Модель математическая упруго-пластической деформации

В первой и во второй частях книги получены 29 уравнений, содержащие только упомянутые 29 величин, которые характеризуют напряженно-деформированное состояние. Следовательно, получена замкнутая система уравнений теории пластичности. Она представляет собой математическую модель упруго-пластической деформации. Напряженно-деформированное состояние в любом процессе обработки металла давлением (при прокатке, волочении, прессовании и др.) удовлетворяет этой системе уравнений. Поэтому ее недостаточно для достижения указанной цели теории пластичности. При интегрировании системы дифференциальных уравнений появляются новые постоянные и функции координат и времени, для определения которых нужны дополнительные уравнения, конкретизирующие процесс. Это уравнения, описывающие начальное состояние тела в момент времени f (начальные условия), и уравнения, отображающие взаимодействие деформируемого тела с окружающей средой (граничные условия). Совокупность начальных и граничных условий называется краевыми условиями. Они определяют пространственно-временную область, в пределах которой происходит исследуемый процесс обработки металла давлением, и вместе с замкнутой системой уравнений теории пластичности образуют краевую задачу. Ее решение, т. е. результат интегрирования замкнутой системы уравнений при заданных начальных и граничных условиях, представляет собой математическую модель рассматриваемого процесса (прокатки, волочения, прессования и т. д.) в виде 29 функций координат [c.233]

Во многих случаях (но не всегда) можно получить необходимый. ответ, изучая упруго-пластическую деформацию системы, имеющей начальные отклонения. Однако такой анализ приводит к нелинейным задачам и также связан с большими математическими трудностями. Обычно исходят из некоторого статического критерия, разыскивая нагрузку, для которой возможны различные близкие формы равновесия при тех или иных дополнительных условиях. Эти критерии, рассматриваемые в следующем параграфе, не имеют надежного теоретического обоснования их значение иллюстрируется анализом поведения очень простых моделей упруго-пластических тел и подтверждается экспериментальными данными. [c.350]

Для получения аналитических решений уравнений теории пластичности делается ряд упрощающих предположений. Очень широко применяется, например, предположение о постоянстве напряжений в области пластических деформаций. Соответствующую математическую модель материала называют идеально пластической. Уравнение, связывающее напряжения в области пластических деформаций с некоторой константой материала, называется поверхностью текучести. Экспериментально показано, что приложение гидростатического давления практически не вызывает пластического течения в теле, поскольку приводит лишь к объемной деформации при отсутствии деформаций сдвига. Таким образом, любое условие текучести должно зависеть не от давления Р, а от некоторых функций компонент тензора девиатора напряжений В случае идеально пластического тела поверхность текучести является одновременно критерием перехода от упругих деформаций к пластическим, а п .е-дел упругости и предел пластичности совпадают. [c.73]

При этом следует иметь в виду несколько обстоятельств. Во-первых, в основу таких исследований положена идея существования математически острой трепщны. Поэтому испытания следует проводить на образцах с надрезом, приближающимся к идеальной трещине. Из этого исходят и при дальнейших исследованиях. Кроме того, постулируется упруго линейное поведение материала, включая окрестности вершины трещины. Характер разрушения реальных материалов редко совпадает с этой теоретической моделью. Но если зона пластической деформации мала по сравнению с окружающей зоной упругих напряжений, то это допущение обеспечивает вполне достаточное приближение. Из этого следует, что точность метода исследований снижается по мере возрастания разрушающих напряжений и увеличения пластической зоны. [c.110]

Термопластическая сплошная среда с памятью. Существует широкий класс материалов, которые при деформации проявляют одновременно упругие, пластические и вязкие свойства, не имея при этом четко выраженного предела упругого деформирования. Вязкопластические свойства у таких материалов могут проявляться при малых напряжениях и сравнительно невысоких по сравнению с То уровнях температуры. Для описания их поведения к настоящему времени предложены различные математические модели с едиными определяющими уравнениями для процессов как нагружения, так и разгрузки. Подобный подход позволяет не рассматривать образование в деформируемом теле зон упругой и неупругой деформации. Модель сплошной среды с памятью и внутренними параметрами состояния относится именно к этой группе моделей. Основная идея, применяемая в данном случае, состоит во введении в рассмотрение приведенного времени, базируясь на различных исходных предпосылках. [c.161]

