Уравнения движения с реакциями связей (уравнения

Если на систему наложены связи (система не свободна), выражающие некоторую зависимость между координатами точек механической системы, то можно сократить число дифференциальных уравнений движения, о чем будет подробнее сказано в 41. В ряде случаев оказывается целесообразным классифицировать все силы, действующие на материальные точки механической системы, на две категории по иному признаку, а именно на активные силы и реакции связей. Как уже было сказано, реакции связей часто зависят от движения системы и не могут быть найдены, пока не определено движение системы. Обозначая проекции равнодействующей всех активных сил, действующих на к-ю точку, Х , У1 и а проекции равнодействующей всех реакций связей, приложенных к /с-й точке, Л к, У к и получим систему 3/г дифференциальных уравнений второго порядка [c.120]

Из принципа Даламбера вытекает, что, для того чтобы при решении динамических задач составить уравнения движения точки в форме уравнений равновесия, нужно к активной силе и силе реакции связи, фактически действующим на точку, присовокупить силу инерции этой точки. Из того что мы с помощью принципа Даламбера уравнениям динамики можем придать форму уравнений статики , вовсе не следует, что мы этим самым сводим динамическое явление к статическому. Последнее невозможно осуществить никакими приемами или методами. [c.493]

Мы получили уравнения движения произвольной механической системы в простой и ясной форме. Тем не менее для практики эта форма уравнений движения не очень удобна. В конкретных задачах нас, как правило, не интересуют величины К (связанные с величиной реакций связи) по этой причине мы в следующей главе представим основные уравнения в другой форме, не вводя множители X. [c.37]

В предыдущей главе мы видели, что интегрирование системы уравнений в независимых координатах может быть заменено интегрированием одного уравнения в частных производных. Естественно возникает вопрос, нельзя ли и для уравнений движения с множителями установить подобную же связь с некоторым уравнением в частных производных при этом можно, конечно, заранее ожидать, что, с одной стороны, интеграция этого уравнения в частных производных введёт лишние постоянные, а с другой — даст что-либо имеющее отношение к реакциям связей. Решением поставленного вопроса мы и займёмся в настоящей главе. [c.462]

Как уже отмечалось, уравнения Лагранжа с реакциями-связей дают возможность найти и положение точек системы, и реакции связей как функции времени. Однако на практике часто не нужна столь подробная информация о механической системе, а требуется найти лишь закон движения точек по связям. Для разрешения таких задач необходимы уравнения движения, которые в качестве неизвестных содержат только независимые координаты. С другой стороны, эти уравнения должны полностью учитывать влияние связей на систему. Такие уравнения существуют и называются уравнениями Лагранжа в независимых координатах (или уравнениями Лагранжа второго рода). Значение этих уравнений не исчерпывается применением к указанному типу задач. Если требуется определить реакции связей, зачастую проще с помощью уравнений Лагранжа второго рода определить закон движения системы, а затем с помощью уравнений Лагранжа первого рода найти реакции связей. Уравнения Лагранжа второго рода имеют большое значение и для свободных систем. В этом случае они [c.214]

Далее, применяя к этому уравнению последующую процедуру метода неопределенных множителей, изложенного на с. 206, придем к уравнениям Лагранжа с реакциями связей. Таким образом, система, состоящая из уравнения (5.27) и уравнений связей (5.10), эквивалентна системе (5.18). Более того, можно утверждать, что общее уравнение механики и уравнения движения с реакциями любых идеальных связей эквивалентны. . [c.217]

Принцип Даламбера дает единый метод составления уравнений движения любой несвободной механической системы. Им особенно удобно пользоваться для нахождения реакций связей, когда движение системы известно или может быть определено с помощью уравнений, не содержащих реакций, например с помощью теоремы об изменении кинетической энергий или уравнений, которые будут получены в 141, 14,5. При этом из рассмотрения исключаются все наперед неизвестные внутренние силы. В случаях, когда надо определить реакции внутренних связей, систему следует расчленить на такие части,. по отношению к которым искомые силы будут внешними. [c.348]

Из общего уравнения динамики вытекают дифференциальные уравнения движения системы материальных точек, в которые не входят силы реакций идеальных связей. Возможно решение как прямых (определение сил по заданному движению), так и обратных задач (определение движения по заданным силам) динамики. При решении обратных задач приходится интегрировать составленную систему дифференциальных уравнений движения. Заметим, что использование общего уравнения динамики является формальным методом составления дифференциальных уравнений движения системы. Этот метод является менее удобным и менее эффективным по сравнению с применением уравнений Лагранжа второго рода (читатель сможет в этом убедиться, ознакомившись с содержанием следующего параграфа). [c.414]

