Модель упругой среды. Система уравнений

Модель упругой среды. Система уравнений [c.117]

Математической моделью технического объекта на микроуровне является система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая процессы в сплошной среде с заданными краевыми условиями. Система уравнений, как правило, известна (уравнения Ламе для механики упругих сред уравнения Навье— [c.5]

В первой и во второй частях книги получены 29 уравнений, содержащие только упомянутые 29 величин, которые характеризуют напряженно-деформированное состояние. Следовательно, получена замкнутая система уравнений теории пластичности. Она представляет собой математическую модель упруго-пластической деформации. Напряженно-деформированное состояние в любом процессе обработки металла давлением (при прокатке, волочении, прессовании и др.) удовлетворяет этой системе уравнений. Поэтому ее недостаточно для достижения указанной цели теории пластичности. При интегрировании системы дифференциальных уравнений появляются новые постоянные и функции координат и времени, для определения которых нужны дополнительные уравнения, конкретизирующие процесс. Это уравнения, описывающие начальное состояние тела в момент времени f (начальные условия), и уравнения, отображающие взаимодействие деформируемого тела с окружающей средой (граничные условия). Совокупность начальных и граничных условий называется краевыми условиями. Они определяют пространственно-временную область, в пределах которой происходит исследуемый процесс обработки металла давлением, и вместе с замкнутой системой уравнений теории пластичности образуют краевую задачу. Ее решение, т. е. результат интегрирования замкнутой системы уравнений при заданных начальных и граничных условиях, представляет собой математическую модель рассматриваемого процесса (прокатки, волочения, прессования и т. д.) в виде 29 функций координат [c.233]

При анализе переходного излучения в электродинамике и акустике основной интерес представляет поле излучения в дальней зоне и проблема расходимости в точке нахождения излучателя, связанная с разрывом размерности (излучатель - точечный, среда - трехмерная), играет вторичную роль. В механике это не так. Первостепенную важность представляет информация о динамических процессах, происходящих вблизи излучателя. Вследствие этого модель упругой системы и движущегося объекта, представляющая практический интерес, должна давать конечное поле деформаций вблизи движущегося объекта. Чтобы удовлетворить данному требованию при анализе двумерных систем можно пойти двумя путями 1) считать движущийся объект не точечным (обычный для физики путь) 2) учесть изгибную жесткость упругой системы и описывать колебания упругой системы уравнениями четвертого порядка по про странственным переменным. Воспользуемся вторым путем, являющимся естественным для механики, так как изгибная жесткость присуща в той или иной мере всем упругим направляющим. [c.283]

Другое направление в построении определяющих соотношений для описания больших деформаций металлов в динамике с учетом вязких и релаксационных свойств развивается в работах [44, 69, 82, 113, 154]. Оно основано на специальном обобщении определяющих соотношений модели Максвелла путем введения релаксации эффективных упругих деформаций. При этом полная система уравнений деформирования среды является квазилинейной гиперболической. Для ее решения эффективно применяются методы характеристик и распада разрыва [69, 113, 192], метод расщепления [114]. [c.22]

К. Представление о сплошности тела неявно используется во всех ранних исследованиях, начиная с работ Л. да Винчи и Г. Галилея. Лишь в 1812 г. С. Пуассон (1781-1840) предложил модель пластины как системы частиц, распределенных в ее срединной плоскости. Позже подобные модели рассматривали Л. Навье (1785-1836), О. Коши (1789-1857) и некоторые другие ученые. Однако и они используют вместо суммирования по системе частиц операцию интегрирования, неявно переходя таким образом от системы частиц к непрерывной среде. Впервые, по-видимому, уравнения упругого деформирования тела без использования каких-либо дискретных моделей, а на основе пред- [c.11]

