ОБЩИЕ СВОЙСТВА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Общие свойства конечных элементов и пространств конечных элементов [c.84]

Общие свойства конечных элементов [c.97]

Глава 2 посвящена изложению общих свойств конечных элементов и, в сущности, является справочной по наиболее простым и распространенным конечным элементам, а также способам триангуляции двумерных и трехмерных областей, включая сгущение триангуляции вблизи особых точек и линий. [c.11]

ОБЩИЕ СВОЙСТВА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [c.48]

При решении задачи статики многослойных панелей общего вида методом конечных элементов (МКЭ) на основе вариационных формулировок смешанного типа (4.41), (4.42) требования к выбору функций формы остаются такими же, как и в методе перемещений. В качестве функций формы конечного элемента наиболее часто используются алгебраические полиномы, порядок которых должен обеспечивать требуемую гладкость функций и их производных. В МКЭ важным требованием к функциям формы является требование воспроизводить в элементе однородное напряженно-деформированное состояние и, в частности, описывать смещение элемента как жесткого целого. Наиболее распространенный способ удовлетворения указанным требованиям состоит в повышении порядка аппроксимирующих полиномов. При этом используются полиномы более высокого порядка, чем это требуется, исходя из структуры вариационных уравнений, что приводит к увеличению обобщенных степеней свободы конечного элемента. Применение смешанных вариационных формулировок позволяет с помощью независимой аппроксимации деформаций и перемещений улучшить свойства конечных элементов. [c.190]

Если базисные функции ф,- ортонормальны, то матрица массы будет единичной и дискретная задача состоит в отыскании собственных значений матрицы К . Однако условие ортогональности для ф - несовместимо с более важным свойством конечных элементов, а именно с тем, что функция ф, должна равняться нулю на всех элементах, не содержащих узел гj. Поэтому мы должны либо принять = /, либо нарушить идею Рэлея, допустив приближенный расчет масс. Мы предпочитаем первое, поскольку сейчас появляются численные алгоритмы решения общей задачи на собственные значения / Q = ХМО, сравнимые по эффективности с алгоритмами для задачи КО = [c.258]

В гл. II излагается общая теория конечных элементов. При этом свойства конечноэлементных моделей полей общего вида представлены в форме, пригодной для пространств любой конечной размерности. Рассматриваются различные типы конечноэлементных моделей, а также критерии сходимости метода и некоторые приложения к линейным и нелинейным дифференциальным уравнениям, волновым явлениям и динамике разреженных газов. Кроме того, в зтой главе подробно обсуждаются понятия сопряженных подпространств и сопряженных аппроксимаций. [c.7]

Задача механики деформируемого твердого тела для конкретных форм элементов конструкции и условий нагружения рассматривается как краевая задача, которая решается методом конечных элементов. В процессе такого численного решения становится важным адекватное моделирование поведения материала и его свойств. Свойства, характеризующие поведение материала под нагрузкой, а также в общем случае и краевые условия могут быть определены из экспериментально полученных кривых деформирования и зависимостей для возмущающих воздействий. [c.90]

Рассмотрим кратко алгоритм расчета. Для описания геометрии многослойной оболочки вращения общего вида удобно профиль меридиана задавать по точкам и воспользоваться приемом, подробно разобранном в примере 5, помещенном в 4,1 (см. рис. 4.9). Такой способ описания, примененный к отдельному конечному элементу, удобен еще и тем, что позволяет отслеживать геометрию координатной поверхности оболочки в процессе деформирования. Для описания физико-механических свойств отдельных слоев можно воспользоваться моделью деформирования КМ с хрупкой ( 2.3) матрицей. [c.186]

Базисные функции (6.64) зависят от формы границ заданной оболочки и в общем случае являются трансцендентными, однако они обладают такими же основными свойствами, что и полиномы Лагранжа равны единице в узле i и нулю в остальных узлах. Трансцендентные базисные функции (6.64) отличаются от полиномов Лагранжа (6.60) характером изменения между узлами и видом производных. Эти функции используют также и для построения изопараметрических конечных элементов. В ряде случаев [247] конечные элементы с трансцендентными функциями дают лучшие результаты. Кроме (6.60), полиномы Лагранжа могут быть получены и по формуле (6.64) как частный случай при соответствующем выборе функций fj(af ). [c.190]

Никаких свойств присваивать данному конечному элементу не требуется, поскольку по умолчанию опции установлены на расчет изгибной оболочки. В общем случае данному типу конечного элемента можно присвоить, например, свойство расчета безмоментного напряженного состояния (когда конечный элемент работает как мембрана), но при расчете данной задачи этого не требуется. [c.81]