Неудерживающие связи математически представляются в виде неравенств. Ёаш в процессе движения механической системы все неудерживающие связи напряжены, то реакции их могут быть учтены в уравнениях движения с помощью множителей Лагранжа [5], которые должны иметь определенный знак. [c.57]

Принцип Даламбера дает общий метод составления уравнений движения любой несвободной механической системы, причем эти уравнения имеют ту же форму, что и уравнения статики. Этот метод оказывается особенно полезным при решении тех задач динамики, где требуется найти динамические реакции связей, т. е. реакции, возникающие при движении системы. При этом, если пользоваться уравнениями (7), то из рассмотрения будут исключены все наперед неизвестные внутренние силы. В случаях, когда требуется определить реакции внутренних связей, необходимо данную механическую систему расчленить на части так, чтобы по отношению к этим частям искомые силы стали внешними. С помощью принципа Даламбера решаются также многие задачи, в которых требуется определить ускорения тел, входящих в состав данной механической системы. [c.727]

Следует заметить, что в процессе проведенных рассуждений мы получили больше результатов, чем предполагали, так как мы определили не только п координат qu, но и т коэффициентов h-Каков же физический смысл этих коэффициентов Предположим, что мы освобождаем нашу систему от наложенных на нее связей и вместо этого прикладываем к ней внешние силы Q делая это так, чтобы не изменить движения системы. Тогда и уравнения движения останутся теми же самыми, и ясно, что силы Q[ будут равны реакциям связей, так как они являются силами, заставляющими систему двигаться в соответствии с условиями связей. При наличии сил Q[ уравнения движения будут записываться в виде [c.55]

Здесь j — знак суммирования, а для возможных перемещений, т. е. бесконечно малых мгновенных изменений координат, согласных с уравнениями связи при фиксированном значении времени, применен знак б. Лагранж показывает, что его общая формула динамики дает столько дифференциальных уравнений движения, сколько требуется по условиям любой задачи. Он строит эти уравнения для систем со связями по методу неопределенных коэффициентов и получает аналогичные статическим уравнения Лагранжа первого рода , в которые явно входят реакции связей. Он дает и вторую открытую им форму уравнений движения — уравнения Лагранжа второго рода , вводя обобщенные координаты и скорости (это одно из его самых замечательных открытий в механике). Посредством анализа общей формулы (Ь), с использованием многих положений, установленных в статике, выводятся общие свойства движения . Это не что иное, как доказательство общих теорем динамики системы теоремы о движении центра инерция, теоремы моментов , теоремы живых сил . [c.156]

Неопределённые множители входят в уравнения движения линейно (первая форма уравнений Лагранжа). В уравнениях движения в форме (5.26) реакции связей с неопределёнными множителями включаются в правые части в число обобщённых непотенциальных сил. [c.70]

При исследовании движения связанных механических систем, как об этом указывалось в 25, наиболее широко используются дифференциальные уравнения движения в обобщённых (или независимых) координатах, получившие название уравнений Лагранжа второго рода (в дальнейшем мы будем называть их просто уравнениями Лагранжа). Эти уравнения замечательны тем, что не содержат явно неизвестные силы реакций связей, что существенно упрощает решение основной динамической задачи, связанной с движением несвободной системы, — отыскание и исследование законов ее движения. Большое значение уравнения Лагранжа имеют также и для динамики свободных систем, по отношению к которым они являются уравнениями движения в произвольных криволинейных координатах. [c.159]

Взаимодействие материальной точки и связи приводит к возникновению сил. Сила, с которой связь действует на материальную точку, называется реакцией связи, или, в отличие от силы F (активной сшы), —пассивной силой и является неизвестной функцией координат точки, ее скорости и, может быть, времени. Заранее, до интегрирования уравнений движения, известно лишь место приложения этой силы. [c.90]

Уравнения движения тела с одной неподвижной точкой проще всего можно вывести, используя обобщение теоремы об изменении кинетического момента относительно неподвижной точки. Внешняя связь допускает виртуальный поворот вокруг любой оси, проходящей через неподвижную точку поэтому мы можем записать уравнение кинетического момента в векторной форме (момент реакции, приложенной в неподвижной точке, равен нулю). [c.384]