Так, более подробно разобраны понятия тензоров напряжений и деформаций и их разложение на шаровой тензор и девиатор, добавлен закон Гука в тензорной форме. В новой, V главе рассматриваются простейшие задачи теории упругости чистый изгиб прямого призматического стержня и кручение круглого стержня постоянного сечения. В главе VI добавлен расчет балки-стенки. Далее добавлены следую-ш,ие параграфы Понятие о действии сосредоточенной силы на упругое полупространство , Понятие о расчете гибких пластинок , Понятие о расчете гибких пологих оболочек . Переработан раздел о математическом аппарате теории пластичности, добавлено понятие о теории пластического течения, дано понятие о несущей способности балок и плит на основе модели жесткопластического материала. Вновь написаны главы ХП1 и XIV об основных- зависимостях теории ползучести и даны простейшие задачи теории ползучести. [c.3]

В случае разрезов нулевой толщины (как в данной задаче) собственное число % может быть найдено Р ] из физических соображений, на основании общих положений механики разрушения. В гл. V будет показано, что во всякой физически корректной модели упругого тела характерные напряжения и деформации на краю математического разреза (в рамках теории Малых деформаций) должны обращаться в бесконечность так, чтобы их произведение имело особенность вида 1/г. В предельных- случаях допускается ограниченность напряжений или деформаций идеально-пластическое тело (напряжения ограничены, деформации имеют порядок 0(1/г)), идеально-отвердеваю-щее тело (деформации ограничены, напряжения имеют порядок 0(1/0). [c.113]

В некоторых случаях многофазная смесь может быть описана в рамках одной из известных классических моделей, в которых неоднородность отражается в значениях модулей, коэффициентов сжимаемости, теплоемкостей и т. д. (заранее определяемых через физические свойства фаз), т. е. только в уравнениях состояния смеси (см. 5 гл. 1). Например, жидкость с пузырями может иногда описываться в рамках идеальной сжимаемой жидкости, а грунт — в рамках упругой или упруго-пластической модели. Но при более интенсивных нагрузках, скоростях движения или в ударных процессах эти классические модели обычно перестают работать и требуется введение новых моделей и новых параметров, в частности, последовательно учитывающих неоднофазность, а именно существенно различное поведение фаз (различие плотностей, скоростей, давлений, температур, деформаций и т. д.) и взаимодействие фаз между собой. При этом проблема математического моделирования без привлечения дополнительных эмпирических или феноменологических соотношений и коэффициентов достаточно строго и обоснованно (например, методом осреднения более элементарных уравнений) может быть решена только для очень частных классов гетерогенных смесей и процессов. Эти случаи тем не менее представляют большое методическое значение, так как соответствующие им уравнения могут рассматриваться в качестве предельных или эталонов, дающих опорные пункты при менее строгом моделировании сложных реальных смесей, с привлечением дополнительных гипотез и феноменологических соотношений. Два таких предельных случая подробно рассмотрены в 5, 6 гл. 3. [c.6]

Итак, три основные гипотезы, упомянутые выше, состоят в следующем во-первых, волокна распределены непрерывно-, во-вторых, волокна являются нерастяжимыми в третьих, композит в целом несжимаем. Малхерн и др. [22] использовали эти же гипотезы в своей теории, предназначенной для описания армированных волокнами пластических материалов. Все математические модели, основанные на этих трех предположениях, мы называем идеальными волокнистыми композитами независимо от того, является ли их поведение упругим, пластическим, вязкоупругим или каким-либо еще. Пипкин и Роджерс [26] показали, что многие особенности механического поведения подобных материалов не зависят от вида связи напряжений с деформациями. В настоящем обзоре мы сосредоточиваем наше внимание именно на таких общих характерных чертах. [c.289]

Высокая концентрация напряжений в соединении приводит к тому, что даже при сравнительно небольшом напряжении затяжки Оо 0,3 Ор во впадинах резьбы появляются пластические деформации. Так как задача расчета распределения нагрузки между витками резьбы становится вследствие этого физически нелинейной, для ее линеаризации используем метод переменных параметров упругости [5], согласно которому математической моделью упругопластического тела является уравнение упругости с параметрами упругости и V, зависягдими от напряженного состояния и потому переменными в различных точках тела [c.120]

