Система типа гиперболического

Решение системы уравнений гиперболического типа тесно связано с характеристическими линиями, определяемыми дифференциальными уравнениями (4) и покрывающими плоскость х, у криволинейной сеткой. [c.313]

Соотношения (1.12), (1.13) приводят к статически определимой системе уравнений гиперболического типа [6]. [c.8]

И. Вычис шть характеристики системы уравнений стационарных конических движений газа (12.25). Дать описание класса решений, на которых эта система имеет гиперболический тип. [c.131]

Время установления давления или плотности в системе типа газа (волна давления описывается гидродинамическими уравнениями, которые в простейшем случае являются уравнениями гиперболического типа, т.е. второго порядка как по времени, так и по пространственным координатам) связано со скоростью распространения [c.36]

Решение краевой задачи. Введем произвольную характеристику первого семейства д1. В силу того, что при сверхзвуковых скоростях уравнения (1.6)-(1.9) имеют гиперболический тип, форма отрезка дЬ не влияет на обтекание отрезка ад. Поэтому, если контур аЬ обладает минимальным сопротивлением при заданной характеристике ае и определенных величинах Ф, Г, то и отрезок дЬ должен иметь минимальное сопротивление при фиксированной характеристике д1 и своих фиксированных величинах Ф, X. В противном случае уменьщение сопротивления отрезка дЬ привело бы к уменьщению сопротивления всего контура аЬ. На участке 1Ь выполняются уравнения (2.15), (2.28)-(2.30), а в точке Ь — граничное условие (2.24). Условия непрерывности функций а, 1 , в точке I и первое условие из (2.12) также удовлетворяются. Но если участок дЬ контура обладает минимальным сопротивлением, то в точке I должно выполняться и условие трансверсальности (2.34), записанное для 4/ Это условие в силу произвольности выбранной характеристики д1 должно выполняться на всей характеристике ЬН. Поэтому оно должно являться интегралом системы уравнений (2.11), (2.15), (2.28)-(2.30). [c.78]

Таким образом, система уравнений (39) и (41) при М>1, т. е. при сверхзвуковых скоростях, имеет два семейства (с+ и с ) действительных характеристик и относится к гиперболическому типу. При М = 1 имеем Р = О, что соответствует двум совпадающим семействам характеристик, и система имеет параболический тип. При М<1, т. е. при дозвуковых скоростях, система не имеет действительных характеристик и является эллиптической. [c.176]

Для интегрирования системы нелинейных уравнений гиперболического типа широко используется метод характеристик. Решение рассчитывается с помощью характеристической сетки, выстраиваемой в процессе счета. Этот метод позволяет детально изучить физическую картину течения. Но его трудно применять при расчете сложных сверхзвуковых течений, когда внутри потока содержатся интерферирующие ударные волны, тангенциальные разрывы и другие особенности. [c.267]

V (х, у) нельзя однозначно определить Uy, Vy и, следовательно, J., Vx. В этом случае кривую Г называют характеристикой системы (7.13), соответствующей решению и (х, у), v (х, у). Уравнение Д = О назовем характеристическим. Это есть квадратное уравнение относительно величины у, которая определяет направление касательной к кривой Г. Если в фиксированной точке х, у при выбранном решении и (х, у), v х, у) характеристическое уравнение имеет два вещественных различных корня у = у = 2. то говорят, что в этой точке система (7.13) гиперболического типа. Если корни вещественны, но совпадают, то система относится к параболическому типу, если корни комплексные, система относится к эллиптическому типу. [c.234]

Пусть система (7.13) гиперболического типа, тогда уравнение Д = О имеет два вещественных решения X,i (х, у), ( , у). Это дает два дифференциальных уравнения [c.234]

Естественно исходное уравнение (7.19) принадлежит к гиперболическому, параболическому или эллиптическому типу в тех же точках, что и система (7.20). Условия на характеристиках в рассматриваемом случае можно преобразовать к виду [c.236]

Полученную систему уравнений при решении конкретных задач необходимо интегрировать с учетом конкретных граничных и начальных условий. Система уравнений Эйлера представляет собой систему квазилинейных уравнений первого порядка. В случае На, = О получим основную систему уравнений классической газодинамики. В курсе газовой динамики показано, что эта система гиперболического типа. Поскольку при решении уравнений Эйлера с соответствующими начальными и граничными условиями мы получаем с определенной степенью точности информацию о реальных течениях сжимаемых газовых сред, уместно ввести понятие о математической модели реального явления. [c.135]