Система уравнений, описывающая течение смазки в УГД контакте, выводится с учетом ряда допущений (их обсуждение см., например, в [5, 7, 32]) из уравнений гидродинамики, теплопереноса и теории упругости. Основные допущения заключаются в следующем толщина слоя смазки существенно меньше радиусов контактирующих тел, силы вязкого трения значительно больше инерционных, локально контактирующие тела заменяются полупространствами. Связь между тензором скоростей деформации и тензором напряжений, т.е. реологическая модель среды, является заданной. Зависимости свойств смазки — вязкости, плотности, теплопроводности, теплоемкости — от давления и температуры полагаются известными. Известными являются физические свойства твердых тел. При исследовании микро-УГД смазки задается топография поверхности. Система УГД уравнений замыкается начально-краевыми условиями. [c.499]

Заметим, что эти определения относятся к системам уравнений первого порядка. В механике сплошной среды традиционно для многих моделей (в том числе в теории упругости) система может содержать уравнения более высокого порядка, которые, конечно, могут быть записаны в виде (1.6) путем введения вспомогательных функций. Если система уравнений содержит вторые или более высокие производные, то сильным разрывом называется разрыв более низких производных, чем старшие из тех, которые входят в уравнения. Если рвутся старшие производные, входящие в уравнения, или более высокие производные, то разрыв называется слабым. Мы будем рассматривать далее только сильные разрывы. [c.38]

Ниже рассматривается модельная задача о распространении трещи ны в линейно упругой среде периодической блочной структуры На такой задаче выявляется основная роль структуры, под влиянием которой формируется излучение от края распространяющейся трещи ны, не обнаруживаемое в рамках модели однородной сплошной среды Определение мощности излучения аналитическими методами сводится к квадратуре (4.8). Рассматриваемая здесь блочная структура по суще ству также является решеткой, но в отличие от рассмотренной в пре дыдущем параграфе в ней учитывается инерция вращения частиц-блоков. Динамика такой системы описывается системой из трех уравнений (вместо одного). [c.280]

Замечание. Мы привели в разд. 3.1—3.3 ряд характерных постановок задач теории упругости и теперь перейдем к анализу некоторых их свойств на основе общих представлений решений уравнений теории упругости. Однако прежде отметим, что многие специфические постановки краевых задач теории упругости возникают в тех случаях, когда имеет место тот или иной вид вырождения системы дифференциальных уравнений теории упругости из-за наличия среди геометрических характеристик упругого тела одного или двух малых параметров (модели стержней, балок, пластин, оболочек) [90, 93]. Ситуация здесь вполне аналогична той, что имеет место в общей теории дифференциальных уравнений в частных производных. Некоторые методы и результаты построения оценок решений для таких вырожденных задач обсуждаются в гл. 10. [c.85]

Для расчета модуля объемной упругости по формуле (8.5) необходимо иметь зависимость, связывающую величины / и р. Этой зависимостью является уравнение состояния рабочей среды. В общем случае уравнение состояния может содержать еще температуру рабочей среды, для определения которой необходимо рассматривать процессы теплообмена, протекающие в данной системе. При решении такой общей задачи обычно встречается ряд трудностей, вызванных тем, что уравнение состояния среды составляется только после принятия определенных допущений, а описание процессов теплообмена в реальной системе приводит к сложным математическим моделям с дополнительными неизвестными параметрами. [c.178]

А. С. Космодамианский и В. И. Сторожев [75] на основе полуобратного метода построили систему однородных решений и дисперсионные уравнения симметричных и антисимметричных относительно срединной плоскости стационарных колебаний толстых многосвязных плит, рассматриваемых в рамках модели упругой среды Косерра со стесненным вращением. Далее в работе [76] эти же авторы построили базисные системы однородных решений и трансцендентные дисперсионные уравнения симметричных и антисимметричных по тол- [c.300]

Рассмотрим теперь модель, в которой принимается, что точечный дефект находится в анизотропной упругой среде. Упругие свойства такой среды характеризуются уже пе двумя независимымп параметрами (например, X п ц) изотропной среды, а тензором модулей упругости число независимых компонент которого в общем случае равно 21. Будем рассматривать дефект как точечный источник деформаций и напряжений. Тогда в отсутствие объемных сил система трех уравнений равновесия такой анизотропной среды имеет вид [c.49]

