообще говоря, выбор между вариантами замены дифференциальных уравнений конечно-разностными зависимостями (с последующим решением системы линейных алгебраических уравнений) и замены производных в функционалах конечными разностями с применением затем методов поиска экстремума весьма зависит от того, на каких ЭЦВМ предполагается реализовать счет и какие отлаженные подпрограммы для решения систем линейных алгебраических уравнений и поиска экстремума имеются, каковы быстродействие и объем оперативной и внешней памяти машины. Здесь специфические вопросы решения линейных алгебраических систем и поиска экстремума не рассматриваются, хотя многие из этих методов имеют свои особенности из-за специфики, которую накладывает несжимаемость. Ограничимся приведением примеров, в которых применены отработанные алгоритмы. [c.196]

Метод сопряженных градиентов является прямым методом решения системы линейных алгебраических уравнений [46]. Однако при решении упомянутых систем уравнений на ЭВМ этот метод ведет себя как итерационный. Это связано с нарушением ортогональности некоторых векторов вследствие ошибок округления. Рассматривая метод сопряженных градиентов как итерационный метод для решения больших систем уравнений с редкой матрицей, можно обнаружить некоторые полезные свойства. Так, например, быстрая сходимость для хорошо обусловленных задач позволяет получать с достаточной точностью итерационное решение за сравнительно небольшое число итераций. Реализация алгоритма метода сопряженных градиентов без непосредственной сборки глобальной матрицы системы уравнений приводит к исключительно простой вычислительной процедуре. [c.134]

Таким образом, математическое описание механического поведения ансамбля дисков в рассматриваемой модели сводится к последовательному составлению и решению систем линейных алгебраических уравнений. Метод исследования состоит в выполнении численных экспериментов с помощью ЭВМ. [c.33]

Вычисление приведенных разрешающих коэффициентов производится в два этапа. На первом этапе методом Монте-Карло определяются обобщенные угловые коэффициенты излучения. На втором этапе путем решения систем линейных алгебраических уравнений лучистого теплообмена рассчитываются коэффициенты/у-. Отметим, что коэффициенты/,у могут учитывать и рассеянную частицами в объеме среды часть потока излучения по разработанным ранее алгоритмам. [c.159]

Существуют различные варианты этого метода, но для всех них характерны значительные затраты времени счета и машинной памяти, в первую очередь, за счет введения матриц [Р Р2] и [ 1 2]. Разложение по сингулярным числам является самым надежным способом определения ранга матрицы [Я] и решения систем, элементы которых подвержены ошибкам [53]. Вообще говоря, вопрос о выборе метода решения системы линейных алгебраических уравнений должен решаться с учетом конкретных особенностей задачи. Некоторые оценки эффективности используемых алгоритмов и программ содержатся в гл. 4—6. [c.50]

Уравнения (7.38) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно искомых функций в узлах [Фь Ф2,..., Фр]. Таким образом, в методе конечных элементов решение краевой задачи для уравнения в частных производных сводится к решению линейной системы алгебраических уравнений. [c.203]

Гл. I, Методы численного анализа достаточно полно изложены в [3, 6, И, 12, 15, 22, 29, 31, 36]. Современные методы решения систем линейных алгебраических уравнений содержатся в [31, 36] и книге Воеводин В. В. Вычислительные основы линейной алгебры (М., 1977), а краевых задач — в [3, 29] и книге Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений (М., 1986). [c.227]

По этому методу уравнения баланса тепла и теплопередачи аналитически дефференцируются по переменным величинам. В результате для всего парогенератора получается система дифференциальных уравнений. При получении этой системы принимается такой шаг дифференцирования, т. е. такие изменения, при котором коэффициенты системы постоянны. Производные рассматриваются как искомые переменные, и для их определения используются численные методы решения систем линейный алгебраических уравнений. При больших изменениях коэффициенты дифференциальных уравнений переменны, тогда процесс составления и решения этих уравнений является многошаговым. [c.55]

Глобальная матрица жесткости делится на квадратные или прямоугольные блоки, каждый из которых запоминается отдельно на устройстве внешней памяти с прямым доступом. Очень эффективный фронтальный метод решения систем линейных алгебраических уравнений используется в комплексе FEMLIB-80. [c.59]

Решение системы линейных алгебраических уравнений — более простая (и привычная) математическая задача, чем задача минимизации квадратичной формы (8.16), Матрица А — положительно определенная симметричная матрица, в общем случае она является плотной (не разреженной) матрицей, и поэтому для решения системы нормальных уравнений линейного МНК (8.17) следует применять соответствующие методы решения систем линейных алгебраических уравнений ([21, 25]), например метод Холецкого, называемый также методом квадратного корня. [c.471]

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений [1, 3, 7, 11, 13] можно подразделить на две группы прямые и итерационные. Прямые методы позволяют получить решение за конечное число арифметических операций, итерационные дают лишь последовательность приближений к решению. Свойства симметрии и положительной определенности матрицы жесткости предопределяют выбор прямого метода, например метода Холец-кого или его разновидности — метода LDL -факторизации. Эффективная программная реализация различных вариантов мбтода Холецкого, ориентированная на применение МКЭ, дана в работе 13]. [c.34]

