Конечный элемент определение

Отметим, что в силу выбора базисной системы k = iik, k=, ...,n—1, где iih — приближенные значения решения в узловых точках Xk- При этом, очевидно, уо=0, уп 0, т. е. выполнены краевые условия (4.86), Таким образом (и это существенно), в методе конечных элементов определение постоянных i..., Сп есть одновременно определение приближенных значений уи..., уп. Последние находятся из системы уравнений [c.125]

Вопросы построения интерполирующих полиномов для конечных элементов определенной геометрии рассмотрены ниже. Пока же предположим, что интерполирующий полином для е-то конечного элемента определен и может быть представлен в виде [c.56]

В выражениях (11.20) — (11.24) индекс ji означает принадлежность конечного элемента определенному набору механических свойств материала. [c.24]

В этом и последующих параграфах будут рассмотрены пространства функций типа конечных элементов, определенных на й, прямоугольных и треугольных, которые были описаны в П.З, П.4 и П.5. В случае прямоугольных элементов необходимо предполагать, что граница О составлена из отрезков прямых, параллельных осям координат. [c.71]

Создает новые объемы путем склеивания исходных объемов с номерами NV1-NV9. Еслн NVI = ALL, склеиваются все выбранные объемы. Вновь созданный объем занимает ту же область, что и исходные, но прн этом граница любых двух смежных исходных объемов становится общей. Атрибуты конечных элементов, определенные для исходных объемов, не переносятся на конечный объем. [c.264]

Средние установившиеся температуры определяют по уравнению теплового баланса тепловыделение за единицу времени приравнивают теплоотдаче. При расчете теплоотдачи пользуются ее усредненными коэффициентами. Для решения более сложных тепловых задач (установления температурных полей в деталях машин, определения неустановившихся температур) используют методы, рассматриваемые в теории теплопередачи, в том числе методы подобия, комбинирования нз точных решений для элементов простых форм, методы конечных разностей и конечных элементов. [c.18]

Для деталей сложной формы можно использовать метод конечных элементов (МКЭ) при определении давления на поверхности контакта, проанализировать его распределение в зависимости от конструкции детали. [c.87]

В МКЭ исходная область определения функции разбивается с помощью сетки, в общем случае неравномерной, на отдельные подобласти — конечные элементы. Искомая непрерывная функция аппроксимируется кусочно-непрерывной, определенной на множестве конечных элементов. Аппроксимация может задаваться произвольным образом, но чаще всего для этих целей используются полиномы, которые подбираются так, чтобы обеспечить непрерывность искомой функции в узлах на границах элементов. [c.13]

Искомое температурное поле является непрерывной функцией координаты X (рис. 1.2, а). В МКЭ стержень разбивается произвольным образом на конечные элементы, которые в данном случае являются отрезками неравной длины. На каждом элементе непрерывная функция Т(х) аппроксимируется некоторой линейной зависимостью, как показано на рис. 1.2,6 (в скобках указаны номера элементов). Аппроксимирующая кусочно-линейная функция определяется через узловые значения Ti—Те, которые в общем случае сначала неизвестны и подлежат определению в МКЭ. [c.14]

Из (1.44) и (1.45) нетрудно заметить, что однотипные конечные элементы вносят в эти выражения слагаемые одного вида. Поэтому при реализации МКЭ в САПР вклад элемента определенного типа в матрицу жесткости вычисляется только один раз, а затем используется во всех необходимых случаях. При этом алгоритм получения матрицы жесткости несколько отличается от описанного выше и состоит из следующих этапов [c.31]

Из-за этого в инженерных расчетах вынужденно вводят высокие коэффициенты запаса, например, при определении скоростей охлаждения, длительности пребывания металла при высоких температурах, а также в других случаях чаще обращаются к экспериментальным данным. Расчеты с зависящими от температуры теплофизическими характеристиками существенно сложнее, чем изложенные в настоящей главе, и могут выполняться только с помощью ЭВМ. В этом случае расчеты выполняют либо с использованием метода конечных элементов, либо с использованием метода сеток. Эти методы позволяют рассчитывать температурные поля для тел со сложным контуром, а также при движении источника теплоты по криволинейной траектории. Изложение указанных методов расчета выходит за рамки учебника. [c.202]

