Матрица ленточная

Рис. 1.4. Матрица ленточной структуры.

Дело в том, что матрица коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений, к которой приводит МКЭ,— сильно разреженная матрица ленточной структуры. Ненулевые элементы такой матрицы располагаются параллельно главной диагонали (рис. 1.4). Целое число/., представляющее собой наибольшую разность между номерами ненулевых элементов в строке, называется шириной полосы. Чем меньше ширина полосы, тем меньший объем ОП требуется для хранения матрицы при реализации МКЭ в САПР и тем меньше затраты машинного времени на решение результирующей системы уравнений. Ширина полосы зависит, в свою очередь, от числа степеней свободы узлов и способа нумерации последних. [c.18]

Матрица этой системы является матрицей ленточного типа, содержащей достаточно много нулевых элементов. Эта матрица характеризуется тем, что все ее ненулевые элементы располагаются вблизи главной диагонали, а коэффициенты за пределами некоторой полосы, ограниченной линией, которая параллельна главной диагонали, равны нулю. Матрица системы трехдиагональная, если используются двумерные симплекс-элементы. В случае квадратичных элементов и элементов более высокого порядка матрица системы содержит большее число ненулевых элементов. Матрица системы является хорошо обусловленной. [c.203]

В случае симметричной положительно-определенной матрицы ленточного типа значительно уменьшаются количество вычислений и вероятность накопления погрешностей округления. [c.203]

После преобразования системы уравнений проводится решение этих уравнений относительно неизвестных узловых значений. Существует несколько процедур построения решения. Одна из них уже обсуждалась в данной главе. Система уравнений имеет специальный вид ее матрица ленточная, причем диагональные элементы обычно положительны и доминируют над элементами соответствующих столбцов и строк вне главной диагонали. Это поз.воляет многие достаточно общие процедуры решения видоизменить так, чтобы повысить их эффективность. [c.256]

В настоящей статье производится вывод граничного интегрального уравнения для трехмерных задач теории упругости, основанный на параметрическом представлении геометрической конфигурации и функций и численном интегрировании. Эти параметрические представления являются обобщением на-трехмерный случай представлений, уже оказавшихся эффективными при решении плоских задач теории упругости [5, 6]. Упругое тело разбивается на подобласти, что позволяет получить матрицу ленточного типа, в силу чего ее приведение выполняется легче, чем приведение матриц, полученных в предыдущих исследованиях. Коэффициенты системы уравнений хранятся в файлах внешней памяти и используется поблочное решение это позволяет экономно рассматривать большие задачи. [c.112]

Во многих практически интересных задачах возникают положительно определенные матрицы с диагональным преобладанием или с диагональными элементами, превосходящими остальные. Нередко удается выделить главную часть матрицы ленточного типа [38] В этих случаях с успехом применяются итерационные методы решения линейных систем. [c.197]

Рнс. 50. Схема вырезки окна в цельной матрице ленточной пилой [c.106]

Таким образом, расчет и этого показателя является примером обращения матриц. Заметим, что, как и первый пример, данный является только частным случаем обращения. В отличие от ранее рассмотренного примера с треугольной исходной матрицей в последнем примере исходная матрица ленточная, в каждой строке которой содержится единственный ненулевой элемент. [c.60]

Примеры операций обращения матриц в АСУ, которые приводились ранее, относились к специальным видам матриц — ленточным и треугольным. Существующий уровень формализации задач АСУ приводит к необходимости применять операции обращения матриц именно таких видов. Однако дальнейшее развитие АСУ, включение в их состав оптимизационных задач, задач, требующих решения систем уравнений, безусловно, приведет к необходимости иметь дело с операцией обращения матриц общего вида. [c.70]

В случае симметричной положительно определенной матрицы ленточного типа значительно сокращается объем вычислений, необходимых для получения решения системы уравнений. К тому же уменьшается вероятность больших ошибок округления. [c.110]

Таким образом, алгоритм описанного метода исключения довольно прост, легко реализуется и распространен при программировании систем алгебраических уравнений с матрицей ленточной структуры. Погрешность метода, складывающаяся из накопления ошибок округления, в данном случае, как показали специальные расчеты, невелика, а эффективность и скорость выполнения расчетов на ЭВМ вполне отвечают практическим требованиям. [c.142]

Система разностных уравнений имеет матрицу ленточной структуры с блоками размерности 4x4 для системы (1.1) и 2 х 2 для системы (1.2) и решается итерационным методом последовательной верхней релаксации (2, 11]. [c.17]

Назначение — рамные, ленточные, круглые пилы, ножи для холодной резки металла, обрезные матрицы и пуансоны холодной обрезки заусенцев, кернеры. Рабочие и опорные валки для холодной прокатки металла. Рабочие валки рельсобалочных, крупносортных и проволочных обжимных и сортовых станов для горячей прокатки металла, подвергающиеся интенсивному износу и работающие в условиях минимальных или умеренных ударных нагрузок. Рабочие валки, опорные валки и бандажи составных опорных валков листовых, обжимных и сортовых станов для горячей прокатки металла. [c.424]