В задачах механики реакции связей являются обычно неизвестными. Задаются или описьшаются лишь способы осуществления связей. Полное определение реакций связей, т. е. определение их точек приложения, направления и величины, производится с помощью некоторых допущений из условий равновесия или уравнений движения системы, причем в последнем случае — после того, как будет найдено движение системы. Реакции, полученные из условий равновесия с учетом других приложенных к системе сил >, называются статическими реакциями реакции связей во время движения системы — реакции, определяемые из уравнений движения, — называются динамическими реакциями. Определение динамических реакций, возникающих в колеблющихся системах, и связанные с этим расчеты вибрационной прочности деталей машин — одна из важнейших прикладных задач учения о колебаниях. [c.20]

УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА. Теоретической основой большей части исследований колебаний голономных систем с конечным числом степеней свободы служат уравнения Лагранжа в обобщенных координатах. Составленные в предположении, что связи, наложенные на систему, идеальные, эти уравнения не содержат реакций связей, и входящие в них величины, определяющие движение системы (обобщенные координаты и их производные по времени), непосредственно связаны с заданными (обобщенными) силами. [c.26]

Реакции в кинематических парах возникают не только вследствие действия внешних задаваемых сил на звенья механизма, но и вследствие движения отдельных масс механизма с ускорениями. Составляющие реакции, возникающие от движения звеньев с ускорениями, можно считать дополнительными динамическими давлениями в кинематических парах. Как было указано в 39, эти дополнительные динамические давления могут быть определены из уравнений равновесия звеньев, если к задаваемым силам и реакциям связей добавить силы инерции. [c.206]

При решении задач с учетом сил инерции пользуются принципом д Аламбера, который состоит в том, что уравнениям движения точки (или системы точек) можно придать вид уравнений равновесия, если к действующим заданным силам и динамическим реакциям связей присоединить силы инерции. [c.134]

Уравнения (54) служат для определения реакции связи N. Из уравнений видно, что при криволинейном движении динамическая реакция в отличие от статической кроме действующих активных сил и вида связи зависит еще от скорости. Эту скорость (если она не задана) можно найти или проинтегрировав уравнение (53), или же, что обычно проще, с помощью теоремы об изменении кинетической энергии точки в уравнение (52 ), выражающее эту теорему для случая связей без трения, реакция N тоже не входит. [c.220]

Полное решение основной задачи динамики для системы будет состоять в том, чтобы, зная заданные силы и наложенные связи, проинтегрировать соответствующие дифференциальные уравнения и определить в результате закон движения каждой из точек системы и реакции связей. Сделать это аналитически удается лишь в отдельных случаях, когда число точек системы невелико, или же интегрируя уравнения численно с помощью ЭВМ. [c.273]

При определении движения несвободного твердого тела наряду с задаваемыми внешними силами учитываются и неизвестные реакции связей. В этом случае для решения задачи используются дополнительные уравнения, определяющие ограничения движения тела имеющимися связями. [c.233]

Если по условию задачи требуется определить силы реакций связей, то задачу следует решать в два этапа 1) с помощью уравнений Лагранжа или общего уравнения динамики определить ускорения точек системы, 2) применив принцип освобождаемости от связей, использовать дифференциальные уравнения движения соответствующей материальной точки, либо применить метод кинетостатики. [c.539]

Таким образом, пользуясь естественными уравнениями, можно находить закон несвободного движения, не отыскивая реакцию связи, чего с помощью системы (6) сделать нельзя. [c.405]

Рассмотрим систему материальных точек с массами и радиусами-векторами г . Движения точек стеснены связями. По аксиоме об освобождении от связей последние можно заменить реакциями, действующими на точки системы. Пусть Н означает вектор удара, получающегося как предел импульса реакции (см. 3.15). Уравнения удара для каждой точки можно записать в виде [c.432]

В технических же задачах часто требуется найти реакции связей. Для их нахождения следует применять общие теоремы динамики системы, т. е. составить из этих теорем уравнения движения системы с силами реакций затем подставить в эти уравнения найденные из уравнений Аппеля обобщенные координаты в функциях времени и найти искомые реакции. Ниже приведены уравнения движения для систем с неголономными связями, позволяющие находить не только движение системы, но и реакции связей. [c.381]

Уравнение (2) или эквивалентное ему условие (3) выражает принцип Даламбера для точки при движении материальной точки активные силы реакции связей вместе с силой инерции точки образуют равновесную систему сил. [c.349]