Определение. Совокупности, состоящие из множества точек 2, области Т —замкнутой выпуклой оболочки Е и пространства функций Р, заданных на Т, по отношению к которому 2 является Я-разрешимым, называются конечным элементом и обозначаются через (2, Т, Р). [c.169]

Определение. Конечный элемент (2, Т, Р) называется конечным элементом класса С°, если для всякой грани Т размерности (п —1) значения nv на этой грани зависят только от значений v на 2 = S Л Т. [c.169]

Смысл последнего определения состоит в том, что конечные элементы класса С обеспечивают непрерывность интерполяций при переходе через границы областей Т. [c.169]

В заключение этого параграфа несколько слов о реализации варианта метода конечных элементов, в котором с самого начала в явном виде используются базисные функции (см. предыдущий параграф). Для определенности рассмотрим плоскую задачу теории упругости в виде [c.170]

Определение. Конечный элемент (V, Т, Р) называется конечным элементом класса если для всякой грани Т размерности п — ) оболочки Т значения яа, Vnw на этой грани зависят только от значений и в точках [c.175]

Теорема 4.9. Пусть (У], Т, Я) —конечный элемент, s —наивысший порядок производных, входящих в определение т О — заданное целое число р, q [, - -оо]—действительные числа, такие, что [c.190]

Недостаток этой модификации состоит в том, что в случае нестабильного материала матрицу жесткости в системе уравнений метода конечных элементов при каждом новом значении следует пересчитывать заново определенные затруднения возникают и в случае сингулярных ядер. Если же материал стабилен, то схема (5.160) может дать. значительный выигрыш во времени в сравнении со схемой (5.156). [c.248]

Основная сложность при решении уравнений заключается в том, что задачи статики стержней относятся к двухточечным краевым задачам, когда решение должно удовлетворять определенным условиям в начале и в конце интервала интегрирования, в отличие от одноточечных краевых задач — задач Коши, когда все условия, которым должно удовлетворять решение, известны в начале интервала интегрирования. Поэтому хорошо разработанные методы решения систем дифференциальных линейных (и нелинейных) уравнений для одноточечных задач использовать для решения двухточечных задач в общем случае нельзя. В настоящее время имеется ряд методов численного решения линейных двухточечных задач (имея в виду стержни), которые получили распространение в расчетной практике метод начальных параметров, метод прогонки [2], метод конечных элементов [15]. Точное аналитическое решение линейных уравнений равновесия стержня, например (1.112) — (1.115), возможно только для случая, когда элементы матрицы Ах— постоянные числа [этот случай будет рассмотрен в 5.2, где изложены теория и методы расчета винтовых стержней (цилиндрических пружин)]. Для уравнений с переменными коэффициентами возможны только численные или приближенные методы решения. [c.61]

Этот метод успешно конкурирует и в определенных случаях оказывается более эффективным, чем метод конечных элементов. [c.271]

Произвольный четырехугольник. Рассмотрим конечный элемент, представляющий собой произвольный четырехугольник (рис. 58). В первую очередь следует найти удобный способ для определения расположения точек внутри элемента. Для этого введем оси координат и ц, представленные на чертеже. [c.126]

После определения ненулевых перемещений представляется возможным найти реактивные силы, действующие на каждый конечный элемент (5.7.4) и тем самым полностью выяснить напряженное и деформированное состояния конструкции. [c.140]

Определяя матрицу В по формуле (5.4.6), а также учитывая то, что площадь каждого конечного элемента равна А = а 2, переходим к определению матриц жесткостей (5.4.31) [c.141]

Как и следовало ожидать, при принятых выражениях (9.443) для функций Uj матрица [В], определенная явным образом в равенстве (9.453), не зависит от координат точек внутри конечного элемента, т. е. деформации в его точках постоянны. [c.331]

Естественно, что между узловыми силами и узловыми перемещениями существует определенная зависимость. Д [я установления этой вависимости воспользуемся принципом возможных перемещений. Придадим узлам конечного элемента некоторые кинематически возмож-йые перемещения би , которым будут соответствовать вариации компонент деформации бе . Тогда работа внешних сил R , равная сумме произведений компонент узловых сил на соответствующие компоненты узловых перемещений, в матричной форме запишется в виде [c.333]