Исследователи, изучающие движение сыпучей среды, из общих законов механики могут предсказать основные качественные черты движения. Поэтому к математическим способам описания неизвестных эмпирических зависимостей, в которых выбор вида аппроксимирующей функции осуществлен формальным образом, обычно не прибегают. Наиболее привычной формой описания движения являются дифференциальные уравнения. Достаточно просто решаются дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Поэтому сплошную среду описывают моделью, состоящей из системы твердых тел, связанных взаимно и с пове])Хностью лотка со стандартными элементами линейной упругости, линейной вязкости, сухого трения с постоянными коэффициентами и простейшими ударными элементами. Такие модели позволяют получить общее решение, поэтапно используя решения линейных систем. Число масс упругих, вязких, ударных элементов сухого грения определяет число посгоянных, подлежащих определению из эксперимента. С увеличением числа элементов возрастает точность описания экспериментальных результатов. Такие модели способны описывать с достаточной гочносгью все необходимые зависимости — = Кг (о), где вектор а — совокупность всех параметров, влияющих на /(, т. е пространство параметров, в котором ведется эксперимент. Решение дифференциальных уравнений движения дает теоретические значения К . Но эти значения зависят от численных значений параметров модели с . Их определяют, минимизируя квадратическую ошибку между экспери енгальными значениями (aj и теоретическими значениями подсчитанными при тех же комбинациях параметров а,-, при [c.90]

Корни уравнения (2.8.9) соответствуют скорости распространения сдвиговых волн A i 2 =/сз 4 = И /р, скорости распространения объемных волн растяжения — сжатия ks-,e — кт-,8 = = У(2ц-ЬЯ)/р и нулевой скорости распространения кд = О, отвечающей характеристическим линиям 0i = onst, направленным перпендикулярно плоскости деформирования по условию постановки задачи. Таким образом, линеаризованная система уравнений, отвечающая обобщенной модели Тимошенко, имеет скорости распространения, совпадающие со скоростями распространения волн в трехмерной линейной упругой среде [28, 194]. Это свидетельствует о том, что осуществленный переход от трехмерной теории к приближенной оболочечной сохраняет без искажений основные волновые свойства модели по скоростям их распространения. [c.53]

Сближение различных разделов механики сплошной среды и даже стирание граней между ними привело к выработке общих методов решения задач (и, в свою очередь, стимулировалось этим процессом). Ярким примером служит теория распространения разрывов в сплошных средах, математические основы которой разрабатывал в начале XX в, Ж. Адамар. В настоящее время теория ударных волн охватывает многие модели сплошных сред (см., например, монографию Я. Б. Зельдовича и Ю. П. Райзера ). С. А. Христиановичем и другими была установлена близкая аналогия между задачами о плоском установившемся течении в газовой динамике, задачами о распространении упруго-пластических волн в стержнях, задачами о неустановившемся течении воды в каналах и реках, задачами о предельном равновесии идеально-пластической или сыпучей среды (во всех случаях приходится иметь дело с некоторыми системами квазилинейных уравнений гиперболического типа). Общими для всей механики становятся методы подобия и размерностей, асимптотические методы и методы линеаризаций. [c.279]

Спецкурс Избранные вопросы теории колебаний и волн в распределенных системах знакомит студентов с современными достижениями теории волн применительно к динамике распредепенных упругих систем. В курсе изучаются колебания периодических структур, составленных из различных комбинаций реологических элементов Гука и Юма. Осуществляется предельный переход к распределенным системам. С помощью вариационного метода строятся модели упругих колебаний стерж1 сй и пластин. Рассматриваются кинематические и динамические характеристики волнового процесса, выводятся уравнения переноса энергии и импульса. Методом стационарной фазы из)Д1а-ется асимптотическое поведение волн в линейных средах. Вводится понятие дисперсии фазовой и групповой скоростей. Рассматривается нелинейная эволюция волн Римана, ударных волн и солитонов. Изучаются также волновые процессы в системах с нестационарными и движущими границами. [c.12]