Чтобы уравнение (IV.200) определяло действительное движение несвободной материальной точки, следует соответственно определить реакцию R. Таким образом, вопрос об изучении движения несвободной материальной точки усложняется по сравнению с задачами динамики свободной материальной точки тем, что связывается с определением реакции связи R. Чтобы составить в наиболее удобной форме систему уравнений, необходимую для решения задачи о движении несвободной материальной точки, применим координатный способ, связав его с методом множителей Лагранжа. [c.423]

Поэтому обычно выбирают иной способ определения движения несвободной материальной системы с интегрируемыми связями, а именно предварительно определяют закон движения точек системы, применяя систему уравнений Лагранжа второго рода (эти уравнения рассматриваются ниже). Из уравнений Лагранжа первого рода определяют реакции связей. [c.36]

Как мы видели, движение механичесжнх систем можно описать с помощью различных дифференциальных уравнений уравнений Ньютона, уравнений Лагранжа с реакциями связей, уравнений Лагранжа в обобщенных координатах, канонических уравнений Гамильтона и уравнения Гамильтона — Якоби. [c.449]

В примененном раесуждении использовалась следующая необоснованная рекомендация если при решении системы уравнений движения с нсудерживаю-щими связями, которые находились в напряженном состоянии, какая-либо из реакций обращается в нуль и меняет знак на обратный, то соответствующая связь ослабевает и далее уравнения движения решаются так, как если бы эта связь отсутствовала. [c.59]

Угловое ускорение (ф) с помощью уравнений движения можно выразить через параметры диска и состояния <р, ф, так как при безотрьш-ном качении имеем систему с одной степенью свободы. Из уравнений плоского движения с удерживаюи(ей связью х = Rip и напряженной неудерживающей связью у = 0) находятся также нормальная составляющая (N) и касательная составляющая (F) реакции в точке контакта. Причем N = О, когда вместо неравенства (1.157) выполняется равенство левой и правой частей. [c.65]

Указания к определению реакций связей. Если уравнения движения составлялись с помощью общих теорем динамики, то полученную систему динамических уравнений нужно разрещить относительно искомых реакций. Если уравнения составлялись в форме уравнения Даламбера — Лагранжа, то для определения реакций связей рекомендуется освободить соответствующее звено от связей и с помощью общих теорем динамики составить такие уравнения, куда вошла бы искомая реакция. [c.94]

Положение системы зависит от двух параметров от угла наклона <р стержня АВ относительно вертикали Ох и от угла 0, который обра зует прямая 00, соединяющая середины обоих стержней с этой вертикалью. Система находится под действием весов обоих стержней, натяжений Т и Т нитей и реакции неподвижной точки О. Для определения движения необходимы два уравнения, не содержащие реакций связей. Эти уравнения получатся из теоремы кинетической энергии и теоремы момента количества движения относительно нормали к плоскости фигуры в точке О. [c.103]

Теперь видно, что уравнения связей действительно представляют собой в рассматриваемом случае частные интегралы уравнений движения рассматриваемой свободной системы при значениях произвольных постоянных >1 =0, // =0, Если указанный случай оставить в стороне, то ускорения да,, сообщаемые системе прилбжениыми силами будут относиться к числу ускорений невозможных. Чтобы эти ускорения системы стали возможными, необходимо допустить,-что присутствие связей является причиной проявления некоторых добавочных сил, действующих на частицы системы. Эти добавочные силы называются реакциями связей. Эффектом совокупного действия на материальную систему приложенных сил и реакций и является появление у частиц системы таких ускорений, которые не противоречат равенствам (30.3) и (30.4), т. е. ускорений возможных. Такой взгляд находится в полном соответствии с нашим представлением о том, что источником сил служат материальные тела, потому что связи так или иначе реализуются всегда с помощью некоторой системы материальных приспособлений. Если реак- [c.292]

Эти к уравнений представляют собой дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах, они впервые были получены Лагранжем в его Аналитической механике и потому называются уравнениями Лагранжа. Важно обратить внимание на то, что, во-первых, число уравнений Лагранжа равно числу независимых обобщенных координат данной системы, т. е. равно числу ее степеней свободы, и, во-вторых, что неизвестные реакции совершенных связей, наложенных на систему, в эти уравнения не входят. Уравнения Лагранжа представляют собой систему к дифференциальных уравнений второго порядка с к неизвестными функциями д ,. .., Если проинтегрируем эти уравнения, то найдем координаты механической системы 911 > 9йКак функции времени I, а потому будем знать положение этой системы в любой момент времени, и, следовательно, движение системы будет полностью определено. Таким образом, когда уравнения Лагранжа для данной механической системы составлены, то решение второй основной задачи динамики, т. е. определение движения системы под действием заданных сил, сводится к математической задаче интегрирования этих уравнений. [c.555]