В главе рассматриваются определяющие соотношения МДТТ в операторном виде, которые в дальнейшем конкретизируются на различных примерах. Дается математическое определение композита и модели МДТТ. Рассмотрены модели линейного упругого, вязкоупругого и упруго-пластического тела (теория малых упругопластических деформаций). Дается схематическое описание экспериментов, необходимых для проведения расчетов по выбранной модели. Читателю рекомендуется сначала ознакомиться с приложением I (и частично с приложением II), чтобы были понятны используемые в главе обозначения. [c.7]

К началу цикла нагружения материал в области предразрушения перед фронтом треш,ины находится в предельном структурном состоянии, которое создается предшествуюш,ей многократной интенсивной пластической деформацией. Такому состоянию соответствует идеальная (свободная от решеточных дислокаций) двухуровневая слоистая субмикрокристаллическая структура, слои которой, состояш,ие из равноосных бездефектных фрагментов, разделяются протяженными ножевыми границами (большеугловыми границами разориентации деформационного происхождения), расположенными вдоль оси х максимальной главной деформации у вершины треш,ины параллельно ее фронту. Ножевые границы являются внутренними концентраторами напряжений, причем максимумы напряжений располагаются вблизи от ножевых границ в теле фрагментов (такое распределение деформаций вблизи границ зерен деформационного происхождения установлено в [30]). Этот предварительно напряженный материал подвергается в цикле нагружения прираш,ению напряжений вплоть до появления очага хрупкого разрушения. В качестве математической модели такого материала (в интервале времени от начала цикла нагружения до зарождения первичного разрушения) рассмотрим однородную и изотропную по упругим свойствам среду со стационарными полями внутренних напряжений вдоль ножевых границ. [c.51]

Непригодными оказываются гипотезы жесткости, однородности, изотропности, упругости и линейной зависимости напря-. жений от деформации. Разнообразны пути, по которым шли отдель- ч 1ые исследователи, создавая рабочие модели пластического тела. Многочисленны предложенные ими упрощения сложных физи- 4 ческих законов пластического формоизменения металлов, а также чметоды постановки и математической интерпретации основной адачи теории пластичности. [c.17]

Полное решение проблемы выбора надлежащей модели материала даже в такой упрощенной форме далеко от завершения, однако имеются примеры удачных частных решений. Так, при сверхвысоких (порядка модуля упругости) давлениях, развивающихся при гиперскоростных соударениях, успешно используется модель идеальной жидкости (М. А. Лаврентьев, 1949). Для материалов типа полимеров, для которых существенны эффекты несовершенной упругости, иногда используется модель вязкоупругого тела (см., например, А. Ю. Ишлинский, 1940). Что касается материалов типа металлов, находящихся под действием умеренно высоких напряжений порядка предела текучести (которым, в основном, и посвящен данный обзор), то для их изучения могут использоваться два подхода. В основе первого из них лежит допущение, что за пределами упругости материал переходит в вязко-пластическое состояние и его определяющее уравнение зависит от времени. Начало этому направлению подолбили работы А. А. Ильюшина (1940, 1941), в которых в качестве определяющих уравнений использованы уравнения вязко-пластического течения, не учитывающие упругих деформаций. В этих работах дано решение нескольких теоретических задач (удар по цилиндрическому образцу твердым телом, деформирование полого цилиндра под действием внутреннего давления) и описан сконструированный автором первый пневматический копер, позволявший достигать скоростей деформаций порядка 10 Исек (с помощью его были определены коэффициенты вязкости некоторых металлов). Сразу вслед за тем учениками А. А. Ильюшина были решены задачи о вращении цилиндра в вязко-пластической среде (П. М. Огибалов, 1941) и об ударе цилиндра по вязко-пластической пластинке (Ф. А. Бахшиян, 1948 — опубликование этой работы задержалось на ряд лет). С математической точки зрения уравнения динамики одноосного вязко-пластического тела принадлежат к классу уравнений параболического типа. [c.303]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...