Развитием описанной расчетной модели может служить дискретно-континуальная модель, т. е. твердое тело (штамп), заглубленное в упругое полупространство, модель которого может иметь различные виды (чисто упругое, уйругопластическое, среда с односторонним видом деформаций и т. д.). Математической моделью этого случая будет система дифференциальных уравнений смешанного типа шесть обыкновенных дифференциальных нели- [c.322]

Если конструкция содержит достаточно большое количество слоев, можно перейти от анализа устойчивости пакета как дискретной системы к уравнениям сплошной среды с приведенными упругими параметрами. Условия такого перехода в зависимости от количества слоев и граничных условий были проанализированы в упомянутой работе Р. Шепери и Д. Скала [249]. Путем сопоставления результатов расчета критических нагрузок многослойной колонны по дискретной и непрерывной моделям авторы пришли к выводу, что с приемлемой для технических приложений 6%-ной точностью использование континуальной теории возможно при числе резиновых слоев больше десяти для колонн с защемленными концами и более пяти для колонн с шарнирно опертыми концами. [c.223]

Модули — это наименьшие структурные элементы блока (для определения растягивающих напряжений, расчета крутящего момента и т. п.). Каждый из блоков системы выполняет определенные задачи, имеет свою входную и выходную информацию, составляется и доводится отдельно и только после этого включается в систему автоматизированного проектирования. Среди блоков системы следует выделить стандартные (например, блок решения систем уравнений, блок - плоской задачи теории упругости). Стандартные блоки инвариантны по отношению к элементам и узлам изделия и включаются в математические модели как стандартные эле 1 екты. При формировании стандартных блоков широко используют библиотеку стандартких программ. Применение блочно-модульного принципа необходимо, так как попьггки создания системы всей сразу всегда заканчивались неудачей. [c.674]

Имеется еще ряд уравнений, позволяющих рассчитывать модуль упругости при сдвиге эластифицированных термопластов по свойствам и объемному соотношению исходных компонентов. Среди них следует отметить уравнение Кернера для гетерогенной системы, в которой ни одна из фаз не является четко выраженной непрерывной или дисперсной, так называемой полиагрегатной модели [26] [c.225]

В дальнейшем пользуемся упрощенной моделью, в которой предполагается, что взаимодействие тела с преградой происходит в течение всего времени пребывания тела в области л >0. Ясно, что это время больше значения t из предыдущей задачи, и для моментов времени t>f получаем физически абсурдную картину стенка удерживает тело т, когда оно двил<ется от стенки в отрицательном направлении. Таким образом, вторая модель не претендует на физическое обоснование теории удара. Однако (какпоказано ниже) в результате некоторого предельного перехода она также приводит к модели удара с трением, изложенной во введении, а простота получающихся при этом формул позволяет развить эффективный метод решения ряда задач устойчивости движения в системах с неудерживающими связями (см. гл. 3). Идея метода состоит в следующем односторонние связи заменяются средой Кельвина — Фойгта, и в решениях полученных уравнений движения совершается предельный переход, при котором коэффициенты упругости и диссипации некоторым согласованным образом устремляются к бесконечности. В пределе получается движение системы с неупругим ударом, причем характеристики среды Кельвина —Фойгта определяются по заданному с самого начала коэффициенту восстановления. Такой подход позволяет при решении задач о движении систем с ударами использовать обычные дифференциальные уравнения динамики с дополнительными силами определенного вида. Основным результатом здесь являются теоремы [c.41]