Теперь уже должно быть вполне ясно, что при отсутствии объемных сил исследователь должен задать только информацию о геометрии границ области (в дополнение к граничным условиям, свойствам материала и прочим данным, общим для всех методов решения). Таким образом, усилия, направленные на подготовку данных, существенно меньше, чем требуется для любого метода, включающего геометрическое моделирование внутренней части тела. Поэтому для подавляющего большинства практических задач МГЭ обладает очень существенными преимуществами по сравнению с методами конечных элементов. [c.19]

В качестве контактных в данной реализации использованы базовые четырехугольные конечные элементы с определенным образом назначенными анизотропными свойствами. Главные оси анизотропии связываются с местной системой координат t]o (рис. 2), где в дальнейшем рассматриваются условия взаимодействия. При несовпадении осей местной т]о и глобальной roz системы координат параметры упругости ортотропного материала слоя преобразуются к осям последней с добавлением членов общего случая двумерной анизотропии [118] [c.27]

Метод граничных элементов (МГЭ) — это метод решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, появившийся в результате сочетания идей теории потенциала с методами современной теории аппроксимации. МГЭ, с точки зрения теории аппроксимации, имеет много общих черт с широко известным методом конечных элементов, но отличается от него существенным преимуществом дискретизация осуществляется, как правило, не внутри области, в которой ищется решение, а на ее границе. Такое упрощение достигается путем точного удовлетворения исходным дифференциальным уравнениям с помощью представлений решения в виде, характерном для теории потенциала. Указанные представления могут быть использованы в рамках МГЭ лишь в случае, когда известны в явном виде (точно или приближенно) фундаментальные решения (или функции Грина) для рассматриваемых дифференциальных уравнений 1 исследованы граничные свойства соответствующих потенциалов. Путем предельного перехода на границу в формулах представления решения получаются граничные интегральные уравнения (ГИУ), которые являются основным объектом аппроксимации Б МГЭ. Этим объясняется еще одно (более раннее) название МГЭ — метод граничных интегральных уравнений. Заметим, что возникающие в теории упругости и в других разделах механики деформируемого твердого тела ГИУ часто являются сингулярными интегральными уравнениями [114, 107, 84], методы аппроксимации которых далеко не тривиальны. [c.3]

В работе [416] приведено описание испытательного комплекса, предназначенного для анализа динамических вязкоупругих свойств слоистого элемента корпуса двигателя ракеты. На основе метода конечных элементов исследован общий класс случайных колебаний многослойного вязкоупругого цилиндра. [c.16]

Следует отметить, что метод конечных элементов вносит ряд дополнительных преимуществ в расчет температурных напряжений. Последовательная методология конечно-элементного анализа задач теплопроводности пригодна для расчета распределения температуры в конструкции. Основные идеи расчета стационарных задач теплопроводности методом конечных элементов излагаются в разд. 5.4. В работах [3.7, 3.8] описывается более подробно применение метода конечных элементов в этой области, не связанной непосредственно с расчетом конструкций, включая решение нестационарных задач теплопроводности. Имеется возможность применить одну и ту же программу общего назначения, реализующую метод конечных элементов, как для расчета температур, вызванных тепловым потоком, так и температурных напряжений, возникающих из-за наличия температурного поля. Кроме того, в тех случаях, когда свойства материала зависят от температуры, можно задать характеристики для каждого элемента в зависимости от значения температуры в элементе. [c.90]

В дальнейшем будет показано, что метод конечных элементов применим и ко многим задачам иного типа, но и тогда основные свойства элемента выражаются в форме, принятой в строительной механике. Общие методы составления ансамбля и решения задач аналогичны приемам строительной механики. [c.11]

Было показано, что операция объединения вводит в матрицу М ненулевые элементы для индексов г, у, соответствующих вершинам, связанным общими конечными элементами. Это свойство показывает существенное влияние нумерации вершин на структуру матрицы. Поскольку в общем случае отдельная вершина связана с незначительным числом других вершин (треугольник первого порядка имеет три вершины), в матрице М оказывается много нулевых элементов и она будет разреженной матрицей. Если применить последовательную нумерацию, матрица будет иметь ленточную структуру, т. е. ненулевые элементы будут находиться на главной и ближайших к ней диагоналях (рис 2.8). [c.48]