Изучается качение жёсткого колеса по деформируемому упругому рельсу, лежащему на вязкоупругом основании. Ранее [20, 115] при составлении модели системы использовалась приближённая теория Бернулли-Эйлера. Здесь применяется уточнённая теория изгиба стержней (С. П. Тимошенко). С помощью принципа Гамильтона-Остроградского составлены уравнения движения. Показано, что связи, описывающие условия контакта, создают реакции в виде силы и пары. Дана оценка величины псевдоскольжения, обусловленного поперечными (в отличие от классического крипа) деформациями. Найдены две характерные скорости стационарного качения колеса, разделяющие области качественно различного движения рельса. [c.146]

Состави.м дифференциальные уравнения, описывающие движение механической системы (рис. 197, а). К колесу В приложены вращающий момент М, сила тяжести G = mgg, нормальная реакция в опорной точке К и сила сцепления Есп, предположительно направленная вправо. На тело А действуют сила тяжести Q = т , приложенная в центре тяжести С, реакция Yp, сила трения Xo=fYo и реактивный момент корпуса двигателя М. Силы взаимодействия в точке О. между телом А и колесом В являются реакциями внутренних идеальных связей и не показаны на рисунке. При расчленении системы на части (рис. 197, б, в) в точках О прикладываются силы взаимодействия Хо = Х о и Yq = Y q между телами Л и В. [c.271]

Применительно к системе без механических связей уравнения Лагранжа имеют одно основное преимущество они ковариантны по отношению к точечным преобразованиям координат. В случае же, когда система стеснена механическими идеальными связями, применение лагранжева формализма имеет дополнительные пре имущества по сравнению с непосредственным применением урав нений Ньютона. Оно позволяет уменьшить порядок системь уравнений, описывающих движение, до 2п, где л —число степе ней свободы, и избежать определения реакций идеальных связей Возможность выписать уравнения движения, не интересуясь нор мальньши реакциями и вообще подсчетом реакций в случае, когда трение отсутствует, является одним из важных преимуществ применения лагранжева формализма к механическим системам со связями. [c.156]

Вместо искусственного сочетания некоторых общих теорем и уравнений динамики, выбор которых представляет значительные трудности, указанные методы быстро и естественно приводят к составлению дифференциальных уравнений движения. Удачный выбор обобщенных координат обеспечивает простоту и изящество решения задачи. Удобно и то, что составленные дифференциальные уравнения движения не входят силы реакций идеальных св5Гзей, определение которых обычно связано с большими трудностями (силы реакций связей при движении системы являются функциями от времени, положения, скоростей и ускорений точек системы). [c.544]

Динамика системы материальных точек сначала излагается для случая, когда движение стеснено произвольными дифференциальными связями. Из принципа Даламбера-Лагранжа (общее уравнение динамики) с использованием свойств структуры виртуальных перемещений [68] выводятся общие теоремы динамики об изменении кинетической энергии (живой силы), кинетического момента (момента количеств движения), количества движения. Изучается динамика системы переменного состава [1]. На основе принципа Гаусса наи-меньщего принуждения выводятся уравнения Аппеля в квазикоординатах. Получены также уравнения Воронца и, как их следствие, уравнения Чаплыгина. Установлено, что воздействие неголономных связей включает реакции, имеющие гироскопическую природу [44]. [c.12]

Механика, конечно, не ограничивается изучением только систем с идеальными связями. Однако подчеркнем, что лишь для определения реакций идегильных связей достаточно задать уравнения этих связей. При исследовании систем с неидеальными связями кроме ограничений на значения координат и скоростей материальных точек необходимо сформулировать некоторые дополнительные сведения о реакциях. Примером могут служить задачи о движении или равновесии систем с трением. [c.339]

Реакции геометрических связей можно исключить из уравнений движения, если воспользоваться обобщенными координатами. Пользуясь принципом освобождаемости связей, переведем реакции кинематических связей в класс активных сил, тогда число стеггеней свободы механической системы 3 п—а. Воспользуемся принципом Лагранжа — Даламбера, который справедлив для систем с идеальными связями, и уравнениями (51.23), в которых члены с множи- [c.76]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...