Занятия по теме Методы решения задач на ЭВМ для преподавателей механики проводятся в виде курса лекщ1й, в котором излагаются численные методы, наиболее часто использующиеся в задачах теоретической механики. К ним относятся методы решения систем линейных алгебраических уравнений, нахождения корней функций, вычисления определенных интегралов, решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений [1,2]. [c.20]

Для решения систем линейных алгебраических уравнений (ЛАУ) AV = B применяют диакоптический вариант метода Гаусса, основанный на приведении матрицы коэффициентов к блочно-диагональному виду с окаймлением (БДО). При анализе электронных схем этот вариант называют методом подсхем. Б методе подсхем исходную схему разбивают на фрагменты (подсхемы). Фазовые переменные (например, узловые потенциалы) делят на внутренние переменные фрагментов и граничные переменные. Вектор фазовых переменных [c.243]

В математическом обеспечении ЕС ЭВМ имеется пакет прикладных программ, предназначенных для решения систем линейных алгебраических уравнений [15]. Подпрограммы написаны на ФОРТРАНе и могут быть использованы не только на ЕС ЭВМ, но и на других типах ЭВМ. Эти подпрограммы реализуют прямые методы какдля матриц общего вида, так и для матриц специального вида (симметричных, ленточных). Ниже рассмотрим несколько широко применяемых подпрограмм, которые далее будут использованы при решении задач теплопроводности, лучистого и конвективного теплообмена. [c.17]

После форьшрованйя системы уравнений блок учета граничных условий 1-го рода моделирует их системой обобщенных узловых исто шиков тепла (стандартная процедура метода конечных элементов) и передает управление подпрограмме решения систем линейных алгебраических уравнений. По окончании работы этой подпрограммы для заданных моментов времени может быть произведена печать результата. [c.155]

Предназначен для решения тепловых задач. ТЕКОН представляет собой модульную систему программ со специализированным языком. Обеспечивает решение задач параболического и эллиптического типов. В общем случае ТЕКОН может быть одним из блоков некоторого более общего вычислительного процесса. Названные задачи решаются в произвольных пространственных областях ступенчатого типа,заданных в локально-ортогональных координатах, описываемых с помощью коэффицпентов Ламе. При переходе от исходной системы уравнений к конечно-разностной аппроксимации используется интегро-интерполяционный метод построения разностных схем [79]. Рассматривается класс неявных консервативных разностных представлений. Алгоритмы, реализующие процедуры вычислений по соответствующим схемам, содерл<ат итерационные процессы по нелинейности, сводящиеся к решению систем линейных алгебраических уравнений на каждом шаге. В рассматриваемом ТЕКОНом клас- [c.178]

Прямой метод LDL -факторизации решения систем линейных алгебраических уравнений является одним из вариантов метода Холецкого. Рассмотрим алгоритм этого метода. Запишем исходную систему уравнений в виде [c.27]

BANDSZ решения систем линейных алгебраических уравнений с ленточной матрицей методом Гаусса (комплексные переменные) — Текст 504 [c.514]

При этом появилась необходимость в последовательном изложении основ вычислительной математики и механики сплошных сред, ориентиро1ванном на практическое создание алгоритмов и программ для ЭВМ, реализующих эти модели. В центре внимания оказываются методы построения и решения систем линейных алгебраических уравнений, к которым практически всегда редуцируется соответствующая задача математической физики, лежащая в основе модели. При этом к основным вопросам, изучаемым вычислительной математикой, относятся вопросы аппроксимации.решения, устойчивости и сходимости алгоритмов. [c.15]

Задачи, требующие решения систем линейных алгебраических уравнений построение эпюр внутренних силовых факторов ( 1.1, 1.2, 4.1, 4.2, 5.1, 7.1), энергетический метод определения критической силы ( 11.3). Для решения указанных систем уравнений используется блок Find... Given системы Math AD. [c.483]

Метод Холецкого является прямым методом решения системы линейных алгебраических уравнений с симметричной и положительно определенной матрицей. Существуют два варианта метода Холецкого, один из которых имеет второе название, известное в литературе как метод квадратного корня. Не останавливаясь на анализе метода квадратного корня, перейдем к обсуждению второго варианта метода Холецкого, принятого здесь в качестве основного прямого метода решения систем уравнений МКЭ. [c.126]

В зтом параграфе дается общее описание алгоритма решения систем линейных алгебраических уравнений метода Бубнова - Галёркина, полученных с помощью лагранжевых конечных злементов для эллиптических уравнений второго порядка. Алгоритм основан на рекуррентном использовании приближенных решений систем, построенных на последовательности вложенных сеток. [c.137]

Конечные элементы могут быть построены различной формы, для различных видов деформации (плоская задача, изгиб пластин, деформации элемента оболочки, стержня и т. д.). Каждый из элементов характеризуется его матрицей жесткости R. Если они построены, то метод конечных элементов позиоляет по изложенной схеме создавать любые композиции (ансамбли) из различных конечных элементов. Причем определение деформированного состояния такой композиции или ансамбля (приближенно заменяющего реальную конструкцию) сводится к составлению и решению системы линейных алгебраических уравнений типа (8.71). В настоящее время существуют автоматизированные комплексы программ, позволяющие рассчитывать по методу конечных элементов очень сложные конструкции с числом неизвестных перемещений, соствляющим тысячи или даже десятки тысяч единиц. Он успешно также применяется в решении нелинейных задач и задач динамики деформируемых систем. [c.263]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...