Теперь об общей теории. Наша цель — продемонстрировать ее на примере конечных элементов, когда подпространство S составлено из кусочно линейных функций, и оценить ошибку е = и — и . Ключ к решению дает свойство минимизации (20) [c.58]

Та же самая конструкция распространяется на полиномы степени к—1 нескольких переменных хи. .., Хп при условии, что основные области разбиения — симплексы интервалы при /г=1, треугольники при п = 2, тетраэдры при п—3. Можно получить дискретные аналоги произвольно высокой степени точности в л-мерном пространстве. К сожалению, с точки зрения практических приложений существует фатальное обстоятельство размерность пространства 8 , равная общему числу внутренних узлов, растет чрезвычайно быстро при росте кип. Главная проблема в методе конечных элементов — наложить дополнительные ограничения на пробные функции (тем самым уменьшая размерность пространства 5 ) без нарушения свойств аппроксимации и простоты локального базиса. [c.99]

Заметим, что точки а,—узлы конечного элемента К, Р, X). Основное преимущество изопараметрических конечных элементов состоит в том, что свобода в выборе точек а,- позволяет получать более общие геометрические формы множеств К, чем рассматривавшиеся до сих пор многоугольные формы. Как мы увидим в следующем разделе, это свойство решающее для получения хорошей аппроксимации криволинейных границ. [c.225]

Общие уравнения. Уравнения движения конечного элемента для случая больших деформаций и произвольных свойств материала в существенной степени нелинейны. Однако ро многих приложениях удобно рассматривать линеаризованные формы этих уравнений относительно малых возмущений движения, наложенных на произвольное движение элемента. Такие формы уравнений в приращениях оказываются особенно полезными в задачах статической и динамической устойчивости, пластичности и задачах [c.284]

Ингибиторная защита предусматривает обеспечение надежной работы всех элементов оборудования скважин, шлейфовых газопроводов, сепараторов, теплообменников и газопроводов большого диаметра. Применение ингибиторов должно приводить к снижению скорости общей коррозии металла до величин, не представляющих какой-либо опасности для технологического оборудования, а в случае сероводородной коррозии — к резкому уменьшению наводороживания металла и к потере им пластических свойств, то есть, в конечном итоге, к снижению опасности сероводородного растрескивания. [c.221]

Главнейшим из свойств пары является число геометрических параметров, с помощью которых можно определить относительное положение связанных звеньев. Например, при соприкосновении по поверхности вращения относительное положение звеньев вполне определяется заданием одного лишь параметра — угла относительного поворота звеньев в плоскости, перпендикулярной оси вращения. При соприкосновении по сферической поверхности таких параметров уже три — это углы поворота вокруг трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в центре сферы. Из приведенных примеров ясно, что элементы кинематической пары накладывают на относительное движение звеньев некоторые ограничения, связывая между собой определенным образом координаты точек обоих звеньев. Например, если звенья соприкасаются по сферической поверхности, то центр сферы можно рассматривать как воображаемую общую точку обоих звеньев. Поэтому линейные координаты точек обоих звеньев, совпадающих с центром сферы, будут всегда одинаковы. При этом, конечно, центр сферической полости физически не существует, что не мешает ему оставаться вполне реальным центром вращения всех физически существующих точек звена. [c.8]

На первый взгляд, этот интуитив-но понятный и доступный инженерный метод выглядит не совсем убедительно — в частности, остается открытым вопрос о соотношениях между силами и перемеш.ениями отдельных элементов. Способы получения этих соотношений будут подробно рассмотрены в гл. 2 после изложения основ метода. На данном же этапе целесообразно кратко описать общий метод расчета конструкций, который будет широко использоваться в книге после рассмотрения свойств конечных элементов. [c.11]

В разд. 2.3 даны общие определения конечных элементов и пространств конечных элементов и приводится обсуждение их различных свойств. Особенно важны понятие аффинного сежйства конечных элементов (когда все конечные элементы семейства могут быть получены как образы при аффипном отображении одного и того же исходного конечного элемента) и понятие оператора Рк-интерполяции (основная зависимость между этими двумя понятиями устанавливается в теореме 2.3.1). Оператор Р --интерполяции и соответствующий ему общий оператор Х -интерполяции играют фундаментальную роль в развиваемой в следующей главе теории интерполяции в простряпствах Соболева. Будет также описана методика постановки краевых условий на функции из пространств конечных элементов. [c.47]