Предлагаемая вниманию читателей книга известного французского ученого Ж. Можена являет собой яркий пример последовательного приложения всей мощи аппарата современной механики сплошных сред для построения и развития электродинамики твердых деформируемых тел. В настоящее время это самостоятельный предмет, в котором модельные представления охватывают большое число самых разнообразных природных явлений, широко используемых в науке и технике. Книга написана так, что все конкретные модели строятся в рамках единой общей схемы — на основе общих принципов механики и термодинамики. В то же время, поскольку изложение ведется в традиционном и не требующем специальной подготовки ньютоновском приближении, то читатель получает прекрасный рабочий инструмент, непосредственно применимый для решения конкретных практических задач. Большое внимание уделяется методам построения определяющих уравнений — специальных соотношений, вытекающих из законов сохранения и замыкающих систему уравнений. Отличительной особенностью книги является широкое использование лагранжевой системы координат. На основе развитой схемы представлены классические теории пьезоэлектричества и магнитоупругости, а также новые и, несомненно, более сложные теории упругих ферромагнитных тел, упругих ионных кристаллов, сегнетоэлектриков и керамик, построение которых потребовало введения новых параметров и новых феноменологических уравнений. [c.5]

В рассматриваемой модели по рнстая среда состоит из скелета или агрегата, который в среднем нзотропен и содержит флюид, заполняющий сообщающиеся между собой поры. Скелет выполнен нз упругого материала. Средние напряжения, действующие ка элементарный объем, определяются через отношение суммы сил, действующих на твердый материал и жидкость, к площади выделенного элемента. Деформации определяются через смещения скелета и флюида. Известно, что потенциальная энергия в элементарном объеме может быть выражена как квадратичная функция от компонент деформации, что ведет к связи деформации с напряжением для пористого материала. Аналогично кинетическая энергия выражается как квадратичная функция скорости частиц в твердой и жидкой фазах. Произведения скоростей твердых и жидких фаз характеризует степень взаимодействия масс, которая интуитивно неочевидна. Приравнивание сил, действующих на фиксированный элемент, ведет к системе двух дифференциальных уравнений в смещениях. Затем они разделяются на пару уравнений, содержащих только дилатацию, и пару уравнений, описывающих вращение. [c.107]

Уравнение, эквивалентное (3.33), (3.38), было предложено в работах [38, 39]. Оно отличается от уравнений, обычно использовавшихся в задачах наследственной упругости, тем, что соответствующий ему линейный оператор, содержащий старшие производные второго порядка, явно факторизуется, то есть может быть представлен в виде суперпозиции линейных операторов с производными не выше первого порядка. Это значительно облегчает построение и анализ его решений. Здесь мы пришли к данному виду уравнения, отталкиваясь от одноволнового уравнения для линейной волны, бегущей в одном направлении в среде, свойства которой формируют определенный закон дисперсии для этой волны. Этот путь естественным образом приводит к такой факторизуемой форме. Обратим внимание на то, что отношение члена второго порядка по Я к члену первого порядка в частотной области для уравнения (3.33) равно Я . Ясно, что в границах применимости модели распространения линейных волн, удовлетворяющих уравнению (3.33) или его многомерным (по пространственным переменным) аналогам, каким бы малым (в любом разумном смысле) не было значение Я, при достаточно малых со величина этого отношения может стать при а -1 < О сколь угодно большой, и пренебречь в (3.33) членами квадратичными по Я будет нельзя. Это может оказаться существенным для реальной физической системы тогда, когда соответствующие этим частотам длины волн попадают в диапазон масштабов фрактальности. Если в области низких частот эта модель утрачивает свою физическую адекватность, то это, прежде всего, означает, что решения уравнения (3.33) на достаточно больших временах теряют смысл для описания происходящих в ней процессов распространения возбуждений. Тем не менее, эти решения могут быть вполне адекватными для относительно малых времен, прошедших от момента начала возбуждения колебаний в некоторой точке среды, которой достигло возбуждение. Таким образом, при рассмотрении распространения переходных волн в первоначально невозмущенной среде, эта модель может описывать изменения её состояния в зоне конечной ширины позади переднего фронта возмущения, который перемещается со скоростью, обозначенной в (3.27), а в (3.33) и далее, для упрощения выкладок, принятой нами за единицу. [c.143]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...