ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Модель упругой среды. Система уравнений из "Нелинейные волны в упругих средах " В основе построения модели упругого тела лежат интегральные законы сохранения (изменения) массы, количества движения и энергии. Всюду в этой книге будет использован способ описания положения и движения чад тиц с помощью лагранже-вых координат, т.е. координат, сохраняющих свои звачения в частицах среды. В качестве лагранжевых координат используются декартовы прямоугольные координаты ж,-, г=1,2,3 точек в некотором состоянии, принятом за начальное. [c.117] Это уравнение позволяет вычислить плотность р в текущем состоянии, если известно изменение материального объема при деформации. [c.119] В силу третьего закона Ньютона внутренние массовые силы не дают вклада в уравнение (2.4). Таким образом, это уравнение показывает, что изменение количества движения происходит только под действием внешних воздействий и в силу этого относится к интегральным законам сохранения, обсуждавшимся в 1.1. [c.119] Это уравнения движения в форме Пиолы-Кирхгоффа. [c.121] Еще одно основное уравнение механики сплошной среды дает закон сохранения энергии. Согласно этому закону (первому закону термодинамики) изменение полной энергии индивидуального объема сплошной среды происходит за счет притока извне всех видов энергии, из которых мы ограничимся только притоками механической энергии (работой внешних сил) и тепловой. [c.121] Объемные притоки тепла для простоты считаются отсутствующими. Это уравнение, примененное к бесконечно малому тетраэдру, позволяет показать, что дп представляет нормальную к площадке Ео компоненту вектора д, называемого вектором потока тепла. Доказательство аналогично упомянутому выще при получении формулы (2.5). [c.122] Это уравнение показывает, что изменение внутренней энергии материальной частицы dU связано с притоком тепла к единице массы dq = — 1/ро) div д dt и плотностью работы внутренних сил l/po)aijd dwj/dxi). [c.122] Чтобы дифференциальные уравнения движения (2.7) и энергии (2.9), или притока тепла (2.10), составили замкнутую систему, способную описывать непрерывные движения сплошной среды, необходима конкретизация свойств среды и, в частности. [c.122] Этим равенством часто удобно заменять одно из уравнений (2.10) или (2.11). [c.123] Упругий потенциал Ф( г( ,/ а , 5) задает свойства конкретной среды и при решении задач считается известным. Как и у внутренней энергии зависимость Ф от dwi/dxk определяется сложной функцией Ф зависит от а e,j от dwk/dx . [c.124] Напомним, что уравнения (2.9) и (2.10), выражающие закон сохранения энергии, эквивалентны, если принять во внимание теорему живых сил. Точно также при использовании уравнений состояния (2.13) будут эквивалентными уравнения (2.10) и (2.11). Подчеркнем, что эквивалентность уравнения энергии (2.9) или притока тепла (2.10) уравнению для энтропии (2.11) имеет место только для непрерывных гладких движений среды. [c.125] Вертикальными прямыми здесь и далее обозначен определитель соответствующей матрицы. [c.125] Вернуться к основной статье