Система уравнений (I) и (II) является системой нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными гиперболического типа. Решение этой системы уравнений представляет значительные математические трудности. [c.372]

Рис. 73. Фазовый портрет линейной канонической системы гиперболического типа

Ирвин ввел новое понятие — коэффициент интенсивности напряжений К. Поясним его сущность. Распределение напряжений по поперечному сечению растянутой полосы, ослабленному поперечной трещиной, подчиняется зависимости гиперболического типа. Согласно ей при уменьшении расстояния от точки материальной части поперечного сечения до вершины трещины нормальные напряжения в поперечном сечении увеличиваются и устремляются к бесконечности, если указанное выше расстояние устремляется к нулю. Асимптотами являются линия, параллельная ослабленному поперечному сечению полосы и перпендикулярная ей линия, проходящая через вершину трещины. Вследствие перехода материала у вершины трещины в пластическое состояние пик напряжений срезается. В системе осей, совмещенных с асимптотами, можно рассмотреть бесчисленное множество гипербол, каждая из которых характеризуется своим параметром, представляющим собой произведение переменных, входящих в гиперболическую зависимость. Этот параметр называют коэффициентом при особенности, Аналогично, коэффициент К представляет собой коэффициент при особенности в зависимости между нормальным напряжением и расстоянием точки ослабленного сечения, в которой оно действует, от вершины трещины. В теории Ирвина коэффициент К — величина, полностью характеризующая локальное деформирование и разрушение на контуре макротрещины. Величина К зависит от формы тела и от граничных условий и определяется из решения глобальной (т. е. для всего тела в целом) задачи. Ирвиным было получено условие предельного равновесия трещины в форме [c.578]

Задачу о колебаниях составных стержней и рам при действии гармонического возбуждения можно свести к системе линейных алгебраических уравнений с ленточной матрицей. Элементами матрицы являются суммы гиперболических и гармонических функций, зависящих от размеров стержней и частоты. С увеличением длины участка стержня и частоты аргументы функций растут, что при расчете на ЭЦВМ с ограниченным количеством значащих цифр приводит вначале к замене гиперболических функций экспонентами, а при дальнейшем росте аргумента — к потере гармонических функций. При этом матрица системы вырождается и получить удовлетворительное решение не представляется возможным. Например, на ЭЦВМ типа Минск вычисления производятся с семи значащими цифрами, поэтому при расчете колебаний опертой балки, начиная с третьей формы, гиперболические функции заменяются экспонентами, а расчет форм колебаний выше пятой практически осуществить не удается, так как теряются гармонические функции. [c.107]

Численное интегрирование уравнений гиперболического типа. Дана система двух уравнений [c.245]

Как известно, дифференциальные уравнения, описывающие газодинамический процесс в трубопроводе, могут быть сведены к системе квазилинейных дифференциальных уравнений гиперболического типа [6] [c.96]

Выше отмечалось (см. гл. 4), что уравнения (5.8)—(5.10), позволяющие рассчитать основные характеристики несущей и дискретной фаз, являются квазилинейными уравнениями гиперболического типа. Соотношения (5.10), (5.11) отражают поведение потока вблизи границ и сформулированы на основе физических соображений с учетом характеристических свойств системы уравнений. Отметим, что взаимосвязь уравнений (5.8), (5.9) реализуется через правые части, не содержащие дифференциальных членов, что позволяет считать исходные уравнения независимыми при анализе их характеристических свойств [132]. [c.172]

По аналогии с (1.8), если правая часть (1.9) равна нулю, начальное условие можно назвать однородным, при — неоднородным. В частности, для задач, приводящих к уравнениям параболического и гиперболического типов, в предположении статичности исходного состояния системы в бесконечно удаленный момент времени то =—однородные (нулевые) начальные условия могут быть заданы соответственно следующим образом [c.11]

Точное математическое решение задачи определения частот свободных поперечных колебаний многопролетной балки указанного типа приводит к сложному трансцендентному уравнению, в котором искомая частота входит в аргумент тригонометрических и гиперболических функций. Вид частотного уравнения зависит от числа пролетов, их длин, длины консоли, величин распределенной и сосредоточенной масс, т. е. от всех характеристик системы, и при расчете различных систем мы сталкиваемся с необходимостью решения разнообразных трансцендентных уравнений. [c.229]

Эта система также принадлежит к гиперболическому типу и ее характеристики совпадают с характеристиками для напряжений, т. е. с линиями скольжения, вдоль которых функции напряжений [c.286]