Следовательно, метод конечных элементов представляет собой определение минимума потенциальной энергии системы среди возможных перемеш,ений заданной формы внутри конечных элементов. Система уравнений метода конечных элементов (9.474), отражаюш,ая, по существу, тот факт, что варьирование перемещений осуществляется по конечному числу параметров uo , может быть записана в виде [c.335]

Основные положения. Основная идея метода конечных элементов состоит в том, что любую непрерывную величину (температуру, давление и перемещение) можно аппроксимировать дискретной моделью, которая строится на множестве ку-сочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей. Кусочно-непрерывные функции определяются с помощью значений непрерывной величины в конечном числе точек рассматриваемой области. [c.197]

При построении дискретной модели непрерывной величины, определенной в двух- или трехмерной области, основную идею метода конечных элементов используют аналогично. В двумерном случае элементы описываются функциями от х, у, при этом чаще всего рассматривают элементы в форме треугольника или четырехугольника (рис. 7.11). Функция элемента представляется плоскостью, если для данного элемента взято минимальное число точек, которое для треугольного элемента равно трем, а для четырехугольного —четырем. [c.199]

Чтобы получить значения Ф в каждой точке временного интервала, необходимо решить линейное дифференциальное уравнение (11.10). Существуют два распространенных метода решения уравнений такого типа. Один из них заключается в приближенной замене частной производной по времени ее конечно-разностным аналогом с применением центральной разностной схемы. Другой метод состоит в использовании конечных элементов, определенных теперь уже не в пространственной, а во временной области. Этот метод обсуждается в гл. 17 в связи с методом Галёркина. Здесь мы рассмотрим конечно-разностное решение. [c.205]

Следует указать, что в противоположность аффинно-эквивалентным конечным элементам определенное в (4.3.4) пространство Рд, вообш,е говоря, содержит функции, не являющиеся многочленами, даже когда пространство Р состоит только из многочленов (см. упр. 4.3.3). Однако эта особенность не учитывается при практических расчетах, так как все вычисления производятся на множестве К, а не на множестве К.. Как будет показано в следующем разделе, все, что требуется,—это значение отображения Р [c.224]

Определяет пересечение объемов с номерами с NV1 по NV9 VINV — общее (т. е. геометрическое место точек, принадлежащих всем перечисленным объемам), VINP— попарное (т. е. геометрическое место точек, принадлежащих одновременно двум нз перечисленных объемов). Если NVI = ALL, отыскивается одновременное или попарное пересечение всех выбранных объемов. Если пересечением обьемов является поверхность, то в результате выполнения команды генерируется поверхность, а не объем. Атрибуты конечных элементов, определенные для исходных объемов, не переносятся на конечный объем. [c.264]

Информация о способе разбиения области на конечные элементы и нумерации узлов является исходной для всех следующих этапов алгоритмов МКЭ при реализации метода в САПР. При этом требуется указывать не только номер, но и координаты каждого узла и его принадлежность к определенным конечным элементам. Такого рода информация называется топологической и обычно содержит примерно в 6 раз больще чисел, чем количество узлов системы. [c.19]

При решении перечисле1[ных в 1.1 задач методом конечных элементов область определения искомой функции разбивается на несколько тысяч элементов примерно с таким же количеством узлов. В связи с этим возникают проблемы, связанные со сложностью подготовки столь большого количества исходной информации и с трудностью ее проверки и корректировки, так как при ручной подготовке такого объема исходных данных неизбежно появление ошибок. [c.19]

Методы конечных элементов и конечных разностей имеют ряд существенных отличий. Прежде всего методы различны в том, что в МКР аппроксимируются производные искомых функций, а в МКЭ — само решение, т. е. зависимость искомых функций от пространственных координат и времени. Методы сильно отличаются и в способе построения сеток. В МКР строятся, как правило, регулярные сетки, особенности геометрии области учитываются только в околограничных узлах. В связи с этим МКР чаще применяется для анализа задач с прямолинейными границами областей определения функций. К числу традиционных задач, решаемых на основе МКР, относятся исследования течений жидкостей и газов в трубах, каналах с учетом теплообменных процессов и ряд других. В МКЭ разбиение на элементы производится с учетом геометрических особенностей области, процесс разбиения начинается от границы с целью наилучшей аппроксимации ее геометрии. Затем разбивают на элементы внутренние области, причем алгоритм разбие- [c.49]

КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ МЕТОД - вариационный сеточный метод, являющийся,в свою очередь, проекционным методом при специальных координатных функциях. Область определения искомой функции в КЭМ разбивают на конечные элементы треугольники, четырехугольники, тетраэдры и т.п. Внутри каждого элемента задаются функции формы,произвольные функции с числом параметров, равным произведению чиспа узлов элемента на число условий в этих узлах. В качестве координатных функций применяют функции, тождественно равные нулю всюду, кроме одного конечного элемента, внутри которого они совпадают с функциями формы. В КЭМ решение дифференциальных уравнений сводится к минимизации функционала, вследствие чего этот метод является вариационным. С другой стороны, КЭМ, является сеточным методом, т.к. исследуемую область разбивают на подобласти, образуя сетку. Повышенная точность схем КЭМ обусловлена добавлением не только узлов, расположенных на границах элементов, но и внутренних узлов. [c.30]

Заметим, что градиент w имеет на границах элемента компоненты, являющиеся полиномами второй степени от одной переменной, Каждый такой полином определяется тремя параметрами, но для нахождения этих параметров имеется всего два условия на концах прямолинейного участка границы, следовательно, производная от W при переходе через границы терпит разрыв и, следовательно, соответствующее поле перемещений не входит в область определения функционалов, встречающихся в задаче изгиба пластинки. Несмотря на это обстоятельство, численные эксперименты показали, что подобные конечные элементы позволяют получать удовлетворительную точность (в последнее время данный прием получил и теоретическое обоснование). Поэтому такие элементы nn-ipoKo используются в конкретных расчетах. [c.147]

При решении данного типа задач возможны два подхода. Первый подход состоит в приложении использованных выше рассуждений в каждый момент времени t, т. е. производится дискретизация только по пространственным переменным искомые параметры здесь являются функциями времени и для их определения получаются алгебраические, обыкновенные или интегро-дифферен-циальные уравнения —в зависимости от исходной задачи, которые решаются известными методами с помощью разработанных программ (Рунге — Кутта, Адамса и т, д.). При втором подходе независимая переменная — время / —считается формально равноправной с пространственными переменными х,- и производится разбиение на конечные элементы цилиндра, любое сечение которого плоскостью = onst — область изменения независимых переменных Xi, переменная t отсчитывается вдоль образующей цилиндра. Недостаток данного подхода — резкое увеличение размерности задачи, если только для движения вдоль временной переменной не применять специальные методы. Приведем описание первого подхода (представляющего собой, впрочем, частный случай второго). [c.212]

Предложен и реализован в составе САПР подход к определению установившихся электромагнитных процессов, использующий метод конечных элементов для расчета распределения магнитного поля в поперечном сечении машин. Кроме того, разработаны цифровые модели явнополюсных машин классической конструкции, с гребенчатым ротором, неявнополюсных синхронных машин, индукторных машин с пульсирующим и постоянным потоком, машин с внешне- и внутризамк-нутым потоком и др. на основе инженерных методов расчета. Созданы проблемно-ориентированные пакеты программ Модель и Поле , включающие программы, соответствующие названным математическим моделям электрических машин, программные модули аналитической аппроксимации одно- и двумерных функций, набор программных средств численного решения нелинейных задач и графического отображения распределения магнитного поля. [c.287]

Конечные элементы могут быть построены различной формы, для различных видов деформации (плоская задача, изгиб пластин, деформации элемента оболочки, стержня и т. д.). Каждый из элементов характеризуется его матрицей жесткости R. Если они построены, то метод конечных элементов позиоляет по изложенной схеме создавать любые композиции (ансамбли) из различных конечных элементов. Причем определение деформированного состояния такой композиции или ансамбля (приближенно заменяющего реальную конструкцию) сводится к составлению и решению системы линейных алгебраических уравнений типа (8.71). В настоящее время существуют автоматизированные комплексы программ, позволяющие рассчитывать по методу конечных элементов очень сложные конструкции с числом неизвестных перемещений, соствляющим тысячи или даже десятки тысяч единиц. Он успешно также применяется в решении нелинейных задач и задач динамики деформируемых систем. [c.263]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...