Рассмотрим материал, обладающий анизотропией прочности, которая в большинстве случаев сочетается с анизотропией деформационных свойств материала. Допустим, что материал составлен из матрицы, армированной перекрестными взаимно перпендикулярными волокнами. Отнесем систему армирующих волокон к осям XYZ так, что сопротивление растяжению или сжатию элемента материала с гранями, параллельными координатным плоскостям, будет в направлении одной из осей, например ОХ, наибольшим (вследствие наибольшей плотности расположения волокон), в направлении оси 0Y — ниже (вследствие меньшей плотности), а по оси 0Z, где может совсем не быть арматуры, — наименьшим. Анизотропия такого типа называется ортогональной, а соответствующие композитные материалы, которые встречаются наиболее часто, — ортотропными. Оси XYZ называются главными осями анизотропии, которые в общем случае конечно не совпадают с главными осями напряжений. Сбпротивления сдвигу, т. е. действию касательных напряжений, в главных плоскостях анизотропии XOY, YOZ к ZOX различны, но предельные значения касательных напряжений Oij = Oji не зависят от их направления, что не имеет места в том общем случае, когда оси XYZ не являются главными осями анизотропии. Будем считать, что при испытании образцов данного материала в главных плоскостях анизотропии могут создаваться статически определимые и коя- [c.85]

Ниже приведено несколько алгоритмов расчета колебаний рабочих колес осевых турбомашип. Расчет колебаний рабочих колес радиального типа требует других подходов, например применения метода конечных элементов или метода суперэлементов [14, 43]. При таких методах в полной мере следует использовать общие свойства спектров поворотно-симметричных систем [43]. [c.69]

В общем случае решение такого типа задач с учетом реальных свойств твердого топлива возможно только на мощных ЭВМ с использованием методов конечных элементов в сочетании с шаговыми мето- [c.377]

Осуществление экономико-аналитической деятельности на стадиях НИР и ОКР требует соблюдения ряда принципов. Главным из них (первый принцип) является народнохозяйственный подход при решении задач разработки новых изделий независимо от уровня и содержания этих задач. В экономико-аналитической работе народнохозяйственный подход проявляется в установлении при выборе технических решений показателя оптимальности, обеспечивающего получение эффективного конечного результата с позиций интересов всего народного хозяйства. Второй принцип — это комплексный подход, т. е. всестороннее рассмотрение объекта разработки, оценка его показателей по всем стадиям жизненного цикла, исследование конструкции с точки зрения как объекта производства, так и объекта эксплуатации, учет разнообразных факторов, влияющих на эффективность и качество создаваемого образца новой техники. Третий принцип — системных подход, означающий рассмотрение проектируемого объекта как элемента системы более высокого уровня и одновременно как системы (подсистемы), состоящей из взаимосвязанных элементов. Важным моментом в экономико-аналитической деятельности, вытекающим из системного подхода, является установление зависимости общих свойств объекта от свойств и показателей отдельных его частей. Четвертый принцип— функциональный подход, предполагающий изучение функций разрабатываемой конструкции и ее элементов с целью наибо лее полного удовлетворения заданных требований и получения наиболее эффективных технических решений. Пятый принцип -— плановость всех видов экономико-аналитической работы, их вза [c.123]

Если свойства материала изменяются в окружном направлении, решение трехмерной задачи не распадается на отдельные двумерные задачи для каждой гармоники в отдельности. Изменение свойств материала в окружном направлении может быть вызвано переменной температурой, от которой зависят свойства материала, упругопластическими деформациями, анизотропией материала общего вида [241], конструктивной неоднородностью [135], а также вырезами или выступами, нарушающими осевую симметрию тела [62, 63, 101, 189]. В этом случае система разрешающих уравнений МКЭ составляется для всех гармоник одновременно. В каждом узле конечного элемента число неизвестных равно утроенному числу удерживаемых гармоник. Как известно, число операций при решении линейной системы уравнений с ленточной матрицей примерно пропорционально Р N [70], где I — ширина полуленты матрицы коэффициентов N — порядок системы. Если при удержании т гармоник задача распалась на т отдельных двумерных задач, то число операций для решения всех систем будет примерно в раз меньше. Если учесть, что при густой разбивке основное время занимает решение системы разрешающих [c.156]