Отметим, что матрица жесткости имеет структуру, близкую к ленточной, т. е. все ее ненулевые элементы сосредоточены вблизи главной диагонали. Именно это свойство обеспечило широкое распространение описанного выше метода для решения задач механики сплошных сред, так как нули матрицы [/С] хранить в памяти не нужно, а при решении системы (3.74) матрицу [/ J можно обрабатывать блоками, вызывая их поочередно из внешней памяти машины следовательно, при помощи ЭВМ даже со сравнительно небольшой оперативной памятью можно добиться высокой точности расчетов. [c.143]

Отметим два свойства аппроксимации (13.8). Во-первых, u Xj)= q , т. е. Р являются узловыми значениями функ-и ортогональны, так как там, где отлична от нуля одна, равна нулю другая. Таким образом, введенный базис почти ортогонален . Как станет ясно из дальнейшего изложения, это и обеспечивает ленточную структуру матриц, возникающих в МКЭ. [c.164]

Как видно, матрица К] — ленточная, ее ненулевые элементы лежат на трех диагоналях. Это следствие того, что функции ф ортогональны ко всем остальным функциям из базиса, за исключением и (здесь уместна такая упрощенная терминология /-Й узел связан через элемент с (/— 1)-м и (у + 1)-м узлами). . . [c.167]

Обычно эти системы уравнений решают методом Гаусса последовательного исключения неизвестных. Этот метод удобен в данном случае тем, что для ленточных матриц допускает существенную экономию арифметических операций и позволяет одновременно решать системы уравнений для нескольких правых частей. [c.168]

Искомые значения температур в уравнениях разностной схемы связаны между собой по горизонталям так же, как и в одномерном случае. Кроме того, имеются связи и по вертикалям . Причем неизвестные любой внутренней горизонтальной прямой взаимодействуют только с неизвестными двух соседних прямых — верхней и нижней. Этот факт определяет ленточный характер матрицы линейной системы уравнений относительно неизвестных температур, возникающей при неявной схеме. Остановимся на этом подробнее. [c.115]

В пределах ленты также могут встречаться нулевые коэффициенты. Для прямоугольной области структура матрицы внутри ленты является упорядоченной, однако если рассмотреть область более сложной формы, например изображенную на рис. 3.12, то ленточный характер матрицы сохранится, но ненулевые коэффициенты будут более сложным образом рас-положены внутри ленты. Отметим, Рис, 3.15 что матрица А является симметрич- [c.116]

Таким образом, при использовании неявной схемы сначала в соответствии с принятой перенумерацией неизвестных проводится формирование ленты матрицы А и столбца свободных членов, а затем с помощью обращения к какой-либо стандартной программе решения линейной системы уравнений с ленточной матрицей находятся искомые значения температуры. Пример использования такой стандартной программы рассматривается в следующей главе применительно к системе уравнений метода конечных элементов, которая также имеет ленточный вид. [c.117]

Основной проблемой при реализации описанного подхода является быстрый рост затрат машинного времени с увеличением числа узловых точек в области. Например, при использовании специальных модификаций метода Гаусса для ленточных матриц число арифметических операций для решения системы уравнений пропорционально KL , где К — общее число узловых точек в области, равное числу неизвестных в системе, L — ширина леты матрицы. Особенно неприятно это для нестационарных нелинейных задач. [c.117]

Другой подход, называемый счетом на установление , заключается в определении решения стационарной задачи путем моделирования процесса выхода в стационарный режим нестационарного температурного поля, которое рассчитывается по какой-либо экономичной разностной схеме. При этом приходится делать определенное число шагов по времени. Общие затраты машинного времени равны произведению числа шагов по времени J на затраты на одном шаге. При использовании экономичных схем затраты на расчет поля на одном шаге пропорциональны числу узлов сетки К- Поэтому общие затраты времени с увеличением числа узлов растут медленнее, чем при решении стационарной системы с ленточной матрицей. Кроме того, при счете на установление нет необходимости хранить в памяти матрицу А, содержащую LK элементов. [c.118]

Свойства системы разностных уравнений и методы ее решения. Теперь рассмотрим ряд важных свойств, которыми обладает глобальная матрица. Во-первых, можно доказать, что она является симметричной. Во-вторых, глобальная матрица для задач большой размерности М является сильно разреженной, т. е. большинство ее элементов — нулевые. Наконец, путем введения разумной нумерации узлов ее можно сделать ленточной. [c.144]

Таким образом при разумной нумерации узлов глобальная матрица G имеет ленточный вид, т. е. все ненулевые коэффициенты расположены в пределах полосы, образованной рядом верхних и нижних диагоналей, примыкающих к главной диагонали. Из симметрии матрицы следует, что число верхних и нижних диагоналей с отличными от нуля коэффициентами одинаково. [c.145]

Схематичный вид глобальной ленточной матрицы показан на рис. 4.10. Символами х обозначены ненулевые коэффициенты. Все коэффициенты, расположенные за пределами полосы, ограни- [c.145]