На поверхности положительной гауссовой кривизны (К > 0) асимптотические линии мнимы. При /С < О существует два действительных семейства асимптотических линий, а при К = О существует одно действительное (двойное) семейство асимптотических линий. Отсюда вытекает, что тип статических безмоментных уравнений зависит от знака гауссовой кривизны срединной поверхности. Для оболочек положительной кривизны это будет эллиптическая система, для оболочек отрицательной кривизны — гиперболическая и для оболочек нулевой кривизны — параболическая. [c.105]

Если в отдельных частях областей типа А (или Б) число М (или Мда) все же принимать большим единицы, то в этих частях система становится гиперболической, и для нее, строго говоря, следует решать задачу Коши с параметпями газа, заданными в окрестности линии перехода, которая должна определяться в процессе расчета. Наличием указанных областей (и смешанным характером задачи в целом) в практической постановке задачи обычно возможно пренебречь. [c.302]

Содержание книги составляют статьи автора, посвященные теории идеальной пластичности и ее приложениям. Статьи содержат изложение построения и исследование общих соотношений теории идеальной пластичности на основе статически определимой системы уравнений гиперболического типа, адекватно описывающих сдивиговый характер пластического деформирования. Излагаются обобщения теории на случай сжимаемых и анизотропных сред, приведены решения о вдавливании жестких штампов, внедрении жестких тел, о сжатии пластического слоя шероховатыми плитами и т.д. [c.2]

Характеристики играют важную роль в формировании решений системы уравнений гиперболического типа при заданных начальных условиях. Задачу нахождения функций (а ,<), удовлетворяющих уравнениям (1.6), когда при t = Ьо згьданы значения этих функций Ui x,to) = при всех —сю < ж < сю, называют задачей Коши. [c.20]

Эти уравнения в рамках принятых гипотез учитывают полную инерционную силу и представляют собой довольно сложную систему параболического типа. Заметим, что если считать несущие слои мембранами ( = 2=0), то система становится гиперболической. В общем случае эта система уравнений может быть сведена к одному уравнению восьмого порядка с четными производными, коэффициенты которого могут быть проанализированы. Однако здесь мы ограничимся учетом только главного л1нерционного члена, имея в виду, что влияние остальных инер- [c.43]

Очевидно, все полученные ранее решения урруго-пластнческой задачи будут справедливыми лишь при условии, что контур раздела упругой и пластической зон целиком охватывает круг радиуса R ехр (—р/а,). Для этого везде в решениях достаточно формально заменить р на нуль, а Д —на Rехр (—р/а,). Интересно отметить, что в рассматриваемом случае упруго-пластическая задача обладает всей гаммой типов уравнений в области R г R ехр ( р/о,) определяющая система уравнений гиперболического типа >(два семейства характеристик являются логарифмическими спиралями) в области, заключенной между кругом радиуса R ехр (— р/а,) игра-ниЦей упругой и пластической зон, определяющие уравнения параболического типа (единственное семейство характеристик образовано радиальными прямыми) в упругой области определяющие уравнения эллиптического типа. [c.185]

В данной работе для вязких смешанных внутренних и внешних течений предлагается новая газодинамическая модель - гиперболическое приближение уравнений Навье-Стокса. Оно основано на системе уравнений гиперболического типа и применимо в широком диапазоне чисел Маха при умеренных и больших числах Рейнольдса. Моделт, построена с использованием специального расщепления продольного градиента давления на гиперболическую и эллиптическую составляющие. Возможности модели демонстрируются на решении тестовых и прикладных задач аэрогидродинамики. [c.32]

Тип системы уравнений определяет особенности постановкп задачи, методы и свойства решения. В случае эллиптической задачи на решение в некоторой точке области оказывают влияние краевые условия, заданные на всей границе области. Прп решении гиперболической задачи возмущения сносятся только вниз по потоку. [c.176]

На практике приходится решать смешанные стационарные задачи, когда в поле течения имеются области как дозвукового, так и сверхзвукового потока. Такого рода задачи возникают при внешнем сверхзвуковом обтекании затупленных тел с отошедшей ударной волной, во внутреннем течении в сопле Лаваля и в других каналах. В этом случае математическая модель имеет наиболее сложный вид — течение газа описывается системой квазилинейных уравнений в частных производных, имеющей смешанный эллиптико-гиперболический тип. При этом положение поверхности перехода от дозвукового течения к сверхзвуковому заранее неизвестно. Расчет таких течений является затрудни- [c.267]

Если не учитывать излучения, то система уравнений аэротермохимии имеет смешанный тип — уравнение неразрывности для всей смеси в целом гиперболического типа, а остальные уравнения являются параболическими. [c.187]