В заключение нам хотелось бы подчеркнуть, что приведенные здесь элементы различных подходов и их взаимосвязи, с нашей точки зрения, достаточно наглядно свидетельствуют о наличии чрезвычайно богатой внутренней структуры интегрируемых систем и, в частности, рассматривавшегося более подробно уравнения Эрнста. Каждый из существующих подходов к описанию различных аспектов внутренней структуры вполне интегрируемых уравнений обладает своей красотой и, конечно же, заслуживает значительно более детального рассмотрения и анализа. Не надеясь о этом сравнительно кратком обзоре сколь-нибудь полно отразить разнообразные применения, а также все достоинства упомянутых здесь методов, мы хотели лишь выделить некоторые существующие взаимосвязи и аналогии, возникающие при рассмотрении различных случаев интегрируемости и подходов к построению преобразований Беклунда, что может способствовать формированию более общих представлений о структуре интегрируемых уравнений, выделению наиболее общих свойств и закономерностей, а также помочь выделить на этом фоне спепифические особенности некоторых из рассматриваемых уравнений, которые могут указывать новые пути к их интегрированию. [c.60]

В последнее десятилетие получило широкое развитие и применение новое направление в вычислительной математике—метод конечных элементов. Отметим сразу, что, хотя на эту тему уже опубликовано большое число статей, общая математическая теория метода конечных элементов развита в основном в последние годы. Успех в обосновании этой методики был обеспечен прежде всего достижениями в области теории сплайнов. Существует глубокая взаимосвязь между теорией обобщенных функций, теорией сплайнов и методом конечных элементов. Как известно, обобщенные функции могут быть полученй как предельные элементы последовательностей традиционных элементарных функций (полиномы, тригонометрические полиномы, собственные функции краевых задач математической физики). В современном численном анализе в систему элементарных функций были включены сплайны, которые кратко можно определить как кусочные полиномы . Систематическое изучение свойств последних породило теорию сплайн-функций. Отметим, что дифференцируя сплайн-функции необходимое число раз, мы получим обобщенные функции, т. е. сплайн-функции являются интегралами от распределений. [c.5]

Пока достаточно отметить, что метод конечных элементов особенно хорош при решении задач со сложными жесткостными свойствами материала. Из дальнейшего будет видно, что матрица [Е (или обратная к ней матрица) легко обрабатывается в алгоритмах численного интегрирования. Ограничения, накладываемые на сложность и представления жесткостных характеристик материала, часто диктуются практикой для большинства практических за ач трудно располагать большей информацией о механических характеристиках материала, чем полученной в результате эксперимента информацией о зависимости напряжений от деформаций для орто-тропного материала в двумерном случае. Исключение составляют слоистые пластины с ортотропными слоями (механические характеристики слоев можно определить экспериментально, а затем вычислить характеристики всей слоистой пластины) и композитные материалы (например, стекло-волокнистые композиты). Благодаря особой роли композитов как ортотропных материалов, прихменяе-мых на практике, публикации, касающиеся их разработки и использования, представляют отличный источник информации для детального построения вполне общих соотношений, задающих жест-костное поведение материала (см. [4.81). [c.118]

Очевидно, что возможности исследования оболочечиых конструкций методом конечных элементов неисчерпаемы. При наличии общей вычислительной программы проблемы, связанные с наличием отверстий, переменной толщины и анизотропными свойствами, становятся несущественными. [c.232]

Идея представления конструкций в виде набора дискретных элементов восходит к раннему периоду исследования конструкций летательных аппаратов, когда, например, крылья и фюзеляжи рассматривались как совокупности стрингеров, обшивки и работающих на сдвиг панелей. Хренников [1941] ввел метод каркасов — предшественник общих дискретных методов строительной механики — и применил его, представляя плоское упругое тело в виде набора брусьев и балок. Топологические свойства некоторых типов дискретных систем изучались Кроном [1939] ), который разработал универсальные методы анализа сложных электрических цепей и строительных конструкций. Курант [1943] дал приближенное решение задачи кручения Сен-Венана, используя кусочнолинейное представление функции искажения в каждом из треугольных элементов, совокупностью которых заменялось поперечное сечение тела, и формулируя задачу с помощью принципа минимума потенциальной энергии. Пример применения Курантом метода Ритца содержит в себе все основные моменты процедуры, известной теперь как метод конечных элементов. Аналогичные идеи использовал позже Пойа [1952]. Метод гиперокружностей , предложенный в 1947 г. Прагером и Сингом [1947] и подробно исследованный Сингом [1957] ), легко может быть приспособлен для конечноэлементных применений он проливает новый свет на приближенные методы решения некоторых краевых задач математической физики. В 1954 г. Аргирис и его сотрудники ) начали публикацию серии работ, в которых они далеко развили некоторые обобщения линейной теории конструкций и представили методы [c.12]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...