При х у = 1 уравнение (8.39) превращается в простое правило смешения. При соответствующем выборе полимерной матрицы можно получить композиции, трансверсальная разрывная прочность которых более чем в 40 раз будет превосходить прочность матрицы, причем в процессе разрушения ленты будут ломаться в продольном направлении [981. В этом особое преимущество ленточных композиций по сравнению с однонаправленными волокнистыми композициями, обладающими трансверсальной прочностью значительно меньшей, чем прочность матрицы. Ленточные композиции могут иметь прочность выше прочности слоистых композиций с перекрестной или другими формами укладки волокон. [c.286]

При использовании МКЭ расчетная область разбивается на конечное число подобластей, называемых конечными элементами. Для двухмерных задач наиболее часто в качестве конечных элементов используются треугольники и четырехугольники, для трехмерных — тетраэдры и параллелепипеды. В пределах каждого конечного элемента вводятся аппроксимирующие однотипные функции, которые равны нулю всюду, кроме как в соответствующем элементе и непосредственно примыкающих к нему подобластях. Для нахождения значений функций в узлах прилегающих друг к другу элементов составляется система алгебраических уравнений либо методом Ритца, основанным на минимизации функционала, выбираемого в соответствии с физическим смыслом задачи, либо методом Галеркина, в котором минимизируются ошибки решения задачи с помощью приближенной модели. Матрица коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений является сильно разреженной матрицей ленточной структуры, в которой ненулевые элементы располагаются параллельно главной диагонали. Ширина ленты зависит от способа нумерации узлов. Рациональная нумерация позволяет добиться минимальной ширины ленты и повысить эффективность решения системы уравнений. МКЭ стимулировал развитие специальных методов решения систем с сильно разреженными матрицами [79, 80]. [c.97]

Существование симметрии в матрице ленточного типа позволя ет значительно сократить объем памяти, требуемой для хранения глобальной матрицы. Обычно при программировании предусматривается превращение матрицы, изображенной на фиг. 7.2, в прямо угольный массив, ширина которого совпадает с шириной полосы матрицы, а длина равна числу уравнений. Чтобы проиллюстрнро вать преимущество такого представления матрицы, допустим, что мы решаем задачу, которая включает 200 узловых неизвестных. Обычно при этом получается глобальная матрица жесткости, для хранения которой требуется 200X200, т. е. 40 000 единиц машинной памяти. Однако, если эта ленточная матрица имеет ширину полосы, равную 40, и хранится в виде прямоугольного массива, требуется уже только 8000 единиц машинной памяти для запо минания 40 столбцов по 200 элементов в каждом. Таким образом, загрузка машинной памяти сокращается на 20% по сравнению с загрузкой, требуемой при хранении квадратной матрицы. [c.110]

Метод прогонки. Примерами сильно разреженных матриц являются матрицы Якоби в системах конечных уравнений, получаемых по методам конечных разностей или конечных элементов из дифференциальных уравнений в частных производных. Если алгебраизация дифференциального уравнения производится на основе регулярной сетки, то разреженная матрица Якоби оказывается ленточной, т. е. матрицей, у которой ненулевые элементы располагаются только на k главных диагоналях. Специфические особенности структуры ленточных матриц можно использовать для упрощения алгоритмов учета разреженности. [c.231]

К достоинствам рассмотренных итерационных методов следует отнести простоту их программной реализации и отсутствие принципиальной необходимости хранения в памяти ЭВМ всех коэффициентов матрицы. Действительно, при вычислении очередного приближения ц / согласно (1.22) нужны только отличные от нуля коэффициенты i-й строки А , bi, которые в принципе могут каждый раз вычисляться заново по исходным данным решаемой задачи. Это обстоятельство обусловливает широкое применение итерационных методов для систем с сильно разреженными матрицами большой размерности, в которых большинство элементов нулевые. Причем это делается как для матриц неленточной структуры, у которых ненулевые коэффициенты разбросаны по всему полю, так и для некоторых ленточных [c.14]

В математическом обеспечении ЕС ЭВМ имеется пакет прикладных программ, предназначенных для решения систем линейных алгебраических уравнений [15]. Подпрограммы написаны на ФОРТРАНе и могут быть использованы не только на ЕС ЭВМ, но и на других типах ЭВМ. Эти подпрограммы реализуют прямые методы какдля матриц общего вида, так и для матриц специального вида (симметричных, ленточных). Ниже рассмотрим несколько широко применяемых подпрограмм, которые далее будут использованы при решении задач теплопроводности, лучистого и конвективного теплообмена. [c.17]

Если матрица имеет специальный вид, например является симметричной или ленточной, то для работы со стандартными подпрограммами коэффициенты матрицы всегда должны быть записаны подряд в одномерный массив в последовательности, зависящей от вида матрицы и используемой подпрограммы. Примеры таких способов записи штриц будут рассмотрены ниже. [c.19]

В главах 3 и 4 будут рассмотрены еще две подпрограммы SYSTRD—для решения систем с трехдиагональной матрицей и МСНВ — для решения систем уравнений с ленточной симметричной матрицей методом квадратного корня. [c.21]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...