Если течение газа установившееся, то тип системы определяется значением скорости. Если скорость о больше скорости звука, то получаем систему гиперболического тиш. Если же скорость меньше скорости звука, то имеем систеьу эллиптического типа. [c.359]

Для того чтобы исследовать главные оси эквипотенциальных поверхностей и выяснить, какого типа эти поверхности, эллиптического или гиперболического, проведем следующее рассуждение. Удобно иметь перед собой одновред1енно выражения в обеих координатных системах q) и q ). Будем записывать слева— первые, справа — вторые уравнения. На сфере уравнение которой [c.360]

В случае стационарного течения, т. е. при dhldt=0, система уравнений (1)—(3) никогда не относится к гиперболическому типу. [c.91]

Конечно, использование уравнений параболического типа, как всегда, не дает возможности учесть время релаксации в каждой из фаз, связанное с конечной скоростью распространения в них тепла, и в предельном случае, при критерии Фурье Fo—>-0, система (3-7) не будет отражать действительности. Очевидно, можно будет сделать описание нестационарной теплопроводности дисперсной системы более тождественным при Fo—)-0,. применив систему гиперболических уравнений. Саму модель можно несколько усовершенствоаать, предусмотрев в ней сплошную прослойку газа около стенки. Этим, правда, мы поставим эту прослойку в исключительное положение по сравнению со всеми остальными прослойками газа, находящимися внутри [c.69]

В научной литературе встречается много приближенных уравнений, описывающих колебания вырожденных систем [8, 22, 23, 30], которые основаны на тех или иных предпосылках физического характера о поведении продольных и поперечных усилий по сечению в вырожденной системе и других механических величин. Затем появились различные уточнения классических уравнений колебаний, зачастую не согласующиеся между собой. В последние годы для вывода приближенных уравнений колебаний вырожденных систем стали применяться математические подходы, основанные на приближенном решении точной трехмерной задачи теории упругости или вязкоупругости с заданными начальными и граничными условиями, характеризующими как геометрию вырожденной системы, так и условия закрепления границ этих систем [22, 23, 43]. Однако каким бы из подходов не пользоваться, всегда должно выполняться очевидное условие — приближенные дифференциальные или инте-гродифференциальные уравнения колебаний должны принадлежать к уравнениям гиперболического типа [8]. [c.226]

Решение системы уравнений движения, удовлетворяющее граничным условиям (2,14)-(2,16), выпо.таено численным методом интегральных соотношений [90] в его гиперболическом варианте [91], Применялась дивергентная форма записи в переменных z,l,z = /w l), где г = 0 образ сильного разрыва, = w l) непротекаемая стенка. Аппроксимирующая система дифференциальных уравнений получена разбиением интервала ге[0,1] на пять полос и при.менением интерполяционных квадратур типа Ньютона-Котеса, Итоговая система обыкновенных дифференциальных урав- [c.47]

Излагаются методы эффективного построения этих решений и много внимания уделяется обстоятельствам, при которых решения существуют и единственны. Эти вопросы в безмоментной теории решаются нетривиально. Общая линейная краевая задача моментной теории оболочек единообразна она заключается в интегрировании эллиптической системы уравнений с выполнением в каждой точке края (или краев, если область многосвязна) четырех граничных условий. Она всегда имеет единственное решение. Однако при переходе к описанной выше безмоментной краевой задаче картина становится весьма пестрой, так как тип уравнений, подлежащих интегрированию, может оказаться любым (эллиптическим, гиперболическим и параболическим). Различными по своему характеру оказываются и краевые задачи безмоментной теории это могут быть задачи типа Дирихле, задачи типа Коши, а также задачи, не предусмотренные существующей классификацией. К тому же может существовать несоответствие между типом краевой задачи безмоментной теории и типом уравнений, для которых ее надо решать. Например, задачу Дирихле иногда приходится решать для гиперболического уравнения, а задачу Коши — для эллиптического. Все это приводит к тому, что теоремы существования и единственности для краевых задач безмоментной теории формулируются далеко не единообразно и в них вопрос не всегда решается положительно. Однако такая ситуация не свидетельствует о принципиальной порочности самой идеи выделения в самостоятельное рассмотрение краевой задачи безмоментной теории. Каждая из описанных выше странностей краевых задач безмоментной теории свидетельствует об определенных особенностях искомого напряженно-деформированного состояния оболочки. Для широкого класса задач это будет показано в части IV. [c.174]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...